2024-2025學年湖北省高二年級上冊期中聯(lián)考數學檢測試題（含解析）

2024-2025學年湖北省高二上學期期中聯(lián)考數學檢測試題

一、單選題(本大題共8小題)

1.設復數z=(1+1乂1+產)則z的虛部為(

A.2iB.-2iC.2D.-2

2.已知三點”(2,1),8(T,2),C(1,-1),則過點C的直線/與線段AB有公共點時,直線

/斜率的取值范圍為()

3

2-00,――LJ[2,+oo)2

A."IB.C.-1D.

-0O,-|ju(2,+co)

已知則存在就方向上的投影向量的坐標為(

3./(2,1,3),8(1,3,4),C(4,-1,3),)

A.(2，-2,0)B.C.(-1,2,1)D.4T°

圓與圓苫一的公共弦長為(

4./+/=4/+/-44>+4=°)

A.也B.出C.2后D.2也

已知平面向量力3滿足3=(8/)向=4,|2/+5|=4石.則向量方與向量B的夾角為(

5.

)

717171兀

A.3B.4C.6D.12

6.一個不透明的盒子中裝有大小和質地都相同的編號分別為1,2,3,4,5,6的

6個小球，從中任意摸出兩個球.設事件4="摸出的兩個球的編號之和不超過6”，

事件4="摸出的兩個球的編號都大于3"，事件4="摸出的兩個球中有編號為4的

球”，則()

A.事件4與事件4是相互獨立事件B.事件4與事件4是對立事件

c.事件4%與事件4是互斥事件D.事件4c4與事件4n4是互斥事件

7.如圖，在正四棱臺"CD-48c2中，

—“1—?—?2—**]11(

AB=24B「AE=—AB,DF=—DA,AG=-AA”

234.直線'Ci與平面EFG交于點〃，則

AM

~AQ

()

62_11

A.23B.16C.19D.行

8.閱讀材料：空間直角坐標系。-中z中，過點°&，%，2。）且一個法向量為

萬=（凡瓦,）的平面a的方程為“、-％）+"尸%）+。（2一。）=0,閱讀上面材料，解決下面

問題：已知平面a的方程為x+〉+4z-3=0,直線/是平面夕：》+2廣3=0與平面

/：2y+z+l=°的交線，則直線/與平面a所成角的正弦值為（）

J_也立立

A.2B.2C.3D.2

二、多選題（本大題共3小題）

9.下列說法不正確的是（）

A.若直線的斜率為tana,則此直線的傾斜角為?

B.不與坐標軸平行或重合的直線，其方程一定可以寫成兩點式

C.。=1是直線?+（"-1）＞-2=°與直線（。一1"+肛+2=°垂直的充要條件

D.是直線以+（。一1》-2=0與直線（aT）x+ay+2=0平行的充要條件

10.如圖，棱長為2的正方體,8。-4442中，￡為棱的中點，尸為正方形

GCDQ內的一個動點（包括邊界），且用尸//平面”不￡,則下列說法正確的有（

A.同用+。制的最小值為3后

2_

B.當8尸與48垂直時，直線4尸與平面/BCD所成的角的正切值為M

c.三棱錐廠一4?！牦w積的最小值為§

D.當三棱錐用一尸的體積最大時，其外接球的表面積為25兀

11.已知曲線C：（*+r一2）=4-8”點尸（毛,%）為曲線0上任意一點,則（j

A.曲線C的圖象表示兩個圓B./+只+1的最大值是9+4及

%+4

C.%-2的取值范圍是（-甩T］U［7,+CO）D.直線x+V+2=°與曲線C有且僅有2

個交點

三、填空題（本大題共3小題）

12.經過點尸（1，2）,且在〉軸上的截距為x軸上截距的2倍的直線方程為.

13.在平面直角坐標系Oxy中，圓°工+/-2如-2y+/=0上存在點尸到點（2,0）的距

離為2,則實數a的取值范圍為.

14.已知實數和%滿足x；+賢三4,1+舅-4,再7+%%=2,則

|再+必-2|+|x2+%-2|的最大值為.

四、解答題（本大題共5小題）

15.在V/8C中，已知點C（4,5）,/C邊上的高線所在的直線方程為x+y-11=0,角

A的平分線所在的直線方程為3x-y+3=0.

（1）求直線AC的方程；

（2）求直線AB的方程.

cosAsin2B

16.記V48c的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,己知1+sinNl+cos28,

（b+c）（sinC-sin3）=（a+6）sinA

（1）求B；

3G

（2）若V/8C的面積為丁，求BC邊上中線的長.

