2024-2025學年高考備考診斷性聯(lián)考數(shù)學檢測試題（一模）含解析

2024-2025學年高考備考診斷性聯(lián)考數(shù)學檢測試題（一模）

一、單選題（本大題共8小題）

1.在復平面內(nèi)，向量而對應的復數(shù)為T+3"向星》對應的復數(shù)為-2+i,則向量

就對應的復數(shù)為（）

A.l+2iB.-l-2iC.-3-4/D.—3+4i

2.下列四個條件中，使成立的充要條件是（）

A.皿"％）＞0.\a\＞b/

BcD.r>2b

fi-4

3.在I的二項展開式中，第3項的二項式系數(shù)是）

A.8B.-8C.28D.-28

°2_j_

4.已知數(shù)列｛""｝滿足，且"「5,貝（］。2025=（

）

A.3B.3c.2D.一2

5.已知直線級+3叼-2=0與直線2mx-5（m+l）y+l=0互相垂直，則機為（

）

_11JIn11

A.15B.15或0c.4D.4或。

6.已知圓錐的母線長度為4,一個質(zhì)點從圓錐的底面圓周上一點出發(fā)，繞著圓錐側(cè)面

運動一周，再回到出發(fā)點的最短距離為4形，則此圓錐的體積為（）

JTS兀4百兀8百兀10面兀

A?3B?3C?3D.3

/（x）=—x2-ax+Inx,tzGR

7.已知函數(shù)2.若k有兩個極值點且

/6）+/（》2）＜十+乙）恒成立，則實數(shù)幾的取值范圍為（）

A.IM）B.川c.…）D.小

8.在V/8C中，內(nèi)角4B,C所對邊分別為若

b_

2V3siiL4siriSsinC=3sin25+3sin2C-sin2^，貝“Q（）

±V3V2

A.2B.3c.2D.2

二、多選題（本大題共3小題）

9.己知向量"=0'2）3二（九3）,則下列結(jié)論正確的是（）

一4W一什\a-b\=y[2]八

A.若右方可以作為基底，則2B.若??,貝1]丸二°

71

C.若Sb,貝|J2=-6D.若1與B的夾角為7,則X=T或9

10.已知累函數(shù)7v7V廣，則）

B./G）的定義域為R

C./（X）為非奇非偶函數(shù)D.不等式“2X+1）>“5-X）的解集為

11.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛”」的前〃項和為5,且0=2播，則下列說法正確的是

（）

A.｛%｝的第2項小于1B.S?4%+1

C.包｝為等比數(shù)列D.{“J中存在大于100的數(shù)

三、填空題（本大題共3小題）

12.已知雙曲線機”,其漸近線方程為4x±5y=0,則該雙曲線的

離心率為.

11/3

y——I-----（x>2）一

13.已知。函數(shù)’ax-2有最小值2,則。=.

14.已知甲袋中裝有3個紅球，2個白球，乙袋中裝有2個紅球，4個白球，兩個袋

子均不透明，其中的小球除顏色外完全一致.現(xiàn)從兩袋中各隨機取出一個球，若2

個球同色，則將取出的2個球全部放入甲袋中，若2個球不同色，則將取出的2個球

全部放入乙袋中，每次取球互不影響，按上述方法重復操作兩次后，乙袋中恰有4

個小球的概率是.

四、解答題（本大題共5小題）

15.已知拋物線U/=2/(p>0),過拋物線上點,(2,3)且斜率為左的直線/與拋物線

C僅有一個交點.

(1)求拋物線c的方程；

(2)求左的值.

16.如圖，某市擬在長為16km的道路。尸的一側(cè)修建一條運動賽道，賽道的前一部分

為曲線段。SM,該曲線段為函數(shù)片然成以(/>0,。>0)”［0,8］的圖象，且圖象的最高

點為S(6,4G)賽道的后一部分為折線段MNP,為保證參賽運動員的安全，限定

ZMNP=nO°

NP=^^-MN

(2)若2，求折線段賽道跖叱的長度.

17.如圖，在三棱柱/80一/4G中，側(cè)面/CG4為菱形，4/C=60。，底面為

等邊三角形，平面平面點，￡滿足"4￡一］4G,點尸為

棱℃上的動點(含端點).

(1)當尸與C重合時，證明：平面。斯，平面N8C；

V6

(2)是否存在點尸，使得直線NC與平面。斯所成角的正弦值為4?若存在，求出

QF

°C的值；若不存在，請說明理由.

18,函數(shù)"x)=ln(2x+l)-4sinL

(1)求/(X)在點(°J(°))處的切線方程；

「八兀

XE.0,-

(2)若存在L2」，使得/(町20成立，求。的取值范圍.

