安徽省宿州市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué) 含解析

宿州市2025屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用一元二次不等式的解法化簡(jiǎn)集合B，再根據(jù)集合交集的運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：B.2.若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法和乘法運(yùn)算求解.【詳解】.故選：D.3.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得，結(jié)合二倍角的正弦公式和誘導(dǎo)公式計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，得，故.故選：A4.將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線，則的方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)兩條直線垂直得出斜率，再應(yīng)用點(diǎn)斜式求解直線即可.【詳解】由題意可知，直線與垂直，直線的斜率為，所以的斜率為5，又因?yàn)檫^點(diǎn)，所以直線的方程為，即.故選：D.5.若圓錐的軸截面是邊長為1的等邊三角形，則該圓錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理列方程，求得外接球的半徑，進(jìn)而求得外接球的表面積.【詳解】由題意可知，該圓錐的底面圓半徑為，高為，設(shè)該圓錐外接球的半徑，由題意知，該圓錐外接球的球心在高線上，則，解得，所以該圓錐外接球的表面積為.故選：C6.已知平面向量，若在方向上的投影向量為，則實(shí)數(shù)（）A1 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)投影向量計(jì)算公式即可求解.【詳解】在方向上的投影向量為,∴，∴，解得.故選：A.7.已知橢圓的上頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，線段的中垂線與橢圓交于兩點(diǎn)，則的周長為（）A.8 B.12 C.16 D.24【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定的值，判斷的形狀，確定共線，再根據(jù)橢圓的定義求的周長.【詳解】如圖：由橢圓方程可知，，.所以，所以為等邊三角形，因此的中垂線過，結(jié)合橢圓的定義，可得周長.故選：C8.若函數(shù)的圖象上存在兩對(duì)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分析可知，方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，由參變量分離法可得，則直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】在函數(shù)的圖象上取點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，且，其中，由，可得，則，所以，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)?，令可得，列表如下：減極小值增所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，，且，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.函數(shù)，則（）A.B.是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸C.的最大值為2D.是偶函數(shù)【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和輔助角公式化簡(jiǎn)可得，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】.A：由，得的最小正周期為，故A正確；B：，故B錯(cuò)誤；C：的最大值為，故C錯(cuò)誤；D：又因?yàn)椋瑸榕己瘮?shù)，故D正確.故選：AD10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.為等比數(shù)列 B.為等差數(shù)列C.為等比數(shù)列 D.【答案】BCD【解析】【分析】應(yīng)用已知條件化簡(jiǎn)得出得，得出為等比數(shù)列,進(jìn)而判斷A，B，C，最后應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和即可判斷D.【詳解】由已知化簡(jiǎn)得，得，所以為等比數(shù)列,所以，因此，所以，所以為等比數(shù)列，為等差數(shù)列，不為等比數(shù)列，故錯(cuò)誤，和正確，對(duì)于選項(xiàng)，，，兩式作差，解得，故正確.故選：BCD.11.在橢圓（雙曲線）中，任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是橢圓（雙曲線）的中心，這個(gè)圓被稱為該橢圓（雙曲線）的蒙日?qǐng)A.已知雙曲線的蒙日?qǐng)A方程為為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，與雙曲線的蒙日?qǐng)A交于點(diǎn)，則（）A.若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且的蒙日?qǐng)A的半徑為1，則的方程為B.若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的蒙日?qǐng)A面積最大值為C.的最小值為D.