廣東省吳川某中學(xué)2024年高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷含解析

廣東省吳川一中2024年高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5亳米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.將函數(shù)/(x)=cos2x圖象上所有點(diǎn)向左平移;個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，如果g(x)在區(qū)間[0,可上單

調(diào)遞減，那么實(shí)數(shù)。的最大值為()

冗71c冗3

A.—B.—C.-D.—71

8424

2.若不等式2xlnx…-f+依對xe[l,+o。)恒成立，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

A.(-00.0)B.(-co,l]C.(0,+co)D.[l,+oo)

3.已知集合4={—2,—l,0,l,2},^={X|X2-X+2>0),則A05=()

A.{-1,0}B.{0,1}C.{—1,0,1}D.{-2,-1,0,1,2}

4.已知集合何={x|y=Jiii},N={xe7V|4-x2>0},則McN為()

A.[1,2JB.{0,1,2}C.{1,2}D.(1,2)

5.如圖，在矩形O4&?中的曲線分別是尸sinx,y=co=的一部分，4序0),C(0,l),在矩形Q43C內(nèi)隨機(jī)

取一點(diǎn)，若此點(diǎn)取自陰影部分的概率為片，取自非陰影部分的概率為6，則()

A.P,<P2B.C.P]=P2D.大小關(guān)系不能確定

6.如圖，已知三棱錐D-48C中，平面平面ABC,記二面角力一的平面角為。，直線OA與平面

ABC所成角為0,直線AB與平面ADC所成角為7,則()

B

A.a>p>yB.ft>a>yc.a>y>pD.y>a>p

7.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名學(xué)生平均分成兩個(gè)志愿者小組到校外參加兩項(xiàng)活動(dòng),則乙、丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的

概率為

1111

A.-B.—C.-D.—

23612

2

8.雙曲線工?y2=]的漸近線方程是（）

4

A.x±2y=0B.2x±y=0C.4x±y=0D.x±4y=0

9.一個(gè)幾何體的三視圖及尺寸如下圖所示，其中正視圖是直角三角形，側(cè)視圖是半圓，俯視圖是等腰三角形，該幾何

體的表面積是（）

46

正視圖側(cè)視圖

<]

俯視圖

A?16&+16乃

B.16&+84

C.8向16乃

D.8及+8萬

10.偶函數(shù)/（力關(guān)于點(diǎn)（1,0）對稱，當(dāng)—IWXWO時(shí)，/（x）=-f+l,求/(2020)=()

A.2B.0C.-1D.1

11.已知。+沆(。/￡尺)是山■的共粗復(fù)數(shù)，則。+0=()

\-i

I1

A?—1B.----C.-D.1

22

12.已知雙曲線4-]=1(。>°，/，>°)的左右焦點(diǎn)分別為大(一g°)，居(。，°)，以線段月長為直徑的圓與雙曲線在第

a'b-

二象限的交點(diǎn)為戶，若直線P鳥與圓E:(x—]J+)，2=S相切，財(cái)雙曲線的漸近線方程是()

A.y=±xB.y—±2xC.y=±\[3xD.y=±\/2x

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量。=(l,x+l),Z?=(x,2),若滿足o||b,且方向相同，貝ij%=.

14.函數(shù)/(犬)=q"2”的極大值為.

02

15.已知數(shù)列｛q｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記S”為｛可｝的前〃項(xiàng)和，若am二u"二,4=1,貝”7=.

16.AABC中，角A氏C的對邊分別為a,b,c,且A8,C成等差數(shù)列，若/?=百，c=l,則AABC的面積為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在四棱錐P—A8CD中，底面A8CO是平行四邊形，PZ)J_平面A3CO,E是棱PC上的一點(diǎn),

滿足以//平面

(I)證明：PE=EC；

(II)設(shè)加—4)一加一1,=，若F為梭PB上一點(diǎn),使得直線DF與平面所成角的大小為30。,

求的值.

18.(12分)已知函數(shù)f(x)=ex.

(1)求曲線y=在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程；

若對任意的加｛當(dāng)時(shí)，都有〃幻+；

(2)R,x>0?12/(>2同九-1恒成立，求最大的整數(shù)底

（參考數(shù)據(jù)一久1.78）

19.（12分）如圖，已知在三棱臺ABC-中，AC=2AB=2fBC=6A耳，8用.

