2015-2024年高考數(shù)學(xué)好題匯編：圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）小題綜合（解析版）

專題18圓舞曲餞

（摘圓、縱曲餞、魏麴俵J小泉除香

十年考情-探規(guī)律

考點十年考情(2015-2024)命題趨勢

考點1橢圓方程及2023?全國甲卷、2023?全國甲卷、2022?全國新I卷

其性質(zhì)2021?全國新I卷、2020?山東卷、2019?全國卷、2019?全國卷

（10年6考）2015?山東卷、2015?全國卷、2015?廣東卷、2015?全國卷

2024?天津卷、2023?全國甲卷、2023?全國乙卷、2023?天津卷

2023?北京卷、2022?全國甲卷、2022?全國甲卷、2022?北京卷1.熟練掌握橢圓、雙

2022?天津卷、202卜北京卷、2021?全國乙卷、2021?全國乙卷曲線、拋物線的方程

2021?全國新II卷、2020?北京卷、202卜全國甲卷、202。天津卷及其性質(zhì)應(yīng)用，是高

2020?浙江卷、2019?全國卷、2019?江蘇卷、2018?北京卷考高頻考點

考點2雙曲線方程2018?全國卷、2018?浙江卷、2018?全國卷、2018?全國卷2.熟練掌握橢圓和

及其性質(zhì)2018?天津卷、2017?天津卷、2017?天津卷、2017?全國卷雙曲線的離心率的求

（10年10考）2017?上海卷、2017?山東卷、2017?全國卷、2017?江蘇卷解及應(yīng)用，同樣是高

2016?江蘇卷、2016?北京卷、2016,浙江卷、2016?北京卷考熱點命題方向

2016?天津卷、2016?全國卷、2016?天津卷、2015?廣東卷3.熟練掌握直線與

2015?重慶卷、2015?天津卷、2015?安徽卷、2015?福建卷圓錐曲線的位置關(guān)

