2024-2025學(xué)年河北省高三年級上冊聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年河北省高三上學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

z-1.

-----1

1.若復(fù)數(shù)z滿足z（i為虛數(shù)單位），則Z=（）

C.1+iD.1-i

4=x+-=1b5=同國＜1

2.已知團(tuán)表示不大于。的最大整數(shù),

集合〔」則

4r15二（）

2

A.3B.D.

3.已知平面向量.滿足”=2印"+。％=3利，則向量，與g的夾角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

4.《志愿軍：存亡之戰(zhàn)》和《浴火之路》是2024年國慶檔的熱門電影.某電影院在國

慶節(jié)的白天、晚上分別可以放映5場和3場電影，若上述兩部影片只放映一次，且不

能都在白天放映，則安排放映這兩部電影不同的方式共有（）

A.17種B.32種C.34種D.36種

5.如圖，正方體中，點￡在網(wǎng)上，且皮?丁用，點尸在cq上，且

CF=—CC

''31,過點4瓦/的平面將正方體分成上、下兩部分，則上、下這兩部分的體積

比等于（）

A.2:1B.3:1C.3:2D.4:3

6.已知定義在R上的函數(shù)"x）滿足"x+l）=/（3-x）且/（l-x）是奇函數(shù)，則下列結(jié)

論正確的是（）

A.A""）一定不是奇函數(shù)B."x）一定不是偶函數(shù)

C./(°)=°D,/(-1)=O

7.已知4夕<。'勸也門夕也門,是方程x+g+3=0的兩個根，則cos(a_')=()

V33V|2

A.5B.5C.3D.3

8.已知直線小廣eG>0)，/2：4x+3y-2=0,橢圓C:4x?+/=1,直線人與橢圓。交

于點p、0,點p在第三象限，4與4交于點T,設(shè)。是坐標(biāo)原點，若加小巧+聞,

貝|」左=()

]_545

A.6B.6C.3D.3

二、多選題(本大題共3小題)

9.有"個樣本數(shù)據(jù)滿足再<苫2<???<%,去掉x”x,后，新樣本的數(shù)字特征

可能比原數(shù)據(jù)變小的是()

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.標(biāo)準(zhǔn)差D.極差

io,已知函數(shù)/?！盺^(。^^(/'。，。'。，?！础！碸的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)

論正確的是()

A.6B.3

_5兀r5717C

c.函數(shù)/(X)圖象關(guān)于直線”一一彳對稱D.函數(shù)/(X)在14'4」上單調(diào)遞

增

11.在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是一類與三角函數(shù)類似的函數(shù)，它是工程數(shù)學(xué)中重要的函數(shù)，

也是一類很重要的初等函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù).已知

雙曲正弦函數(shù)的解析式為sinh(、)=2,雙曲余弦函數(shù)的解析式為

X.—X

cosh(x)=

'’2(其中。為自然對數(shù)的底數(shù))，則下列說法正確的是()

sinh(x+y)=sinh(%)-cosh(y)~cosh(%)-sinh(y)

A?

B.函數(shù)"x)=cosh(x)sinh(x)為奇函數(shù)

C.若直線丁=加與函數(shù)＞=cosh(x)和〉=sinh(x)的圖象共有三個交點，這三個交點

的橫坐標(biāo)分別為22?3,則*+/+玉＞ln(l+&)

D.若存在'e〔°，E3],關(guān)于》的不等式sinh(f)+cosh(x"加恒成立，則實數(shù)加的取

LT

值范圍為I3」

三、填空題(本大題共3小題)

12.已知△48C的內(nèi)角4及C的對邊分別為Ac,且成等差數(shù)列，

sin4:sinC=3:7,貝U角C=.

=1_"=J_

13.已知數(shù)列｛“■｝滿足為一用了一環(huán)，設(shè)S”為數(shù)列｛4｝的前"項和，貝

14.若袋子中有大小且形狀完全相同的黑球x個，白球10-x個，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取3

個球，尸(X)表示抽到2個黑球1個白球的概率，則尸(X)取得最大值時元=

四、解答題(本大題共5小題)

15.為了解某校男生1000米測試成績與身高的關(guān)系，從該校2000名男生中隨機(jī)抽取

100人，得到測試成績與身高的數(shù)據(jù)如下表所示：

身高范

[160,165)[165,170)[170,175)[175,180)[180,185)

圍(cm)測試成

績

合格312182215

不合格29559

(1)該校2000名男生中身高在175cm及以上的人數(shù)約為多少？

(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值。=0-05的獨立性檢驗，分析體育成績合格與身高在

[170,180)范圍內(nèi)是否有關(guān).②

2niad-bc^

z=7---77-^~~-----r,n=a+b+c+a

附:(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

16.已知拋物線U「=2"(p>0)的焦點為尸，過點T(T°)的直線交C于A、B兩點,

點"0,加)在拋物線C上，且畫上陽同，直線交直線CM于點N(其中。是坐

標(biāo)原點).