(1)求證：AB1CC,；

（2）過AB的平面ABQE分別交片6，AG于點(diǎn)。，E,且分割三棱臺ABC一4用6所得兩部分幾何體的體積比

為匕幽￡-昭/）=%sc-8g=4：3,幾何體43C—EOG為棱柱，求4也的長.

提示：臺體的體積公式V=：（S'+JMM+S）〃（S',S分別為棱臺的上、下底面面積，〃為棱臺的高）.

20.（12分）在四棱錐P—A8CZ）的底面488中，BC//ADtCD±ADfPO_L平面43c。，。是AO的中點(diǎn),

且PO=AD=2BC=2CD=2

（I）求證：A8〃平面尸。C；

（II）求二面角O—PC—。的余弦值；

（DI）線段PC上是否存在點(diǎn)E,使得AB_LZ）E,若存在指出點(diǎn)E的位置，若不存在請說明理由.

21.（12分）設(shè)橢圓C：.+今二耳。〉/?,。）的右焦點(diǎn)為尸，右頂點(diǎn)為A,已知橢圓離心率為5,過點(diǎn)/且與x軸

垂直的直線被橢圓截得的線段長為3.

（I）求橢圓。的方程；

（H）設(shè)過點(diǎn)4的直線/與橢圓C交于點(diǎn)8（3不在X軸上），垂直于/的直線與/交于點(diǎn)M,與）：軸交于點(diǎn)〃，若

BF1.HF,且/MO4W/M40,求直線/斜率的取值范圍.

22.(10分)如圖，正方形AG/C是某城市的一個(gè)區(qū)域的示意圖，陰影部分為街道，各相鄰的兩紅綠燈之間的距離相等，

4?/處為紅綠燈路口，紅綠燈統(tǒng)一設(shè)置如下：先直行綠燈30秒，再左轉(zhuǎn)綠燈30秒，然后是紅燈1分鐘，右轉(zhuǎn)不受紅

綠燈影響，這樣獨(dú)立的循環(huán)運(yùn)行,小明上學(xué)需沿街道從/處騎行到4處(不考慮A/處的紅綠燈)，出發(fā)時(shí)的兩條路線

(I-F,I-H)等可能選擇，且總是走最近路線.

田田

(1)請問小明上學(xué)的路線有多少種不同可能？

(2)在保證通過紅綠燈路口用時(shí)最短的前提下，小明優(yōu)先直行，求小明騎行途中恰好經(jīng)過E處，且全程不等紅綠燈

的概率；

(3)請你根據(jù)每條可能的路線中等紅綠燈的次數(shù)的均值，為小明設(shè)計(jì)一條最佳的上學(xué)路線，且應(yīng)盡量避開哪條路線?

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在母小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

根據(jù)條件先求出g(X)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

【詳解】

將函數(shù)/(Y)=CO*2丫圖象上所有點(diǎn)向左平移2個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(r)的圖象,

則g(x)=cos2x+工=cos2x+—,

jr

設(shè)。=2工+—，

2

717171

則當(dāng)0<xWa時(shí)，O<2x<2a,—<2xI<2aI

222

即工<"2。+工，

22

要使g(“在區(qū)間[0?]上單調(diào)遞減，

7r7T7T

則2。+巳4乃得得?！渡希?/p>

224

即實(shí)數(shù)〃的最大值為四，

4

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查三角函數(shù)圖象變換，考查根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，屬于中檔題.

2、B

【解析】

轉(zhuǎn)化2xlnr..-犬+GX,X￡[1,+8)為%21nx+x,構(gòu)造函數(shù)/?(1)=21111+工,工￡[1,+00),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求

函數(shù)最值，即得解.

【詳解】

由2口。工..一/+欠,工￡[1,+8),可知4,2\nx+x.

，2

設(shè)〃(x)=2In工+x,xw[1,+oo),則〃(x)=—+1>(),

x

所以函數(shù)人(幻在[1,+0。)上單調(diào)遞增，

所以％V)*=/2⑴=1.

所以為旗X)mm=1.

故。的取值范圍是(—』].

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)在恒成立問題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

3、D

【解析】

先求出集合5,再與集合A求交集即可.

