天津市第七中學(xué)2024屆高三三模數(shù)學(xué)試題(卷后帶答案解析)

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁天津市第七中學(xué)2024屆高三三模數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．設(shè)，不等式的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．3．已知，，則（

）A． B． C．25 D．54．已知是定義在上的偶函數(shù)，且在是增函數(shù)，記，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．5．已知某函數(shù)圖象如圖所示，則下列解析式中與此圖象最為符合的是（

）A． B．C． D．6．已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4條對稱軸，給出下列四個結(jié)論：①在區(qū)間上有且僅有3個不同的零點；②的最小正周期可能是；③的取值范圍是；④在區(qū)間上單調(diào)遞增．其中正確的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．下列說法正確的是（

）A．若事件相互獨立，則B．設(shè)隨機變量滿足，則C．已知隨機變量，且，則D．在一個列聯(lián)表中，計算得到的值越接近1，則兩個變量的相關(guān)性越強8．某同學(xué)在參加《通用技術(shù)》實踐課時，制作了一個工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為的正方體的六個面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），若其中一個截面圓的周長為，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．9．已知雙曲線：的左右焦點分別為、，且拋物線：的焦點與雙曲線的右焦點重合，點為與的一個交點，且直線的傾斜角為45°則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．二、填空題10．已知全集，集合，集合，則，．11．已知的展開式中第5項與第7項的二項式系數(shù)相等，且展開式的各項系數(shù)之和為1024，則展開式中的常數(shù)項為.12．已知圓心為的圓與x軸相切，且與直線相交于A，B兩點，若，則實數(shù)．13．袋子中有10十個大小相同的小球，其中7個白球，3個黑球．每次從袋子中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回．①在第一次摸到白球的條件下，第二次摸到白球的概率為．②兩次都摸到白球的概率為．14．在中，分別為的中點，為與的交點，且若，則；若在上的投影向量的模長為1，則在上的投影向量的模長為.15．已知函數(shù)，若函數(shù)在上恰有三個不同的零點，則的取值范圍是．三、解答題16．在中，角的對邊分別為，若，且的面積為，.(1)求角的大小及；(2)求的值.17．如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，在菱形中，，，平面平面，，分別是線段?的中點.