(1)求拋物線C的方程；

⑵求證：

17.如圖，正六邊形N8CZ)斯的邊長為2,將梯形NDE尸沿翻折至尸°,。是

40的中點.

(1)若平面平面/BCD,求三棱錐°-2尸。的體積；

(2)若二面角-尸的大小為60。，求直線8。與平面8°尸所成角的正弦值.

ln(x+l)+

18.己知函數(shù)%\

⑴當(dāng)。=0時，討論了(X)的單調(diào)性；

(2)若對任意*€(°，+8)，/00>1恒成立，求實數(shù)。的取值范圍；

f^!^<2皿"+1)("**)

(3)證明：k=ik.

19.若數(shù)列,"｝對任意機(jī)eN*,24m4”都有人一冊」=1成立，則稱數(shù)列｛%｝為“等距,,

數(shù)列，設(shè)邑為數(shù)列｛%｝的前〃項和.

(1)寫出一個滿足Ss>5,且％=%=1的“等距”數(shù)列的前5項；

(2)若“等距”數(shù)列也｝共有2024項，且％=1，％)24=2024,證明：對于任意整數(shù)

加(22024),都有a-1成立；

⑶若“等距"數(shù)列｛""｝滿足％=°4=0(〃之2),請分析項數(shù)〃滿足的條件，并說明理

由.

答案

1.【正確答案】A

z-1.

-------1

【詳解】Z,即z—l=zi,則z—zi=l,

11+i1+i11.

Z-----------------------------------—|]

所以z(1)=l,1-i(l)(l+i)222

故選：A.

2.【正確答案】C

【詳解】因為［"］表示不大于。的最大整數(shù)，且

所以

B=十.|<1}=.一1<x<1}

=-<x<--Gr|-1<x<

所以"3J

故選：C

3.【正確答案】C

【詳解】由忖=2r得WEI%代入/+力=3印，得"=-修,

a-b

cos(a,b_ztf1,v00<V180。,;.=120°

aib2|邛

所以

即向量￡與刃的夾角為120。,

故選：C

4.【正確答案】D

【詳解】若均在晚上播放，則不同的安排方式有A；=3x2=6種,

若白天一場，晚上一場，則有C；C；?A：=30種，

故放映這兩部電影不同的安排方式共有30+6=36種，

故選：D

5.【正確答案】A

【詳解】如圖，設(shè)正方體力Be。一4耳G9的棱長為。，在上取點使得

AH=BE=-a

4.

DG=CF=—a

在上取點G,使得3,連接EH,GF,GH,易得四邊形跖為平行四

邊形，

貝lj￡F//G〃，EF=GH,

)reGI=AH=—a

在DG上取點/,連接//,打,使得4,易得四邊形為平行四邊形，

所以//〃G",AI=GH,

所以防/⑷，EF=AI,所以過點4區(qū)尸的平面即平面/腹7,

CJ=DI——aFJ=—a八門廣廠丁工廠廠

在CF上取點J,使得12，則12,連接BD,EI」J,EJ,

DK=BE=-aIK=-a

在。/上取點K,使得4,則6,連接EK,

所以過點4反尸的平面分正方體下部分的體積為一個四棱錐4-BEID和一■個四棱錐

E—JFIK,及三棱柱BCD-EJK,

所以4=%BEID+^E-JFIK+-BCD—EJK

115141a11f15

=—x———a+—aX-------------F—X—-uH----ax^+lx^xl

32U24232612243

/.乙二。,313_23

—a——ci

33

23

—a

彳=2

娛

所以3

故選：A.

6.【正確答案】D

【詳解】設(shè)函數(shù),6)

兀/

//sm一（x+

則"x+l）=2、

71

/（3-x）=sin

所以“x+l)=/(3-x)

兀

sin—(1-x)--=-sin~X

又/(1)=

22為奇函數(shù).

7171

/(x)=sin—X------

所以22滿足題意.

