高一下學期第一次月考數(shù)學試卷（基礎篇）【含答案解析】

2024-2025學年高一下學期第一次月考數(shù)學試卷（基礎篇）參考答案與試題解析第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．（5分）下面命題中，正確的是（

）A．若a=b，則a=b B．若C．若a=?b，則a//b 【解題思路】根據(jù)向量的概念逐一判斷【解答過程】對于A，若a=b，但兩向量方向不確定，則a=對于B，向量無法比較大小，故選項B錯誤；對于C，若a=?b，則兩向量反向，因此a//對于D，若a=0，則a=0故選：C.2．（5分）復數(shù)z=1?2i，則（A．z的實部為?1 B．z的虛部為?C．z的虛部為?2 D．z【解題思路】利用復數(shù)實部、虛部的定義逐項判斷得解.【解答過程】復數(shù)z=1?2i的實部為1，虛部為故選：C.3．（5分）已知向量a,b,c滿足a=b=1,c=A．π6 B．π3 C．2π【解題思路】由a+b+c=【解答過程】由a+b+∴a+c∴1=1+3+2×1×3cosa,c所以a與c的夾角為5π故選：D.4．（5分）復數(shù)z滿足(1+i)z=1?i（i為虛數(shù)單位），則復數(shù)z+1A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】應用復數(shù)除法求復數(shù)，即可得z+1=1?i【解答過程】z=1?i1+i=故選：D.5．（5分）在△ABC中，點D為線段BC的中點，點E滿足CE=2EA，若AB=λAD+μA．12 B．14 C．?1【解題思路】利用平面向量基本定理根據(jù)題意將AB用AD,BE表示出來，從而可求出【解答過程】因為點D為線段BC的中點，點E滿足CE=2所以AD=12消去AC，得2AD所以AB=所以λ=12，μ=?3故選：D．6．（5分）棣莫佛定理：若復數(shù)z=rcosθ+isinθ，則znA．?1 B．?12+32i【解題思路】變形得出12+3【解答過程】因為12所以，12故選：A.7．（5分）在日常生活中，我們有這樣的經(jīng)驗：兩個人共提一個旅行包，兩個拉力夾角越大越費力，夾角越小越省力.假設作用在旅行包上的兩個拉力分別為F1,F2，且|F1|=|F2|，設F1,FA．2π3 B．3π4 C．【解題思路】根據(jù)給定條件，求出cosθ【解答過程】由|G|=2|F1|cosθ2，所以θ=2故選：A.8．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，∠BAC=120°，c=2，b=1，D為BC邊上一點，且∠BAD=90°，則△ACD的面積為（

）A．34 B．35 C．36【解題思路】由已知可得12bcsin∠BAC=1【解答過程】因為在△ABC中，∠BAC=120°，又D為BC邊上一點，且∠BAD=90°，所以∠CAD=∠BAC?∠BAD=120°?90°=30°，又S△ABC=S所以12×1×2×3所以S△ACD故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．（6分）下列說法錯誤的是（

）A．兩個有共同起點且相等的向量，其終點可能不同B．若非零向量AB與CD是共線向量，則A,B,C,D四點共線C．若非零向量a與b共線，則aD．若a=b【解題思路】利用向量的定義、共線向量、向量相等、向量的模的概念進行確定即可．【解答過程】對于A，兩個有共同起點且相等的向量，其終點相同，A錯誤；對于B，如平行四邊形ABCD中，AB與CD共線，但A,B,C,D四點不共線，B錯誤；對于C，兩個非零向量共線，說明這兩個向量方向相同或相反，而兩個向量相等是說這兩個向量大小相等，方向相同，因而共線向量不一定是相等向量，但相等向量卻一定是共線向量，C錯誤；對于D，向量相等，即大小相等、方向相同，D正確．故選：ABC.10．（6分）已知虛數(shù)z滿足z=?12A．z的實部為?12 B．zC．z=1 D．z【解題思路】根據(jù)共軛復數(shù)概念寫出z，進而判斷各項的正誤.【解答過程】由z=?12所以z的實部為?12,zz在復平面內(nèi)對應的點(?1故選：ACD.11．（6分）已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列命題中，正確的命題是（

