2024-2025學年高三數學教材拓展：空間幾何（解析版）

教材拓展：立體幾何與空間向量

教材挖掘拓展1:祖眶原理及其應用

教材挖掘拓展2：幾個特殊多面體

教材挖掘拓展3：重要結論

教材挖掘拓展4：三余弦定理與三正弦定理

教材挖掘拓展1：祖眶原理及其應用

【鏈接教材】人教A版必修第二冊P⑵探究與發(fā)現

祖曜（456年—536年）是南北朝時期偉大的數學家，在數學領域做出了突出的貢獻.他提

出了體積計算原理：“嘉勢既同，則積不容異”，“勢”即高，“哥”即面積，后人稱為“祖

晅原理”，用現代語言描述為：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的

任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.

代數語言為：如圖，平面a〃平面“，兩個幾何體為，T2夾在a與“之間，任意平面/〃a（或

y///3,/可以與a或少重合）.

平面/截Ti,T2的截面面積分別為Si與S2,若Si=S2,貝I]VTI=VT2.

簡記為等高（勢）等面（募）等體積（容）.

【應用1]我國南北朝時期著名的數學家祖晅提出了祖迪原理：“幕勢既同，則積不容

異."意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，

若截得的兩個截面的面積總相等，則這兩個幾何體的體積相等.某工藝品（如圖1）對應的立體

圖形是由雙曲線》=1和直線y=3及y=—3圍成的封閉圖形繞y軸旋轉一周后所得到

的幾何體（如圖2）,則該幾何體的體積為

圖1圖2

【答案】32兀

3

【解析】由題可得雙曲線的漸近線y=±]%與y=3的交點為（±2,3）,對于雙曲線上半

部分，如圖，構造底面圓心為坐標原點，底面半徑為2,高為3的圓柱，貝IS圓柱底=4兀，在圓

柱中挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，以圓柱上底面為底面的圓錐，用一平行于圓柱底面的

h

截面截圓錐，當截面與頂點的距離為/z（0W/zW3）時，設截得的小圓錐的底面半徑為人則由Q=

44

則陰影部分的截面面積為兀（/一乃=兀（4+g序一.層）=4兀，與所構造的圓柱底面面積相

等，故圖中陰影部分繞y軸旋轉所成幾何體的體積與所構造圓柱體的體積相等，由祖膽原理得

旋轉后所得幾何體的體積V=2X（4^X3+|X47iX3）=32TI.

【舉一反三1】祖曬（公元前5?6世紀）是我國齊梁時代的數學家，是祖沖之的兒子，他提出了一條原

原理："幕勢既同，則積不容異."這里的"幕"指水平截面的面積，"勢”指高.這句話的意思是：兩個等高的幾

22

何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體體積相等.設由橢圓「+當=1（。>6>0）所

ab

圍成的平面圖形繞y軸旋轉一周后，得一橄欖狀的幾何體（稱為橢球體），課本中介紹了應用祖胞原理求

球體體積公式的做法，請類比此法，求出橢球體體積，其體積等于（）

4,4

1

A.—JicrbB.—7tairC.2兀0bD.2兀ab°

33

【答案】A

【解析】橢圓的長半軸長為。，短半軸長為6,先構造兩個底面半徑為。，高為匕的圓柱，然后在圓柱內挖

去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐，根據祖眶原理得出橢球的體積

222

^]：V=2（ymi-Vm^=2[^xaxb-^7rxaxb\=^ab,故選：A.

教材挖掘拓展2：幾個特殊多面體（正四面體、正八面體、正二十面體、阿基米德體等）

思考：多面體（正四面體、正八面體、阿基米德體）如何放入正文體中？

1.正四面體的重要結論

（1）每個面都是正三角形的正四面體（如圖1）,此正四面體的體積為正方體體積的3.