71

/(1+x)=sin和+X)蘭=sin—X

又為奇函數(shù)，故A錯誤;

71

"x)==-cos—X

為偶函數(shù)，故B錯誤;

/(O)=sin

，故C錯誤;

Wx)=/(1-x)是奇函數(shù)，則"0)=/(1)=0,%2)="一1)=一/(一2)=-〃3),

又因為"X+1)=/(3-X8/(3)=/(1)=0,

所以/(-1)=-"3)=°,故D正確.

故選：D

7.【正確答案】D

【詳解】因為tan&tan乃是方程+3-。的兩個根，即也是方程/+3》+1=°的兩個根,

所以tana+tanq=-3,tana?tan/?=1

且可知tana<0,tan/?<0,又由a,4?0,兀)，則

再由兩角差的正切公式可得：

|tana-tanJ3\^/(tanor+tany0)2-4tanatan/749-4石

卜an(a-￡)|=

1+tan?-tanj31+tanor-tan(31+12

因為“貶刃，所以f即cosg”。,

c°s(f)="(f)=島m焉鼻=+

則

故選：D.

8.【正確答案】B

［詳解］聯(lián)立4：了=近與4：4尤+3了-2=0,將>代入4x+3y_2=0可得:

22k

4x+3kx-2=0=x(4+3k)=2nx=--------y=kx=--------

4+3左，則,4+3左，

（-----------

所以7點坐標(biāo)為4+3左'4+3后.

求直線4與橢圓。的交點尸、°的坐標(biāo)（設(shè)Q（XQJ）

22

聯(lián)立4：了=區(qū)與橢圓C:4x+y=lt將尸乙代入4x2+/=l可得:

4x2+k2x2=1n（4+L2）=1=x。=——

4+￡

因為。在第一象限，所以

由橢圓對稱性和2107Hon+KS可得210Tl=|OQ|+|TQ|=|OC+2|TQ|.

2k

4+3-=2

JV=2k3

即轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)即”？§,即+門k—_

|OT|=2|7Q|,,4解得一6.

1+2+8+10…

---------------=5.25

【詳解】比如取4個數(shù)為1,2,8,10,則原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4,

2+8「

------=5

去掉1和10后，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2,所以平均數(shù)可能變小，故A對；

x2+x3

當(dāng)"為偶數(shù)時，比如”=4,原來和新數(shù)據(jù)的中位數(shù)均為2,所以中位數(shù)不變，

當(dāng)"為奇數(shù)時，比如〃=5,原來和新數(shù)據(jù)的中位數(shù)均為三，所以中位數(shù)不變，故B錯;

去掉再，%后，數(shù)據(jù)波動性變小，所以標(biāo)準(zhǔn)差變小，故C對；

由于西（無2<…<Z,所以原來的極差為％-再，新數(shù)據(jù)的極差為、"7一、2,所以極差變

小，故D對；

故選：ACD

10.【正確答案】BCD

【詳解】由圖象可知，函數(shù)的振幅4=2,已知函數(shù)＞=2sin（ox+夕），圖象過點

（0,包

sin

將x=0,y=G代入函數(shù)y=2sin（0x+p）,得到百=2sin°,即sm。-2,

因為°＜°＜兀，且在（0,6）處的增長趨勢知道，所以"5,貝u'-2sin（°x+3）,

.兀兀2

/八、2sin（削+一）=0④兀+—=兀+2左兀,左eZCD=—+2k,ke.Z

圖象還過（私°）,則3,即3,解得3.

由圖象可知，函數(shù)的周期？＞2（兀-0）=2兀，

T=—＞2nk=0,a＞=—y=2sin（—x+—）

根據(jù)周期公式。，可得。＜1,令3滿足題意.故’33

因此，A錯誤，B正確.

5兀2兀2/5兀、兀兀_.2兀、_

x=-----—x+—=—x(------)-1——=-----2sin(z—x~\—)=—2

當(dāng)4,函數(shù)333432,則33取得最小值.

5兀

x------

所以函數(shù)“X）圖象關(guān)于4直線對稱，C正確.

5兀7125兀717171

—XG—x+—e

了

’4則3則3322

[-史-]

所以函數(shù)“X）在4q上單調(diào)遞增，D正確.

故選：BCD.

11.【正確答案】BCD

xx

Q+y_Q--y

sinh(x+y)=-------------

【詳解】對于A,

e'+e-xe^-e^

sinhcosh(y)-cosh(x)-sinh(j)=---

2-22-

x-y_-x+ye、+y—e*y

e-e-------------w---------------

化簡后得22,故A錯誤;

e%+e"-x

y=cosh(x)=----------cosh(-x)=---=cosh(x)

對于B,'2的定義域為R,2，所以

y=cosh（無）是偶函數(shù)；

-x

QX_g-XQ—Q.

