2022年中考數(shù)學(xué)試題分項匯編：特殊的平行四邊形（解析版）

專題13特殊的平行四邊形

選擇題

1.（2022?陜西）在下列條件中，能夠判定nABCD為矩形的是（）

A.AB=ACB.AC1.BDC.AB=ADD.AC=BD

【答案】D

【分析】根據(jù)矩形的判定定理逐項判斷即可.

【詳解】當A8=AC時，不能說明nABCD是矩形，所以A不符合題意；

當AC0BD時，nABCD是菱形，所以B不符合題意；

當AB=AD時，DA3C￡＞是菱形，所以C不符合題意；

當AC=BD時，是矩形，所以D符合題意.故選：D.

【點睛】本題主要考查了矩形的判定，掌握判定定理是解題的關(guān)鍵.有一個角是直角的平行四邊形是矩形;

對角線相等的平行四邊形是矩形.

2.（2022?湖南衡陽）下列命題為假命題的是（）

A.對角線相等的平行四邊形是矩形B.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

C.有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是正方形D.有一組鄰邊相等的矩形是正方形

【答案】C

【分析】根據(jù)矩形、菱形、正方形判定方法，一一判斷即可.

【詳解】解：A、對角線相等的平行四邊形是矩形，是真命題，本選項不符合題意.

B、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，是真命題，本選項不符合題意.

C、有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形可能是長方形，是假命題，應(yīng)該是矩形，推不出正方形，本選項符合題

D、有一組鄰邊相等的矩形是正方形，是真命題，本選項不符合題意.故選：C.

【點睛】本題考查命題與定理，矩形、菱形、正方形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的判定

方法，屬于中考常考題型.

3.（2022?湖南懷化）下列說法正確的是（）

A.相等的角是對頂角B.對角線相等的四邊形是矩形

C.三角形的外心是它的三條角平分線的交點D.線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等

【答案】D

【分析】根據(jù)對頂角的概念、矩形的判定、三角形外心的定義和垂直平分線的性質(zhì)逐項判定即可得出結(jié)論.

【詳解】解：A、根據(jù)對頂角的概念可知，相等的角不一定是對頂角，故該選項不符合題意；

B、根據(jù)矩形的判定"對角線相等的平行四邊形是矩形"可知該選項不符合題意；

C、根據(jù)三角形外心的定義，外心是三角形外接圓圓心，是三角形三條邊中垂線的交點，故該選項不符合題

意；D、根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可知該選項符合題意；故選：D.

【點睛】本題考查基本幾何概念、圖形判定及性質(zhì)，涉及到對頂角的概念、矩形的判定、三角形外心的定

義和垂直平分線的性質(zhì)等知識點，熟練掌握相關(guān)幾何圖形的定義、判定及性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

4.（2022?重慶）如圖，在正方形ABCD中，AE平分交于點E,點尸是邊A3上一點，連接。尸，

若=則NCDb的度數(shù)為（）

A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°

【答案】C

【分析】先利用正方形的性質(zhì)得到=ZZMF=ZB=ZA￡)C=90°,ZR4C=45°,利用角平分線的

定義求得44E,再證得AABE絲ADIFX&LS),利用全等三角形的性質(zhì)求得NADb=/3AE=22.5。，最后利

用Z.CDF=ZADC-ZADF即可求解.

【詳解】解：???四邊形ABCD是正方形，

0AD=AB,ZDAF=ZB=ZADC=90°,ABAC=45°,

ElAE平分ZBAC交BC于點、E,

0ZBAE=-ABAC=22.5°,

2

在/XABE和△A4F中，

AD=AB

<ZDAF=ZB,

BE=AF

0△JJAF(SAS),

0Z4DF=ZR4E=22.5°,

0ZCDF=ZADC-ZADF=90°-22.5°=67.5°,故選：C

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及角平分線的定義，熟練掌握全等三角形

的判定方法是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?江蘇連云港）如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點4B、D恰好都落在點。處，

且點G、0、C在同一條直線上，同時點E、0、F在另一條直線上.小煒同學(xué)得出以下結(jié)論：①G用EC；②AB=

竽A。；③GE=&DF；④。C=20OF；（5）ACOf0ACEG.其中正確的是（）

A.①②③B.①③④C.①④⑤D.②③④

【答案】B

［分析岫折疊的性質(zhì)知回FGE=90。,fflGEC=90°，點G為AD的中點，點E為AB的中點，設(shè)AD=BC=2a,AB=CD=2b,

在RtACDG中，由勾股定理求得樂缶，然后利用勾股定理再求得。尸=尸0=:云，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)知國DGF=EIOGF,SAGE=SOGE,