【詳解】

i7

22

由已知，x-x+2=(x--)+->0f故A=所以A-6={-2,-1,0,1,2}.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交集運(yùn)算，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道容易題.

4、C

【解析】

分別求解出M,N集合的具體范圍，由集合的交集運(yùn)算即可求得答案.

【詳解】

因?yàn)榧螹={x|xNl},7V={xe7V|-2<x<2}={O,l,2},

所以M1N={1,2}

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集運(yùn)算，考查基本運(yùn)算能力.

5、B

【解析】

先用定積分求得陰影部分一半的面積，再根據(jù)幾何概型概率公式可求得.

【詳解】

根據(jù)題意，陰影部分的面積的一半為：J4(cosx-sin￥)dLr=V2-1?

6-1/廠\

于是此點(diǎn)取自陰影部分的概率為蒜一4(1.4-1)_1.

it=2X—〉—

3.2

又鳥=1一《<5,故6.

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了幾何概型，定積分的計(jì)算以及幾何意義，屬于中檔題.

【解析】

作?！?gt;'_A4于于￡,分析可得。=?。笈>',4=/。4。',再根據(jù)正弦的大小關(guān)系判斷分析得口之尸,

再根據(jù)線面角的最小性判定尸之了即可.

【詳解】

作。于。'，OE1AC于

因?yàn)槠矫鍰ABJ_平面ABC,_L平面A3。.故AC±DE,ACLDD\

故AC_L平面。瓦T.故二面角。一AC—8為a=?DED\

又直線D4與平面ABC所成角為0=ND4。',因?yàn)镈ANDE,

DD'DD'

故sin?OE。'上匕？上匕sin2D4。'.故a之￡,當(dāng)且僅當(dāng)A,E重合時(shí)取等號.

DEDA

又直線AB與平面AOC所成角為/，且〃=ND4。'為直線AB與平面ADC內(nèi)的直線AO所成角，故僅2九當(dāng)且僅

當(dāng)4O_L平面AOC時(shí)取等號.

故aN。之丫.

B

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了線面角與線線角的大小判斷,需要根據(jù)題意確定角度的正弦的關(guān)系，同時(shí)運(yùn)用線面角的最小性進(jìn)行判定.

屬于中檔題.

7、B

【解析】

求得基本事件的總數(shù)為〃=隼工乂用=6,其中乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的基本事件個(gè)數(shù)為"z=C；C；&=2,

A?

利用古典概型及其概率的計(jì)算公式，即可求解.

【詳解】

由題意，現(xiàn)有甲乙丙丁4名學(xué)生平均分成兩個(gè)志愿者小組到校外參加兩項(xiàng)活動(dòng),

基本事件的總數(shù)為〃二x4；=6,

其中乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的基本事件個(gè)數(shù)為〃1=&=2,

所以乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為〃='二?,故選B.

n3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了排列組合的應(yīng)用，以及古典概型及其概率的計(jì)算問題，其中解答中合理應(yīng)用排列、組合的知識求得基

本事件的總數(shù)和所求事件所包含的基本事件的個(gè)數(shù)，利用古典概型及其概率的計(jì)算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查

了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

8、A

【解析】

2

試題分析：漸近線方程是工-『二i,整理后就得到雙曲線的漸近線.

4

2外

解：雙曲線三/

4y1

2

其漸近線方程是2

4

整理得x±2y=l.

故選A.

點(diǎn)評：本題考查了雙曲線的漸進(jìn)方程，把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”轉(zhuǎn)化成“1”即可求出漸進(jìn)方程.屬于基礎(chǔ)題.

9、D

【解析】

由三視醫(yī)可知該幾何體的直觀圖是軸截面在水平面上的半個(gè)圓錐，表面積為

--4-4^2+-^22+-^-2-6=872+8^，故選D.

222

10、D

【解析】

推導(dǎo)出函數(shù)y=/'(x)是以4為周期的周期函數(shù)，由此可得出/(2020)=/(0),代值計(jì)算即可.

【詳解】

由于偶函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，則于(一力=〃力,/(2+x)+/(-x)=0,

/./(x+2)=-/(-^)=-f(x),貝iJ/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

所以，函數(shù)y=/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

由于當(dāng)一IWXWO時(shí)，/(x)=-￡+l,則〃2020)=/(4x505)=/(0)=l.

