2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)湘教版選擇性必修第二冊(cè)教學(xué)課件 第2章-2.3空間向量基本定理及坐標(biāo)表示-2.3.2 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

2.3第2章空間向量基本定理及坐標(biāo)表示2.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.掌握空間向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量的平行與垂直的條件及空間向量長(zhǎng)度與夾角的坐標(biāo)表示.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象學(xué)習(xí)目標(biāo)新知學(xué)習(xí)有了平面向量的坐標(biāo)后，平面向量運(yùn)算可轉(zhuǎn)化為平面向量坐標(biāo)的運(yùn)算，空間向量是不是也可以類似平面向量，進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算？是的，空間向量運(yùn)算頁(yè)可以轉(zhuǎn)化為空間向量坐標(biāo)的運(yùn)算，下邊我們看下空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示.1?向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示兩個(gè)向量a，b的和（或差）的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（或差），即a±b＝（x1，y1，z1）±（x2，y2，z2）＝（x1±x2，y1±y2，z1±z2）.2?數(shù)乘向量的坐標(biāo)表示一個(gè)實(shí)數(shù)λ與向量a乘積的坐標(biāo)等于這個(gè)實(shí)數(shù)乘向量相應(yīng)的坐標(biāo)，即λa＝λ（x，y，z）＝（λx，λy，λz）.3?向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），則a·b＝x1x2+y1y2+z1z2.總結(jié)：設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示加法a＋ba＋b＝_______________________減法a－ba－b＝_______________________數(shù)乘λaλa＝______________，λ∈R數(shù)量積a·ba·b＝________________(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1＋a2b2＋a3b3思考空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示與平面向量的坐標(biāo)表示有何聯(lián)系？空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示與平面向量的坐標(biāo)表示完全一致；如：一個(gè)空間向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo).三空間向量的平行、垂直及模、夾角

判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU××√√即時(shí)鞏固一、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算典例剖析因此，a＝(0,1，－2).反思感悟空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律及注意點(diǎn)(1)由點(diǎn)的坐標(biāo)求向量坐標(biāo)：空間向量的坐標(biāo)可由其兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)確定；(2)直接計(jì)算問題：首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來，然后代入公式計(jì)算.(3)由條件求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)：把向量坐標(biāo)形式設(shè)出來，通過解方程(組)，求出其坐標(biāo).4∴a·b＝1＋0＋3＝4.二、向量的坐標(biāo)表示的應(yīng)用<1>空間平行垂直問題例2如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝

，AF＝1，M是線段EF的中點(diǎn).求證：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF證明如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，（1）設(shè)AC∩BD＝N，連接NE，又NE與AM不共線，∴NE∥AM.又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，∴AM∥平面BDE.又DF∩BF＝F，且DF?平面BDF，BF?平面BDF，∴AM⊥平面BDF.<2>夾角、距離問題例3如圖，在直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N為A1A的中點(diǎn).(1)求BN的長(zhǎng)；(2)求A1B與B1C所成角的余弦值.解如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.依題意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，

（2）依題意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，又異面直線所成角為銳角或直角，反思感悟

利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算的一般步驟(1)建系：根據(jù)題目中的幾何圖形建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.(2)求坐標(biāo)：①求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；②寫出向量的坐標(biāo).(3)論證、計(jì)算：結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算.(4)轉(zhuǎn)化：轉(zhuǎn)化為平行與垂直、夾角與距離問題.

(1)求證：EF⊥B1C；(2)求FH的長(zhǎng)；(3)求EF與C1G所成角的余弦值；證明如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，三、利用空間向量解決探索性問題例4正方體ABCD－A1B1C1D1中，若G是A1D的中點(diǎn)，點(diǎn)H在平面ABCD上，且GH∥BD1，試判斷點(diǎn)H的位置.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，因?yàn)辄c(diǎn)H在平面ABCD上，設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(m，n，0)，即當(dāng)H為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，GH∥BD1.反思感悟(1)解決本題的關(guān)鍵是建立正確、恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算問題.(2)通過計(jì)算解決幾何中的探索性問題，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.A.(－1,3，－3) B.(9,1,1)C.(1，－3,3) D.(－9，－1，－1)B隨堂小測(cè)A.5 B.4 C.3 D.2C解析λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，3.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是（）D解析依題意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，C5.在空間直角坐標(biāo)系中，A(－1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB|＝

，則m的值為________.－7或13所以(3－m)2＝100,3－m＝±10.所以m＝－7或13.7.若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三點(diǎn)共線，則m＋n＝_____.0所以m＝0，n＝0，m＋n＝0.8.若a＝(x，2,2)，b＝(2，－3,5)的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是____________.(－∞，－2)解析由題意，得a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，設(shè)a，b的夾角為θ，又|a|>0，|b|>0，所以a·b<0，即2x＋4<0，所以x<－2.又a，b不會(huì)反向，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是(－∞，－2).9.三棱錐P－ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,3)，則三棱錐P－ABC的體積為____.解析由A，B，C，P四點(diǎn)的坐標(biāo)，知△ABC為直角三角形，AB⊥AC，PA⊥底面ABC.由