昨sinh（x）=2的定義域為R,sinh（-x）=2一,叫可，所以了=sinh（x）是奇

函數(shù)，

所以函數(shù)/0）=cosh（x）sinh（x）為奇函數(shù)，故B正確;

對于C,因為直線了=加與函數(shù)'=8$11（無）和'=5向1（無）的圖象共有三個交點,

e-e

y=sinh（x）=2在R上單調(diào)遞增，即直線了=加與函數(shù)〉=sinh（x）只有一個交點,

所以直線＞=加與函數(shù)'=8511（無）有兩個交點,

/XI八一xCIcX八一X

,z\e+e-e

y=coshix)=---------->-------------=1

因為’22,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立,

+?！?/p>

所以優(yōu)＞1,即』+X2=U,2,解得e四3>1+72,

所以龍3＞賦+亞）則再+芍+￡＞燉+血）,故c正確;

一t-X.——X

sinh(，)+cosh(x)=士ee+e

一+-2-,fe[0,ln3].

對于D,,2

Q1—Q~1e，+e-/

令式'）一2,則g（＞2所以g（'）在［°/3］上單調(diào)遞增,

4

g(Omin=g(O)=0,g(，)1mx=g(In3)=4

則J,

—XI八一xc■-X

e+e〉2\Q,e

cosh(x)=二=1

22，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立,

所以cosh（x）最小值為］,

因為存在六［0，如3］,關(guān)于x的不等式sinhC）+cosh（x”加恒成立,

47

m<sinh〃)+cosh(x)=—+1=—

所以L—」」max33,

7

—co,—

所以冽的取值范圍為3」，故D正確;

故選：BCD.

2

一71

12.【正確答案】3

【詳解】由題意可得26=。+。，又sin/:sinC=a:c=3:7,

不妨設(shè)a=3k,c=1k(k>0),貝汁26=1%=>6=5￡,

222

?a+b-c9左2+25左2—49左2￡

cosC=_________

由余弦定理可得2ab30k22,

/、「_2

且㈤，所以3兀

一2兀

故3

.2+H

4------i-

13.【正確答案】2"一

〃_5L_±

【詳解】由%—得2%=1,

又2」％=1,所以電"'%｝是首項為1公差為1的等差數(shù)列,

_n

可得2/，，=1+"1=",所以“"二才,

12n112n

$"=吩+>+聲，IS-=F+F+L+F

，ill

n

15?=I+I+4+L+A--=^

22222"]_j_2n

兩式相減得2

2+n

2--------S?=4-^^

2",所以n2〃一1

42+〃

故答案為.一萬H

14.【正確答案】7

【詳解】由題意，24x49,"N*,

尸3=x(x-l)10-X

Jo2120

設(shè)函數(shù)/(*)=—"+11'—10x,則/(x)=—3x+22x—10

_22-2歷_22+2質(zhì)

令/'(x)=0,即_3X2+22X_10=0,解得無l6,%一6

易知X[<2,2<%<9,

2Vx<22+29,

因此，當(dāng)一6時，此時/(X)單調(diào)遞增；

22+2回

當(dāng)6、“時，/'3<°,此時〃x)單調(diào)遞減；

22+2歷.1.63

又且"eN*,"(A](,而，則八⑹,

因此，當(dāng)x=7時，/(X)有最大值，此時「(x)取最大值；

故7

15.【正確答案](1)1020

(2)有關(guān).

27+24

---------=0.51

【詳解】（1）樣本中，身高在175cm及以上的頻率為:100

用該頻率估計該校男生身高在175cm及以上的概率，

則該校2000名男生中身高在175cm及以上的人數(shù)約為:2000x0.51=1020(人).

（2）列2x2列聯(lián)表如下:

身高在身高不在

合計

[170,180）[170,180）

合格403070

不合格102030

合計5050100

100x(40x20-30X10)^4762

r2

所以50x50x70x30

因為3.841<4.762,

所以依據(jù)小概率值a=0Q5的獨立性檢驗，體育成績合格與身高在["O’180）范圍內(nèi)有

關(guān).

16.【正確答案】（1）/=以

（2）證明見解析

【詳解】（1）已知拋物線/=2pxS>0）,其焦點廠的坐標(biāo)為三’.

因為點”（1,加）在拋物線c上，所以加=20.

