2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)開學(xué)摸底考（蘇教版選擇性必修第一冊+空間向量與立體幾何）（全解全析）

2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)摸底考

（蘇教版2019）

全解全析

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.經(jīng)過點。,0）且傾斜角為45°的直線的方程為（）

x-y-l=0B.X+J-1=0

x+-\/3v-1=0D.-\/3x+y-1=0

【答案】A

【解析】由直線的傾斜角為45°可知斜率為4=tan450=1，

再因為直線經(jīng)過點（1,0）,由點斜式直線方程得：y=x-l,

整理得：x-y-l=0,

故選:A

2.己知廠是拋物線=2眇（p〉0）的焦點，點

355

A.-B.-C.一

884

【答案】c

1125

【解析】由已知l=2px—,p=2,所以|4F|=—+—=—.

故選：C

3.如圖，在平行六面體/BCD—44GA中，E為8c延長線上一點，BC=2CE，則用可以表示為

—■1—■—.

B.AB+-AD-AA.

21

—?3—?—?—?3—?—■

C.AB+-AD+AA,D.AB+-AD-AA,

2121

【答案】B

【解析】D^=D^C+CE=DT>+DC+-BC^-AAy+AB+-AD.

11122

故選：B.

4.已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，%，%，為函數(shù)/(xbgx2+lnx-3x+l的兩個極值點，則為+生=(

A.1B.3C.右D.3+6

2

【答案】B

【解析】由/(x)=；；x2+inx—3x+l得，/(x)=x+--3=~^+1,

2xx

令/'(x)=0,得3x+l=0,且x=0不是該方程的根.易知判別式大于0,

1、

因為%,%為函數(shù)/(》)=耳丁+lnx-3x+l的兩個極值點,

。2，%是方程/-3x+l=0的兩正根，由韋達(dá)定理可得，

a2+a7=3,因為｛%｝為等差數(shù)列，所以。4+%=3.

故選：B.

5.圓心為(1,2)且與直線3x+4y—1=0相切的圓的方程為()

A.(x+l)2+(v+2)2=2B.(X+1)2+(J+2)2=4

C.(x-Ip+(y-2)2=4D.(ip+(一)2=2

【答案】C

,、13x1+4x2-11

【解析】點（1,2）到直線3x+4y—1=0的距離d=??=2,

因為圓與直線3x+4y—1=0相切，所以圓的半徑r=d=2,

所以圓的方程為（x—Ip+（y—2）2=今

故選：C

6.在棱長為4的正方體4BCD—481GA中，E,E,G分別是棱5C,8凸,?？诘闹悬c，過尸G作平面

a,使得4E〃a,則點A到平面a的距離是（）

,2V17口6V17010V17八14a

17171717

【答案】D

以。原點，ZX4為％軸，。。為V軸，。，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

???4（4,0,4）,￡（2,4,0）,G（0,0,2）,尸（4,4,2）,2（4,0,0）,

.-.￡4=（2,-4,4）,GF=（4,4,0）,ZG=（-4,0,2）,

設(shè)平面a的一個法向量為五=（d"c）,

*/A、E〃a.GFua,

:.EAxLn,GFLn,

GF?力=4。+4b=0

即拓=（2,-2,—3）為平面a的一個法向量,

\AG-r\14

點A到平面a的距離d=1,,1=T

\n\一后一17

故選：D

22

7.己知雙曲線C：0—a=1（。〉0）〉0）的左、右焦點分別為片，F(xiàn)2,過片且斜率為5的直線交C

的右支于點P,且可?%=0,則C的離心率等于（）

A.V2B.V3D.V5

【答案】D

【解析】T^\PFX\=m,\PF2\=n,

因為過片且斜率為g的直線交。的右支于點尸，且尸片?尸￡=0,所以尸

2

所以《+〃2-4c2,解得<n=2a,

m-n=2ac=y[5a

所以c的離心率6=工=丫吆=6

aa

故選：D.

8.已知為數(shù)列｛4｝的前〃項和，且S〃=2%—2,若24N21og24+3對任意正整數(shù)〃恒成立，則實

數(shù)2的最小值為（）

7

2

【答案】A

【解析】由S”=2%—2,令〃=1,解得4=2,

當(dāng)〃22時，由。"=:一；得%=S“-S“T=2%-2%T，即2=2（"22）,

所以數(shù)列｛4｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以a“=2”,

由4%2210g24+3,即「恒成立，令則2N(g)max，

乙乙

1.r\<

而C〃M—g=—J<0,所以C"M<C"，即數(shù)列｛g｝單調(diào)遞減，故(c“)max=q=5，

所以所以2的最小值為9.