17.黃石二中舉行數學競賽校內選拔賽（滿分100分），為了了解本次競賽成績的情況,

隨機抽取了100名參賽學生的成績，并分成了五組：第一組［50,60）,第二組［60,70）,

第三組170,80）,第四組［80,90）,第五組［90,100］繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已

知第一、二組的頻率之和為0.3,第一組和第五組的頻率相同.

組數據的中點值代替)；

(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法選取20人，第二組考生成績的平均數和方

差分別為65和40,第四組考生成績的平均數和方差分別為83和70,據此估計這次

第二組和第四組所有參賽學生成績的方差；

2

(3)甲、乙、丙3名同學同時做試卷中同一道題，已知甲能解出該題的概率為3,乙能

￡j_

解出而丙不能解出該題的概率為W，甲、丙都能解出該題的概率為萬，假設他們三人

是否解出該題互不影響，求甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率.

18.如圖，在四棱錐中，A加3為等邊三角形，AB=BC=BD,

AD=CD=2,NADC=120°,PD=a,F為4D的中點

P

(1)求證：平面尸48,平面“BCD；

(2)若點E在線段「0上運動(不包括端點)，設平面P/Bc平面PCO=/,當直線/與平

面8訪所成角取最大值時，求平面8跖與平面C所夾角的余弦值.

19.阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時期數學

三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個動點P到兩個定點的距離之比為常數且2"),

那么點尸的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標系中，已知

R(T,0),Q(0,&)直線4"x-y+2/+3=0,直線4：X+力+3t+2=0,點尸為4和4的交點.

(1)求點尸的軌跡方程C；

(2)點”為曲線C與x軸正半軸的交點，直線/交曲線C于A,B兩點，M與A,B兩

點不重合，直線MA、MB的斜率分別為儲%且證明直線/過定點，并

求出該定點；

-3\PR\+1-\PQ\

(3)當點尸在曲線。上運動時，求22的最小值.

答案

1.【正確答案】C

|2024?4x506

【詳解】因為

所以z=Q+D(l+產)=2(l+i)=2+2i,其虛部為：2.

故選：C

2.【正確答案】B

k_______2^BC=-----7---7=----

【詳解】運用兩點間的斜率公式，"一1-2一,1一(一1)2

過點C的直線/與線段AB有公共點時，如圖所示，

3

(-°0--]U[2,+oo)

直線/斜率的取值范圍是?

故選：B.

3.【正確答案】D

[詳解]因為力(2,1,3),8(1,3,4),。(4,一1,3),所以45=(-1,2,1),AC=(2,-2,0)?

所以AB'AC=—2—4+0=—6,

AB-AC——?-633

?"=a⑵TO)"”,],。)

所以與在前方向上的投影向量的坐標為I就產

故選：D.

4.【正確答案】C

【詳解】圓/+'=4①與圓-4x-4y+4=0②，

①一②得4x+4廣4=4,即公共弦方程為x+y-2=Qt

又圓/+必=4的半徑為廠=2,圓心為O?0),

.」0+0-2匚乃

圓心0(0,0)到直線x+y-l=0距離V2,

所以公共弦長為2,2-屋=2?^I=2&.

故選：c.

5.【正確答案】A

【詳解】已知"=(6/)，根據向量模長公式回=J(")2+『=2.

因為12G+B|=4g,將其兩邊平方可得3+斤=(4揚2.

根則有(2寸+2x(2砌Z+小=48

隆|=2,所以(2刃2=4,2=4|開=4x22=16；|*|=4；所以配=|盯=16

代入上式可得16+4展3+16=48,化簡得4晨彼=48-16-16=16,所以鼠3=4

cq41

4=2x4xcos/9,解得2x42.

1

因為,日0,兀］,所以0=3.

故選：A.

6.【正確答案】D

【詳解】解：由題意可知：所以基本事件為:

U={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},

4={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4)}；

4={(4,5),(4,6),(5,6)}-4=((1.4),(2,4),(3,4),(4,5),(4,6)}

，，

p(4)=—=-p(^)=A=lp(4)=—

VV37

所以155,-155,153,

09

P(44)=R=OP(4)-P(4)=—

對于A,因為,而25,故錯誤;

對于B,因為4c4={(1,4),(2,4)},

所以事件4與事件4不是對立事件，故錯誤；

對于C,因為4-4={(1，2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(4,5),(4,6),(5,6)}

則(4u4)n4={(1,4),(2,4),(4,5),(4,6)),

所以事件與事件4不是互斥事件，故錯誤；

對于D,因為4c4={(1,4),(2,4)},4c4={(4,5),(4,6)},

所以(4c4)c(4c4)=0,

所以事件4c4與事件an%是互斥事件，故正確.