根據(jù)兩點間距離公式，也為=++療=44+療,|MF|-V15）+加

由也7>也”可得用小汽/。一夕+療.

把一代入上式,fWs.

4+2夕=21_P+?+2P

兩邊同時平方，展開括號得

￡￡

4+2/?=2+2/?+=2

即2,化簡得2解得0=2.

所以拋物線0的方程為/二人.

（2）在拋物線r=4x中，所以焦點產(chǎn)的坐標(biāo)為（1,0）.不妨設(shè)A,B在第一象限,

設(shè)過點7（T°）的直線Z8的方程為x=W-l“存在且不為°）,

當(dāng)，=°時，沒有交點，不滿足題意.

將x="T代入V=4x,得到丁=4（。_1）,即/-44+4=0,需滿足△=16（廠-1）＞。

設(shè)/（禮弘），2（超，%）,根據(jù)韋達(dá)定理，乂+為=今，%%=4.

根據(jù)兩點間距離公式，I―區(qū)+1『+乂2,JH+D"；.

因為占=以一1,馬二仇-1,所以J（優(yōu)。+貨M（這里利用了乂力=4＞。，所

以M與必同號）.

由點M（1,M在拋物線C上，得”（1，±2）,運(yùn)用拋物線對稱性，可取M（l，2）來證明.

尸（1，°）,則直線MF的方程為x=l.

y=-x%=近y=-x

直線04的方程為毛，因為4,所以。4的方程為必.

44

y=—%%=-

聯(lián)立必與x=l,可得N點縱坐標(biāo)必.

根據(jù)兩點間距離公式及坐標(biāo)運(yùn)算，,QNI5十（".

\OA\_^+y^|j,|；；|j,L|yi|

記M㈡一叼必=2

“必必（因為,力=匕所以l^il）.

\OA\_\y,\_\TA\

綜上所得,知道31叼陽,即叩叫=網(wǎng)網(wǎng),原命題得證.

17.【正確答案】（1）1

25

（2）7

【詳解】（1）取4°的中點/，連接BW,

BC

因為正六邊形跖的邊長為2,

所以0°=Q。=PQ=2,BO=AB=2貝°BM=y/3,

因為平面4°尸。，平面NBC。，BM工AD,平面4DPQc平面/BCD=40,

所以瓦l/工平面/。尸0,所以是三棱錐0-8尸2的一個高，

V0-BPQ=VB-OPQ=~S/1OPQ-BM=-xV3xV3=1

所以三棱錐。一的體積為1；

(2)過點。作Ox,°D,Oz,°D,以點。為原點，以°。所在的直線為了軸，建立空間

直角坐標(biāo)系如圖所示：

力氣稱等一匕制力

因為正六邊形"BCD跖的邊長為2,。是/。的中點，二面角8-4D-P的大小為60°,

2心,一1,0)0［。,一11,0(0,0,0),尸4，1,，

UL1、I\乙乙乙乙/

BQ=03=(73,-1,0)°P=

設(shè)平面3。尸的法向量為方=(》//),

\OB-n=Q|氐7=。

<―?=\也3

OP?萬=0—x+y-\——z=0

則122.

令x=G,貝|jy=3,z=_3,

所以萬=旭,3,-3),同=j3+3?+(-3)2=萬

設(shè)直線8。與平面30P所成角為e,

V3+0+|X(-3)

2A/7

sin6,=|cos苑M|=

1，|咽_E司,j=227

3

+0+IxV21

則

25

所以直線8°與平面3°尸所成角的正弦值為7.

18.【正確答案】(l)〃x)在(T，°)和(°，+°°)上都是減函數(shù);

1、

⑵2；

(3)證明見解析.

【詳解】(1)“X)定義域是(T°)U(O，+8),

V

--------ln(x+l)

一時,小一x+1________

J(x)2

，貝IX

令"5g+1)(X)=_1______1_X

r則gX(x+l)2X+l(x+1)2

一1<%<0時，g'(x)>0,g(x)遞增，x>0時，g'(x)<0,g(x)遞減,

所以g(x)Wg(0)=0,即/'(x)<0,

所以/(X)在(T，°)和(°，+00)上都是減函數(shù)；

⑵對任意xe("+")'/(x)>l恒成立，即在(°，+8)上，ln(x+l)+a"x>0恒成立,

巾、?/八2.(x)=」-+2axT=x(2辦+2a-1)

設(shè)b(x)=ln(x+l)+ax-x,貝?%+1x+1,

1

Q2一

當(dāng)