22

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.已知函數(shù)/(x)=d—x+1,貝I]()

A.7(x)有兩個極值點B./(x)有三個零點

C.點(0,1)是曲線y=/(x)的對稱中心D.直線y=2x是曲線)=/(x)的切線

【答案】AC

【解析】由題，//(x)=3x2-l,令/'(x)〉0得％〉/或x<—理，

令八x)<0得—且<x<立，

33

所以/(X)在(-*-g)，(1,+00)上單調(diào)遞增，(-理，理)上單調(diào)遞減，所以x=±1是極值點，故

A正確；

甲乙2-\/3,。、2y[3f()\?/八

因/(-1-)=1+—^—〉0，f(-^-)=1-―>0，/(-2)=-5<0,

所以，函數(shù)/(X)在-8,一亭j上有一個零點，

當(dāng)時，/j〉0,即函數(shù)/(X)在y^.+co上無零點，

綜上所述，函數(shù)/(X)有一個零點，故B錯誤；

令人(%)=》3-工，該函數(shù)的定義域為R,/z(-x)=(-X)3-(-X)=-x3+x=-/z(x),

則力(%)是奇函數(shù),(0,0)是秋無)的對稱中心,

將/z(x)的圖象向上移動一個單位得到/(X)的圖象，

所以點(0,1)是曲線V=/(%)的對稱中心，故C正確；

令/'(%)=3》2-1=2,可得X=±l,又/⑴=/(一1)=1，

當(dāng)切點為(1,1)時，切線方程為＞=2x—1,當(dāng)切點為(-1,1)時，切線方程為＞=2x+3,故D錯誤.

故選：AC.

10.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是()

A.若直線/的方向向量為浣2,1),平面a的法向量為3=(—貝

—■1—-1—-1--

B.若空間中任意一點。，有0/+-08+—OC,則P、A、B、C四點共面

362

c.若空間向量2、刃滿足￡/＜0,則Z與石夾角為鈍角

__(1O

D.若空間向量a=(l,0,l),Z)=(O,l,-l),則￡在加上的投影向量為0，-不弓

\22)

【答案】ABD

【解析】對于A選項，因為機=〃，貝1A對；

—■1—■1—-1—.

對于B選項，因為。尸=一0/+—。8+—0。，所以，6OP=2OA+OB+3OC＞

362

則而-礪=2(E-而)+3(雙-赤)，即麗=2強+3定，

所以，BP＞方、定共面，故尸、A、B、。四點共面，B對；

對于C選項，設(shè)空間向量￡、B的夾角為8,則口片=忖1卜05。＜0,所以，cos6)＜0,

7T

又因為0W9W兀，則一＜。＜兀，C錯；

2

對于D選項，若空間向量2=(1,0,1),^=(0,1,-1),

則[在B上的投影向量為"Tacos',否＞]=問?命?]!="%=—=D對.

故選：ABD.

11.在2024年巴黎奧運會藝術(shù)體操項目集體全能決賽中，中國隊以69.800分的成績奪得金牌，這是中國藝

術(shù)體操隊在奧運會上獲得的第一枚金牌.藝術(shù)體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它可看作

由拋物線C:/=2px(p＞0)繞其頂點分別逆時針旋轉(zhuǎn)90°、180°、270°后所得三條曲線與C圍成的(如圖

陰影區(qū)域)，45為C與其中兩條曲線的交點，若P=1,則()

A.開口向上的拋物線的方程為歹=51/7

B.\AB\=2

J?

c.直線x+y=/截第一象限花瓣的弦長最大值為安

2

D.陰影區(qū)域的面積大于4

【答案】ACD

【解析】由題意得開口向右的拋物線方程為C:「=2x,焦點為耳(；,0),

將其逆時針旋轉(zhuǎn)90。后得到的拋物線開口向上，焦點為月(0,。),

則其方程為/=2y,故A選項正確；

V2=2x--

由《，得x=0或x=2,即/=2,所以3^=2,

x=2y

由對稱性得幺(2,2),5(2,-2),所以|48|=4,故B錯誤;

如圖，設(shè)直線》+?=/與第一象限花瓣分別交于點M、N,

y=-x+1xN=,27+1—1

由2c得,------

-2_PyN=t+l—y2t+l

所以可?+l—J2/+1,J2/+1—1),N(j2/+1-1/+1-J2/+1),

所以|AW|=^2(t+2-2y/2t+iy=V2|/+2-2J2/+1I，

有圖知直線x+_y=f經(jīng)過點A時力取最大值4,經(jīng)過點。時/取最小值0,

即在第一象限部分滿足0</<4,

,-------〃2―1

設(shè)”=技工I，貝IJ1<M<3,故

代入得|2W|=&|^^+2—2M|=^|(M-2)2-1|(1<W<3),

J?