）A．若acosA=bcosB．若A=2B，則a=2bC．若AB=3，AC=2BC，則△ABC面積最大值為3D．B=2π3，角B的平分線BD交AC邊于D，且BD=3【解題思路】根據(jù)正弦定理和二倍角公式即可判斷AB；對C，利用余弦定理和二次函數(shù)性質(zhì)即可判斷；對D，根據(jù)三角形面積公式和乘“1”法即可判斷.【解答過程】對于A：若acosA=bcos即sin2A=sin2B，因為2A,2B∈(0,π即A=B或A+B=π2，所以對B，因為A=2B，則sinA=sin2B則根據(jù)正弦定理有a=2bcos對C，設BC=x,AC=2x，x+2x>32x?x<3則cosB=sinB=所以S=3當x2?5=0,x=5∈1,3對D，由題意可知，S△ABC由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得12化簡得ac=3(a+c)，即1a因此a+c=3(a+c)1當且僅當ca=ac，即a=c=6時取等號，即故選：BCD.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）復數(shù)z滿足z+z=z，則zz的實部為【解題思路】設z=a+bia,b∈R，根據(jù)復數(shù)相等可得3【解答過程】設z=a+bia,b∈R∴zz=a+bia故答案為：1213．（5分）已知△ABC中，AB=22,∠A=45°,D為BC上一點，且BD=2DC,BE⊥AC，垂足為E?43【解題思路】以E為坐標原點，EA,EB所以直線為x軸，y軸，建立平面直角坐標系，根據(jù)條件求出BE,【解答過程】如圖，以E為坐標原點，EA,EB所以直線為x軸，y軸，建立平面直角坐標系，因為AB=22,∠A=45°，BE⊥AC又BD=2DC，過D作DE⊥AC于F，易知DF//EB，所以DFBE得到DF=13BE=則BE=0,?2,故答案為：?414．（5分）圣·索菲亞教堂是哈爾濱的標志性建筑，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對稱之美．為了估算圣．索菲亞教堂的高度，某人在教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高約為36m，在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處測得建筑物頂A、教堂頂C的仰角分別是45°和60°，在建筑物頂A處測得教堂頂C的仰角為15°，則可估算圣．索菲亞教堂的高度CD約為54m．【解題思路】根據(jù)題意求得AM，在△AMC中由正弦定理求出CM，即可在直角△CDM中求出CD.【解答過程】由題可得在直角△ABM中，∠AMB=45°，AB=36，所以在△AMC中，∠AMC=180°?所以∠ACM=180°?75°?60°=45°，所以由正弦定理可得AMsin45°則在直角△CDM中，CD=CM?sin即圣·索菲亞教堂的高度約為54m.故答案為：54m.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．（13分）設m∈R，復數(shù)z=(1)求m為何值時，z為純虛數(shù)；(2)若復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限，求m的取值范圍.【解題思路】（1）根據(jù)純虛數(shù)的概念即可列出方程，進而求解即可；（2）復平面內(nèi)的點位于第四象限，則橫坐標大于0，同時縱坐標小于0，據(jù)此列出不等式求解即可.【解答過程】（1）由m2?5m+6=0解得m=2或當m=2時，z=?2i當m=3時，z=0為實數(shù)，所以m=2.（2）因為z=m所以m2?5m+6>0m16．（15分）已知平面向量a、b滿足a=4，b=8，a與b的夾角為(1)求a?(2)當實數(shù)k為何值時，a+k【解題思路】（1）利用平面向量的數(shù)量積的運算性質(zhì)進行運算即可；（2）根據(jù)條件得a+k【解答過程】（1）因為a=4，b=8，a與b的夾角為所以a?所以a?（2）因為a+k所以a+k化為k2+3k?1=0，解得17．（15分）如圖，在等腰梯形ABCD中，2AD=2DC=2CB=AB=6，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，BF與DE交于點M．(1)令AE=a，AD=b，用a，(2)求線段AM的長．【解題思路】（1）由向量的線性運算求解；（2）利用M,E,D三點共線，M,B,F三點共線，求得AM=13AB+【解答過程】（1）∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，∴BF=（2）設AM=x∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，所以AM=x因為M,E,D三點共線，M,B,F三點共線，所以2x+y=1x+2y=1，解得x=即AM=由已知CD與BE平行且相等，因此CDEB是平行四邊形，所以DE=CB=AD=AE=3，△ADE是等邊三角形，AM2=AM218．（17分）已知關于x的實系數(shù)一元二次方程x2(1)若方程有一個根1+2i（i是虛數(shù)單位），求(2)若方程有兩虛根x1,x2，且【解題思路】（1）由已知條件得1?2（2）先設x1【解答過程】（1）由題意可知1?2所以1?2所以k=3.（2）設x1則由題意x1+x所以a=1,b所以x1解得k=1319．（17分）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S為△ABC的面積，且2S=a(1)求sinA+2(2)已知a=2，求△ABC的面積的最大值.【解題思路】（1）利用三角形面積公式