19.為確保飲用水微生物安全性，某自來水廠計劃改進原有飲用水消毒方法.據(jù)已有數(shù)

據(jù)記錄，原有消毒方法對每個大腸桿菌的滅活率均為99.2%,現(xiàn)檢驗出一批未經(jīng)消毒

的水中大腸桿菌含量為500個/升.

（1）經(jīng)原有消毒方法處理后，計算一升水中大腸桿菌個數(shù)不超出5個的概率；（結(jié)果保

留3位小數(shù)）

（2）在獨立重復實驗中，?為事件A在試驗中出現(xiàn)的概率，〃為試驗總次數(shù)，隨機變量

X為事件A發(fā)生的次數(shù).若夕較小，〃較大，而秋的大小適中，不妨記』P,則

P（X"）=CR（I"）T=C：（47」『#=O，I，2」一

,經(jīng)計算，當時,

k

limC：r7

.若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為

稱X服從參數(shù)為之的泊松分布，記作、~尸（彳）.（其

中，e=2.71828,-,為自然對數(shù)底數(shù)）

①若經(jīng)原有消毒方法處理后的一升水中含有的大腸桿菌個數(shù)X服從泊松分布，計算一

升水中大腸桿菌個數(shù)不超出5個的概率（結(jié)果保留3位小數(shù)），并證明：￡（X）二4；

②改進消毒方法后，從經(jīng)消毒后的水中隨機抽取50升樣本，化驗每升水中大腸桿菌

的個數(shù)，結(jié)果如下：

012345

172010210

若每升水中含有的大腸桿菌個數(shù)X仍服從泊松分布，要使出現(xiàn)上述情況的概率最大,

則改進后的消毒方法對每個大腸桿菌的滅活率為多少？

參考數(shù)據(jù)：

e，=￡餐八0.0183

(I)指數(shù)函數(shù)的幕級數(shù)展開式為k!,

5002498

(II)O.992=0,018,CM。0.008x0.992499“0.073,C；ooO.OO8x0.992?0.146

349744965495

C^ooO.OO8xO.992?0.196C^O.OOSx0.992?0.196C^ooO.OO8x0.992?0.157

答案

1.【正確答案】D

【詳解】因為/=方+就，所以向量就對應的復數(shù)為-1+寬+(-2+i)=-3+4i.

故選：D.

2.【正確答案】D

［詳解］對于A,由ln(a-6)>0,得a-b>l,.；.娥立+1a>b,

反之，當a=2，6=1時，不能推出a>b+\,

故M(。-田>°是。>b成立的充分不必要條件，故A錯誤；

對于B,當。=-2,6=1時，。>方不成立，故⑷5不是。>6成立的充分條件，

反之，當時，成立，故⑷>b是成立的必要不充分條件，故B錯誤;

對于C,當°=-3力=1時，a?〉/成立，但。>占不成立，所以/>/是。>b成立的不充

分條件，

反之°=1,6=-2,滿足。>6成立，但I〉/不成立，所以/>/是。成立的不必要條

件，

所以/是的既不充分也不必要條件，故C錯誤；

對于D,由V=2'在R上單調(diào)遞增，可得2。>2〃是a>b的充要條件，故D正確.

故選：D.

3.【正確答案】C

C^=—=28

【詳解】第3項的二項式系數(shù)為2x1.

故選：C.

4.【正確答案】C

Q2_1

【詳解】由題意數(shù)列｛""｝滿足2-4,由?

由此可知數(shù)列｛""｝是周期為4的周期數(shù)列，所以%。25=嗅6+|，=5.

故選：C

5.【正確答案】B

【詳解】因為直線2、+3叼-2=0與直線2加x-5（加+小+1=0互相垂直，

11

777------

所以4”-15制"+1）=°,解得〃?=0或15.

故選：B

6.【正確答案】A

【詳解】設(shè)圓錐的頂點為°,記點尸是底面圓周上的一點，作出圓錐側(cè)面展開圖如圖所

示：

又因為質(zhì)點運動最短距離為40,故尸尸'=4行，

/POP'=—

又因為OQ=OP=4,所以。尸2+0尸，2=尸尸、所以-2

c兀/

2兀/=—x4

設(shè)圓錐底面半徑為,，高為力，則2,解得尸=1,

所以〃==足,

V=—m-2h=—Ttxl2xV15

所以圓錐的體積333

故選：A.