(1)求證：平面；(2)若點為線段上的動點（不包括端點），求銳二面角的余弦值的取值范圍.18．已知橢圓的左焦點為，右頂點為，點的坐標(biāo)為，的面積為.（I）求橢圓的離心率；（II）設(shè)點在線段上，，延長線段與橢圓交于點，點，在軸上，，且直線與直線間的距離為，四邊形的面積為.（i）求直線的斜率；（ii）求橢圓的方程.19．已知數(shù)列是等比數(shù)列，其前項和為，數(shù)列是等差數(shù)列，滿足，，(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)記，求；(3)證明：．20．已知函數(shù)，且曲線在點處與直線相切．(1)求的值；(2)設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)證明：存在唯一的極大值點，且．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《天津市第七中學(xué)2024屆高三三模數(shù)學(xué)試題》參考答案題號123456789答案DDAACBCAB1．D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】因為，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點為，位于第四象限.故選：D2．D【分析】由可得，再由充分不必要條件的定義、結(jié)合選項即可得答案.【詳解】解：因為，所以，解得，由充分不必要條件的定義可知，只有D選項符合.故選：D.3．A【分析】由指對互換，表示出，代入原式即可.【詳解】由，.故選：A.4．A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可確定，根據(jù)單調(diào)性和偶函數(shù)定義可比較出函數(shù)值的大小關(guān)系.【詳解】，在是增函數(shù)，，又為偶函數(shù)，，，即.故選：A.5．C【分析】根據(jù)定義域舍去A選項；B選項，根據(jù)時，函數(shù)值大于0舍去B選項；CD選項，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而確定正確答案.【詳解】A選項，的定義域為，故和圖象不合，舍去；B選項，當(dāng)時，，與圖象不合，舍去；C選項，定義域為，，當(dāng)，時，，單調(diào)遞增，當(dāng)，時，，單調(diào)遞減，與圖象符合，D選項，定義域為，在上恒成立，故在上均單調(diào)遞減，與圖象不合，舍去；故選：C6．B【分析】令，則，結(jié)合條件可得有4個整數(shù)符合，可求出取值，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)逐項分析即得.【詳解】由函數(shù)，令，則因為函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4條對稱軸，即有4個整數(shù)符合，由，得，則，即，，故③正確；對于①，，，，當(dāng)時，在區(qū)間上有且僅有3個不同的零點，當(dāng)時，在區(qū)間上有且僅有4個不同的零點，故①錯誤；對于②，周期，由，則，，又，所以的最小正周期可能是，故②正確；對于④，，，又，，又，所以在區(qū)間上不一定單調(diào)遞增，故④錯誤．故其中正確的個數(shù)為2個.故選：B.7．C【分析】A項，求出即可；B項根據(jù)的性質(zhì)即可得出；C項，根據(jù)給定條件，利用正態(tài)分布的性質(zhì)求解作答；D項，根據(jù)的性質(zhì)，即可得出相關(guān)性強弱.【詳解】對于A，若事件相互獨立，則,所以A錯誤，對于B，設(shè)隨機變量滿足，則所以B錯誤，對于C，隨機變量，且，則,所以C正確，對于D，在一個列聯(lián)表中，值越大，則兩個變量的相關(guān)性越強，所以D錯誤，故選：C.8．A【分析】求出球心到截面圓所在平面的距離以及截面圓的半徑，利用勾股定理可求得球的半徑，再利用球的體積公式即可求得結(jié)果．【詳解】由題意可得，球心到截面圓所在平面的距離，設(shè)截面圓的半徑為，球的半徑為，則，解得，所以，所以該球的表面積為．故選：A．9．B【分析】設(shè)雙曲線焦點，可得拋物線的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，過點做，垂足為，根據(jù)題意有，可得軸，進而將用表示，結(jié)合雙曲線定義，即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線焦點，則拋物線的準(zhǔn)線方程為，過做，垂足為，則，，，又點在雙曲線上，，.故選：B.【點睛】本題考查雙曲線和拋物線的性質(zhì)，應(yīng)用曲線的定義是解題關(guān)鍵，注意幾何方法的合理運用，屬于中檔題.10．【分析】根據(jù)題意，分別求得和，結(jié)合集合運算法則，即可求解.【詳解】由全集，集合，集合，可得，則，.故答案為：；.11．405【分析】先求出和，利用二項展開式的通項公式直接求解.【詳解】因為的展開式中第5項與第7項的二項式系數(shù)相等，所以，由組合數(shù)的性質(zhì)可知：.所以.因為展開式的各項系數(shù)之和為1024，所以在中，令，則有：.因為，所以.所以的展開式的通項公式為.所以要求常數(shù)項，只需，解得：.此時常數(shù)項為.故答案為：.12．3或；【分析】首先根據(jù)圓與x軸相切得到圓的半徑等于，再根據(jù)垂徑定理列出關(guān)于的方程，最后解方程即可.【詳解】因為圓心為的圓與x軸相切，所以圓的半徑為，圓心到直線的距離，根據(jù)垂徑定理得到：，所以，解得或，故答案為：3或；【點睛】處理直線與圓的位置關(guān)系時，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達較繁瑣，則用代數(shù)法．13．【分析】設(shè)第1次摸到白球為事件A，第2次摸到白球為事件B，先求和，然后根據(jù)條件概率公式來求；先求第一次摸到白球的概率，再求第二次摸到白球的概率.【詳解】解：設(shè)第1次摸到白球為事件A，第2次摸到白球為事件B，由題意即求，因為，，所以，即在第1次摸到白球的條件下，第2次摸到白球的概率.因為摸出的球不放回，所以兩次都摸到白球的概率為.故答案為：；.14．或【分析】根據(jù)題意，由平面向量基本定理可得，即可得到結(jié)果；由投影向量的模長計算公式，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意知，是的重心，所以，因，所以，又因為，所以，則，即，則；因為在上的投影向量的模長為，且在上的投影向量的模長為，且，所以，解得或，則或.故答案為：；或.15．【分析】根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化兩個函數(shù)圖象交點個數(shù)問題，利用分段函數(shù)的表達式，結(jié)合題意將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問題，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．【詳解】當(dāng)時，，因為恰有三個不同的零點，函數(shù)在上恰有三個不同的零點，即有三個解，而無解，故.當(dāng)時，函數(shù)在上恰有三個不同的零點，即，即與的圖象有三個交點，如下圖，當(dāng)時，與必有1個交點，所以當(dāng)時，有2個交點，即，即令在內(nèi)有兩個實數(shù)解，，