2015?江蘇卷、2015?浙江卷、2015?全國卷、2015?上海卷系，并會求解最值及

2015?上海卷、2015?全國卷、2015?北京卷范圍，該內(nèi)容也是命

2024?全國新H卷、2024?北京卷、2024?上海卷、2024?天津卷題熱點

2023?全國乙卷、2023?北京卷、2023?全國新H卷4.掌握曲線方程及

考點3拋物線方程2022?全國新H卷、2022?全國新I卷、2022?全國乙卷軌跡方程

及其性質(zhì)2021?全國新II卷、2021?北京卷、2021?全國卷、2020?北京卷

（10年10考）2020?全國卷、2019?全國卷、2019?北京卷、2018?北京卷

2018?全國卷、2017?全國卷、2017?天津卷、2017■全國卷

2016?浙江卷、2016?天津卷、2016?全國卷、2016?四川卷

1

2015?浙江卷、2015?全國卷、2015?陜西卷、2015?上海卷

2015?陜西卷

2023?全國新I卷、2022?全國甲卷、2022?全國甲卷

考點4橢圓的離心2021?全國乙卷、2021?浙江卷、2019?北京卷、2018?北京卷

率及其應(yīng)用2018?全國卷、2018?全國卷、2018?全國卷、2017?浙江卷

（10年8考）2017?全國卷、2016?浙江卷、2016?全國卷、2016?全國卷

2016?江蘇卷、2015?福建卷、2015?浙江卷

2024?全國甲卷、2024?全國新I卷、2023?全國新I卷

2023?北京卷、2022?全國乙卷、2022?全國甲卷、2022?浙江卷

2021?全國甲卷、2021?天津卷、2021?北京卷

2021?全國新II卷、2020?山東卷、2020?江蘇卷、2020?全國卷

考點5雙曲線的離2020?全國卷、2019?北京卷、2019?天津卷、2019?全國卷

心率及其應(yīng)用2019?全國卷、2019?全國卷、2018?江蘇卷、2018?北京卷

（10年io考）2018?北京卷、2018?全國卷、2018?天津卷、2017?天津卷

2017?全國卷、2017?全國卷、2017?全國卷、2017?北京卷

2016?山東卷、2016?浙江卷、2016?全國卷、2015?廣東卷

2015?湖南卷、2015?湖北卷、2015?全國卷、2015?山東卷

2015?山東卷、2015?山東卷、2015?湖南卷

2024?北京卷、2023?天津卷、2023?全國新H卷

考點6直線與圓錐

2022?全國新II卷、2021?全國甲卷、2021?全國乙卷

曲線的位置關(guān)系及

2020?全國卷、2020?全國卷、2020?全國卷、2020?全國卷

其應(yīng)用

2020?山東卷、2019?浙江卷、2019?全國卷、2018?全國卷

（10年10考）

2018?全國卷、2017?全國卷、2016?四川卷、2015?全國卷

考點7曲線方程及2024?全國新I卷、2024?全國新H卷、2021?浙江卷

曲線軌跡2020全國新I卷、2020?全國卷、2019?北京卷

（10年6考）2016?四川卷、2015?山東卷、2015?浙江卷

2021?全國乙卷、2021?全國乙卷、2021?全國新I卷

考點8圓錐曲線中

2020?全國卷、2018?浙江卷、2017?全國卷、2017?全國卷

的最值及范圍問題

2017?全國卷、2016?四川卷、2016?全國卷、2016?浙江卷

（10年6考）

2015?上海卷、2015?全國卷、2015?江蘇卷

2

分考點I精準(zhǔn)練

考點01橢圓方程及其性質(zhì)

1.（2023?全國甲卷?高考真題）設(shè)用匕為橢圓C:3+y2=l的兩個焦點，點?在C上，若尸耳?尸8=0,則

I吶?閘|=（）

A.1B.2C.4D.5

【答案】B

【分析】方法一：根據(jù)焦點三角形面積公式求出△尸片工的面積，即可解出；

方法二：根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理即可解出.

【詳解】方法一：因為兩?成=0,所以/%用=90。，

從而邑呻z=/tan450=l=；x|巴訃|尸閭，所以|尸巴上|尸閭=2.

故選：B.

方法二：

因為兩-A瓦=0,所以/%月=90°,由橢圓方程可知，c2=5-l=4nc=2,

所以歸國2+|尸閶2=閨閶2=42=]6,又忸片|+|尸閶=20=2括，平方得：

|尸耳「+|尸閶?+2|尸盟|尸典=16+2|尸不期=20,所以|尸功|尸引=2.

故選：B.

2.（2023?全國甲卷?高考真題）設(shè)。為坐標(biāo)原點，耳,且為橢圓C:二+片=1的兩個焦點，點P在C上，

96

3

cosZF^F,=-,貝！||OP|=（）

13V3014V35

A.—B.-irTC.—D.

5252

【答案】B

【分析】方法一：根據(jù)焦點三角形面積公式求出△咫工的面積，即可得到點P的坐標(biāo)，從而得出|。外的值;

方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出|尸公歸國,|對『+|尸用t再結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)量積即

可求出；

方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出|因『+|尸耳「，即可根據(jù)中線定理求出.

【詳解】方法一：設(shè)/公尸&=20,0＜。＜、，所以S—=及tan=-tan6,

cos20-sin201-tan20f解得:

由COSZFPF=cos20=tan8=一,

X2cos26+sin?01+tan202

3

由橢圓方程可知,a2=9,b2=6,c2=a2-b2=3,

所以，SWB=；X閨聞x"卜;X2GX|"=6X；,解得：才=3,

即x；=9x（l-）|,因叫沖=AV=M|=等.

故選：B.

方法二：因為|尸局+|尸石|=2a=6①，|小『+歸與「_2盧瑪歸用47與=山用2,

即附「+\PF2「-'叫朋|=12②，聯(lián)立①②，

解得：附歸國=與,陷「+|尸闖:21,

而所=；（西+麗），所以|。尸|=|所卜J西+麗

即西=；防+麗昌亞:+折成+延上》1+2X學(xué)〉「

故選：B.

方法三：因為|尸耳|+|尸閶=2°=6①，|產(chǎn)片「+忸閭2_2|尸引尸,cosN片尸工=|甲球,

即|「片『+|尸用2一mp用p國=12②，聯(lián)立①②，解得：|尸川+|尸園2=21，

由中線定理可知，（2|0尸『+|百鳥「=2（|尸團(tuán)2+|尸引）=42,易知閨閶=26，解得：|。尸|=粵.

