2024-2025學年黑龍江省綏化市綏棱縣高三年級上冊12月月考數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年黑龍江省綏化市綏棱縣高三上學期12月月考數(shù)學

檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.已知集合”={123},3=桓/-2%一2<0},則4n8=（）

0

A.{1}B.停}C.，2,3}D.

1-

2.已知復數(shù)Z=l-i9貝IJz2（）

1131

l+-i1——i-1一一i-1——i

A.2B.2C.2D.2

3.已知向量g是單位向量，且（2。一5讓人則向量￡與3的夾角是（）

A.120。B.90。C.60°D,30。

r2

C:—~y2=l（a>0）

4.已知雙曲線Q，點加在°上，過點用作。兩條漸近線的垂線，垂

3

\MA]MB\=-

足分別為A,8,若I4,則雙曲線。的離心率為()

V6276273

A.2B.百C.3D.3

f—+

5.1”>的展開式中3的4系數(shù)為T05,則實數(shù)加二()

A.-2B.-1C.1D.2

C.D.

7.折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，

折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄、

決勝千里、大智大勇的象征（如圖1）.圖2是一個圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分）

，若兩個圓弧所在圓臺的底面半徑分別是八和2,且4=2小/。=10,圓臺的側(cè)

面積為150兀，則該圓臺的體積為（）

B

圖1圖2

35后175后875岳

A.3-3-C.3D8755/3n

V:-r-H---丁=L（Cl>P>0）

8.設橢圓b2"的弦力8與x軸，了軸分別交于C,。兩點,

|［。|:|卬:|。同=1:2:2,若直線的斜率左>0,則左的取值范圍是（）

（r-\//-\//—\//T-\

二、多選題（本大題共3小題）

9.某種金屬材料的長度隨環(huán)境溫度的改變而變化，某試驗室從9時到16時每隔一個

小時測得同一個金屬材料的長度依次為

3.62,3.61,3.65,3.62,3.63,3.63,3.62,3.64（單位：cm），貝!1（）

A.該金屬材料的長度的極差為0.04cm

B.該金屬材料的長度的眾數(shù)為3.63cm

C.該金屬材料的長度的中位數(shù)為3.625cm

D.該金屬材料的長度的第80百分位數(shù)為3.63cm

10.己知定義在R上的函數(shù)“X）滿足/（x+7）=/（x）+/（J）,當x>0時，/（x）>0,

"2）=4,則（）

A.55）=1°B.〃龍）為奇函數(shù)

C./（X）在R上單調(diào)遞減D.當時，/(x)-2>/(2x)

1_1____]_

11.若數(shù)列｛""｝前"項和為S",滿足/S“+84%+1,其中A、BeR,則稱總｝是

尸（48）數(shù)列，則下面選項正確的是（）

A.若則也｝是尸（1，°）數(shù)列B.若%=2",則也｝是尸OR）數(shù)列

C.0G°）數(shù)列是等差數(shù)列D.數(shù)列是等比數(shù)列

三、填空題（本大題共3小題）

12.甲、乙、丙、丁4名老師分到3所不同的鄉(xiāng)村學校支教，若每名老師只去一所學

校，每所學校都有老師去，且甲不和別的老師去同一所學校，則不同的支教分派方案有

種.

sinfa+—Vsina=—sin12a-'〕=

13.己知I3J4,則一1一6J

14.若不等式"'+（"+6卜一。對xe[l,2]恒J

或立，則8a+b的最大值為____________.

四、解答題（本大題共5小題）

15.已知數(shù)列｛""｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，J

[a5-256a3+a4=20a2

（1）求數(shù)列｛""｝的通項公式；

（2）設數(shù)列也｝滿足“=%+皿2。"，求數(shù)列也｝[的前"項和T".

16.記VN8C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為，Jb,c.已知°=4/，6=5,c=7.

（1）求cosN的值；

（2）若點。在邊上，且50=38,求ND.

17.如圖，在四棱錐P—BCD中,

ZADC=ZPAB=90°,BC=CD=-A1J

AD//BC2￡為/。的中點，PACD_

AED

（1）證明：平面P4B上平面PBD、

(2)若二面角P-CD-A為45。,求直線網(wǎng)與平面PCE所成角的正弦值.

3

18.在平面直角坐標系X，中，拋物線產(chǎn)=2"(p>0)上一點/的橫坐標為5,且點

A到焦點F的距離為2.

(1)求拋物線的方程；

(2)點尸在拋物線上，直線。尸與直線x=l交于。點，過點尸且平行于°尸的直線交拋

OP

物線于凡C兩點,K\FB\-\FC\=A\-\0^,求力的值.