a3FGE=EIOGF+EIOGE=；（回DGO+MGO）=90°,

同理回GEC=90°,I3G用EC；故①正確；

根據(jù)折疊的性質(zhì)知DG=GO,GA=GO,

團DG=GO=GA,即點G為AD的中點，同理可得點E為AB的中點，

設(shè)AD=8C=2a,AB^CD=2b,貝l|DG=GO=GA=a,0C=BC=2a,AE=BE=OE=b,EIGC=3a,

在R3CDG中，CG2=DG2+CD2,即（3。）2=。2+（2切2,助=伍，

財8=2、3=04。，故②不正確；

設(shè)DF=FO=x,則FC=2b-x,

在RtACOF中，CF2^OF2+OC2,

§P（2b-x）2=x2+（2a）2,

g-a1aa,----------l

nn12

取=--—=忑,即DF=FO=&,GE=yJa+b=^3a,

GEy/3a/-

0DF==V，I3GE=#DF；故③正確；

雙

"_2a_20

團市一五一，回。C=2夜。F；故④正確；

正

EEFC。與回GCE不一定相等，I3AC。用ACEG不成立，故⑤不正確；

綜上，正確的有①③④，故選：B.

【點睛】本題主要考查了折疊問題，解題時，我們常常設(shè)要求的線段長為X,然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)

用含X的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當?shù)闹苯侨切?，運用勾股定理列出方程求出答案.

6.（2022?四川達州）如圖，點E在矩形A3CD的A3邊上，將AADE沿DE翻折，點A恰好落在2C邊上的

點F處，若CD=3BF,BE=4,則AT＞的長為（）

A.9B.12C.15D.18

【答案】C

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AE=歷,AO=FD,設(shè)=%，則CD=3x,則AE=AB—3E=CD—3E=3x—4,

在RtABEF中勾股定理建列方程，求得無，進而求得CD,根據(jù)NBEF=NDFC,可得tanNBEF=tanZDFC,

DE1C'D

即一=—,求得/C=12,在RtaFCD中，勾股定理即可求解.

BEFC

【詳解】解：國四邊形ABCD是矩形，回AB=CD,ZB=ZC=90°,

將AADE沿DE翻折，點A恰好落在BC邊上的點F處，

FD=AD,EF=AE,/F.FD=ZA=90。，

VCD=3BF,BE=4,

^BF=x,貝?。軨D=3x,AE=AB—BE=CD—BE=3x-4,

在RtASEF中BE2+BF2=EF2，

即4?+/=（3尤一"2,解得％=3,8/=3,CZ）=9,

-.■ZEFD=ZA=90°,ZB=ZC=90°,：.ZBEF=90°-ZBFE=ZDFC,

BFCD39

??tan/BEF=tanNDFC,?-----------,——----,FC=12,

BEFC4FC

在Rt^FCZ）中，F(xiàn)D=YIFC2+CD2=15--AD=FD=15.故選C.

【點睛】本題考查了矩形與折疊的性質(zhì)，正切的定義，勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題的

關(guān)鍵.

7.（2022?四川遂寧）如圖，正方形4BCD與正方形BEFG有公共頂點B,連接EC、GA,交于點。，GA與BC

交于點P,連接OD、OB,則下列結(jié)論一定正確的是（）

①EC0AG；②回。BPEECAP；③。B平分EICBG；④回400=45°；

A.①③B.①②③C.②③D.①②④

【答案】D

【分析】由四邊形A8CD、四邊形8EFG是正方形，可得△ABGH3CBE（SAS）,即得自a4G=EIBC￡,即可證明EIPOC=90°,

可判斷①正確；取AC的中點K,可得AK=CK=0K=BK,即可得EIBOA=I3BCA,從而△OBPH3cAP,判斷②正確，

由EMOC=&4DC=90。，可得A、0、C、。四點共圓，而AD=CD,故B4OO=I3C>OC=45。，判斷④正確，不能證明

0B平分EICBG,即可得答案.

【詳解】解：回四邊形A8C。、四邊形BEFG是正方形,

B1AB=BC,BG=BE,ELABC=9O°=0GB￡,0E/1BC+0CBG=[3GBE+0CBG,^^\ABG=SEBC,

EIMBGEBCBE(SAS),^S\BAG=SBCE,EBft4G+蜘PB=90°,EEBC￡+a4PB=90°,

00BCE+BOPC=9O°,I2HPOC=90。，EIE函AG,故①正確；取AC的中點K,如圖:

E

在RQAOC中，K為斜邊AC上的中點，SAK=CK=OK,在RtAABC中，K為斜邊AC上的中點，

I3AK=CK=BK,B1AK=CK=OK=BK,EM、8、。、C四點共圓，^3\BOA=^BCA,

^BBPO^CPA,HUOBPaaCAP,故②正確，

EIIMOC=MDC=90°,0EMOC+ELADC=18O°,回40、C、。四點共圓，

EMD=CD,0EMOD=0DOC=45°,故④正確，

由已知不能證明。8平分OCBG,故③錯誤，故正確的有：①②④，故選：D.

