高等代數(shù)課件：正交變換

2n維歐氏空間的正交變換第四節(jié)正交變換1一般歐式空間的正交變換1、定義即，歐氏空間V的線性變換如果保持向量的內(nèi)積不變，則稱為正交變換.注意歐氏空間中的正交變換是幾何空間中保持長度不變的正交變換的推廣.一、一般歐式空間的正交變換2、歐氏空間中的正交變換的刻劃下述命題是等價(jià)的：（定理）設(shè)是歐氏空間V的一個(gè)線性變換.（3）保持向量間的距離不變，即（2）保持向量長度不變，即（1）是正交變換；一、一般歐式空間的正交變換證：首先證明（1）與（2）等價(jià)．即，兩邊開方得，若是正交變換，則2、歐氏空間中的正交變換的刻劃一、一般歐式空間的正交變換有，①②若保持向量長度不變，則對(duì)③2、歐氏空間中的正交變換的刻劃一、一般歐式空間的正交變換把③展開得，再由①②即得，是正交變換．2、歐氏空間中的正交變換的刻劃一、一般歐式空間的正交變換再證明（2）與（3）等價(jià)．故（3）成立.2、歐氏空間中的正交變換的刻劃一、一般歐式空間的正交變換若則有，即，故（2）成立.2、歐氏空間中的正交變換的刻劃一、一般歐式空間的正交變換1、

維歐氏空間中的正交變換是保持標(biāo)準(zhǔn)正交基不變的線性變換．是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，則也是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基.（1）若是維歐氏空間V的正交變換，證：由正交變換的定義及標(biāo)準(zhǔn)正交基的性質(zhì)即有，二、n歐式空間的正交變換（2）若線性變換使V的標(biāo)準(zhǔn)正交基變交變換．成標(biāo)準(zhǔn)正交基，則為V的正證：任取設(shè)由為標(biāo)準(zhǔn)正交基，有二、n歐式空間的正交變換故是正交變換．又由于為標(biāo)準(zhǔn)正交基，得二、n歐式空間的正交變換2、

維歐氏空間V中的線性變換是正交變換在任一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣．證：設(shè)為V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，且二、n歐式空間的正交變換的標(biāo)準(zhǔn)正交基，當(dāng)是正交變換時(shí)，由1知也是V而由標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣是正交矩陣.所以，A是正交矩陣．二、n歐式空間的正交變換設(shè)為V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，且再由

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即得為正交變換．由于當(dāng)A是正交矩陣時(shí)，也是V的即，標(biāo)準(zhǔn)正交基，二、n歐式空間的正交變換（1）正交變換的逆變換是正交變換；（2）正交變換的乘積還是正交變換．3、歐氏空間V的正交變換是V到自身的同構(gòu)映射．因而有，（由同構(gòu)的對(duì)稱性可得之）（由同構(gòu)的傳遞性可得之）二、n歐式空間的正交變換4、維歐氏空間中正交變換的分類：設(shè)維歐氏空間V中的線性變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基（1）如果則稱為第一類的；

（2）如果則稱為第二類．下的矩陣是正交矩陣A，則二、n歐