高等代數(shù)課件：正交變換

2n維歐氏空間的正交變換第四節(jié)正交變換1一般歐式空間的正交變換1、定義即，歐氏空間V的線性變換如果保持向量的內(nèi)積不變，則稱為正交變換.注意歐氏空間中的正交變換是幾何空間中保持長(zhǎng)度不變的正交變換的推廣.一、一般歐式空間的正交變換2、歐氏空間中的正交變換的刻劃下述命題是等價(jià)的：（定理）設(shè)是歐氏空間V的一個(gè)線性變換.（3）保持向量間的距離不變，即（2）保持向量長(zhǎng)度不變，即（1）是正交變換；一、一般歐式空間的正交變換證：首先證明（1）與（2）等價(jià)．即，兩邊開方得，若是正交變換，則2、歐氏空間中的正交變換的刻劃一、一般歐式空間的正交變換有，①②若保持向量長(zhǎng)度不變，則對(duì)③2、歐氏空間中的正交變換的刻劃一、一般歐式空間的正交變換把③展開得，再由①②即得，是正交變換．2、歐氏空間中的正交變換的刻劃一、一般歐式空間的正交變換再證明（2）與（3）等價(jià)．故（3）成立.2、歐氏空間中的正交變換的刻劃一、一般歐式空間的正交變換若則有，即，故（2）成立.2、歐氏空間中的正交變換的刻劃一、一般歐式空間的正交變換1、

維歐氏空間中的正交變換是保持標(biāo)準(zhǔn)正交基不變的線性變換．是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，則也是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基.（1）若是維歐氏空間V的正交變換，證：由正交變換的定義及標(biāo)準(zhǔn)正交基的性質(zhì)即有，二、n歐式空間的正交變換（2）若線性變換使V的標(biāo)準(zhǔn)正交基變交變換．成標(biāo)準(zhǔn)正交基，則為V的正證：任取設(shè)由為標(biāo)準(zhǔn)正交基，有二、n歐式空間的正交變換故是正交變換．又由于為標(biāo)準(zhǔn)正交基，得二、n歐式空間的正交變換2、

維歐氏空間V中的線性變換是正交變換在任一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣．證：設(shè)為V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，且二、n歐式空間的正交變換的標(biāo)準(zhǔn)正交基，當(dāng)是正交變換時(shí)，由1知也是V而由標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過(guò)渡矩陣是正交矩陣.所以，A是正交矩陣．二、n歐式空間的正交變換設(shè)為V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，且再由

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即得為正交變換．由于當(dāng)A是正交矩陣時(shí)，也是V的即，標(biāo)準(zhǔn)正交基，二、n歐式空間的正交變換（1）正交變換的逆變換是正交變換；（2）正交變換的乘積還是正交變換．3、歐氏空間V的正交變換是V到自身的同構(gòu)映射．因而有，（由同構(gòu)的對(duì)稱性可得之）（由同構(gòu)的傳遞性可得之）二、n歐式空間的正交變換4、維歐氏空間中正交變換的分類：設(shè)維歐氏空間V中的線性變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基（1）如果則稱為第一類的；

（2）如果則稱為第二類．下的矩陣是正交矩陣A，則二、n歐