當(dāng)時，函數(shù)在上恰有三個不同的零點，即，即與的圖象有三個交點，如下圖，

當(dāng)時，必有1個交點，當(dāng)時，與有2個交點，所以，即在上有根，令故，解得：.綜上所述：的取值范圍是.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查函數(shù)方程的應(yīng)用，結(jié)合分段函數(shù)的表達式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點個數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．16．(1)；；(2).【分析】（1）切化弦之后，結(jié)合兩角和差正弦公式和誘導(dǎo)公式可化簡求得，由此可得；結(jié)合三角形面積公式可得，由余弦定理可求得；（2）由（1）可求得，利用余弦定理可得，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系可得，利用兩角和差正弦公式可求得結(jié)果.【詳解】（1），又，，，，又，；，，又，，解得：.（2）由（1）知：，，，，又，，，.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立坐標(biāo)系，利用向量法進行證明．（2）建立坐標(biāo)系求出平面的法向量，利用向量夾角公式求二面角即可．【詳解】（1）由平面平面，且兩平面交線為,為中點，，平面，所以平面，由于平面，故，在菱形中，，，所以為等邊三角形，又為中點，所以，則以為坐標(biāo)原點，所在直線為，，軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，又，，平面，平面．

（2），設(shè)，則，，，；由（1）知平面，平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量，又則，，即，令，則，，，，令，則，，，所以，，，即銳二面角的余弦值的取值范圍為．18．（Ⅰ）.（Ⅱ）（?。?（ii）.【分析】根據(jù)的面積為列出一個關(guān)于的等式，削去求出離心率；根據(jù)關(guān)系巧設(shè)直線的方程，與直線FP的方程聯(lián)立解出焦點的坐標(biāo)，利用|FQ|=解出斜率，把直線FP的方程與橢圓方程聯(lián)立，解出點坐標(biāo)，分別求出和的面積，利用四邊形的面積為，解出，得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】（Ⅰ）設(shè)橢圓的離心率為e.由已知，可得.又由，可得，即.又因為，解得.所以，橢圓的離心率為.（Ⅱ）（?。┮李}意，設(shè)直線FP的方程為，則直線FP的斜率為.由（Ⅰ）知，可得直線AE的方程為，即，與直線FP的方程聯(lián)立，可解得，即點Q的坐標(biāo)為.由已知|FQ|=，有，整理得，所以，即直線FP的斜率為.（ii）解：由，可得，故橢圓方程可以表示為.由（i）得直線FP的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去，整理得，解得（舍去）或.因此可得點，進而可得，所以.由已知，線段的長即為與這兩條平行直線間的距離，故直線和都垂直于直線.因為，所以，所以的面積為，同理的面積等于，由四邊形的面積為，得，整理得，又由，得.所以，橢圓的方程為.【點睛】列出一個關(guān)于的等式，可以求離心率；列出一個關(guān)于的不等式，可以求離心率的取值范圍.“減元”思想是解決解析幾何問題的重要思想，巧設(shè)直線方程利用題目條件列方程求解斜率，求橢圓方程的基本方法就是待定系數(shù)法，根據(jù)已知條件列方程通過解方程求出待定系數(shù).19．(1)，(2)(3)證明見解析【分析】（1）利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式列方程組求解即可；（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，利用分組求和和錯位相減求解即可；（3）利用裂項相消法求解即可.【詳解】（1）由題意設(shè)等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為，所以①，②，又因為是數(shù)列的前項和，所以由可得即③，由①②③聯(lián)立解得，，，，所以，，（2）由（1）得，所以，令④，則⑤，④⑤得，所以，令，所以.（3）由（1）可得，因為，所以，即.20．(1)(2)答案見解析(3)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義列方程求參數(shù)；（2）由題設(shè)，利用