當(dāng)〃=2時，取最大值注，故C正確；

2

對于D,根據(jù)對稱性，每個象限的花瓣形狀大小相同，

所以可以先求g部分面積的近似值，

如圖，

/|

1,

在y=—V(>0)取一點尸，使過點尸的切線與直線0/平行,

2x

由_/=x=1可得切點坐標(biāo)為尸(1,；),

1_

因為/。力：》—了=0,所以點尸到直線。4的距離d=上_=也，

一"4

所以邑

由圖知半個花瓣的面積必大于3,

所以陰影區(qū)域的面積大于8x^=4,故D正確.

2

故選：ACD.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12..已知等比數(shù)列｛?！埃凉M足%+。8=一3,%。7=2，則。6=.

【答案】—近

【解析】因為數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，由a5a7=2=。4a8=2，

所以a：=2,a6=±V2,

由%+〃8=-3<0,a4a8=2〉0,知。心外均為負(fù)數(shù)，

所以等比數(shù)列｛%｝中偶數(shù)項均為負(fù)，即4=-J5

故答案為：―垃

13.己知函數(shù)/(X)=—e~+x+2,若對于任意xe[e,+co),/(x)WXx恒成立，則實數(shù)2的取值范圍為

【答案】)-2-I--bl,+oo^.

【解析】/(x)=—e"i+x+2,

-2

因為xNe,所以由一e'T+%+2VXx，即X〉-----+—+1.

XX

p'T?

設(shè)g(x)=-----1---F1(X>e)，

XX

則g，⑴=—史=1—W=e，T(l7)-2<o在上，+⑹上恒成立，

XXX

2

所以函數(shù)g(x)在[e,+8)上單調(diào)遞減，所以g(x)max=g(e)=—ee<+—+1,

e

2「2、

所以42—ee-2+—+1,即實數(shù)幾的取值范圍是一ee-?+—+1,+8.

eLeJ

故答案為：—e,-2+|+l,+co)

14.已知點p為橢圓。：亍+(1=1上第一象限的一點，左、右焦點為片，F(xiàn)2,/月平的平分線與x軸交

于點過點片作直線PW的垂線，垂足為〃，。為坐標(biāo)原點，若則△片P片面積為

3

【答案】一

2

【解析】如圖所示，延長々N,交率的延長線于點N,

5

因為7H為此尸鳥的平分線，PH工AN,由三線合一得△/與N為等腰三角形,

即閨P|=|PN|,〃為片N的中點，

因為O為大鳥的中點，所以。〃為鳥的中位線，

故因N|=2|CM=1,設(shè)舊尸|=機，

由橢圓定義知，閨尸|=2。—同尸|=4—機，

3

由閨尸|二得4一加=加+1,解得加二屋

故阮尸|=于閨尸|=相

在APFF2中，由余弦定理得cos/RPF?=M29j7^聞

故sinN片尸耳=

故S西6=；|鳥尸|?閨尸|sinNFFB=1X|X|X1=1.

乙乙乙乙J乙

3

故答案為：一

2

四、解答題:本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）

已知圓Cd+V_4x-6y+4=0,過點尸（4,2）的直線/與C交于點河，N,5.\MN\=4.

Cl）求/的方程；

（2）設(shè)。為坐標(biāo)原點，求而.而的值.

【答案】（1）2x-y-6=0（2）16

【解析】（1）將圓C：x2+/-4x-6y+4=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程：（x—2）?+（>—3『=9,

則圓心C（2,3）,半徑r=3；

當(dāng)直線/的斜率不存在時，直線/的方程為x=4,

在圓。：12+>2-4%一6歹+4=0中，

令x=4,Wj2-6v+4=0,解得y=3土垂）,

此時|MV|=2逐，與題意矛盾，

所以直線/的斜率存在，設(shè)斜率為左，

則直線/的方程為V—2="x—4）,即云—y—4左+2=0,

因為=4,

所以圓心C（2,3）到直線/的距離4==J9—4=y/5>

\2k-3-4k+2\

所以=V5,解得左=2,

收+1

所以直線/的方程為2x—y—6=0,

綜上所述，直線/的方程為2x-y-6=0；

（2）設(shè)M（X”I）,N（X2/2）,

2x-y-6=0

聯(lián)立《［八…34=0,消"—耽+76=0,

o76

則玉+=8,x1x2=—

4

故%為=（2再一6）（2%2-6）=4占％2-12（M+々）+36=w，

——■—■764

所以O(shè)AfON=xxx2+yry2=—+y=16.

