2024-2025學(xué)年河南省安陽市高三年級上冊12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年河南省安陽市高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的

指定位置.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1,若夕：也<0,ex<l,則/為()

A.>0,ex>1B.<0,ex>1

C.Vx>0,ex>1D.Vx<0,ex>l

【正確答案】B

【分析】本題所給的是一個全稱命題，對于全稱命題的否定，要注意量詞的變化，要注意命

題中結(jié)論的變化.

【詳解】因為全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，所以只需將原命題中的全稱量詞改為存

在量詞，并對結(jié)論進(jìn)行否定.

故—>p:<0,ex>1.

故選：B.

2.已知集合P={l,0,T,_2},Q={x|x?0或xN3},則尸AQ=()

A.{0,-1,-2}B.{1,0}

c.{-1,-2}D.[0,3]

【正確答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的定義求得答案.

【詳解】依題意，尸0。={依一1,一2}.

故選：A

3.已知向量加二（x,l）,〃=（一2,4+%），若碗_L3，則X二（）

A.-2+百或-2-6B.-4

C.2D.4

【正確答案】D

【分析】利用向量垂直得到蔡不=0,從而得到方程，求出答案.

【詳解】m-Ln故冽?〃=（x,l）,（-2,4+x）=-2x+4+x=0,解得％=4.

故選：D

4.若函數(shù)/（x）=ln（*-ax）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.[0,+oo）B.（0,1）C.（-oo,0]D.（-oo,0）

【正確答案】C

【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則求解即可.

【詳解】函數(shù)歹=lnx在（0,+。）上單調(diào)遞增，

而函數(shù)/（乃=山（一-ax）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞增，

則有函數(shù)g（x）=x（x-a）=（x-|）2-^在區(qū)間（0/）上恒為正數(shù)且單調(diào)遞增，

因此-<0，

2

解得a<0,

實數(shù)。的取值范圍是（-叫0].

故選：C.

5.已知a=logs3,b=log6V6,c=log78,則（）

Aa<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.

b<a<c

【正確答案】D

【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與臨界值比較“c的值，從而得解.

j_1]

【詳解】H^/log8>log7=llogA/6=log6^=—,即。>1,6=5,

77?6622

；=log5V5<log53<log55=1,即;<a<l,

所以6<a<c.

故選：D.

6.已知函數(shù)/(x)是定義在[-a,a]上的圖象連續(xù)不間斷的奇函數(shù)，且

{y\y=/(x)，Xe[0,a]}=[m,M],若河》—加，則/(x)的值域是()

A.[m,M]B,C,D.

[-M,-m]

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題意結(jié)合/(o)=o分析可知加wO<M,再結(jié)合奇函數(shù)的對稱性分析求解即可.

【詳解】因為{y|y=/(x),xe[O,?]j=[m,M],可知加,

又因為/(x)為奇函數(shù)，且連續(xù)不斷，則/(0)=0,則

且M2-m,可知加V0<M,

由奇函數(shù)對稱性可知：工￡[一見0]時，-冽,

且—M<0<-m<M,-M<m,

所以/(X)在定義域[-a,a]的值域為[―M—m“切也]=.

故選：B.

7.如圖是函數(shù)/(x)的部分圖象，記“X)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),則下列選項中值最小的是()

A.f\d)B.f(b)C./(c)D.cf'(c)

【正確答案】C

【分析】由函數(shù)的圖象，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可判斷.

【詳解】由圖知/'⑷>0,/僅)>0,/(c)<0,/(c)<0,所以排除A,B；

設(shè)/(x)的圖象在x=c處的點為A,

顯然OA的斜率4.，小于在A處的切線斜率/'(c),

則""()0<,且c>。，可轉(zhuǎn)化為/(c)</(c)，

所以/(c)的值最小，排除D.

8.過拋物線「：V=4》的焦點/作互相垂直的兩條直線，使得其中的一條與「相交于用，

,另外一條與相交于設(shè)線，c°分別是線段與，的中點，則△/[￡)

B2rG,4qc2

的面積的最小值為()

A.2B.3C.4D,372

【正確答案】C

【分析】設(shè)直線用巴的斜率為左化工0）,聯(lián)立直線用與的方程與拋物線方程，求線坐標(biāo),

同理求孰坐標(biāo)，表示△必0孰的面積，再求其最值.