⑵正四面體的外接球、內切球

若正四面體的棱長為/高為力，正四面體的外接球半徑為尼內切球半徑為r,則/2=坐/R

2.正八面體

【應用1】（多選）六氟化硫，化學式為SR,在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良

好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫結構為正八面體結構，如圖所示，硫原子位于正八面

體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點，若相鄰兩個氟原子之間的距離為加，則下列正確的

是（）

2711H2

A.該正八面體結構的外接球表面積為2兀根2B.該正八面體結構的內切球表面積為-----

C.該正八面體結構的表面積為2島？D.該正八面體結構的體積為0m3

【答案】ABC

【解析】對A：底面中心S到各頂點的距離相等，故S為外接球球心,

外接球半徑R=PS=V/〃，故該正八面體結構的外接球表面積S'=TTX（0機產=2?！?,故A正確;

2

對B：該正八面體結構的內切球半徑一=23V=華故內切球的表面積

S26ml2V3

2

yflm、

S〃=47ix衛(wèi)L,故B正確;

26)3

對C：由題知，各側面均為邊長為加的正三角形，故該正八面體結構的表面積S=8>4X32A2,

故C正確;

JI

對D：連接AS,PS,則AS=PS=PS，底面ABC。，故該正八面體結構的體積

2

V=2x-xm2x^-m=,故D錯誤；故選：ABC.

323

F0

3.阿基米德體

【鏈接教材】PH6T3阿基米德體

［應用1］（山東省實驗中學2024-2025學年高二上學期11月期中考試）立體幾何中有很多立體

圖形都體現了數學的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體

因其最早由阿基米德研究發(fā)現，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個棱數24,棱長為20的半正多面體,

它所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得的，下列結

論正確的有（）

B.A,F,C,。四點共面

C.點B到平面ACD的距離為漁

3

D.若E為線段BC上的動點,則直線DE與直線AF所成角的余弦值范圍為

【答案】ABD

【解析】"阿基米德體”是由如圖所示得到的，即"阿基米德體"的所有頂點都是正方體的棱的中點.

A選項：由圖可知AGL平面BCDG,A選項正確;

B選項：A,F,C,。四點均是正方體個棱上中點，，AF//CM,DF//MN,CD//AN,：.A,F,C,

。四點共面，B選擇正確;

C選項：如圖建立空間直角坐標系,

AG=\IAF2+FG2=4>，正方體棱長為4,，3(2,0,4),A(4,2,0),0(2,4,4),C(0,2,4),

所以CD=（2,2,0）,C4=（4,0,-4）,設平面ACD的一個法向量為4=（x,y,z）,

cX—\

CD-n.=2x+2y=0/、

則，解得y=T,即々=(1,-M),

CAn,=4x-4z=0,17

7=1

CB=(2,-2,0),

CB-nA2+24J3

???點B到平面AC￡＞的距離=F=故C選項錯誤;

叫733

設E(a,44)且a+>=2(0WaW2),所以EO=(2—a,a+2,0),AF=(0,2,2),

設。￡與川的夾角為e,

_DE-AF_2Q+4_a+2_+4a+4

B|D￡||AF|J(2一.+(.+2)2x2后V16+4a2V16+4/

?/\/+4。+41〃11

當。力0時，令'」)-4a?+16-]+/+4—上4,

Cl—

a

因為“+w22、以4=4當且僅當a=3,即a=2時取等號，

a\aa

所以一</(a)V—,即工<cosdV當a=0時，cos0=—,

4v72222

所以直線。E與直線AF所成角的余弦值范圍為5,甘，故D選項正確.故選：ABD.

4.正二十面體

【應用1】早期的畢達哥拉斯學派學者注意到：用等邊三角形或正方形為表面可構成四種規(guī)則的立體圖形,

即正四面體、正六面體、正八面體和正二十面體，它們的各個面和多面角都全等.如圖，正二十面體是由

20個等邊三角形組成的正多面體，共有12個頂點，30條棱,20個面，是五個柏拉圖多面體之一.如果把sin36。

按;3計算，則該正二十面體的外接球半徑與棱長的比為；該正二十面體的表面積與該正二十面體的

外接球表面積之比等于.

【解析】如圖，這個正二十面體上方的一個正五棱錐:

則正二十面體的外接球就是這個五棱錐的外接球.

不妨設正二十面體的棱長為2.如圖:

正五邊形MCDE的外接圓半徑就是黃金3CE的外接圓半徑,

2

設為「，則=2r=>r=-

sin36°3

A/1T

則尸到正五邊形ABCDE中心。1的距離為:

r

設正二十面體的外接球半徑為R,則R2=R+|||=R=M1.