故選：B.

【點睛】本題根據(jù)求解的目標(biāo)可以選擇利用橢圓中的二級結(jié)論焦點三角形的面積公式快速解出，也可以常

規(guī)利用定義結(jié)合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問題的方式解決，還可以直接用中線定理解決，難

度不是很大.

22

3.（2022?全國新I卷?高考真題）已知橢圓C:j+8=l（a>6>0）,C的上頂點為N,兩個焦點為耳，巴，

ab

離心率為g.過耳且垂直于AF2的直線與C交于D,￡兩點，IDE|=6,則vNOE的周長是.

【答案】13

22

【分析】利用離心率得到橢圓的方程為券+石=1,即3尤2+4/-12C2=0,根據(jù)離心率得到直線/修的斜

率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線OE的斜率，寫出直線DE的方程：x=43y-c,代入橢圓方程

1Q1Q

3X2+4/-12?=0,整理化簡得到：13必一6瓜"91=0,利用弦長公式求得C=（得a=2c=j根據(jù)對

稱性將VADE的周長轉(zhuǎn)化為△為。E的周長，利用橢圓的定義得到周長為4a=13.

4

1

【詳解】???橢圓的離心率為e=—c=7，???。=2。，.??/=/一，=3。2,.?,橢圓的方程為

a2

2,.2

己r+壬=1,即3x?+4y272c2=0,不妨設(shè)左焦點為耳，右焦點為名，如圖所示,

TT

VAF2-a,OB。=力，「?，?,?△”片工為正三角形，:過耳且垂直于4耳的直線與。交于

D,￡兩點，OE為線段/巴的垂直平分線，，直線OE的斜率為由，斜率倒數(shù)為石，直線OE的方程：

一3

x=—c,代入橢圓方程3d+4/_12c2=0,整理化簡得到：13y2-6Qcy-9c2=0,

判別式A=（6①『+4x13x91=62x16x02,

|皿="+（月回-刃=2、浮=2x6x4x1=6，

?13汨。13

..c=—,得。=2c=—,

84

為線段/外的垂直平分線，根據(jù)對稱性，AD=DF2,NE=E￡，.?.V/DE的周長等于△工DE的周長,

利用橢圓的定義得到△工。E周長為

。閭+歸閭+口￡|=|盟|+|EF21+|DFX|+|班卜|DF{\+\DF2+|￡耳|+|%|=2a+2a=4a=13.

故答案為：13.

4.（2021?全國新I卷?高考真題）已知片，月是橢圓C：1的兩個焦點，點”在C上，則|孫卜山

的最大值為（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

5

【分析】本題通過利用橢圓定義得到|町|+|即|=2。=6,借助基本不等式|町|.|幽|<|也"四］即

可得到答案.

【詳解】由題，/=9萬=4,則|孫|+|九碼=2。=6,

所以|孫卜|叫|狂肛］=9（當(dāng)且僅當(dāng)|町|=|此|=3時，等號成立）.

I2,

故選：C.

【點睛】

5.（2020?山東?高考真題）已知橢圓的長軸長為10,焦距為8,則該橢圓的短軸長等于（）

A.3B.6C.8D.12

【答案】B

【分析】根據(jù)橢圓中6,c的關(guān)系即可求解.

【詳解】橢圓的長軸長為10,焦距為8,

所以2〃=10,2c=8,可得Q=5,c=4f

所以〃=6/2-02=25-16=9，可得b=3,

所以該橢圓的短軸長26=6,

故選：B.

6.（2019?全國?高考真題）已知橢圓C的焦點為大（-1,0），7^（1,0）,過戶2的直線與。交于4,5兩點.若

|4閶=2|下周，|4間=|因|,則。的方程為

2222、.22.2

A.—+y2=1B.二+匕=1C.—+—=1D.—+—=1

2■324354

【答案】B

【分析】由已知可設(shè)優(yōu)到="，貝I/閶=2〃,忸用=以同=3〃，得M周=2〃，在八姐8中求得cos/片=

再在△/月月中，由余弦定理得〃=且，從而可求解.