19.已知"'"Mx.g(x)=/(x)-",若函數(shù)g。)有兩個零點加，力且加>">0.

(1)。的取值范圍；

“2一再<玉+工2

(2)證明：當2>玉>0時，/(Z)-/(%)2；

(3)證明：m+n>2e(注：e=2.718281…是自然對數(shù)的底數(shù)).

答案

1.【正確答案】B

【分析】化簡集合B,結(jié)合交集的概念即可得解.

【詳解】因為4={123},5={小2-2工-2<0}=《11一Ax<l+G},

所以如八{1,2}.

故選B.

2.【正確答案】D

-4-z=—(l+i)=-i-(l+i)=-l--i

【詳解】因為z=l-i,所以z2-2iv72v2.

故選：D.

3.【正確答案】C

【詳解】設向量2,否的夾角為夕，。.。兀］,由1為單位向量，得臼=出口,

由(24-否)_1_辦得(2a-?)%=2。4-7=2cos0-l=0解得2

0=-

所以3.

故選：C

4.【正確答案】D

Z\^--y2=12222

【詳解】設點“(%'%)，則。2°,即％一

又兩條漸近線方程為a,即x±-=0,故有

阿?阿二十上3

4

故選:D.

5.【正確答案】A

—+m|(x-,J=-(x-j)7+m(x—y^

【詳解】I'Jx'

（X7），的展開式的通項公式為&i=（T）'Ck，，所以U+L（T）C，X7

[6-r=3,

令'+/4'解得“3,

7—r=3,

mTr+l=m-(-iyC^'y''；令廠=4，解得r=4.

展開式中xV的系數(shù)為-105,可知（-1）七；+〃“-1）’C"-C；+加C；=（〃L1）C”T05

所以機=-2

故選：A.

6.【正確答案】B

e'(21),o

f（x）=的定義域為{""1},當x>l時，/0）-

【詳解】函數(shù)x-1x-\

e'(2x-l)

-<X<1“x)=<0

當2時,x-1，故選項C錯誤,

e'(21),oe'(2xT),o

0<x<—f(x)=/（x）=

當2時，八)x-1，當x<0時，x-1

故選項A錯誤,

「Qi)3e-2(-4-l)_5

R"T)=/(-2)=

FL-1-12e,-2-1

359e109e-10

>0

因為2e3e26e26e26e2所以/（T）>/（一2）,故選項D錯誤.

只有B中圖象符合題意，

故選：B

7.【正確答案】C

【分析】先求出圓臺的底面半徑和高，再利用臺體的體積公式求體積

【詳解】如圖:

2,2=21，

=150兀=兀(34)乂10=q=5

所以圓臺的高：〃=&。2_52=5

2

V=—G：+r2+5）=生”5+100+50）=8扃

所以圓臺的體積為.3',-3I）3

故選C.

8.【正確答案】A

［詳解］如圖所示，設式方必），8（々，乃），C（x°，°）,。（0，%）,直線=+

因為|陽:|卬:|國=1:2:2,所以2就=①，CD=DB,

所以2（%-%,-乂）=（-%,%）,（-%,%）=（尤2，%-%）,

=_A,2=f

即一-2,民=2況

所以"［當一"3（』,2%）,

9x（）*%_］_^o_+4—；_］5x；=15.；

因為48在橢圓上，所以彳斤一,/丁一，兩式相減得衣一才，即

b2

3^

a>b>0f

所以°<>，即。吟1V3

<-0<kAB<

3所以T,

故選：A.

9.【正確答案】AC

【詳解】A選項，最小值為3.61cm,最大值為3.65cm,故極差為

3.65-3.61=0.04cm）A正確；

B選項，3.62cm出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)次數(shù)最多，故眾數(shù)為3.62cm,B錯誤；

C選項,將數(shù)據(jù)從小到大排序，3.61,3.62,3.62,3.62,3.63,3.63,3.64,3.65,

3.62+3.63、…

--------------=3.625

選取第4個和第5個的數(shù)的平均數(shù)作為中位數(shù)，即2cm,C正確；

D選項，將數(shù)據(jù)從小到大排序，3.61,3.62,3.62,3.62,3.63,3.63,3.64,3.65,

8x80%=6.4,故選取第7個數(shù)作為第80百分位數(shù)，即3.64cm,D錯誤.

故選：AC.