【詳解】設(shè)直線80的斜率為曲上/0）,則G。,的斜率為-L

k

則直線B[B2的方程為y=kx+l,

y=kx+l.

由＜2消去》并整理，Mx2-4kx-4=0.

x=4Ay

設(shè)'1（石，必），旦2（“2，歹2），

則西+々=4左，所以緯（2左,2左2+1）,

22八

同理C。盛宜+]，

2a+比2

所以恒聞=&+左2母-。

時

因為qo_LRCo,

所以△FB°C。的面積

S==2J+網(wǎng)“，

W/

當(dāng)且僅當(dāng)后=±1時，等號成立，故△必0孰的面積的最小值為4.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知4=嚴(yán)°—i,z2i=(l-i)z2+3-i,其中i為虛數(shù)單位，若a,beR,馬―。為純虛

數(shù)，Z2-歷為實數(shù)，則()

A.4=l+iB.Z2的虛部為—iC.a=lD.b=-1

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算求Z”Z2，即可得判斷AB；根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念運算求解，即可判

斷CD.

【詳解】因為馬=”一i=l—i,

3-i(3-i)(2i+l)

且zi=(1-i)z,+3-i,可得z2=------=------------------=-1-i,

2、J2e22—(2i-l)(2i+l)

對于A：Z]=l+i,故A正確；

對于B：Z2的虛部為-1,故B錯誤;

對于C：因為4—a=(1—a)—i為純虛數(shù)，可得1—a=0,即a=l,故C正確;

對于D：因為z?一歷=-1—伍+l)i為實數(shù)，可得6+1=0,即6=—1,故D正確;

故選：ACD.

(TT7T]\

10.函數(shù)/(X)=cos(&x+940〉0,-5<9<5)的部分圖象如圖所示，直線y=5與/(%)

圖象的其中兩個交點的橫坐標(biāo)分別為0,兀，則()

71

B.(p-----

3

7兀19兀

D./(x)在—上的最小值為

612

【正確答案】ABD

【分析】由圖象可得/（X）的周期，由周期與。的關(guān)系求。，由/（0）=|,結(jié)合/'（0）＞0求

TT

（P,結(jié)合函數(shù)圖象變換及正弦型函數(shù)的對稱性判斷C,求2x—-的范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的性

3

質(zhì)判斷函數(shù)/（x）的單調(diào)性，由此求其最小值，判斷D.

【詳解】A：由題意得/（X）的周期為?！?=兀，又④＞0,

2兀

所以。=—=2,故A正確；

71

117171

B：因為/（0）=e，所以cos。：］,又一

所以°二±三，又/'（%）二—/sin（Gx+0）,觀察圖象可得/'（0）＞0,

TT

所以0=—故B正確；

C：由B知/（x）=00$12、一三），

3兀八3兀兀?71.八

所以Ix+I—cos2lx+1-——cos12x+萬J=-sin2x,

所以/符

的圖象不關(guān)于V軸對稱，故C錯誤;

77t19兀/日C兀-「0177r

D：由xe得2x---￡2兀,----

%"'五36

因為歹=COSX在2兀，上單調(diào)遞減,

6

77r197r

所以/（x）在J2上單調(diào)遞減,

19兀17兀V3,,十.

所以/（、）的最小值為fcos---=-----,故D正確.

1262

故選：ABD

11.己知片(-2,0),g(2,0),M,N是坐標(biāo)平面上的兩個動點，/為正常數(shù)，設(shè)滿足

1里|/的點M的軌跡為曲線G,滿足凰+|Ng|=6的點N的軌跡為曲線C2,

則()

A.G關(guān)于X軸、了軸均對稱

B.當(dāng)點M不在X軸上時，||〃耳|—眉|〉4

C.當(dāng)/=5時，點M的縱坐標(biāo)的最大值大于1

D.當(dāng)G，。2有公共點時，5<t<9

【正確答案】ACD

【分析】對于A,寫出軌跡方程，將(-X,〉)，(x,-y)代入即可判斷，對于B,由三角形兩邊

之差小于第三邊即可判斷，對于C,通過x=-2即可判斷，對于D,聯(lián)立方程，得到

4x81

r=l-l,結(jié)合橢圓范圍可判斷.