【點睛】本題考查正方形性質(zhì)及應(yīng)用，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，四點共圓等知識，解題的關(guān)鍵是取

AC的中點K,證明AK=CK=OK=BK,從而得到A、B、0、C四點共圓.

8.（2022?山東濱州）正方形A3CD的對角線相交于點。（如圖1）,如果ZBOC繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn),

其兩邊分別與邊4民BC相交于點￡、F（如圖2）,連接ER那么在點E由3到A的過程中，線段EF的中點

G經(jīng)過的路線是（）

圖1圖2

A.線段B.圓弧C.折線D.波浪線

【答案】A

【分析】連接OG,BG,根據(jù)題意可知NEBF=ZEOF=900則線段EF的中點G經(jīng)過的路線是OB的線段垂

直平分線的一段，即線段

【詳解】連接OG,BG,根據(jù)題意可知=尸=90。，

：.OG=BG=^EF,回點G在線段OB的垂直平分線上.

則線段EF的中點G經(jīng)過的路線是。3的線段垂直平分線的一段，即線段.故選：A.

【點睛】本題考查了線段垂直平分線的判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，正方形的性質(zhì)，

掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

9.（2022?四川瀘州）如圖，在邊長為3的正方形A3CD中，點E是邊上的點，且=過點E作

OE的垂線交正方形外角NCBG的平分線于點尸，交邊BC于點連接O尸交邊8C于點N,則的長

為（）

【答案】B

【分析】在AD上截取AG=AE,連接GE,延長至H,使AH=CN，連接EN,可得出AEGDkAFBE（A&1）,

進而推出ADCN=ADHA（SAS）,ANDE=AHDE（SAS）,得出

EN=,設(shè)CN=x，則3N=3-x,用勾股定理求出硒=^BE2+BN2=,4+（3-療,由加=EH,可列方程

l+x=,4+（3—解出x,即CN的長，由正切函數(shù)，NADE=/BEMtan/ADE=；，求出8M的長，由

MN=3C-CV—即可得出結(jié)果.

【詳解】解：如圖所示：在AD上截取AG=AE,連接GE,延長BA至9使A8=CN,連接E/V,

AD=AB,AG=AE,DG=BE,

?「DE_LEF,ZDEF=90°,ZAED+ZBEF=90°,

?.?NAT>E+NA瓦>=90。，

/.ZADE=ZBEF,AG=AE,ZGAE=90°,

ZAGE=ZAEG=45°,/.ZEGD=135°,

?「BF為正方形外角ZCBG的平分線，

/.ZCBF=45°,/.ZEBF=90°+45°=135°,ZEDG=ZFBE,

/GDE=NBEF

在Z^GZ汨和△班戶中，\GD=BE,

ZEGD=ZFBE

：.^EGD=AFBE（ASA）9:.ED=FE,ZEDF=45°,ZCDN+ZADE=45°,

在RQEDC和Rt^HDA中，

DC=DA

:<ZDCN=ADAH，:.QCN=ADHA（SAS）,/.DN=DH,NCDN=ZADH,ZHDE=45°,

CN=AH

DN=DH

在△M）石和VHDE中，v</NDE=/HDE,,△NDE=AHDE（SAS）,：.EN=EH,

DE=DE

-,-BC=AB=3,3石=2A2A￡=l,3石=2,設(shè)C7V=羽貝IJ5N=3—x,

在RtJEN中,EN=^BE2+BN2=^4+（3-x）2,/.l+x=^4+（3-x）2,=

ZADE=ZBEM,tanZADE=/.tan/BEM=—=—=-,

3BE23

325

:.MN=BC-CN-BM=3------=—,故選：B.

236

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識.此題綜

合性很強，圖形比較復(fù)雜，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的準確選擇.

10.（2022?山東泰安）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=3,3c=4.點P是線段BC上一動點，點M為線

段AP上一點.ZADM=ZBAP,則的最小值為（）

12_3

B.—C.A/13——D.A/13—2

5

【答案】D

【分析】證明/WD=90°,得出點M在。點為圓心，以A。為半徑的園上，從而計算出答案.

【詳解】設(shè)AD的中點為。，以。點為圓心，A。為半徑畫圓

回四邊形ABCD為矩形團ZBAP+ZMAD=90°

0ZADM=ZH4P0ZMAD+ZADM=90°EZAMD=90°

回點M在。點為圓心，以A。為半徑的園上連接OB交圓。與點N

團點B為圓。外一點回當直線BM過圓心。時，BM最短

BO2AB2+AO2,AO=gAO=2團50?=9+4=13m30=拒

EIBN=BO-AO=M-2故選：D.

【點睛】本題考查直角三角形、圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形和圓的相關(guān)知識.