(3)11

6A/1T_

所以正二十面體的外接球半徑與棱長的比為："_3舊.

2一11

2。亭455G

正二十面體的表面積與該正二十面體的外接球表面積之比：以后丫二年

4冗

故答案為：士叵；至叵

1136K

5.正方體重要性質：

（1）必修2P超例4（三角截面性質；正方體兩三角截面平行），必修二Pm例復習參考題綜合運用T12

（結論：體對角線垂直三角截面，垂足為截面三角的重心，兩平行三角截面三等分體對角線）。

（2）正方體體對角線與各棱所成的角相等，且與各個面所成的角相等。

（3）正六面體的斜截面問題有以下幾種情況：

【教材鏈接】1：本題源于2019年版人教版必修二P⑷例4已知正方體A3CD-44GA（圖8.5-16）,求

證：平面〃平面BCQ.

【鏈接教材】2：必修二Pm例復習參考題綜合運用T12

【應用1］在棱長為1的正方體ABC。-a4GA中，點M在線段3c上運動，則下列說法正確的是（）

A.直線3,，平面A與CDB.點B到平面4QD的距離為當

C.正方體所有棱長與平面所成角的都相等。

TTJT

D.異面直線AM與4。所成角的取值范圍是

142

【解析】法一（秒殺解）由正方體三角截面的性質（正方體三角截面平行且垂直體對角線

\：iM\J

且三等分體對角線，正方體所有棱長與三角截面所成角的都相等）

知BD]±平面4QD,故選項A錯誤；點B到平面4QD的距離為3。的g，即與，故B錯誤；C正確；

用排除法D選項錯誤。

法二（通法解）A錯，由正方體知，AQ1BR,BB]1面4耳GA，則BBx工AC，

±面3。1用,二AG±BDX,……（要證線線垂直，轉化為證一直線垂直另一直線所在平面）

同理，A}D±BD],則3。]，面4G。，而面A4CD與面4G。相交，?…（垂直同一直線的兩平面平

行）

故A錯。

B錯，三棱錐B-4C1D為棱長為血的正四面體，點B到平面4C1D的射影為A4C1。的重心，點B到平面

4G。的距離為J（0）2-（2后義走尸=2?..…（三角形重心定理，結合勾股定理）故B錯。

V323

C正確，在正三棱錐D1-4C1。中，側棱DD},2G與面4C1D的所成角的都相等，正方體的其余棱

長分別與42,DDp平行，故C正確。

D錯,當點M與線段用。的端點重合時，AM與4。所成角取得最小值?，故D錯。

正方體截面問題

【應用2】（安徽省皖南八校2024屆高三4月第三次聯考T7）如圖，在棱長為2正方體ABC。-44GR

中，內部有一個底面垂直于4。的圓錐，當該圓錐底面積最大時，圓錐體積最大為（）

A.y/3nB.—itC.——7tD.

226

【答案】C

【解析】如圖所示，取的中點，記為M,N,E,F,P,G,

易知六邊形MNEFPG為正六邊形,此時4c的中點。在正六邊形的中心，

當圓錐底面內切于正六邊形MAEFPG時該圓錐的底面積最大，

設此時圓錐底面圓半徑為乙因為MN=母，所以廠=Y3MN=Y5,

22

,3

圓錐底面積為5=兀尸=—兀，圓錐頂點為A（或C）處，

2

此時圓錐體積最大，此時v=，S.A0=Lx3jrx"+2?+21=37t.

3?3222

教材挖掘拓展3：重要結論

【鏈接教材1】（人教A版必修二P171立體幾何初步小結復習參考題8T15）從直線a,b和平面。這三個空

間元素中任取兩個，若已知它們與第三個元素有平行或垂直關系，則所取的兩個元素是否也有平行或垂直

關系？你能得到哪些結論？寫出一些你認為重要的，如果三個元素分別是直線m、平面。和夕，你能得到

哪些結論？

【解析】對直線a,b和平面。：

①a_L_LG=a//〃；①）a//b,a工①0b工①;

對直線m、平面。和萬；

①）m1a,m100a11/3m1a,a11（3=m1）3

【鏈接教材2】⑴（人教A版必修二Pl45Tl4）a,b是異面直線，aua,alIB，bu[3,blla,則a///?.