9

【詳解】設(shè)M(xj),由|孫卜|好|=/,得J(X+2)2+J?.加—2『+/=(/>o),

將(-x,y)代入得到

不(-X+2)2+/.J(-X—2)2+J?=J(X+2)2+J?.4(x-2丫+/=/(/>0),

將將(x,-y)代入得到

J(X+2)2+(_y)2?J(x-2)2+(-y)2=-^(x+2)2+y2-^(x-2)2+y2=/(7>0)，

所以C關(guān)于x軸、V軸均對稱，A正確；

當(dāng)M不在無軸上時，M與片，鳥不共線，可以作為一個三角形的三個頂點，

所以||阿|-|沙卜陽用=4,B錯誤；

當(dāng)/=5時，J(X+2)2+J/.J(X—2)2+.2=5,

當(dāng)x=—2時，可得：/+16/-25=0,

解得：/=V89-8-止匕時J?—1=炳—9>0，

即y2〉i,故當(dāng)/=5時，點M的縱坐標(biāo)的最大值大于1,C正確;

22

由|叼|十|犯|=6,得。2為橢圓，易得方程為3_+?=1,

所以歹2=51--,代入J(X+2)2+y2.J(X—2)2+.2=(/>0),

得/=J(x+2)2+5>:(IK，?),

x~Q+tr29+f

所以土=三￡,因為04土<1,所以ov二41,

9494

解得：5W/W9或—9W/V—5舍去，D正確；

故選：ACD

方法點睛：曲線關(guān)于x軸、V軸的對稱對稱性問題，可將(-X"),(X,-歹)代入曲線方程，是

否滿足即可判斷.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知Sn為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，若S3=9,S6=9s2,則S4=.

【正確答案】16

【分析】由等差數(shù)列求和公式列出方程，求得首項、公差即可求解.

【詳解】由$3=9,S6=9S2,

3a,+3d=9ftz,=1

可得：\，解得：\，

16/+15d=18%+9d[d=2

所以S4=4%+6d=16,

故16

MA1,,

13.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，若點/(l,0),8(4,0),C(l,-1),且三一=7,則阿。的取

MB2

值范圍是

【正確答案】[2-拒,2+逝]

【分析】設(shè)”(xj),根據(jù)線段比值得到M的軌跡，再判斷點在軌跡內(nèi)外，從而得到其范圍.

\MA\1J(x-1)2+v21

【詳解】設(shè)因為上胃=；，所以<,”=不

\MB\2J--4)2+/2

化簡，得/+/=4,即/的軌跡是圓/+產(chǎn)=4,

因為。點在圓X?+/=4的內(nèi)部，所以2-\0C\<\MC\<2+\0C\,

所以2—CW|MC|W2+拒.

故答案為.[2-a,2+a]

7T

14.從球O外一點P作球。表面的三條不同的切線，切點分別為4且C，ZAPB=-

39

7T71

ZBPC=-,ZCPA=-,若PA=2,則球。的表面積為

32--------

【正確答案】16兀

【分析】根據(jù)題意分析可知V4BC為直角三角形，進(jìn)而可知點尸在平面48。內(nèi)的投影為

V4BC的外心，則。必在尸。的延長線上，結(jié)合切線性質(zhì)可得球的半徑，進(jìn)而可得表面積.

【詳解】由圓的切線長定理得，PB=PC=PA=2,

因為ZAP5=工，ZBPC=~,ZCPA=~,則/B=5C=2,AC=2后，

332

即ZB?+BO?=力。2,可知

所以V4BC為直角三角形，其外心。為C4的中點，

又因為PB=PC=P4,可知點尸在平面ABC內(nèi)的投影為V48c的外心，

即平面48C,所以。必在PD的延長線上，

且/為切點，則CMLPN,由射影定理得Di=p0.0D，

且DA=PD=C，即2=血?！?gt;，可得?！?gt;=也，

則0A=JAD?+0D?=2，所以球。的表面積為471x2z=16幾

故答案為.16兀

關(guān)鍵點點睛：根據(jù)切線性質(zhì)分析可知V48c為直角三角形，進(jìn)而可知點戶在平面48C內(nèi)的

投影為V48c的外心，進(jìn)而確定球心。的位置，即可運算求解.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在V4SC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知acosB-3cos/=a-c.

