向量的數(shù)乘-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)

湘教版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第1章平面向量及其應(yīng)用1.3向量的數(shù)乘問(wèn)題引入問(wèn)題：我們可用一把尺子去度量所有線段的長(zhǎng)度，也就是把每條線段的長(zhǎng)度寫(xiě)成這把尺子的非負(fù)實(shí)數(shù)倍.如果把某個(gè)向量看作一把尺子，能用這把向量尺子去度量平面上的所有向量嗎？如果不能，它可以度量平面內(nèi)哪些向量呢？新知學(xué)習(xí)向量的數(shù)乘求向量的實(shí)數(shù)倍的運(yùn)算稱為向量的數(shù)乘.思考：如何確定的大小與方向？我們把向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱向量的線性運(yùn)算.（向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量）

典例精析練習(xí)鞏固下列運(yùn)算中正確的個(gè)數(shù)是（

C

）①（－3）·2

a

＝－6

a

；②2（

a

＋

b

）－（2

b

－

a

）＝3

a

；③（

a

＋2

b

）－（2

b

＋

a

）＝0.A.0B.1C.2D.3解析：根據(jù)向量數(shù)乘運(yùn)算和加減運(yùn)算法則知①②正確；③（

a

＋2

b

）－（2

b

＋

a

）＝

a

＋2

b

－2

b

－

a

＝0，是零向量，而不是0，所以該運(yùn)算錯(cuò)誤.所以運(yùn)算正確的

個(gè)數(shù)為2.故選C.C新知學(xué)習(xí)共線向量?jī)蓚€(gè)向量平行規(guī)定：零向量與所有的向量平行.其中一個(gè)向量是另一個(gè)向量的實(shí)數(shù)倍對(duì)于線段AB與CD,如果存在實(shí)數(shù)λ，使得CD=λAB,則AB與CD共線或平行.典例精析[典例]已知

e

1，

e

2是兩個(gè)不共線的向量，

a

＝2

e

1－

e

2，

b

＝

ke

1＋

e

2，若

a

與

b

是共線向量，則實(shí)數(shù)

k

的值是

?.

－2

利用共線向量定理常解決的三種題型為：①證明三點(diǎn)共線；②利用共線求待定系數(shù)；

③判斷向量是否共線.在理解應(yīng)用時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：（1）定理本身包含了正反兩個(gè)方面：若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使

b

＝λ

a

（

a

≠0），則

a

與

b

共線；反之，若

a

（

a

≠0）與

b

共線，則必存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使

b

＝λ

a

.（2）若

a

，

b

不共線，且λ

a

＝μ

b

，則必有λ＝μ＝0.練習(xí)鞏固

新知學(xué)習(xí)向量的夾角

新知學(xué)習(xí)

典例精析[典例3]如圖，已知△

ABC

是等邊三角形.

[解]

（1）∵△

ABC

為等邊三角形，∴∠

ABC

＝60°，如圖，延長(zhǎng)

AB

至點(diǎn)

D

，使

AB

＝

BD

，

練習(xí)鞏固

練習(xí)鞏固

A.2a－bB.2b－aC.a－bD.b－a

B練習(xí)鞏固2.已知向量

a

＝

e

1＋λ

e

2，

b

＝2

e

1，λ∈R，且λ≠0，若

a

∥

b

，則（

D

）A.λ＝0B.e2＝0C.e1∥e2D.e1∥e2或e1＝0解析：當(dāng)

e

1＝0時(shí)，顯然有

a

∥

b

；當(dāng)

e

1≠0時(shí)，

b

＝2

e

1≠0.又

a

∥

b

，∴存在實(shí)數(shù)μ，使

a

＝μ

b

，即

e

1＋λ

e

2＝2μ

e

1，∴λ

e

2＝（2μ－1）

e

1.又λ≠0，∴

e

1∥

e

2.D練習(xí)鞏固--易錯(cuò)題[示例1]給出下列四個(gè)命題：①若｜

a

｜＝0，則

a

＝0；②若｜

a

｜＝｜

b

｜，則

a

＝

b

或

a

＝－

b

；③若

a

∥

b

，則｜

a

｜＝｜

b

｜；④

a

∥

b

，

b

∥

c

，則

a

∥

c

.其中，正確的命題有（

）A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)①忽略了0與0的區(qū)別，

a

＝0；②混淆了兩個(gè)向量的模相等和兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，兩個(gè)向量的模相等，只能說(shuō)明它們的長(zhǎng)度相等，它們的方向并不確定；③兩個(gè)向量平行，可以得出它們的方向相同或相反，不一定得到它們的模相等；④當(dāng)

b

＝0時(shí)，

a

，

c

可以為任意向量，故

a

不一定平行于

c

.A練習(xí)鞏固[示例2]下列命題正確的是（

）A.向量a，b共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λaB.在△ABC中，＋＋＝0C.不等式｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜中兩個(gè)等號(hào)不可能同時(shí)成立D.向量a，b不共線，則向量a＋b與向量a－b必不共線

[正解]

∵向量

a

與

b

不共線，∴

a

，

b

，

a

＋

b

與

a

－

b

均不為零向量.若

a

＋

b

與

a

－

b

平行，則存在實(shí)數(shù)λ，使

a

＋

b

＝λ（

a

－

b

），即（λ－1）

a

＝（1＋λ）

b

，

即

a

＋

b

與

a

－

b

不平行，故選D.D練習(xí)鞏固1.（多選）已知實(shí)數(shù)

m

，

n

和向量

a

，

b

，下列結(jié)論中正確的是（

ABD

）A.m（a－b）＝ma－mbB.（m－n）a＝ma－naC.若ma＝mb，則a＝bD.若ma＝na（a≠0），則m＝n解析：易知A和B正確；C中，當(dāng)

m

＝0時(shí)，

ma

＝

mb

＝0，但

a

與

b

不一定相等，故