(2)ac°=a,bua,cu。,bile,求證a//b//c.

⑶如圖，平面￡///，7C(z=a,/c/?=b,cu/7,c//Z?.判斷c與a,c與a的位置關系，并說明理由.

【解析】c//a,c//a.理由如下：?平面a//月的a=a,/c#=仇.\、//".

//b,:.c//a又aua,csa,:.clla

(4)(人教A版必修二P155練習T4)垂直于同一條直線的兩個平面互相平行.aa±/3,則alIp.

(5)(人教A版必修二P160例9)已知平面a_L平面/，直線a，，，aBa,貝Ua〃O.

⑹(人教A版必修二P162T10)已知平面口，△7.滿足。_1_7，，_1_7，。門，=/求證：

⑺已知平面。，民7,宜a工丫0la,求證：夕”.

(8)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.

(9)過平面外一點，有且只有一條直線與這個平面垂直.

(9)過直線外一點，有且只有一個平面與這條直線垂直.

【應用1］易錯判斷：(人教A版必修二P162練習T2(4))平面夕內任意一點作交線’的垂線，則此垂線必垂

直于平面

析:若a內的任意一點取在交線/上，所作垂線可能不在平面1內，所以不一定要直于尸，故錯誤.

【應用2】已知a,￡是兩個不同的平面,加,〃是平面a及￡之外的兩條不同直線，給出下面四個論斷:①機J_w；②a

，用③wJ_用④加J_a以其中的三個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命

題:.(用序號表示)

【答案】①③④=②(或②③④=①,答案不唯一)

【解析】若①加_1_〃，②a_L￡?〃_L￡成立，則m與a可能平行也可能相交，即④％_La不一定成立;若①:w_Lw,②a

±/3,?m±a成立廁n與0可能平行也可能相交，即③w_L4不一定成立;若①③⑸④機成立，因為m

_1_”,〃_1_夕，所以"2〃w，又/"_La,所以0（_1_4即①③④=②;若②0!_1_夕,③"_1_夕,④根_La成立，因為a_L￡，"U，所以n

//%又〃z_La,所以機_1_〃,即②③④*1).

教材挖掘拓展4：三余弦定理

如圖所示，。為平面a內一點，直線/是平面a的一條過點。的斜線，。3為。4在平面

a內的射影，0c為平面a內任一直線，則cosZA0C=cosZAOBcosZBOC.

最小角定理cos氏cos⑦cos1?2如圖,若0A為平面a的一條斜線,O為斜足,OB為OA在平面a內的射影,OC

為平面a內的一條直線,其中0為。4與0C所成的角,仍為。4與0B所成的角，即線面角,分為。2與0C

所成的角，那么COSO=COS191COS1?2.

⑵若二面角A-BC-D的大小為a,平面ABC內的直線I與平面BCD所成的角為6,則a>6,當l±BC時,取等

號.

【鏈接教材】（選擇性必修一P38T2）B4,PB,PC是從點P出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為60°,

那么直線尸C與平面所成角的余弦值是（）.

A.-B.旦C.昱D.在

2233

【答案】C

【解析】法一：在PC上任取一點。并作。。上平面AP8,則/。尸。就是直線PC與平面物8所成的角.過

點。作OEJ_朋，OFA.PB,因為。0_L平面AP8,貝！JDFLPB.

△DEP^ADFP,:.EP=FP,:.△OEP"AOFP,

因為/APC=/BPC=60°,所以點。在/4P8的平分線上，即/OPE=30°.

設PE=1,,；/OPE=3Q°：.0P=---=

cos3003

在直角△尸皮>中，ZZ）PE=60°,PE=1,則尸。=2.

在直角△OOP中，。尸=宜3,PD=2.則皿。尸。嚼邛

3

即直線PC與平面B48所成角的余弦值是同

3

法二如圖所示，把PA,陽放在正方體中，PA,PB,PC的夾角均為60°.建立如圖所示的空間直角坐標系，

設正方體棱長為