10.【正確答案】ABD

【分析】A選項，賦值法得到")=2,/(4)=/⑵+/⑵=8,〃5)=10；B選項，先

賦值得到令^=-天得/(好+/5)=0,故B正確；C選項，令

x^xl,y^x2-xi且X2>X],當x>0時，/(x)>0；/(x2)-/(xj=/(x2-xj>0；從而

/(X)在R上單調(diào)遞增；D選項，先變形得到“X)-2=/(X)-/(1)=/(XT),又X<-1,故

xT>2x,由函數(shù)單調(diào)性得到D正確.

【詳解】A選項，小+>)=小)+/3)中，令》=1得，/(2)=/(1)+/(1),

又"2)=4,故“1)=2,

令/(》+了)=/(》)+/(y)中，令x=y=2得/(4)=/(2)+/(2)=8,

令x=4j=l得/(4+1)=/(4)+〃1)=8+2=10,即"5)=10,A正確；

B選項，/(x+y)=/(x)+/(y)中，令x=y=0得〃0)=/(0)+/(0),解得

/(x+y)=/(x)+/(y)中，令了=一》得/(》)+/(-幻=/(0)=°,

故〃龍)為奇函數(shù)，B正確；

C選項，/(x+y)=/(x)+/(y)中，令x=x”y=X2-網(wǎng)，且工2>再，

故/(再+9-西)-/(占)=/(%-再)，即/(尤2)-/(%)=〃%2-再)，

當x>0時，/(x)>0,故/(%)-/(占)=/(%-再)>。，

即〃了2)>“再)，故〃x)在R上單調(diào)遞增，c錯誤；

D選項，70)=2,/(x)-2=/(x)-/(l)=/(x-l)；

又X<T,故xT>2x,

又f(x)在R上單調(diào)遞增，所以〃X)-2>/(2X),D正確.

故選ABD.

11.【正確答案】BCD

s.（〃+i）

【詳解】若0"=",則"-2,等式兩邊同時取倒數(shù)可得

匚―=2仕一-L]

Snn（n+\）\nn+lJ

1_1__1___J___j_

所以2S”"n+\an%,所以包｝是尸0，°）數(shù)列，故A錯誤；

2（1-2〃）

c—\1—D"+1_9,

若％=2",則"一1-2",所以S“+2=2",所以

1_1_11_11

==尹=吩-尸丁心，

所以｛""｝是尸0Z數(shù)列，故B正確；

J_=J____1:一”+1一%

已知0（2,0）數(shù)列，則有2S“an%anan+l；

aa

S=?n+is=

當〃22時，2（。用一%）,2（an-a??|）,

a:a,%+i%%

兩式相減得“2（%+1-%）2（%-%）,

]=%+i_________%

又見了0,所以2（a?+1-a?）2（a,-%）,

即2（a?+1-an）（an-%）=an+l（a“一an_t）-%（%+「%）,

整理得（%+i=%（%-%）,

又見產(chǎn)°,所以羽=%+%,所以｛"J是等差數(shù)列，故選項C正確；

1__J____1_

因為數(shù)列｛"｝（）數(shù)列，所以S“+8冊%,

aa+1aia

Sn+B=""Sn.+B="-"

*z八〃n—i

所以%*。.當時，（i）,對一見一（ii）,

a「。“一避.

（i）~（ii）可得”,

1ra“+i-I

因為％“0,所以%+「4，%

所以Q+i-"，，）（"，，-a，T）=""+i（”，，-a，，T）-a，T（a，，+i-a，，），整理可得可；=。"+血”-1,

又見、°，所以｛"J等比數(shù)列，故選項D正確.

故選：BCD.

12.【正確答案】18

【詳解】完成這件事，可分為3個步驟：

第1步，先從3所不同的鄉(xiāng)村學校中選1所安排甲去，則有°；種方法；

第2步，將乙、丙、丁3位老師分成兩組，3人中選2人1組，另1人自己1組，有

砥種方法；2

第3步，將兩組老師分配到另外2所學校中去，有人；種方法，

故由分步計數(shù)原理，得不同的支教分派方案有C；C；A；=3x3x2=18種.

故答案為.18

_7

13.【正確答案】8/-0.875

.(.1.V3V3

sina+—+sma=—sma+——cosa+sma=——

【詳解】因為I224,

廠1Vs11.r?!

V3sin6r+coscr=———sina+—cosa=—sma+—

所以2,則224,故I6.

sin[2a一弓)=sin[2a+]—])=-cos[2a+])=-1-2sin21a+.

_7

故答案為.一w

14.【正確答案】3

22

a|x+1--|+<1x+1-J.