故選：I).

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的對稱性和奇偶性求函數(shù)值，推導(dǎo)出函數(shù)的周期性是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于

中等題.

11、A

【解析】

先利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求出二的值，再利用共匏復(fù)數(shù)的定義求出。+歷，從而確定。，力的值，求出。+從

1-z

【詳解】

l+i_（1+Z）2_2i

T^7=（i+z）（i-z）=T=/,

:?a+bi=~i,

o=0>Z>=-1,

:?a+b=-1,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了共挽復(fù)數(shù)的概念，是基礎(chǔ)題.

12>B

【解析】

/\2,2f?￡J

先設(shè)直線尸入與圓E:+丁2=已相切于點(diǎn)”，根據(jù)題意，得到EM//PK，再由染=:，根據(jù)勾股定理

［2）-16八月4

求出〃=2。，從而可得漸近線方程.

【詳解】

設(shè)直線尸乙與圓E:［一］）+丁=9相切于點(diǎn)加，

因?yàn)锳PKK是以圓O的直徑￡入為斜邊的圓內(nèi)接三角形，所以/6。憶=90，

又因?yàn)閳AE與直線尸居的切點(diǎn)為M,所以EM//PR,

F、E1..b

又亦二7所以歸用=4二二心

九/4114

因此|PA|=2a+8,

因此有從+（2。+〃）2=4/,

所以。二2。，因此漸近線的方程為y=±2x.

故選B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線的漸近線方程，熟記雙曲線的簡單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

【解析】

由向量平行坐標(biāo)表示計(jì)算.注意驗(yàn)證兩向量方向是否相同.

【詳解】

Va\\b?4-1)—2=0,解得x=l或x=—2,

x=l時(shí)，。=(l,2)/=(1,2)滿足題意，

x=-2時(shí)，a-(1,-1),/?-(-2,2),方向相反，不合題意，舍去.

??x—1?

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，解題時(shí)要注意驗(yàn)證方向相同這個(gè)條件，否則會出錯(cuò).

1

14、——

2e

【解析】

對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可容易求得函數(shù)的極大值.

【詳解】

依題意，得f\x)=e2x-2i=e-2'(l-2x).

所以當(dāng)/時(shí)，當(dāng)時(shí)，r(x)vo.

所以當(dāng)x=g時(shí)，函數(shù)/。)有極大值(?

故答案為：工--

2e

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題.

15、127

【解析】

已知條件化簡可化為。3-%.必“=2〃；,等式兩邊同時(shí)除以。；，則有--^--2=0,通過求解方程可解得

ci?a..

爭=2，即證得數(shù)列｛q｝為等比數(shù)列，根據(jù)己知即可解得所求.

【詳解】

由a

1-2°

,?

2-l^S7=127.

1-2

故答案為：127.

【點(diǎn)睛】

本題考查通過遞推公式證明數(shù)列為等比數(shù)列，考查了等比的求和公式，考查學(xué)生分析問題的能力，難度較易.

16、叵

2

【解析】

由A,yC成等差數(shù)列得出3=60。，利用正弦定理得C進(jìn)而得4=巳代入三角形的面積公式即可得出.

2

【詳解】

VA,Bf。成等差數(shù)歹U,：.A+C=2Bf

又A+B+C=180°,A3B=180°,B=60°.

故由正弦定理一^=-2—，sinC='???c<Z?/.C=X,故A=C

sinCsinB262

所以SAARC=—be=,

22

故答案為：且

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，三角形的面積公式，考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（I）證明見解析（II）PF\FB=\'A

【解析】

(I)由R4〃平面〃可得PA//EM,又因?yàn)椤笆茿C的中點(diǎn)，即得證；

(II)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P*=/IP3(()<2<1),計(jì)算平面3OE的法向量，由直線。尸與平面8DE所成

角的大小為30。，列出等式，即得解.

【詳解】

(I)如圖，

連接4c交30于點(diǎn)用，連接EM,

則是平面P4C與平面石的交線.

因?yàn)?4//平面BOE,

故PA//EM,

又因?yàn)镸是AC的中點(diǎn)，

所以￡是尸。的中點(diǎn)，

故PE=EC.