2

【詳解】法一：如圖，由已知可設(shè)―邳=",則以閶=2〃,忸用=以同=3〃，由橢圓的定義有

2a=I+\BF21=4n,\AFX\=2a-\AF21=2n.在工8中，由余弦定理推論得

COS4N5=4〃~+9〃29〃2=L在△/居中，由余弦定理得4"2+4"2-227?2小工=4,解得〃

2-2?-3?332

2a=4n=2e,a=百,b2=a1—c1=3-1=2,.,.所求橢圓方程為土+匕=1,故選B.

32

法二：由已知可設(shè)內(nèi)用=〃,則閶=2%忸周=|/同=3〃，由橢圓的定義有

2〃=忸周+忸閶力胤=2a-\AF2\=2n.在與工和/\BFXF2中，由余弦定理得

6

4n2+4-2.2〃.2.cosNA￡耳=An2,

又ZAFF，/BF?F［互補(bǔ)，/.cosZAFF+cosZBFF=0兩式消去

/+4-2?〃?2?cos/B旦耳=9n22X2}2X

得：222

COSZAF2FX,COS/BBK，3/+6=11/,=.2a=4n=243,.\a=y/3,.\b=a-c=3-1=2

一一2

22

所求橢圓方程為上+匕=1，故選B.

32

【點睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實了直

觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

22

7.（2019?全國?高考真題）設(shè)與巴為橢圓。:寶+去=1的兩個焦點，”為C上一點且在第一象限.若工

為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為.

【答案】（3，4）

【分析】根據(jù)橢圓的定義分別求出|阿|、|"4|，設(shè)出M的坐標(biāo)，結(jié)合三角形面積可求出M的坐標(biāo).

【詳解】由已知可得/=36萬=20,=a?—/=16,c=4,

又W為C上一點且在第一象限，△肛居為等腰三角形，

.?.|阿卜⑶g|=2c=8.A\MF2\^4.

設(shè)點M的坐標(biāo)為（%>0,%>0）,則％^例用4。=4%,

22

又S△孫&=1X4XV8-2=4V15,.-.4y0=4Vi5,解得%=而，

.其?（巫）t,解得x0=3（%=-3舍去），

"3620

的坐標(biāo)為卜,后）.

【點睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實了直

觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

8.（2015?山東?高考真題）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，右焦點與圓Y+叩2-6加x-7=0的圓心重合，長軸

長等于圓的直徑，那么短軸長等于.

7

【答案】2幣

【分析】由于/+町2_6加x-7=0是圓，可得機(jī)=1,通過圓心和半徑計算6,c,即得解

【詳解】由于/+叼2-6〃zx-7=0是圓，:.m=\

即：圓f+「-6x-7=0

其中圓心為（3,0）,半徑為4

那么橢圓的長軸長為8,即c=3,a=4,6="2-2=近,

那么短軸長為2行

故答案為：2療

9.（2015?全國?高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點，離心率為：，E的右焦點與拋物線C:r=8x的

焦點

重合，48是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點，則

A.3B.6C.9D.12

【答案】B

【詳解】試題分析：拋物線/=8x的焦點為（2,0）,所以橢圓的右焦點為（2,0）,即c=2,且

￡=1,a=4,6=G-c1=橢圓的方程為片+片=1.拋物線準(zhǔn)線為x=-2,代入橢圓方程中得

a21612

/（一2,3）,8（-2,-3）,|/邳=6.故選B.

考點：1、拋物線的性質(zhì)；2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

22

（2。15?廣東?高考真題）已知橢圓》在1（m>0）的左焦點為耳（一4,0）,則加=

A.9B.4C.3D.2

【答案】C

【詳解】試題分析：根據(jù)焦點坐標(biāo)可知焦點在X軸，所以c：=16,又因為

耀，=料=一臚=!?#，解得-3，故選C.

考點：橢圓的基本性質(zhì)

22

（2。15?全國?高考真題）一個圓經(jīng)過橢圓版+號=】的三個頂點’且圓心在x軸的正半軸上’則該圓的標(biāo)

準(zhǔn)方程為.