11.（2022?四川德陽）如圖，在四邊形A3CD中，點E,F,G,H分別是A3,BC,CD,ZM邊上的中

點，則下列結(jié)論一定正確的是（)

B.四邊形EFGH的內(nèi)角和小于四邊形ABC。的內(nèi)角和

C.四邊形EFG8的周長等于四邊形A3CD的對角線長度之和

D.四邊形"網(wǎng)"/的面積等于四邊形ABCZ）面積的7

【答案】C

【分析】連接ACBO,根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)==EF=HG=]-AC,

22

EF//AC//HG,EH//BD//FG,繼而逐項分析判斷即可求解.

【詳解】解：連接4C,8￡）,設(shè)交于點。，

,??點E,F,G,H分別是AB,BC,CD,ZM邊上的中點，

EH=FG=-BD,EF=HG=-AC,EF//AC//HG,EH//BD//FG

22

A.四邊形EFGH是平行四邊形，故該選項不正確，不符合題意；

B.四邊形EFGF7的內(nèi)角和等于于四邊形A3c。的內(nèi)角和，都為360。，故該選項不正確，不符合題意；C,四

邊形力G”的周長等于四邊形ABCD的對角線長度之和，故該選項正確，符合題意；

D.四邊形屏GH的面積等于四邊形A3CD面積的故該選項不正確，不符合題意；故選C

【點睛】本題考查了中點四邊形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，掌握三角形中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.（2022?四川自貢）如圖，菱形A8CD對角線交點與坐標原點。重合,點A（-2,5）,則點C的坐標為（)

A.（5,—2）B.（2,-5）C.（2,5）D.（—2,—5）

【答案】B

【分析】根據(jù)菱形的中心對稱性，4C坐標關(guān)于原點對稱，利用橫反縱也反的口訣求解即可.

【詳解】團菱形是中心對稱圖形，且對稱中心為原點，

刖、C坐標關(guān)于原點對稱，配的坐標為（2,-5）,故選C.

【點睛】本題考查了菱形的中心對稱性質(zhì)，原點對稱，熟練掌握菱形的性質(zhì)，關(guān)于原點對稱點的坐標特點

是解題的關(guān)鍵.

13.（2022?重慶）如圖，在正方形A3CD中，對角線AC、相交于點O.E、F分別為AC、3D上一點，

且OE=O尸，連接AF,BE,EF.若NAFE=25。，則NC3E的度數(shù)為（）

A.50°B.55°C.65°D.70°

【答案】C

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)證明加。用回BOE（SAS）,得至！JEIOBE=I3OAF,利用OE=OF,0EOF=9O0,求出

0OEF=E1OFE=45O,由此得至靦OAF=!3OEF-EMFE=20°,進而得到EICBE的度數(shù).

【詳解】解：在正方形ABCD中，AO=BO,EMOD=EWOB=90°,回CBO=45°,

^OE=OF,團刖。用岫。￡(SAS),EHOBE=EIOAF,

0OE=OF,0EOF=9O°,H3OEF=I3OFE=45",

0ZAFE=25°,SS\OAF=^OEF-^AFE=20°,

00CBE=ECBO+0OB￡=45°+2OO=65°,故選：C.

【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.（2022,湖北隨州）七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，如圖，在正方形紙板ABCD中，BD為對角

線，E,F分別為BC,C。的中點，分別交B。，EF于。，P兩點，M,N分別為BO,OC的中點，連

接AP,NF,沿圖中實線剪開即可得到一副七巧板，則在剪開之前，關(guān)于該圖形，下列說法：①圖中的三角

形都是等腰直角三角形；②四邊形MPEB是菱形；③四邊形PFDM的面積占正方形ABC。面積的:.正確

A.只有①B.①②C.①③D.②③

【答案】C

【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)和中位線定理證明圖中所有三角形是等腰直角三角形，再證明四邊形/WPEB

是平行四邊形但不是菱形，最后再證明四邊形PFDM的面積占正方形ABC。面積的!即可.