故選：D.

7.【正確答案】A

AF=-AD,AG=-AA.

【詳解】依題意，341,在四棱臺中,

A^l=AAl+A^l=AAl+AlBl+AJ)l=AAi+^AB+^AD=^AG+AE+^AF

■777^~7r=—AAG+AAE+—AAF,'：M,G,E,F

設/則32四點共面，

.?.-A+2+-A=l,.-./i=—

3223

故選：A

8.【正確答案】B

【詳解】依題意，平面々的法向量為比二（1工4）,平面/的法向量為3=（1，2,0）,平面

7的法向量為在=（°，2，1）,

設直線/的方向向量為力=（尤//）,

,?/門7=/,；.Iu[3,1uy,

n-a=O（x+2y=0

.?.萬Z=00[2y+z=0,令x=2,.?.萬=（2,-1,2）

血

sin0=Icos^m,n^\=——

直線/與平面c所成角的正弦值為2.

故選：B.

9.【正確答案】ACD

【詳解】對于A選項，直線的斜率為％=tana時，傾斜角。的范圍是OV0〈兀.

當a不在[0,”）這個區(qū)間時，不能直接說直線的傾斜角為?.

71

cc——5兀a0—-—

例如4時，tana=1,但直線傾斜角4.所以A選項說法不正確.

對于B選項，不與坐標軸平行或重合的直線，它有兩個不同的點.

一弘二.一項

兩點式方程外一必三一不（再且%*%）適用于這種直線，

所以其方程一定可以寫成兩點式，B選項說法正確.

對于C選項，對于直線4X+8J+G=°和4X+8J+C2=°,

若兩直線垂直，則44+用為=0.

對于直線""+（"-1）＞-2=。與直線（"-1）”+◎+2=°,

由垂直條件可得磯aT）+（aT）a=°,即2a（aT）=。，解得a=0或a=l.

所以。=1是兩直線垂直的充分不必要條件，C選項說法不正確.

對于D選項，若兩直線平行，則4&C2

對于直線ax+（aT）y_2=0與直線（aT）x+a_y+2=0,

aa-\-2

-w—

由平行條件可得4-1-----。----2.

a_CL-\1

由Q_]a得Q2=(Q—1)2,即/=々2_24+1,解得〃一/

11

a-——————=-1

當2時，22,2,

4_BG

......------7=----

不滿足4B2c2,所以兩直線不平行.

1

CL——

所以2不是兩直線平行的充要條件，D選項說法不正確.

故選：ACD.

10.【正確答案】ABC

【詳解】如圖，令CG中點為中點為N,連接MN,

又正方體一中，后為棱的中點，可得B\M/IA\E,MN〃CDJIBA,

.?.8也//平面民41瓦MV//平面B4E,又B[MCMN=M,

且B、M,MNu平面BXMN,:.平面B、MN11平面BA】E,

又B\F/1平面ABE,且Bx￡平面4尸u平面B、MN,

又尸為正方形內一個動點（包括邊界），，尸e平面片"NA平面GCDR,而

MV=平面片斷0平面尸的軌跡為線段MN,

對A,將平面片“乂和平面OW展開到一個平面內，忸用+口刊的最小值即用點和

〃點連線的距離，由題意易得DM=DN=B\M=B、N,

所以ADMN^BMN,從而可得取最短距離時，尸是MN的中點，且耳尸=。尸，

廠廠BD=曰=逑「

又B\M=M,MN=4i,所以'V22,所以8Q=3&,故A正確；

CD

對B,尸的軌跡為線段舷憶4/與平面ABCD所成的角即//與平面"4G2所成的角,

_F

F點到平面/4GA的距離為2'點在平面48C12的射影p在G2上靠近G點的四等

分點，

2,故直線2與平面ABCD所成的角的正切值為5,故選項B正確；

對c,由正方體側棱4G,底面cwn,

所以三棱錐尸一“￡體積為/=§4°「％尾=產*

所以尸E面積S回FE最小時，體積最小，如圖，?：FeMN,

易得尸在N處時、回處最小，此時呼22,所以體積最小值為3,故選

項C正確；

對D,如圖，當尸在〃處時，三棱錐4一2。尸的體積最大時，

由己知得此時FD=FD\=FB\M,所以尸在底面即獨的射影為底面外心，

DD、=2,B\D\=2gDB\=26,所以底面為0^為直角三角形，

所以尸在底面的射影為瓦。中點，設為Q,如圖，設外接球半徑為R,

R=逑

由R2=oo；+qM=oo；+3,R+oq=Fa=0,可得外接球半徑4,其外接球的

25兀

故選：ABC.