(II)由條件可知，AZ)2+_A3?,所以故以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為戈軸，。占為V軸，。。為z軸

建立空間直角坐標(biāo)系，

則。(0,0,0),A(l,0,0),8(0,1,0),P(0,0,1),C(-l,l,0),耳告；

,DE=08二(0」,。)

一5'5'5,

設(shè)P/=2尸8(0<；1<1),

則尸(0"』一兄)，DF=(0,2,1-2)

設(shè)平面BDE的法向量為n=(x,y,z),

n-DE=O-x+y+z=0/、

則,即《g。，故取〃二（L°」）

n-DB-0

因?yàn)橹本€。尸與平面B力石所成角的大小為30。

DFn1

所以-------=sin30°=-,

DFn2

上4_]

即瓦匹尸，

解得4=；,故此時(shí)尸產(chǎn)：FB=1:1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了立體幾何和空間向量綜合，考查了學(xué)生邏輯推理，空間想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

18、（1）y=ex（2）2

【解析】

(1)先求得切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率，由此求得切線方程.

(2)對加分成，〃1=0,加￥。兩種情況進(jìn)行分類討論.當(dāng)加工0時(shí)，將不等式〃，(2/(幻+￡|>2反〃L1轉(zhuǎn)化為

2/“)+1>2耿—,構(gòu)造函數(shù)加?=2/(X)+L利用導(dǎo)數(shù)求得/z(x)的最小值(設(shè)為。)的取值范圍，由

xm-x

a>2向m-'的得一2屆〃+1〉0在刀wR上恒成立,結(jié)合一元二次不等式恒成立，判別式小于零列不等式,

m~

解不等式求得Z的取值范圍.

【詳解】

(1)已知函數(shù)/⑴=/,則(I,/⑴)處即為(1,0,

又f（x）=et,k=f'（l）=e,

可知函數(shù)/(x)=短過點(diǎn)(1,/(1))的切線為y-e=e(x-\)9即y=".

(2)注意到1>0,

不等式"F2/(X)+」>2>/5高〃-1中，

IX)

當(dāng)m=。時(shí)，顯然成立;

當(dāng)〃zwO時(shí)，不等式可化為2/。）+，＞2叵,1

xm~

令h(x)=2/U)+-=2er+-,貝I」/(x)=2"一二，

使〃（%）=2e"—二二0.

玉）

由于），=2-在（0,+8）上遞增，y二?在（0,+8）上遞減，所以為是〃（力的唯一零點(diǎn).

且在區(qū)間（0,.%）上/（幻＜0,例犬）遞減，在區(qū)間（知y）上〃'（x）〉0,〃（x）遞增，

即〃（x）的最小值為力（%）=2"。+'二』+」-,令」-二?。?,2）,

工0玉）玉）/

貝十，二八十，W（3十百,6）,將〃（x）的最小值設(shè)為〃，則。￡（3+J5,6）,

%%

因此原式需滿足a＞2回,T,即由,一2J永加+1〉0在根￡R上恒成立，

又。＞0,可知判別式△=弘一4"＜0即可，即女＜@,且々￡（3+6,6）

2

攵可以取到的最大整數(shù)為2.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于

難題.

19、（1）證明見解析；（2）2

【解析】

（1）在中，利用勾股定理，證得又由題設(shè)條件，得到AB_L88],利用線面垂直的判定定理，證

得A8_L平面BCC,四,進(jìn)而得到^-CC1；

(2)設(shè)三棱臺和三棱柱的高都為上、下底面之間的距離為/?,根據(jù)棱臺的體積公式，列出方程求得后二g,得到

AB1

—=7?即可求解.

【詳解】

(1)由題意，在AABC中，AC=2AB=2f8c=百，

所以48+8。2=4。2,可得AB_L8C,

因?yàn)?片_13片，可得A5_LB片.

又由=3,BC,4片u平面。。。蜴，所以A8_L平面8。。蜴，

因?yàn)镃C|U平面8CGA，所以A8J_CG.