如圖，在四棱錐尸—45C。中，尸2,平面45cD,ADLCD,AD//BC,PA=AD=CD=2,

PF1

BC=3,E為尸。中點，點R在線段尸C上，且——

PC3

（1）求證：CZ）_L平面尸40；

（2）求直線尸。與平面ZE尸所成角的正弦值；

（3）求平面/￡尸與平面ZE尸所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）逅（3）近

33

【解析】（1）證明：如圖，以。為原點，分別以D4,。。為x軸，V軸，過。作/P平行線為z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系，

則。（0,0,0）,4（2,0,0）,C（0,2,0）,尸（2,0,2）,得灰=（0,2,0）,方3=（2,0,0）,赤=（2,0,2）,

所以皮?方2=0，反?麗=0，即反，方，DC1DP>又DAcDP=D，所以平面

PAD；

(2)由可是/=(—1,0,1),

由而」定=222)<424224^

可得尸|；，彳，彳,所以Z尸

33,3^3)13333'3'3)

設(shè)機=（x,y,z）為平面4EF的法向量,

m?AE=-x+z=0

則一一?224不妨設(shè)x=l,則y=—l,z=l,故加=(1,一1,1),

m-AF=——x+—y+—z=0

333

設(shè)直線產(chǎn)。與平面4ER所成角為。，所以sin8=cos（浣?萬A）4

73.2723

則直線PD與平面AEF所成角的正弦值為立；

3

（2）因為反=（0,2,0）為平面尸/￡的法向量，設(shè)二面角尸—ZE—尸的大小為a,

=￡，所以sina=Y6.則二面角E-ZE-尸的正弦值為"

333

已知數(shù)列｛%｝的首項%=1,前"項和為S",且S“+i=25"+”+l(〃eN*)■設(shè)4=%+L

（1）求數(shù)列也｝的通項公式;

（2）設(shè)一，數(shù)列｛%｝的前〃項和為北,證明：^<Tn<\.

4（log2，JT32

n

【答案】(1)bn=2(2)證明見解析

【解析】(1)在數(shù)列｛%｝中，S"+]=2S.+〃+l(〃eN*)①，

Sn=2S.―]+"(〃22)②,

由①-②得:S“+「S”=2(S「S“_i)+l,即，*=2%+1(〃22),

所以%+i+1=2(a?+l)(n>2),即bn+l=2bn(?>2),

在①中令〃=1,得52=2岳+2,即q+%=2q+2,而q=l,故。2=3.

則出+1=2(%+1),即8=2bl,

又4=q+l=2w0,所以"=2(〃eN*),

所以數(shù)列｛a｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以"=2"；

_]_]_]_]_(_J______

⑵=4(log2〃)2—1=4/—廣(21乂2〃+1)—2〃+1)

又因為g=W7〉o,所以雹2。=［所以gvia；.

4〃一1332

18.（17分）

22

己知點尸1，國分別為雙曲線及L一二=1（°>0,b>0）的左、右焦點，點/1到雙曲線￡的漸近線的距

-a2b2

離為2JI,點/為雙曲線E的右頂點，且/尸1=2/尸2.

（1）求雙曲線￡的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若四邊形N8C。為矩形，其中點8,。在雙曲線E上，求證：直線8。過定點.

【答案】（1）N—不=1（2）證明見解析

8

【解析】（1）設(shè)焦距為2c,則尸i（—c,0）,

故點尸1到雙曲線E的漸近線bx±ay—0的距離為—=b=2叵

Vb2+a2

由4/1=2//2，知c+a=2（c—q）,得c=3a.

又因為02=〃2+62,所以（3。）2=層+8,解得〃=1.

所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2--=l.

8

（2）證明：①當(dāng)直線2。的斜率不存在時，

9

由48_LN。可得直線8。的方程為》=一一.

7

②當(dāng)直線AD的斜率存在時，設(shè)直線3。的方程為^=區(qū)+加，3（修，乃），D（X2,y2）,

y^_

聯(lián)立x~~§—）^（8—F）x2—2kmx—zn2—8=0.

y—kx-Vm,

瑞，-m2+8

當(dāng)

8-F

因為四邊形4BCZ）為矩形，所以

所以45（。=（修-1,%），（切―1，”）=（修一1）（%2-l）+yU2=0,

所以（％i—1）（^2—1）+（kx\+jn）（kx2（^2+1）x1X2+（km-1）（xi~\~X2）+m2+1=0,

所以（舊+1）（冽2+8）+2初2（?一1）+（8—1）（加2+1）0

8-F8-F8-F'

所以7m2—2km—9吩=3

9

所以（加+左）（7加一9左）=0,所以m=~k或m=-k.

7

當(dāng)加=一左時，直線8。的方程為3；=去一左=左(工一1),恒過定點/(I,0),不合題意，舍去.

9999

當(dāng)加=一左時，直線5。的方程為歹=履+-左=左(%+-)，怛過定點(一一，0).

7777

9

綜上①②，直線5。恒過定點(一-，0).

7

19.(17分)

設(shè)函數(shù)/(%)=*-2%-1,a￡R,

(1)討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性；