11.【正確答案】ACD

【詳解】對于A,由（/+/-2]=4-8初得（？+/）2_4（》7）2=0,

即^^2++2x-2y^^^2+y2_2x+2））=0

所以I?+>2+2x—2〉=0或X?+/_2x+2y=0,

所以曲線C表示以M(T，1)，N(1,-1)為圓心，血為半徑的兩個圓.故A正確.

對于B,x；+y；+l表示到原點距離的平方再加],如圖，根據兩圓關于原點對稱，故最

大值考慮一種情況即可，即為(N°+亞r+i=9.故B錯誤.

C,A±4

對于x0-2表示點「與點°(2,-4)連線的斜率.如圖，設過點Q且與圓N相切的直線為

左=7.e(-8,-1]U[7,+GO);

了+4=稔-2),由直線與圓相切得左=_i或％-2故C正確.

對于D,由C知，左=T時，則直線為X+7+2=。，與圓M相切.

77--|1--+-(--1-)-+--2-]—、/-/—y

圓心N到直線距離后，故直線為x+J+2=0,與圓N相切.

直線與曲線0有且僅有兩個交點.故D正確.

故選：ACD.

12.【正確答案】2x-y=0或2x+y-4=0

,2-0-

k------2

【詳解】當直線過原點時，因為直線過原點(°，°)和點尸(L2),則斜率1-0.直線

方程為了=2x,即2x7=0.

當直線不過原點時，設直線在x軸上的截距為“，則在〉軸上的截距為2。，直線的截距

Xy1

—I-1

式方程為a2a.

1+A=1

因為直線過點尸(1，2),將點尸的坐標代入截距式方程。2a.解得a=2.

所以直線方程為24,化為一般式為2x+>-4=0.

故所求直線方程為2x7=0或2x+y-4=0.

故2x-y=0或2x+y-4=0.

13.【正確答案】[2-20,2+2仍

【詳解】圓C的標準方程為C（x-a）2+3-l）2=l,故圓C是以C（a,l）為圓心,

1為半徑

的圓，

產的軌跡是以。（2，°）為圓心，2為半徑的圓.

依題意，兩圓有交點，則2-l<|C￡>|<2+l；

兩邊平方得14（"2『+1V9,解得2-2V2<a<2+2>/2,

所以實數。的取值范圍為已-2啦,2+2行］.

故答案為已-2行,2+2夜］.

14.【正確答案】4+2新

【詳解】設8（叼，乃），

因為x—,《+￡=4,所以A、3為圓爐+「=4上的兩點如圖：

則|。/|=|。同=2.

又再超+%%=2,所以OA-OB=2x2xcosZAOB=2ZAOB=60°,

取中點“，則=G

作直線/：x+y-2=0,作BBJ/,MNLl,0H1/,垂足分別為

4,B{

N,H,

所以|叫+倒|=2|的|42（］。閭+|。川）

又防我=3所以陽|+網42a+收）

%+乂-21k2+%-2|萬、

即也+-7F-"2（'3+'2）

所以卜+M-2|+民+%-2歸2夜a+&）=4+2指

故4+2旅

15.【正確答案】（1產一了+1=°

（2）7x+y+7=0

【詳解】（1）.??/C邊上的高線所在的直線方程為x+y-ll=O,

???這邊可設為x-y+m=O

又點°（4,5）在AC邊上，■?-4-5+,?=0,求得m=l

直線AC的方程為彳-了+1=0.

fx-y+1=0[x=-1

(2)由⑶-y+3=o,解得L=o

設C點關于直線3x7+3=。對稱的點

^z^x3=-l

</-4

——2

.^11_2O±13=O°_C(-2,7)

[322+，解得%=7

又點C'在直線AB上，:KB=-7,則求得直線AB的方程為：k-75+1),即

7x+y+7=0

B=-

16.【正確答案】(1)6

⑵2

cos/_sin25_2sinBcosB_sin5

【詳解】(1)由題設得1+sin41+cos252cos25cos5

于是cos4cos5=sin5+sinBsin/故cos(A+B)=sinB

222

2,227廠a+b-c—ab

a+b—c=—ab.cosC=---------

由正弦定理得lablab2

C€(0,71),/.C=——

又3

sinB=cos(A+B)=cos(兀-C)=cos~--

B=-

故6.