7.【正確答案】A

2

f(x^=—x-ax+\nx的定義域為（0'+8）,

【詳解】函數(shù)2

,1_x2-ax+1

又,x-x-a+-----,因為“X）有兩個極值點為網(wǎng),工2,

x2-ax+1

所以一―在（°'+8）上有兩個不同的零點,

此時方程X?一辦+1=0在（仇+8）上有兩個不同的實根,

A=tz2-4>0

Xj+x2=6Z>0

演工2

則=1，解得"2

/（匹）+—2）

若不等式/（占）+/（々）＜："）+馬）恒成立,則%+Z恒成立,

、f(M)+/(4)=/1：—a/+InX]+—%2—ax2+Inx2

=ln(X|X2)—a*]+x2)+~[(再+x22XJX2]=———1

則xi+x22°,設(shè)2aG(2,+oo)

則'"-7F,因為/>4,所以"'（。）<0,所以〃⑷在0，+°°）上單調(diào)遞減,

3,3F3

h(a)<h(2)=--A>____,+℃

所以2,所以2,即實數(shù)4的取值范圍為L2

故選：A

8.【正確答案】B

【詳解】由題可得2V3Z?csinA=3b2+3c2-a2,a2=3b2+3c2-243bcsinA=b2+c2-2bccosA,

22

：.￡bcsinA-bcC0SA=b+c,6sin/-cosA=彳匚=J+衿

2sinf^-—>2sinjx-q]=1-=~

I6J,<6)；當且僅當c6取等號，

V0.<A<TI,,A--=-：.A=—,

623

.6_sin8_‘inq也

.?——=--------——

S=C=-,asin"sin27t3

所以63

故選：B.

9.【正確答案】ACD

【詳解】對于A,若"B可以作為基底，則方與3不共線，

33

一:.A=-_2^-

當）與6共線時，1x3=24,2,故心。可以作為基底時，2,故A正確;

對于B,=C，2）-（A,3）=（1-2,-1）?["、=J（1-2>+1=6

???力-24=0,解得丸=0或4=2,故B錯誤；

對于C,若％，乙則75=4+6=0,???/=-6,故C正確；

兀a-b4+6V2

cos--==――—/=—

對于D,同忖逐x6+92,??.%_8"9=0,./=-1或2=9,故D正確.

故選：ACD

10.【正確答案】AC

,V3

22加=±--

【詳解】A:由幕函數(shù)/（》）=（8加-5）/知，8/-5=1,解得一2,故A正確；

B,c：〃無）=無4=正，則［a）的定義域為m+°°）,所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故

B錯誤，C正確；

D：由〃無）=/知函數(shù)在口+8）上單調(diào)遞增，

3<x<

所以由〃2x+l）>/（5-x）可得0W5-x<2x+l,解得3

化5「

即不等式"2x+l）>"5-x）的解集為（十」，故D錯誤.

故選：AC

II.【正確答案】AD

【詳解】對于A,由題意，當"=1時，岳=%=2d，解得生—5,

%=2<1

解得一4,故A正確;

工2%

4，解得

3+V51+,7+26

----->52>。3

4,所以B錯誤;

對于C,假設(shè)數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，

（1+V5Y豐J_.1+17+26

則I4J24,矛盾，故c錯誤；

對于D,因為%+i=S”+「S"=2片+「2片>0,所以匕|-。；=（。"+|-%）（%+1+?！埃?gt;0,

所以—>“"，

所以數(shù)列｛""｝是遞增數(shù)列，所以…廣即劭,

假設(shè)對任意的〃*N*,〃〃W10°,則s,=2〃；W2x10000=20000,

取〃=40000,貝°S40000>40000%=20000,矛盾，

所以｛“"｝中存在大于100的數(shù)，故D正確.

故選：AD.

V41

12.【正確答案】4

x

——=l(m>0,w>0)

【詳解】因為加n>0,所以雙曲線mn的焦點在了軸上,

又雙曲線E的漸近線方程為4x±5?=0,所以了-3,所以^一^,

V41

故答案為.丁

13.【正確答案】4

x-21

y=--------1-----------

［詳解］.°x-2

p=t(t>0)4/2+4/-3=0,---

令腦，則2或2(舍)，

故答案為.4

16

14.【正確答案】75

【詳解】若兩次取球后，乙袋中恰有4個球，則兩次取球均為同色；

321

-X———

若第一次取球均取到紅球，其概率為565,

第一次取球后甲袋中有4個紅球和2個白球，乙袋有1個紅球和4個白球,

4124_2

第二次取到同色球概率為6X5+6X5-5.

122

__x___—_____

此時乙袋中恰有4個小球的概率是5525；

244

-x——=—

若第一次取球均取到白球，其概率為5615,

第一次取球后甲袋中有3個紅球和3個白球，乙袋有2個紅球和3個白球,

32331

-X------1------X-=——

第二次取到同色球概率為65652.

412

此時乙袋中恰有4個小球的概率是15215.