（1）求3；

（2）若a=l,c=3,。為NC邊的中點，求8。的長.

【正確答案】（1）B=—

3

（2）姮

2

【分析】（1）由正弦定理和sinC=sin（4+3）=sin4cos8+sin3cos/得到cosB=:，

7T

求出8J;

3

（2）由向量基本定理得到而=!（而+萬仁），兩邊平方，結(jié)合8=百，求出礪;二，

2、,34

得到BD=—.

2

【小問1詳解】

QCOS5—6COS/=Q—C,由正弦定理得sin4cos5—sin5cos/=sin4—sinC,

由于sinC=sin［兀一（4+3）］=sin（4+3）=sinAcos5+sin5cosA,

故sinAcosB-smBcosA=sinA-sinAcosB-smBcosA,

所以2sin/cos5=sin4,

因為力￡（0,兀），所以sin/〉O,故2cos3=1,cosB二;，

jr

因為BE（Oji）,所以5=一；

3

【小問2詳解】

。為/C邊的中點，故麗=g(加+就)

------*21/-2*28cl=z(ci+a~+2accos3),

兩邊平方得=-\BA+BC+2BA-

4\

又a=l,c=3,B=—,所以BD=!(9+l+6xg]=；,故臺。=|而|=

3412j4II2

16.已知函數(shù)/(x)==q—blnx，其中a，beR.

x

(1)當(dāng)6=1時，求/(x)的圖象在x=l處的切線方程；

(2)當(dāng)。=1時，若函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,1)上存在極值，求b的取值范圍.

【正確答案】(1)ax+y—2a—1=0

(2)(-oo,0)

【分析】(1)直接求導(dǎo)代入x=l得到斜率，再寫出點斜式方程即可；

(2)等價轉(zhuǎn)化為/'(x)在(0,1)上必存在變號零點，再設(shè)新函數(shù)g(x)=/—樂-1求導(dǎo)研究即

可.

【小問1詳解】

2

當(dāng)6=1時，/(X)=^±￡-Inx，定義域為(0,+8),

x

2__

所以/'(x)="一:一"J(l)=1+a⑴=—a，

X

所以/(X)的圖象在x=1處的切線方程為V—(1+a)=-a(x-1),

即ax+y-2a-1=0.

【小問2詳解】

當(dāng)。=1時，/(x)=、_"—Mnx,定義域為(0,+8),

x

丫？一bx—1

所以ra)=x°：I

X

因為/(X)在區(qū)間(0,1)上存在極值，

所以/'(x)在(0,1)上必存在變號零點，

令g(x)=x2—Zw—1,則g(x)在(0,1)上必存在變號零點，

因為g(0)=—1<0,所以g(l)=—6>0,解得6<0,

當(dāng)6<0時，g⑴>0,且g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

又g(0)<0,故存在/e(0,l),使得8(/)=0,

所以當(dāng)xe(O,x())時，g(x)<0,即/'(x)<0,

當(dāng)xe(xo，l)時，g(x)>0,即/'(x)〉0,

所以在(0,%)上單調(diào)遞減，在(%,1)上單調(diào)遞增，

故不為y(x)的極小值點，符合題意，故6的取值范圍為(-8,0).

17.在平面圖形AEBCD(如圖1)中，已知ABYAD,ABHCD,AB=2AE=2CD=2,

BE=AD=g，將△48E沿著折起到AZB尸的位置，使得CP=2,連接。尸，得到四棱

^P-ABCD,如圖2所示.

圖1圖2

(1)求證：BPLDP；

(2)求平面4D尸與平面CDP夾角的余弦值.

【正確答案】(1)證明見解析；

(2)叵.

5

【分析】(1)取48的中點/，利用線面垂直的判定、性質(zhì)，結(jié)合勾股定理的逆定理推理得

證.

（2）以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，平面/DP與平面C￡＞尸的法向量，再利用面面角的向

量求法求解.