【詳解】解：回四邊形A8CD是正方形，

0ELABO=0/1DB=0CBD=0BDC=45O,^\BAD=^BCD=90°,

回MB。、ABCD是等腰直角三角形，

0AP±￡F,aa4PF=EMPE=90°,

團E，F(xiàn)分別為BC,CO的中點，

EIEF是ABCD的中位線，CE=BC,CF=^CD,S\CE=CF,

fflC=90°,ElACEF是等腰直角三角形，BEF//BD,EF=^BD,

0EMPE=EMOB=90°,^APF=SAOD=90°,

回△A8O、△/?0。是等腰直角三角形，

EMO=BO,AO=DO,0BO=DO,

回M,N分別為8。，。。的中點,

S\OM=BM=^BO,ON=ND=^DO,?OM=BM=ON=ND,

EEBA。=EIDA。=45°,團由正方形是軸對稱圖形，則A、P、C三點共線，PE=PF=EF=ON=BM=OM,

連接PC,如圖，

I3NF是△CDO的中位線，0NF"AC,NF=OC=^OD=ON=ND,

EBONF=180°-0COD=90°,^S\NOP=SOPF=0O/VF=9O",

回四邊形FNOP是矩形，12四邊形FNOP是正方形，

S\NF=ON=ND,甌DA/F是等腰直角三角形，

回圖中的三角形都是等腰直角三角形；故①正確，

SPE//BM,PE=BM,團四邊形MPEB是平行四邊形,

0BE=BC,BM=^OB,在Rt0O8C中，BOOB,

El四邊形/WPEB不是菱形；故②錯誤，

I3PC=PO=PF=O/W,EI/WOP=EICPF=90°,E0MOPEECPF(SAS),

國S四邊形PFOM=S四邊形73fB。+SAMOP=S四邊形PFOO+SACPF=^^COD=正方如8,故③正確，故選：C

【點睛】此題考查了七巧板，正方形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理、三

角形全等的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

15.（2022?湖北黃岡）如圖，在矩形ABCD中，AB<BC,連接AC,分別以點A,C為圓心，大于〈AC的長

為半徑畫弧，兩弧交于點M,N,直線MN分別交A。，BC于點E,F.下列結(jié)論：①四邊形AECF是菱形;

②EIAFB=2a4CB；③AC?EF=CF?CD；

④若AF平分鼬AC,則CF=2BF.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

M

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】根據(jù)作圖可得知N，AC,且平分AC,設(shè)AC與MN的交點為O,證明四邊形AEC尸為菱形，即

可判斷①，進而根據(jù)等邊對等角即可判斷②，根據(jù)菱形的性質(zhì)求面積即可求解.判斷③，根據(jù)角平分線

的性質(zhì)可得=根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】如圖，設(shè)AC與的交點為

根據(jù)作圖可得MNL4C,且平分AC,.140=0。，

???四邊形ABCD是矩形，:.AD//BC,:.ZEAO=ZOCF,

又?：ZAOE=NCOF,AO=CO,：.AAOE^COF,:.AE=FC,

?.?AE〃b，，四邊形AEC尸是平行四邊形，

??,八亞垂直平分AC,.?.￡4=EC,.?.四邊形AEC尸是菱形，故①正確；

（2）-.-FA=FC,..ZACB=ZFAC,：.^AFB=2^ACB；故②正確；

③由菱形的面積可得gAC?EF=CF?CD；故③不正確，

④?.?四邊形ABCD是矩形，NABC=90。，

若AF平分12aAC,FB±AB,FO1AC,則3尸=尸。，ZBAF=ZFAC,

ZFAC=ZFCA,ZBAF+ZFAC+ZFCA=90°,:.ZACB=30°,：.FO^-FC,

2

■：FO=BF,:.CF=2BF.故④正確；故選B

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形

的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

16.（2022?湖南邵陽）已知矩形的一邊長為6cm,一條對角線的長為10cm,則矩形的面積為.cm2.

【答案】48

【分析】如圖，先根據(jù)勾股定理求出=屈二=8cm，再由5矩.8=4"尤求解即可.

【詳解】解：在矩形ABCD中，BC=6cm,AC=10cm,

團在RtAABC中，AB=7102-62=8(cm)>

回S矩形MCD=^5xBC=8x6=48(cm2).

故答案為：48.

【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟知上述知識.

17.（2022?四川成都）如圖，在菱形A3CD中，過點。作。ELCD交對角線AC于點E,連接BE,點P是

線段BE上一動點，作P關(guān)于直線DE的對稱點P,點Q是AC上一動點，連接尸。，OQ.若隹=14,CE=18,

則DQ-P'Q的最大值為.

【答案】"##；忘

33

【分析】延長DE,交AB于點H,確定點B關(guān)于直線DE的對稱點F,由點B,D關(guān)于直線AC對稱可知QD=QB,

求初-0'最大，即求〃-8'最大，點Q,B,P共線時，QD-QP'=QB-QP'=BP',根據(jù)"三角形兩

邊之差小于第三邊”可得最大，當點P'與點F重合時，得到最大值.連接8D,即可求出CO,E0,再說明

NE0D:ND0C,可得DO,根據(jù)勾股定理求出DE,然后證明Va》:NBHD,可求8H,即可得出答案.

【詳解】延長。E,交AB于點H,

D

BAB\\CD9ED回CD,

團DH朋8.

取FH二BH,

團點P的對稱點在EF上.

由點8,。關(guān)于直線4:對稱，

回QD=Q8.

要求初-仍'最大，即求數(shù)-8'最大，點Q,B,P共線時，QD-QP=QB-QP=BP,根據(jù)〃三角形

兩邊之差小于第三邊〃可得5P最大，當點P與點F重合時，得到最大值BF.

連接BD,與4；交于點0.

[?LAE=14,CH=18,

MC=32,

團C0=16,E0=2.

回團EDO+回?！辍?90°,回EDO+回CDO=90°,

釀DEO二團CDO.