【答案】（%與a+/W?s

24

8

QQ75

【詳解】設(shè)圓心為0），則半徑為4一。，則（4一。）2=/+22,解得。=；,故圓的方程為。一；）2+/=亍.

考點：橢圓的幾何性質(zhì)；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

考點02雙曲線方程及其性質(zhì)

22

1.（2024?天津?高考真題）雙曲線二-與=l（a>0,6>0）的左、右焦點分別為斗是雙曲線右支上一點,

ab

且直線尸月的斜率為2.△P￡區(qū)是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（）

A丁/B,cx2vDx?/

82842848

【答案】C

【分析】可利用△尸耳&三邊斜率問題與正弦定理，轉(zhuǎn)化出三邊比例，設(shè)|尸耳|=冽，由面積公式求出加，由

勾股定理得出c,結(jié)合第一定義再求出

【詳解】如下圖：由題可知，點尸必落在第四象限，/月尸月=90。，設(shè)|尸月|=機(jī)，

因為/用町=90。，所以心相&6=-1,求得細(xì)=二，即tan。2=；,

sin2=A，由正弦定理可得：|尸耳尸閭片閭=sin6j：sin%:sin90o=2:l:?,

則由|尸閶=加得盧耳|=2加，國居|=2C=V^M,

由S“g=J刊訃1Pgi=-2%=8得m=2后，

則戶引=20,|咫卜46E工卜2c=2瘋c=M,

由雙曲線第一定義可得：忸用-忸用=2“=2后，a=G,b=/2-$=志,

22

所以雙曲線的方程為二-匕=1.

28

故選：C

9

22

2.(2023?全國甲卷?高考真題)已知雙曲線C：A-4=l(a>0,b>0)的離心率為布，。的一條漸近線與圓

ab

(x-2y+(尸3>=1交于4,3兩點，則|/切=()

.V5?275「3囪n4有

5555

【答案】D

【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.

【詳解】由6=遙，則<=且妻=1+《=5,

aaa

解得2=2,

a

所以雙曲線的一條漸近線為y=2x,

則圓心(2,3)到漸近線的距離d==6,

所以弦長|4B|=2J以一/=27J=孚.

故選：D

3.(2023?全國乙卷?高考真題)設(shè)/,2為雙曲線V=1上兩點，下列四個點中，可為線段中點的是

()

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1,-4)

【答案】D

【分析】根據(jù)點差法分析可得內(nèi)=9,對于A、B、D：通過聯(lián)立方程判斷交點個數(shù)，逐項分析判斷；對

于C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.

【詳解】設(shè)/(4乂),川馬/2)，則的中點”]土產(chǎn),無匹;

可得心8=

$+%2

2

2_2

因為48在雙曲線上，則兩式相減得(X；-考)-叢薩=°-

所以原展左=三捺=9.

對于選項A：可得左=1,左”=9,貝1]/8:了=9龍-8,

10

y=9x-S

聯(lián)立方程2/消去y得72——2X72X+73=0,

x---二1

9

止匕時A=(-2x72)2-4x72x73=—288<0,

所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤;

995

對于選項B：可得k二一2火旗二一5,貝!J—萬

95

y=——x—

22

聯(lián)立方程，消去y得45X2+2X45X+61=0,

x2人］

9

止匕時A=(2x45)2-4x45x61=-4x45xl6<0,

所以直線48與雙曲線沒有交點，故B錯誤;

對于選項C：可得左=3,^=3,貝!J48:y=3x

由雙曲線方程可得。=1,6=3,貝1］/8：歹=3尤為雙曲線的漸近線,

所以直線48與雙曲線沒有交點，故C錯誤;

997

對于選項D：k=4,kAB“則曲y寸一“

97

y=—x——

44

聯(lián)立方程，消去y得63/+126X-193=0,

x2*4

此時A=126?+4x63x193>0,故直線A8與雙曲線有交兩個交點，故D正確;

故選：D.

22

4.（2023?天津?高考真題）已知雙曲線三-4=1（4>0,6>0）的左、右焦點分別為耳、F2.過石向一條漸近

abI

直線冏的斜率為字，則雙曲線的方程為（）

線作垂線，垂足為乙若歸用=2,

2

A——Bx/1

8448

2222

C.上-匕=1D.匕-匕=1

4224

【答案】D

ebb...,

【分析】先由點到直線的距離公式求出6,設(shè)/尸由tan6=.=［得至|］］。尸］=。，|OR|=c.再由

受，解出。，代入雙曲線的方程即可得到答案.