若為的中點(diǎn)，則的離心率的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)題意建立的方程組求解；對(duì)B，由，可得，利用基本不等式求出得解；對(duì)C，由結(jié)合得解；對(duì)D，根據(jù)題意，結(jié)合C選項(xiàng)可得，化簡(jiǎn)結(jié)合離心率公式求解.【詳解】對(duì)于A，若點(diǎn)在上，則有，又因?yàn)?，?lián)立解得，故A正確；對(duì)于B，由，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以的蒙日?qǐng)A的面積，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，當(dāng)且僅當(dāng)為雙曲線的左，右頂點(diǎn)時(shí)取到等號(hào)，故C正確；對(duì)于D，若為線段的中點(diǎn)，此時(shí)，由C選項(xiàng)的結(jié)論可得，，解得，又，所以，故，故D正確故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)解決的關(guān)鍵是結(jié)合C選項(xiàng)得到，進(jìn)而得到的不等關(guān)系得解.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.兩批同種規(guī)格的產(chǎn)品，第一批占，次品率為；第二批占，次品率為，將兩批產(chǎn)品混合，從混合產(chǎn)品中任取一件，則這件產(chǎn)品為次品的概率為__________.【答案】##【解析】【分析】由全概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】記事件所取的一件產(chǎn)品來自第批，記事件所取的一件產(chǎn)品為次品，則，，，，由全概率公式可得.故答案為：.13.四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，，則平面與平面夾角的余弦值為__________.【答案】##【解析】【分析】作出平面與平面的夾角，利用余弦定理求得夾角的余弦值.【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，過點(diǎn)作，則平面平面，，是的中點(diǎn)，則，所以，連接，依題意可知是等邊三角形，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，則，所以是平面與平面的夾角，在直角中，；在中，，.由余弦定理可得，.故答案為：14.若不等式（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）對(duì)任意恒成立，則當(dāng)取最大值時(shí)，實(shí)數(shù)__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，令，可知當(dāng)時(shí)符合題意，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性和最小值，其中，令最小值大于或等于0，進(jìn)而得解.【詳解】由題意可知，令，當(dāng)時(shí)，研究函數(shù)與的圖象，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)有最小值為，而為單調(diào)遞減的直線，如圖，此時(shí)不恒成立，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，令，，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且由于函數(shù)有最小值，所以當(dāng)時(shí)，方程有解，設(shè)解為，則，且，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，由題意恒成立，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)可知方程有解，設(shè)解為，則，從而表示出的最小值，進(jìn)而求解.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知中，.（1）求角；（2）是邊上一點(diǎn)，且，求的長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式計(jì)算得解.（2）利用正弦定理建立方程，身后利用三角恒等變換計(jì)算得解.【小問1詳解】在中，由，得，又，，則，所以.【小問2詳解】由（1）知，，而，則，，設(shè)，，在中，由正弦定理得，則，在中，由正弦定理得，則，因此，即，整理得，又，則，所以.16.如圖，正三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，分別為棱上的點(diǎn)，且.（1）證明：平面；（2）求直線與平面夾角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，證明，即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間角的向量求法，即可求得答案.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，則，則，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面.【小問2詳解】由題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)以所在直線為軸，過點(diǎn)C在底面ABC內(nèi)作CA的垂線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知，，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，故，所以可取平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角，則所以直線與平面所成角的正弦值為.17.