團團EOD二團。OC,

團NEOD:VDOC,

EODO

團—=—,

DOCO

即DO2=2x16=32,

解得￡>0=40,

QBD=2D0=8或■

在RtSDEO中，DE=4OE2+DO1=6.

^S\EDO=^BDH,0DOE=0DHS,

^NEOD:NBHD,

°E0DE

團———,

BHBD

26

即防二擊

解得即=逑，

3

^BF=2BH=.

3

故答案為：絲也.

3

【點睛】這是一道根據(jù)軸對稱求線段差最大的問題，考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，相似

三角形的性質(zhì)和判定等，確定最大值是解題的關(guān)鍵.

18.（2022?陜西）如圖,在菱形ABCD中，AB=4,BD=7.若M、N分別是邊仞、3C上的動點，且AM=冊，

作ME_LBD,NF_LBD,垂足分別為E、F,則ME+NF的值為.

【答案】叵

2

【分析】連接AC交BD于點。，過點M作/WG〃B。交AC于點G,則可得四邊形MEOG是矩形，以及

AAGM=ABFN,從而得NF=AG,ME=OG,NR+ME=AO,運用勾股定理求出A。的長即可.

【詳解】解：連接AC交B。于點。，如圖，

回四邊形4BCD是菱形，

17

M0Z18D,BO=-BD=-,AD//BC.

團ZADB=NCBD,ZAOD=90°,

7

在RtAABO中，48=4,80=-,

2

^\AB2=BO2+AO\

回AO=y/AB2-BO2=卜2一[]=乎,

過點M作MG//BD交AC于點G,

團ZAMG=NADB,ZMGO+ZMOG=90°,

團ZMGO=ZMGA=90°,

又ME1BD,

團NMEO=9。。,

團四邊形MEOG是矩形，

回ME=0G,

又NF1BD,

團NN尸3=90。，

@/NFB=ZAGM,

在AAf8和AAGM中，

ZNFB=ZAGM

<ZNBF=ZAMG,

BN=AM

團&VF8回A4GM

BNF=AGf

JL5

^\NF+ME=AG+OG=AO=—

2

故答案為半

【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解

答本題的關(guān)鍵.

19.（2022?四川自貢）如圖，矩形A5C。中，AB=4,BC=2,G是AD的中點，線段EF在邊AB上左右滑

動；若EF=L則G石+CF的最小值為

【答案】3亞

【分析】如圖，作G關(guān)于A8的對稱點G',在CD上截取CH=1,然后連接HG咬AB于E,在EB上截取EF=1,

此時GE+CF的值最小，可得四邊形EFC”是平行四邊形，從而得至UGH=EG，+EH=EG+CF,再由勾股定理求出

HG的長，即可求解.

【詳解】解：如圖，作G關(guān)于AB的對稱點G',在8上截取CH=L然后連接HG交AB于E,在EB上截取

EF=1,此時GE+CF的值最小，

團G'E=GE,AG=AG'f

團四邊形ABC。是矩形，

MB團CD,AD=BC=2

團CH回EF,

團CH=EF=1,

團四邊形EFCH是平行四邊形,

國EH二CF,

團G'H=EG'+EH=EG+CF,

財8=4,BC=AD=2,G為邊4?的中點,

^AG=AG'=1

SDG'=AD+AG'=2+1=3,DH=4-1=3,

回HG=y)DH2+DG'2=打+學(xué)=3也，

即GE+CF的最小值為3〃.

故答案為：3后

【點睛】此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識，確定GE+CF最小時E,

F位置是解題關(guān)鍵.

20.（2022?湖南婁底）菱形A3cZ）的邊長為2,NABC=45。，點尸、。分別是BC、8。上的動點，CQ+PQ

【答案】0

【分析】過點C作CE0AB于E,交8。于G,根據(jù)軸對稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知CE為FG+CG

的最小值，當P與點F重合，Q與G重合時，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解.

【詳解】解：如圖，過點C作CE0A8于E,交BD于G,根據(jù)軸對稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知

CE為FG+CG的最小值，當P與點F重合，Q與G重合時，PQ+QC最小,

???菱形ABCD的邊長為2,ZABC=45°,

.〔RtABEC中，EC=~BC=y/2

2

,PQ+QC的最小值為0故答案為：0

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，掌握軸對稱的性質(zhì)求線段和的最小值是解題

的關(guān)鍵.

21.（2022?甘肅武威）如圖，菱形ABCD中，對角線AC與3。相交于點。，若A3=2&cm,AC=4cm,

則BD的長為cm.

A

【答案】8

【分析】利用菱形對角線互相垂直且平分的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出答案即可.

【詳解】解：?.?菱形A3CD中，對角線AC,皿相交于點。，AC=4,

:.AC±BD,BO^OD=-BD,A0=0C^-AC=2

22

QAB=2A/5,

BO=jAB?-AO2=4,

:.BD=2BO=8,

故答案為：8.