三角形的面積公式得到力，從而得到知,則可得到

a2+24

11

【詳解】如圖,

XpWK*

因為乙（c,0）,不妨設(shè)漸近線方程為y=2X，即云-做=0,

a

所以%=/22==1），

\a+bc

所以b=2.

\PFIbh

設(shè)/POR=e,則tane=b^=西=,,所以|O尸|=a,所以|。閭=°.

因為M11=$?處,所以處=竺h，所以tan6="=￡=2,所以%=土2，

cc

一xpxpa

所以尸[S],

1。c）

因為片（—GO）,

ab

ab2aaV2

c22222

所以左兩一/-a+c~a+a+4^a+2~41

---VC

c

所以收d+2）=4%解得0=后，

所以雙曲線的方程為工-乙=1

24

故選：D

5.（2022?天津?高考真題）已知拋物線r=47^,片,且分別是雙曲線=1（。>0,6>0）的左、右焦點，拋

ab

TT

物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點耳，與雙曲線的漸近線交于點/,若/用*4=二，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

4

A.---/=1B./-匕=1

10.16

22

C.Y—匕=1D.--/=1

44

【答案】C

12

【分析】由已知可得出C的值，求出點A的坐標(biāo)，分析可得M周=|百耳由此可得出關(guān)于。、b、C的方程

組，解出這三個量的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】拋物線『=4后的準(zhǔn)線方程為x=-右，則c=?,則川-氐0）、與心,0）,

bx=-c

不妨設(shè)點A為第二象限內(nèi)的點，聯(lián)立:一a可得be,即點4

）二一

x=-cIa

TT

因為/月，片居且/耳乙/==,則△片工/為等腰直角三角形,

且卜耳［=|4周,HP—=2c,可得2=2,

aa

aa=\

2

所以，。=6,解得6=2,因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為——匕=i.

c2=a2+b2c=、氏4

故選：C.

22

6.（2021?北京?高考真題）若雙曲線0：會一*1離心率為2,過點（在內(nèi)），則該雙曲線的方程為（）

A.2x2-V2=1B.x2--=lC.5x2-3/=lD.---匕=1

326

【答案】B

【分析】分析可得6=百“，再將點（0,內(nèi)）代入雙曲線的方程，求出。的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】???e=￡=2,貝h=2a,6=怎，則雙曲線的方程為二一二=1,

2

aa3a2

將點（后,的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得1,解得。=1,故b=#）,

因此，雙曲線的方程為/-且=1.

3

故選：B

7.（2021?全國甲卷?高考真題）點（3,0）到雙曲線［-4=1的一條漸近線的距離為（）

169

9864

A.—B.-C.—D.一

5555

【答案】A

【分析】首先確定漸近線方程，然后利用點到直線距離公式求得點到一條漸近線的距離即可.

22

【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為：二-匕=0,即3x±4y=0,

169

13

結(jié)合對稱性，不妨考慮點（3,0）到直線3x+4y=0的距離：d=^===-.

故選：A.

8.（2020?天津?高考真題）設(shè)雙曲線C的方程為二一《蟲?！?。/〉。），過拋物線/=4光的焦點和點（0,6）的

ab

直線為/.若C的一條漸近線與/平行，另一條漸近線與/垂直，則雙曲線C的方程為（）

2222

A.工—匕=]B.JC2--=1C.-y2=lD.x2-y2^l

4444-

【答案】D

【分析】由拋物線的焦點（1,0）可求得直線/的方程為x+[=l,即得直線的斜率為-6,再根據(jù)雙曲線的漸

近線的方程為y=±^x,可得一6=一2,-”2=7即可求出0,6,得到雙曲線的方程.

aaa

【詳解】由題可知，拋物線的焦點為（1,0）,所以直線/的方程為x+4=l,即直線的斜率為-6,

b

又雙曲線的漸近線的方程為y=±2尤，所以-6=一2,-Z,x-=-l,因為。>0,6>0,解得。=1,6=1.

aaa

故選：D.