2216

------1-----=-----

所以乙袋中恰有4個小球的概率是251575.

16

故答案為.75

y=-x

15.【正確答案】（1）2

k=l

⑵斤=0或4

【詳解】(1)因為點在拋物線C：/=2px(P>0)上,

9

.cP=一

所以"=9,解得4,

一

拋物線方程為-2

(2)顯然直線的斜率存在，設(shè)直線/的方程為了=履-2左+3,

y=kx-2k+3

292k

y=-x_2k+3=0

聯(lián)立2，得9-

若左=°,方程一了+3=°只有一解，滿足要求,

,1--（3-2Ar）=0k=-

若則需滿足9，解得4,

k=l

綜上：無=?；?

A=4^3,=—

16.【正確答案】⑴12,MP=10

5V2+-V6

⑵3

A=4A/3,-=6,.*.T=24,co==—

【詳解】(1)由題可得4T12

y=4A/3sin—x

12,

當戶8時，"4氐mg=6,即.（8,6）,

又P（16,0）,：,MP=yJs2+62=10（千米）；

NP="-'x

（2）在△肱叱中，設(shè)MN=X,則2

fV3-lY

x2+-102

立MNP二MN、NP-MP112J￡

2MN-NP2”叵L2

2

3,

A-x2=100

2,

：.MN=X=—46

3,

NP=^^-x—46=542--46

233

：.MN+NP=5sf2+-y/6

3(千米)，

5V2+2卡

「?折線段賽道“獨的長度為3千米.

17.【正確答案】(1)證明見解析

至二

(2)存在，cic2

【詳解】(1)如圖，取/c中點°,連接4°,

因為側(cè)面/CG4為菱形，N//C=60。，

所以4°：c,

又因為平面4CG4,平面48C,平面ZCG4n平面A8C=/C,

平面/CCM,所以4。，平面48C,

又因為￡為4G的中點，所以四邊形40匹E為平行四邊形，所以4。//跖,

所以平面/8C,又EFu平面。E7"所以平面。昉，平面/8C；

B

(2)連接0,因為VN2C為等邊三角形，則OBLOC,

所以°凡℃,。4兩兩垂直，則以°為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示:

令三棱柱的棱長為2,所以0s=。4=右,

故0(0,0,0),4(0,-1,0),3(戊0,0),

4(0,0,V3),C(0,l,0),E(0,l,g),C\(0,2,拒)

Afi=^AB

又,所以7,

設(shè)G尸=XC。，2e[0,1]

貝°礪=WC+(1-A)OQ=(0,A,0)+(0,2-22,g-百4)=(0,2-2,G-仆儲

即尸(0,2—2,百一⑨),

_(h2、—.

DE=-—,-,0，麗=(0,1-2,一百㈤

又(33J,

設(shè)平面。所的法向量為應=（x/，z）,

m-DE=O[瓜-2y=0「

則屏所=0則〔(1一初一&z=0,取x=?l,則y=V'Z=5(lT),

m=V3^,-A,—(1-2)

故平面。所的法向量可為I22),

又/C=（0,2,0）,設(shè)直線/C與平面。廝所成角為

_\m-AC\_______V6

|cosm,yic|=-^~22~T

sin0=l?HC|2,3方+11+|(l-2)

由題可得即

整理得：6"3=。，解得”1,

C,F_1V6

故當GC2時，直線/C與平面DE尸所成角的正弦值為4.

18.【正確答案】（l）、=-2x

⑵（-°0，。］

【詳解】（1）因為"x）=ln（2x+l）-4sg

2-4cosx[x>__

f\x)=-------

所以2x+l

則/'(0)=-2,又/(0)=0,

所以/(%)在(°J(°))處的切線方程為>=-2x

2

fr(x)=---------4cosxxe0,-

(2)因為2x+l2

2—^-+4sinx

人g(x)=/f(x)=----4cosxxe0,-g'(x)=

令2x+lL2」，則(2x+l)2

,o-兀4

=4---------7>0

因為g（x）在L'2」上單調(diào)遞增,g'(0)=-4<0名(兀+1>

所以,使得g'a°)=o

當xe[0,x°),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

兀

當（°’2」，g<x）>0,g（x）單調(diào)遞增,

所以訓4°’2J,使得廠區(qū)）=0,

當xe[O,xJ,/'（無）<0,/（x）單調(diào)遞減，

當I2」，r（x）>0,/'（X）單調(diào)遞增，

n/閭=皿兀+1）-4<0_,fm_0

又/（0）=0,,所以J（X）max_J（U）_U,

所以aWO,即"的取值范圍為（一°°，°].

19.【正確答案】（1）一升水中大腸桿菌個數(shù)不超出5個的概率約為0.786

⑵①尸