【點睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握菱形的性質(zhì)，運用勾股定理解直角三

角形，是解題關(guān)鍵.

22.（2022?浙江溫州）如圖，在菱形A3CD中，AB=1,ZBAD=60°.在其內(nèi)部作形狀、大小都相同的菱形

AENW和菱形CGM/，使點E,F,G,H分別在邊AB,BC,CD,ZM上，點M,N在對角線AC上.若AE=3BE,

則MN的長為.

【答案】多曰

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)，可以求得AC、A/W和MN的長，然后即可計算出的長.

【詳解】解：連接。B交AC于點。，作于點/,作日MB交A8的延長線于點J,如圖所示，

D

^\AB=BC=CD=DA=1,團3心30°,AC^BD,

回是等邊三角形，

MC=2AO=若，

蜘E=3BE,

31

ME二一,BE=—,

44

回菱形AENH和菱形CGMF大小相同,

1

^\BE=BF=-,回FBJ=60°?

4

0E/=BF?sin6O°=-x—

42~82

0/W/=E/=—,

8

顯

什=￥=且

sin30j_4，

2

同理可得，CN=B,

4

^\MN=AC-AM-CN=y/3-

~4V5

故答案為：B.

2

【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是作出合適的輔助線，求出AC、

AM和MN的長.

23.（2022?四川達州）如圖，在邊長為2的正方形A3CD中，點E,F分別為AD,8邊上的動點（不與端

點重合)，連接BE,BF,分別交對角線AC于點P,Q.點E,F在運動過程中，始終保持NEBP=45。，連

接所，PF,PD.以下結(jié)論：①PB=PD；@ZEFD=2ZFBC；③尸。=尸4+。。；④ABP尸為等腰直

角三角形；⑤若過點B作垂足為M連接則的最小值為20-2.其中所有正確結(jié)

論的序號是—.

【答案】①②④⑤

【分析】連接8D,延長DA到M,使AM=CF,連接B/W,根據(jù)正方形的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)定理

即可判斷①正確；通過證明ABCF^BAM(SAS),AEBF=^EBM(SAS),可證明②正確；作ZCBN=ZABP,

交AC的延長線于K,在BK上截取BN=BP,連接CN,通過證明A4B尸三△CBN,可判斷③錯誤；通過證明

△BQP~￡QF,ABCQ~APFQ,利用相似三角形的性質(zhì)即可證明④正確；當點8、H、。三點共線時，DH

的值最小，分別求解即可判斷⑤正確.

如圖1,連接BD,延長DA到M,使AM=CF,連接BM,

四邊形A8C。是正方形，

AC垂直平分BD,BA=BC,ZBCF=90°=ZBAD=ZABC,

：.PB=PD,NBCF=NBAM,NFBC=90。一NBFC,故①正確;

:.ABCF=^BAM(SAS),

ZCBF=ZABM,BF=BM,ZM=ZBFC,

ZEBF=45°,

:.ZABE+ZCBF=45°,

/.ZABE+ZABM=45°,

即=N石笈產(chǎn)，

???BE=BE,

.\AEBF=^EBM(SAS),

/.ZM=ZEFB,ZMEB=/FEB,

:.ZEFB=ZCFB,

/.ZEFD=180?！?ZEFB+ZCFB)=180。—2ZBFC,

/.ZEFD=2ZFBC,故②正確；

如圖2,作NCBN=ZABP,交4：的延長線于K,在BK上截取8心BP,連接CM

:.^ABP=^CBN,

:.ZBAP=ZBCN=45°,

?.?ZACB=45°f

.\ZNCK=90°,

「.NOVKwNK,即OVwCK,

.?.尸QwPA+CQ,故③錯誤；

如圖1,

,??四邊形ABC。是正方形，

/.ZEBF=/BCP=/FCP=45。,

?.?NBQP=NCQF,

.,.△BQP~^CQF,

.BQ=PQ

??CQ-FQ'

?.?ZBQC=ZPQFf

.'.^BCQ~△尸尸。,

ZBCQ=ZPFQ=45°,

:.ZPBF=ZPFB=45°,

:.ZBPF=90°,

，43尸尸為等腰直角三角形，故④正確；

如圖1,當點8、H、D三點共線時，?！钡闹底钚?，

BD=V22+22=242，

ZBAE=ZBHE=90°,BE=BE,

:.ABAE=^BHE(AAS),

:.BA=BH=2,

:.DH=BD-BH^2s/2-2,故⑤正確；

故答案為：①②④⑤.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判

定和性質(zhì)，熟練掌握知識點并準確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

24.(2022?安徽)如圖，四邊形ABCD是正方形，點E在邊A。上，aBEF是以E為直角頂點的等腰直角三角

形，EF,BF分別交C。于點M,N,過點F作A。的垂線交A。的延長線于點G.連接OF,請完成下列問題:

(1)NFDG=°；(2)若DE=1,DF=2也,則放V=.

