第8章　第4講　圓與圓的位置關(guān)系　圓的綜合應(yīng)用

第八章平面解析幾何第四講圓與圓的位置關(guān)系圓的綜合應(yīng)用知識(shí)梳理·雙基自測(cè)名師講壇·素養(yǎng)提升考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究提能訓(xùn)練練案[51]知識(shí)梳理·雙基自測(cè)知

識(shí)

梳

理知識(shí)點(diǎn)圓與圓的位置關(guān)系方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況公切線條數(shù)外離__________________________4外切__________________一組實(shí)數(shù)解3相交________________________兩組不同的實(shí)數(shù)解2內(nèi)切d＝|r1－r2|(r1≠r2)______________1內(nèi)含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)________0

d>r1＋r2無(wú)解d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2一組實(shí)數(shù)解無(wú)解歸

納

拓

展1．當(dāng)兩圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，相交(切)時(shí)，兩圓方程相減可得公共弦(內(nèi)公切線)所在的直線方程．(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0；兩圓相交時(shí)，兩圓連心線垂直平分公共弦；兩圓相切時(shí)，兩圓連心線必過(guò)切點(diǎn)．3．兩個(gè)圓系方程(1)過(guò)直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；(2)過(guò)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圓C2，所以注意檢驗(yàn)C2是否滿足題意，以防丟解)．雙

基

自

測(cè)題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交．(

)(2)“k＝1”是“直線x－y＋k＝0與圓x2＋y2＝1相交”的必要不充分條件．(

)(3)過(guò)圓O：x2＋y2＝r2外一點(diǎn)P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則O，P，A，B四點(diǎn)共圓且直線AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(

)(4)圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0與圓C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切線有且僅有2條．(

)××√√題組二走進(jìn)教材2．(選擇性必修1P98T3)直線l：3x－y－6＝0與圓x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝______.3．(選擇性必修1P98T8)(2024·河北保定部分信息月考)圓心在直線x－y－4＝0上，且過(guò)兩圓x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交點(diǎn)的圓的方程為_(kāi)________________________.(x－3)2＋(y＋1)2＝16題組三走向高考5．(2022·新高考Ⅰ卷)寫出與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一條直線的方程_____________________________________________________________.考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究圓與圓的位置關(guān)系——自主練透1.(多選題)(2024·廣東六校聯(lián)考)已知圓O：x2＋y2＝4和圓C：(x－3)2＋(y－3)2＝4，P，Q分別是圓O，圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)AC2．(2023·湖南長(zhǎng)沙一中月考)已知兩圓C1：x2＋y2＝1，C2：(x－1)2＋(y－1)2＝r2(r>1)，若圓C1與圓C2有且僅有兩條公切線，則r的取值范圍為_(kāi)_________________.名師點(diǎn)撥：如何處理兩圓的位置關(guān)系判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法，即利用兩圓圓心距與兩圓半徑和、差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2、y2項(xiàng)得到．求公共弦長(zhǎng)時(shí)在一個(gè)圓中求解即可．【變式訓(xùn)練】(多選題)(2024·江西梧州一中月考)已知圓C1：x2＋y2＋2mx－10y＋m2＝0，圓C2：x2＋y2＋4y－5＝0，則下列說(shuō)法正確的是(

)A．若點(diǎn)(1,1)在圓C1的內(nèi)部，則－2<m<4B．若m＝2，則圓C1，C2的公共弦所在的直線方程是4x－14y＋9＝0BCD[解析]

對(duì)于A，由點(diǎn)(1,1)在圓C1的內(nèi)部，得1＋1＋2m－10＋m2<0，解得－4<m<2，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若m＝2，則圓C1：x2＋y2＋4x－10y＋4＝0，將兩圓方程相減可得公共弦所在的直線方程是4x－14y＋9＝0，故B正確；對(duì)于C，圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋m)2＋(y－5)2＝25，圓心為C1(－m,5)，半徑r1＝5，圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y＋2)2＝9，圓心為C2(0，－2)，半徑r2＝3，弦長(zhǎng)、弦的中點(diǎn)問(wèn)題——多維探究角度1弦長(zhǎng)問(wèn)題2．(2024·江蘇南京六校聯(lián)合調(diào)研)已知直線l：λx－y－λ＋1＝0和圓C：x2＋y2－4y＝0交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為(

)D[引申]本例中|AB|最小時(shí)AB的方程為_(kāi)_____________.

x－y＝0角度2弦的中點(diǎn)問(wèn)題B名師點(diǎn)撥：1．求直線被圓截得的弦長(zhǎng)的常用方法【變式訓(xùn)練】x＋y－3＝0或x＋y－7＝0與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題——師生共研2．已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P、Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．[解析]

(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x－2,2y)．因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.[引申]本例1中若|PO1|＝2|PO2|，則P點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)____________________.＋4＝0名師點(diǎn)撥：求與圓有關(guān)的軌跡方程的方法【變式訓(xùn)練】已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0)．則：(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為_(kāi)___________________________；(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)_________________________.(x－1)2＋y2＝4(y≠0)(x－2)2＋y2＝1(y≠0)圓的綜合應(yīng)用——師生共研【變式訓(xùn)練】(2024·遼寧遼東南適應(yīng)性聯(lián)考)已知圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，圓心在x軸正半軸上，且與直線3x＋4y－8＝0相切．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l：y＝kx＋2與圓C交于A，B兩點(diǎn)．①求k的取值范圍；②證明：直線OA與直線OB的斜率之和為定值．名師講壇·素養(yǎng)提升“隱形圓”問(wèn)題1.(2024·云南聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，若直線l：y＝kx＋3上存在點(diǎn)M，使得|MA|＝2|MO|，則k的取值范圍為(

)B2．(2024·四川成都調(diào)研)已知點(diǎn)P是直線l1：mx－ny－5m＋n＝0和l2：nx＋my－5m－n＝0(m，n∈R，m2＋n2≠0)的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓C：(x＋1)2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最大值是(

)B名師點(diǎn)撥：有些題中沒(méi)有明確給出圓，而是隱藏在題設(shè)中，可通過(guò)分析、轉(zhuǎn)化發(fā)現(xiàn)圓——隱形圓，從而利用圓的性質(zhì)求解，以簡(jiǎn)化運(yùn)算，常見(jiàn)的“隱形圓”類型：(1)利用圓的定義(到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡)確定隱形圓；(2)動(dòng)點(diǎn)P對(duì)兩定點(diǎn)A，B張角是90°(kPA·kPB＝－1)確定隱形圓；(4)兩定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|2＋|PB|2是定值確定隱形圓；(5)兩定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＝λ|PB|(λ>0，λ≠1)確定隱形圓(阿波羅尼斯圓)；(