【分析】先將不等式變形為?IX)，再把龍看成整體求解函數(shù)的值

域，由不等式恒成立可得關于凡'的不等關系，再利用不等關系表達所求式8a+Z),并

求其范圍探究最值即可.

a[x1+\-—\+b<1

|tzx3+(a+b^x-6r|<x可彳曰

【詳解】由

一+」1￡

21,2

f(x)=x+1—GF1,21r,、

令％L」，則/(X)在口2］上單調(diào)遞增，所以X2

a[x2+l-—\+b<1

對XE［1，2］恒成立,

由

95a+6)—(Q+6)W3

-1<a+b<!,-1<—a+b<\]>(..8Q+6=2

所以2,貝+z1故

9?

-a-\-bk=I

'24ii

/L\ia—b-----

當且僅當L(a+")=1,即7'7時，等號成立，故8a+6的最大值為3.

故答案為.3

15.【正確答案】（l）%=4'i

7>—

⑵33

【詳解】（1）設等比數(shù)列｛"」的公比為由%+%=20出,

得《（72+4爐=20%4,...｛%｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，貝u%>0,?>0,

貝l"+g_20=0,解得4=4或q=-5(舍),又應=256,所以qr=256

解得q=1,所以“"=a0i='I

1

(2)/=/+l°gq=4"T+log24"-'=4-+2n-2

所以北=(1+0)+(4+2)+(16+4)+…+(4'i+2〃_2)

(1+4+16+…+4"-)+(0+2+4+…+2”-2)

1XQ-4")+〃(O+2〃-2)

4"21

=----1-n—n—

1-4233

3

16.【正確答案】（1）二

⑵40=5.

【詳解】（1）如圖，在V/8C中，因為。=4a,6=5,c=7,

,b2+c2—a252+72—(40_3

cosA=--------------

所以2bc2x5x7-5

（2）方法一因為點。在邊2c上，且8。=3。,

所以BD=3?,CD=6,

a2+c2-b2_V2

cosB=

又因為2ac2

所以在△48。中，由余弦定理得

2222

AD=c+fir)-2-c-JBZ>-cos5=7+(3V2^-2x7x3V2x—=25

V72可得W=5.

方法二?.?麗=3況，

—?3—?1—?

AD=-AC+-AB

44,

=—I4C2+—I452+-I4C-15=—X25+—X49+-X5X7COSZ^C

II1616816168

225493-3”

=-----+F—x5x7x—=25

161685,

：\AD\=5,即35.

17.【正確答案】（1）證明見解析

1

（2）3

【詳解】（1）證明：連接BD,

由已知，PALCD,ZPAB=90°,即

且與CD是平面/BCD內(nèi)的兩條相交直線，

平面ABCD_

又ADu平面A8CD,所以P418。，

BC=CD=-AD

由于/4DC=90。，￡為40的中點，且2,

所以四邊形8CDE為正方形，即CE_L8D,又可得力臺以為平行四邊形,

所以

PAAAB=A,PA,ABu平面,

.?.AD)平面尸又ADu平面尸8。，

所以平面「48，平面依。；

(2)

???CD，平面尸4D,.?./?/)/為二面角P-C。-/的平面角，從而NPDA=45°.

如圖所示，在平面/BCD內(nèi)，作力■I/O,以/為原點，分別以“2/P所在直線為

x軸，z軸建立空間直角坐標系"一砂z,

設3c=1,則/（0,0,0）,尸（。,0,2）,E（1,O,O）,C（2,1,0）,

.屋=（1,0,-2）,就=（l,l,0）,AP=（0,0,2）

設平面尸C￡的法向量萬=（x/，z）,

Jn-PE=x-2z=0

貝q1萬.EC=x+y=0,取x=2,則元=（2，—2,1）,

設直線?Z與平面PCE所成角為a,

.M,叫21

則同日尸|2匹百萬3,

￡

...直線尸/與平面尸CE所成角的正弦值為

18.【正確答案】⑴「=2x

⑵萬

【詳解】（1）因為點A到焦點廠的距離為2,

所以點A到拋物線準線的距離為2,

x.P3

拋物線的準線方程為2,點A的橫坐標為2,

?。=2

22,解得°=1,

,拋物線的方程為V=2x

y=不力

（2）如圖，易知直線8c的斜率存在，設直線8c的方程為

k2x2-(^k2+2)x+,2=Q

左2。0

2，.二左W0

△=(/+2)-左4>0

k2+2￡

B(xi,yl),C(x2,y2),:.xl+x2=--

設4,

|F5|=X1+|,|FC|=X2+|

'''\FB\'|FC|=N+gj)+g]=千2+g&+x?)+；=

BCHOP,則直線0P的方程為y=b,

(y=kx

聯(lián)立(y2=2%,消歹得心2—