已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），為的導(dǎo)函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)，求在上的最小值.【答案】（1）增區(qū)間：，減區(qū)間：；（2）.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)并根據(jù)正弦函數(shù)圖象性質(zhì)即可求解；（2）求的導(dǎo)函數(shù)，并判斷其在上的正負(fù)，從而判斷的單調(diào)性，從而求得最小值.【小問1詳解】由已知，所以令，解得，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間，的單調(diào)遞減區(qū)間.【小問2詳解】由題可知，因?yàn)?，所以，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又所以，所以的最小值為.18.動(dòng)圓與圓外切，且與直線相切，記該動(dòng)圓心的軌跡為曲線.過的直線與交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，設(shè)直線分別與直線交于點(diǎn).（1）求曲線的方程；（2）證明：與的橫坐標(biāo)之積為定值；（3）記的面積分別為，求的最大值.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義求解；（2）設(shè)的方程為，注意用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，由直線方程得出的橫坐標(biāo)（用表示），然后求乘積可得；（3）由圖形得，直線方程代入拋物線方程（消去）應(yīng)用韋達(dá)定理得，計(jì)算，由（2）不妨設(shè)，，由基本不等式得最小值，從而得的最大值．【小問1詳解】由題意可知，動(dòng)圓圓心到點(diǎn)的距離比它到直線的距離大1，所以到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)點(diǎn)的軌跡方程為，則，所以，所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.【小問2詳解】易知的斜率必存在且不等于0，設(shè)的方程為，聯(lián)立，可得的橫坐標(biāo)為，又因?yàn)檫^點(diǎn)和，所以，由，有，所以的斜率為，因此的方程為，令，可得的橫坐標(biāo)為，所以，因此的橫坐標(biāo)與的橫坐標(biāo)之積為定值.【小問3詳解】由題意，有，所以，聯(lián)立，消去，化簡(jiǎn)得，所以，因此，所以，由（2）知，不妨設(shè)，則，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，因此，所以的最大值為.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為，拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率為．19.甲，乙兩人各有張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字.兩人進(jìn)行輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的得1分，數(shù)字小的得0分，然后各自棄置此輪所選卡片（棄置的卡片在之后的輪次中不能使用）.最終得分多的人獲勝.（1）當(dāng)時(shí)，求甲獲勝的概率；（2）設(shè)輪比賽后甲的總得分為隨機(jī)變量，記為的概率.（i）求；（ii）比較與的大小.【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱性，不妨固定乙六輪選卡的數(shù)字依次為，由甲的總得分為0，得到甲六輪選卡的數(shù)字依次為，再由甲六輪選卡的數(shù)字有種排序方法，利用古典概型的概率求解.（2）若甲的總得分為1，分①甲在第一輪得1分，②甲在第二輪得1分，③甲在第三輪得1分，④甲在第四輪得1分，利用古典概型的概率求解；（3）設(shè)甲在六輪游戲中的得分分別為，易得甲在每輪獲勝的概率為，然后利用求解.（1）不妨設(shè)乙出卡片的順序?yàn)?，則甲的出牌順序?yàn)椋鶕?jù)古典概率概型計(jì)算可得答案；（2）（i）不妨固定乙出卡片的順序?yàn)?，甲出卡片的順序共有種，計(jì)算出甲在輪比賽中總得分為1的情形的概率，利用古典概型、對(duì)立事件概率計(jì)算可得答案；（ii）甲，乙兩人的總得分之和為，則乙在輪比賽中的總得分的概率也是，輪比賽后甲的總得分為（即最初是乙得分為）的概率也可以表示為，因此有，為偶數(shù)時(shí)；為奇數(shù)時(shí)，計(jì)算出輪比賽后甲的總得分不小于的概率可得答案.【小問1詳解】易知甲不可能得3分，時(shí)，不妨設(shè)乙出卡片的順序?yàn)?，則甲的出牌順序?yàn)?，其中，總情形共有種，只有時(shí)，甲可以得2分獲勝，所以甲獲勝的概率為；【小問2詳解】（i）不妨固定乙出卡片的順序?yàn)?，甲出卡片的順序共有種，顯然，如果直接考慮甲在輪比賽中總得分不小于2的情形比較多，我們考慮甲在輪比賽中總得分為0或1的情況.如果甲在輪比賽中共得0分，則甲出卡片的順序一定是，只有1種情形；如果甲改變中任意兩輪比賽的出卡順序，可知最后都會(huì)得1分，共有種情形；如果甲恰好改變中任意三輪比賽的出卡順序，可知只有1種情形——將所選的3個(gè)數(shù)字進(jìn)行輪換，即輪換為——使得甲在輪比賽中最后得1分，共有種情形；因此，甲在輪比賽中總得分為1的情形共有種.所以，輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為；（ii）易知，因?yàn)榧祝覂扇说目偟梅种蜑?，則乙在輪比