.2兀7L7T

A=71-----------=—

(2)由(1)知366,

27171

所以V/3C是頂角為3,底角為％的等腰三角形，即a=b,

S=—a2sin—=—t?2,.'.a=△

234,

設BC邊上中線的長為d,則有

2,a「一3；、6A(1)_21

\2)24212J4

\a=0.005

17.【正確答案】(1)N=°Q25,74.5

400

(2)第二組、第四組的方差是3

23

⑶24

J10a+106=0.3a=0.005

【詳解】(1)由題意可知：110(0-045+0.020+6/)=0.7；解得b=0.025

可知每組的頻率依次為：0.05,0.25,0.45,0.2,0.05,

所以平均數等于55x0.05+65x0.25+75x0.45+85x0.2+95x0.05=74.5,

(2)設第二組、第四組的平均數與方差分別為再，無

0.255_65x5+83x4”

-----=-x=------------=73

且兩組頻率之比為0-204,成績在第二組、第四組的平均數9

s2=*|-s；+￡-元++(X1-X^I

成績在第二組、第四組的方差9L'/」9「'」

=340+(65-73)1+#70+(83一73月=岑

400，

故估計成績在第二組、第四組的方差是3.

(3)設“甲解出該題”為事件A,“乙解出該題”為事件B,“丙解出該題”為事件

C,“甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題”為事件。，

221

P(/)=-,PUC)=尸⑷P?=--P(c)=-

由題意得

P(C)總尸聞”版)=

所以

113

P?=

所以2,所以乙、丙各自解出該題的概率為2'4,

213

則￡)=ABC,因為尸⑼二'⑷=5'P?二,

1-1-1

P(A)=-,P(B)=_,P(C)=_---

所以324,因為4B。相互獨立,

11123

P(D)=1-P(D)=1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)=1-—X—X—=——

所以32424,

23

所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率為24.

18.【正確答案】(1)證明見解析

2Vm

⑵37

【詳解】(1)證明?連BD,:BA=BD=BC又AD=CD=2,:.AABD三ACBD

ZADB=ZCDB=-ZADC=60"

即2,

:.ABADQBCD土然等邊三角形，BA=BD=BC=AD=DC=2,

所以四邊形/臺夕為菱形.’

取中點。，連。PQD.

:AABDQPAB為等邊三角形，AB=2,:.PO=OD=6,POLAB,

222

又PD=&PO+OD=PD；gpPO1ODt

又八0Q=0,N5,0Du平面/BCD.

PO_L平面ABCD

又尸Ou平面尸48平面尸4g,平面/Be,

(2)解：:48//CD,489平面尸CD,CDu平面尸cmN8//平面pcD又平面P/8c平

面PCD=/:.HIAB

建立如圖的空間直角坐標系，

易得A(l,0,0),5(-1,0,0),C(-2,V3,0),P(0,0,VJ),Z)(0,73,0),

.Jl

I22J,

令PE=A.PC=2(-2,瓜-5=(-22,V3A,-V3A),O<2<1；

:.E_(~_~2入,0,6一6猾,令平_面_8CEF法片向量、為一力=(x,y,z),

:.BE=(-22+1,V32,V3-732),BF=,0，第=(2,0,0)

(22J,

(1-22)x++V3(l-2)z=0

■"3V[_

.2、2)令J=3("l),可得：x=6(l-2),z=52-l,

即為=(g(1_彳),3(幾_1),52_1),

sin6=|cos<&4,萬〉|=""I=2同一㈤

\BA\\n\273(1-A)2+9(^-1)2+(5A-1)2

所以平面8環(huán)的法向量萬=(1,-G,0),

設平面MC的法向量成=(xj,z),

5V3

—x-\-----)=0

22

93百4V3

一x-\------y----------Z0,<

10105令了=5,x=-\/3.z=3

得機=(6,5,3)

設二面角2一環(huán)-C的夾角為

-4百2V1TT

cosa=|cos〈亢，砌

V4xV3737

19.【正確答案】(l)(x+2)2+y2=9(yx-3)

(2)證明見解析，(T0)

回

(3)2.

【