(2)因?yàn)樨?卜：_8鼻/):^ARC-EDCy=4:3,可得匕8C-AgC|：^ABC-EDCf=7:3，

令SWJC=S',S.MG=S,

設(shè)三棱臺和三棱柱的高都為上、下底面之間的距離為〃，

y-(5,+>/Sr,S+S),a7---

則泣*L=±____________整理得6S'-遮M-S=O，

V.AnHQC.—?w1/7C]S'h3

即62-戶-1=(),解得戶="L,即若=；,

SNSV52A42

又由A3=l,所以A,4=2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了直線與平面垂直的判定與應(yīng)用，以及幾何體的體積公式的應(yīng)用，其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定

定理與性質(zhì)定理，以及熟練應(yīng)用幾何體的體積公式進(jìn)行求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

20、(I)詳見解析；(II)叵;(HI)存在，點(diǎn)E為線段PC的中點(diǎn).

5

【解析】

(1)連結(jié)。。，BC=AO,BC//AD,則四邊形43C。為平行四邊形，得到證明.

(H)建立如圖所示坐標(biāo)系，平面PCD法向量為勺=(0,2,1),平面POC的法向量々=80=(—1,1,0),計(jì)算夾角

得到答案.

(ni)設(shè)鳳x,y,z),計(jì)算?！?(九/1-1,2-24),A/y=(1,1,0),根據(jù)垂直關(guān)系得到答案.

【詳解】

(I)連結(jié)OC,BC=AO,BC//AD,則四邊形ABC。為平行四邊形.

AB//OC

-AB(Z平面POC=>AB//平面POC.

0。(=平面產(chǎn)。。

(CD±AD

(II)PO_L平面ABC力，〈八八「八n四邊形O8C力為正方形.

\OD=BC=CD

所以08,OD,O尸兩兩垂直，建立如圖所示坐標(biāo)系，

則C(L1,O),mo,2),O(OJO),5(1,0,0),

設(shè)平面PCD法向量為g=(x,y,z),則［；C=勺=02,1),

連結(jié)BD,可得3O_LOC,又&9_LPO所以，3。_L平面POC,

平面POC的法向量%=BD=(-1,1,0),

設(shè)二面角。一夕。一。的平面角為8,則cose=上^—=理.

I?)I-II5

(m)線段PC上存在點(diǎn)E使得_LDE,設(shè)E(X,y9z),PE=APC=>(x,y,z-2)=4(1,1,-2)=E(九2,2-22)

OE=(4/l—l,2—2/l),48=(1,1,0),AB1DE=ABDE=O=A=g,

所以點(diǎn)￡為線段PC的中點(diǎn).

【點(diǎn)睛】

本題考杳了線面平行，二面角，根據(jù)垂直關(guān)系確定位置，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.

r2、,2

21、(I)—+^-=1(II)-8,一彳,+8

43

【解析】

由題意可得生

(I)=3,ea2=h2+c2解得即可求出橢圓的C的方程;

af

(II)由已知設(shè)直線/的方程為產(chǎn)A(x?2),(嚀())，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于工的一元二次方程，利用根

與系數(shù)的關(guān)系求得8的坐標(biāo)，再寫出所在直線方程，求出”的坐標(biāo)，由居解得)》.由方程組消去必解

得乙,由40。4工乙股4。,得到與21，轉(zhuǎn)化為關(guān)于土的不等式，求得〃的范圍.

【詳解】

(I)因?yàn)檫^焦點(diǎn)且垂直于長軸的直線被橢圓截得的線段長為3,

2

所以2絲b二3,

a

因?yàn)闄E圓離心率”為!，所以￡=1,

2a2

又。2=b2+c2,

解得。=2,c=1,b=5/3,

22

所以橢的方程為工+工=1；

43

(H)設(shè)直線/的斜率為則)，=z(x-2),設(shè)81%,%)，

y=^(x-2)

由,2得(4公+3卜2―16〃尤+1622-12=0,

T+T-1

解得x=2,或x二次8/_6

由題意得4=

4/?34k213

-\2k

從而)2=

4公+3

由(I)知，*1,0),設(shè)

力」9-4-12k、

所以切=(一1,%)'[4F+3'4F+3,

因?yàn)樯纤訠RH巨=0,

4公—9126%9一4公

所以

4二+3,4公+3=0,解得y

H12k

i

所以直線的方程為），=-士1+=g-4^k2

k\2k

y=k^x-2)20k2+9

設(shè)由.y=_lx+2z絲1消去兒解得“12佯+1)，

“ki2k

在AMAO中，ZMOA<ZMAO<=>|AM|<\MO\,

即（“-2）2+加2

20公+9-

所以H，即