【點睛】本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，雙曲線的幾何性質(zhì)，以及直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，

屬于基礎(chǔ)題.

9.（2020?浙江?高考真題）已知點。（0,0）,A（-2,0）,B（2,0）.設(shè)點P滿足|%HPBI=2,且P為函

數(shù)片圖像上的點,則|OP|=（）

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可知，點P既在雙曲線的一支上，又在函數(shù)y=.f的圖象上,即可求出點P的坐標(biāo),

得至的值.

【詳解】因為|尸川-|尸身=2<4,所以點尸在以48為焦點，實軸長為2,焦距為4的雙曲線的右支上，由

2

c=2,°=l可得，6=/一/=4-1=3,即雙曲線的右支方程為無2一]_=1（尤>0）,而點P還在函數(shù)k

的圖象上，所以,

y=3^14-x2

由，2

x2-?=1(%>0)

故選：D.

【點睛】本題主要考查雙曲線的定義的應(yīng)用，以及二次曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算

14

能力，屬于基礎(chǔ)題.

22

10.（2019?全國?高考真題）雙曲線C：土-匕=1的右焦點為R點P在C的一條漸近線上，。為坐標(biāo)原點,

42

若忸。|=歸尸則△尸打。的面積為

.3723A/2

Dc.2V2D.3V2

42

【答案】A

【分析】本題考查以雙曲線為載體的三角形面積的求法，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).采

取公式法，利用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸和方程思想解題.

【詳解】由a=2,b=6,c=Ja2+62=y/6,■

-.■\PO\=\PF\,.-.XP=^,

又尸在C的一條漸近線上，不妨設(shè)為在y=上，

SAPFO=；|°司='故選A.

【點睛】忽視圓錐曲線方程和兩點間的距離公式的聯(lián)系導(dǎo)致求解不暢，采取列方程組的方式解出三角形的

高，便可求三角形面積.

11.（2018?全國?高考真題）已知雙曲線C：與-谷=1（°>0,6>0）的離心率為百，則點（4,0）到C的漸近線

ab

的距離為

A.V2B.2C.—D.272

2

【答案】D

【詳解】分析：由離心率計算出2,得到漸近線方程，再由點到直線距離公式計算即可.

a

詳解：e=—=./1+（―）?=>]~2

aVa

a

所以雙曲線的漸近線方程為x±y=0

4

所以點（4,0）到漸近線的距離4==2@

VT+T

故選D

點睛：本題考查雙曲線的離心率，漸近線和點到直線距離公式，屬于中檔題.

12.（2018?浙江?高考真題）雙曲線總-歹2=1的焦點坐標(biāo)是

15

A.（-V2.0）,（V2,0）B.（-2,0）,（2,0）

C.（0,-V2）,（0,V2）D.（0,-2）,（0,2）

【答案】B

【分析】根據(jù)雙曲線方程確定焦點位置，再根據(jù)，2=/+〃求焦點坐標(biāo).

【詳解】因為雙曲線方程為胃-/=1,所以焦點坐標(biāo)可設(shè)為（土c,0）,

3-

因為=/+加=3+1=4,C=2,所以焦點坐標(biāo)為（±2,0）,選B.

22

【點睛】由雙曲線方程十卓=1（。>0/>0）可得焦點坐標(biāo)為（土C,O）（C=G7M，頂點坐標(biāo)為（±。,0）,漸近

線方程為%±".

a

22

13.（2018?全國?高考真題）雙曲線二一4=1（°>0,6>0）的離心率為內(nèi)，則其漸近線方程為

ab

A.y=±y/2xB.y=±V3xC.y=D.y=±^-x

【答案】A

【詳解】分析：根據(jù)離心率得a,c關(guān)系，進(jìn)而得a,b關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結(jié)果.

詳解：e———V3,.'.—v=--e2—1—3—1—2,.'.也,

aaaa

因為漸近線方程為y=±2x,所以漸近線方程為y=±0x,選A.

a

點睛：已知雙曲線方程士―《=1（。乃>0）求漸近線方程：W-4=o=y=±2x.

ab~