【答案】45

【分析】(1)先證蜘8EEBGEF,得FG=4E=DG,可知EIDFG是等腰直角三角形即可知NOG度數(shù).

(2)先作FHI3CD于利用平行線分線段成比例求得MH；再作/WPI3DF于P,證13Mp甩EINHF,即可求得

的長度，MN=MH+NH即可得解.

【詳解】(1)回四邊形ABCD是正方形，

的4=90°,AB=AD,

0aABE+EMEB=9O°,

回FGMG,

團團G=M=90°,

加BEF是等腰直角三角形，

團8E二FE,團8EF=90°,

團MEB+團FEG=90°,

團團FEG二團EM,

在M8E和回GEF中,

'ZA=ZG

</ABE=ZGEF,

BE=EF

^\ABE^1GEF(AAS),

ME=FG,AB=GEf

?/在正方形ABCD中,AB=AD

:.AD=GE

BAD=AEWE,EG=DE+DG,

ME二DG二FG,

釀FDG二團DFG=45°.

故填：45°.

(2)如圖，作FH團C。于”，

如FHD=90°

團四邊形DGFH是正方形,

回DH=FH=DG=2,

^\AG//FHf

DEDM

團-----=-------,

FHMH

24

^\DM=-,MH=一,

33

作MP^\DF于P,

團回MDP=回DMP=45°,

WP=MP,

^DP2+MP2=DM2,

WP=MP=—,

3

團PF二逑

3

回回MFP+團MFH二團MFH+回NFH=45°,

回團MFP二團NFH,

團團MPF二團NHF=90°,

團團MP用回NHF,

V25行

MPPF

團---------------即--可二3，

NHHF

NH~2

2

國NH=1,

4226

⑦MN=MH+NH=-+-=——.

3515

,26

故r填：?5

【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)及判定以及相似三角形的性質(zhì)和判定，熟知相關(guān)知識點并能熟練運用,

正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

25.（2022?四川南充）如圖，正方形A3CD邊長為1,點E在邊4B上（不與A,B重合），將沿直線DE

折疊，點A落在點4處，連接4B,將AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90。得到連接AAAC4c.給出下列

四個結(jié)論：①地會△C%；②/ADE+NACB=45。；③點P是直線DE上動點，則CP+^P的最小

值為&;④當NADE=30。時，的面積土2叵.其中正確的結(jié)論是.

.（填寫序號）

6

DC

【答案】①②③

【分析】根據(jù)全等三角形判定即可判斷①；過。作DM回C4于M,利用等腰三角形性質(zhì)及折疊性質(zhì)得

I3ADE+B1CDM,再等量代換即可判斷②；連接AP、PC、AC,由對稱性知，PAi=PA,知P、A、C共線時取最

小值，最小值為AC長度，勾股定理求解即可判斷③；過點4作4M8于“，借助特殊角的三角函數(shù)值求

出BE,4H的長度，代入三角形面積公式求解即可判斷④.

【詳解】解：回四邊形ABCD為正方形,

MB=BC,MBC=90°,

由旋轉(zhuǎn)知，^AiBA2=90°fAIB=A2B,

^\ABAI=^\CBA29

團△4841回△CB/h,

故①正確；

過。作DM回C4于M,如圖所示,

由折疊知/。=4。=8,^ADE=^AiDE,

團DM平分團CD4,

回MDE+團CDM=45°,

又團8G41+團DCM=團COM+回DCM=90°,

釀861二團COM,

團MDE+團80^=45°,

故②正確；

連接AP、PC、AC,由對稱性知，PAFPA,

DC

即%I+PC=R4+PC,當P、A、C共線時取最小值，最小值為AC的長度，即為應(yīng),

故③正確；

過點4作4HM8于H,如圖所示，

EE/WE=30",

ELAE=tan300-/lD=—,DE=—,

33

^BE=AB-AE=1-—,

3

由折疊知回DEA=EIDE4=60°,AE=AiE=—：

3

0EMjEH=6Oo,

SAiH=AiE-sm600=工息」,

322

1j⑻13-6

x

ELVhBE的面積=jx,7=12

故④錯誤，

故答案為：①②③.

【點睛】本題考查了正方形性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、全等三角形的判定、折疊性質(zhì)及解直角三角形等知識

點，綜合性較強.

AD2

26.（2022?江蘇蘇州）如圖，在矩形ABC。中”;=g.動點M從點A出發(fā)，沿邊A。向點。勻速運動，動

BC3

點N從點B出發(fā)，沿邊BC向點C勻速運動，連接MN.動點M,N同時出發(fā)，點M運動的速度為匕，點N

運動的速度為V2,且4<%.當點/V到達點C時，M,/V兩點同時停止運動.在運動過程中，將四邊形/VL48/V

沿MN翻折，得到四邊形M42W.若在某一時刻,點B的對應(yīng)點9恰好在CD的中點重合，則-的值為

3

【答案】|

4