【小問1詳解】

四棱錐尸—48CZ）中，取48的中點連接。尸,尸尸，

由A8=2AP=2CD=2,BP=AD=M，得AP2+BP2=4=AB2，則APLBP，

PF=4F=CD=T,又45//CD,于是四邊形4rcZ)為平行四邊形，CFHAD,

CF=AD=43>

222

由CP=2,得PF+CF=4=CP，則CF，PE,ADLPF,而,

4BCPF=F,4B,PFu平面4BP,于是40,平面48尸，又BPu平面48尸，

則ADLBP,又AP上BP,

因此APL平面4DP,而DPu平面4DP,所以APLDP.

【小問2詳解】

在平面48尸內(nèi)過點A作NzJ.48,由（1）知40,平面48尸，則直線40,48,/z兩兩垂

直，

以點A為原點，直線40,48,如分別為x,Hz軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0),5(0,2,0),C(V3,l,0),D(V3,0,0),P(0,g,苧),

^P=(0,1,y-),2D=(V3,0,0),5c=(0,l,0),PC=(V3,1,-y-)-

-~TD1人道八

設(shè)平面400的法向量有=(a,"c),則j22，令c=l,得而=(0,-6』),

in-AD=s/3a=0

n-DC=y=0

設(shè)平面COP的法向量〃=(xyz),則<__>/-i,令％=1,得1=(1,0,2),

n-PC=y/3x+-y--z=0

、22

e/-二m-n2V5

則cos<m.n)=——―=---==——，

\m^n\2-V55

所以平面/DP與平面CD尸夾角的余弦值是YS.

5

22

18.已知雙曲線F：A-4=“a〉0,6〉0"〉0)的一條漸近線的斜率為近，直線/的方

ab~

程為y=kx+l(k>0).

(1)若/與r的左、右兩支分別相交，求左的取值范圍；

(2)當(dāng)4=1,2時，對應(yīng)的曲線分別為：T],「2,設(shè)直線/與11的左、右兩支依次相交于點

A,B,直線/與一的左、右兩支依次相交于點C，D,O為坐標(biāo)原點，證明：△05。的

面積與△040的面積相等.

【正確答案】(1)(0,V2)

(2)證明見解析

【分析】(1)聯(lián)立直線與雙曲線方程，得到韋達(dá)定理式，再利用判別式和韋達(dá)定理式即可得

到不等式組，解出即可；

(2)代入2=1和4=2結(jié)合韋達(dá)定理得到15cl=|40即證明面積相等.

【小問1詳解】

因為雙曲線F的一條漸近線的斜率為V2，

所以2=正，所以b=缶，

a

y=kx+1

聯(lián)立《y2消去y并整理,得（2-左2卜2_2觸_1_2a2丸=0（*）,

-2-a-72-力

2-心。

因為/與：T的左、右兩支分別相交，所以卜=4左2一4（2-k2乂_1-2/司〉0,

因為2〉0,左〉0,所以2—左2〉0，所以0<%</，

即左的取值范圍為（0,忘）.

【小問2詳解】

設(shè)/（石，％）,5（%2,%）,。（演，%）,。（％4，）4），

當(dāng)2=1時，由（1）中（*）及韋達(dá)定理，得X]+%=—

當(dāng)2=2時，由（1）中（*）及韋達(dá)定理，得七+》4=

所以48與CD中點的橫坐標(biāo)都為上k.因為A,B,C,。在同一直線/上,

2-k2

所以48與CD的中點重合，設(shè)該中點為E,所以|￡8|=|E*,|EC|=|EZ）|,

所以|E8|+|EC|=|E/|+|ED|,所以15cl=|4D|,

所以△OBC的面積與△O4D的面積相等.

關(guān)鍵點點睛：本題第一問的關(guān)鍵是利用韋達(dá)定理和判別式得到不等式組，解出即可得到范圍.

19.在數(shù)列{怎}中，設(shè)項是數(shù)列{軟}（1?左<〃）的前七項和，并規(guī)定斗=0,定

義集合凡={keN*|S.〉S,/=0,1,2,…左—1,左<〃},其中元素的個數(shù)為card（4）.

（1）在數(shù)列{%}（1〈k<8）中，若E=—1,邑=一2,邑=2，$4=0,風(fēng)=2,$6=1,

5=3,5=4,求card）；

（2）若mCeN*，滿足S“>C,

①證明：集合4非空；

②證明：當(dāng)Vke{l,2,3,…,4<1時，card（4,）^C+l.

【正確答案】