2024-2025學(xué)年廣東省廣州市高一年級(jí)上冊(cè)12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省廣州市高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷

一、未知（本大題共1小題）

1.已知集合"=W0<x<3},N={-2,TO,1,2},則()

A.0B.{°工2}C.{I?}D{TQ1}

二、單選題（本大題共4小題）

2.已知幕函數(shù)/（X）的圖象經(jīng)過點(diǎn)G&）,則，（4）=（）

A.也B.2C.16D.±2

3.函數(shù)“*）=館々-2）的零點(diǎn)是（）

A.2B.3c.（2,0）D.。°）

4.將885。化為0+人36。（次,3］。。,36。。））的形式是（）

A.165°+2x360°

B.-195°+3x360°

C.165°+3x360°

D.195°+2x360°

5.函數(shù)/。）=/一四05（2》）在區(qū)間［2,4］內(nèi)的最大值為（）

A.1B.2C.4D,8

三、未知（本大題共2小題）

J（3a-l）x+2a-5,x<0

1優(yōu)’/°,滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)

6.已知a>0,且存1,函數(shù)/（x）

/（芍）一/（再）〉

X#X2,都有“2一國(guó)0成立，則。的取值范圍是（）

]_

A.(0,1)B.(1,+oo)C.(3,3]D.(1,3]

7.高斯被譽(yù)為歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，高斯函數(shù),々"LI也被廣泛應(yīng)用于生活,

生產(chǎn)的各個(gè)領(lǐng)域，其中團(tuán)表示不超過x的最大整數(shù)，如：艮65]=3,[-1.27]=-2.若

函數(shù)LI2112J/eZ）,則/⑹的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.{T°」}B.{-L°}c.{°1}D.{T[}

四、單選題（本大題共1小題）

8.荀子《勸學(xué)》中說：“不積度步，無以至千里；不積小流，無以成江海.”所以說

學(xué)習(xí)是日積月累的過程，每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，前進(jìn)不止一小點(diǎn).我們可以把

（1+1%外看作是每天的“進(jìn)步，，率都是1%,一年后是1.01365g3.7.7834；而把

（I%）",看作是每天“退步,,率都是1%,一年后是0.9產(chǎn)“0.0255；這樣，一年后的“進(jìn)

365

1.011JO1

77T-B1481

步值”是“退步值”的099365倍.那么當(dāng)“進(jìn)步值,，是“退步值,，的5倍時(shí)，大約經(jīng)過

多少天.（參考數(shù)據(jù)lgl°l。2.0043；lg99?1.9956；lg2?0.3010）（）

A.70B.80C.90D.100

五、未知（本大題共2小題）

9.下列結(jié)論正確的有（

712%

sin---FCC=coscos----\-6+sm-----0=0

A.6B.63

Csin2（15。-a）+cos?（75。+a）=1sin2-a）+sin2（75°+a）=l

D.

10.若角42,C是V/8C的三個(gè)內(nèi)角,則以下結(jié)論不正確的是（）

Acos（/+5）=cosCsin（4+5）=-sinC

B.

A+C.B.B+CA

cos-----=sm—sin------=cos—

C.22D.22

六、多選題（本大題共1小題）

11.下列命題中，正確的有（）

A.函數(shù)歹一1與函數(shù)）=°是同一函數(shù)

B,若函數(shù)/(?+D=x+2石，貝|j/(X)=X2—1(XN1)

C.二次函數(shù)y=2/+xT的零點(diǎn)是-i

D.若函數(shù)〃x)=4f-7在［2,6］上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)人的取值范圍是(一叫16］

七、填空題(本大題共3小題)

24兀4兀

12.己知扇形的面積為25,弧長(zhǎng)為5,則扇形的圓心角的弧度數(shù)為.

(723〃.(334、

a=tan---b=cosc=sm—

13.已知I6人4,I4人貝!j0,鼠c的大小關(guān)系是.

14.已知函數(shù)“xbxJx+l,下面四個(gè)結(jié)論：①/(X)的圖象是軸對(duì)稱圖形；②

/(X)的圖象是中心對(duì)稱圖形；③/(X)在I"'2)上單調(diào)；④/(X)的最大值為3-.其中

正確的有.

八、解答題(本大題共5小題)

tan(2^--a)sin(-2^-a)cos(6〃-a)

=-tana

sm(a+5)cos(a+3)

15.(1)求證:

?z1、rz13%、

sm(^-+a)+3cos(a-加+3

8%20%工22兀m+1

tan(crd---)=msin(-----a)-cos(aH-----)

(2)設(shè)7,求證77

在+a

sin2(%-6r)tan(一4+a)sii

/(?)=

cosacos-atan(—a+37r)

16.已知u

⑴化簡(jiǎn)了⑻.

/(a)=sin2a+^2sinacosa-cos2aH——--

(2)若銳角a滿足3,求tana的值.

17.已知集合/=H"TC+1},集合

⑴當(dāng)垃=1時(shí)，求"U(Q3)；

(2)若xe"是xe3的充分不必要條件，求加的取值范圍.

18.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月固定成本為10（萬元），每生產(chǎn)x件，需另投入成本為

12

、C（x）=-x+x

C（x）（萬元）.當(dāng)月產(chǎn)量不足30件時(shí)，6（萬元）；當(dāng)月產(chǎn)量不低于30

C（x）=5x+-^--50

件時(shí)，x-20（萬元）.因設(shè)備問題，該廠月生產(chǎn)量不超過50件.現(xiàn)

已知此商品每件售價(jià)為5萬元，且該廠每個(gè)月生產(chǎn)的商品都能當(dāng)月全部銷售完.

（1）寫出月利潤(rùn)L（萬元）關(guān)于月產(chǎn)量x（件）的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)月產(chǎn)量為多少件時(shí)，該廠所獲月利潤(rùn)最大？

f（x）=log---

19.已知函數(shù)x+3,（機(jī)且加R1）

（1）當(dāng)加=2時(shí)，解不等式〃x）＞l；

（2）若是否存在力＞々＞°,使“X）在［/切的值域?yàn)?/p>

［log.制夕-1）,log.制a-1）］?若存在,求出此時(shí)加的取值范圍;若不存在，請(qǐng)說明理由.

答案

I.【正確答案】c

［詳解］因?yàn)椤?{M0<X<3},N={-2,-1,0,1,2},所以”riN={l,2}.

故選：C.

2.【正確答案】B

【詳解】/（X）是幕函數(shù)，設(shè)為常數(shù)），

???圖象經(jīng)過點(diǎn)G灼，2。=也，解得"=5,

.../（x）=G,../（4）=4工2

故選：B.

3.【正確答案】B

【詳解】令可得lg（I）=。，

所以x-2=l,故x=3

所以函數(shù)/（"）=電（”一2）的零點(diǎn)是3.

故選：B.

4.【正確答案】A

【詳解】885°=165°+2x360°.

故選：A.

5.【正確答案】B

【詳解】由已知可得地。5（2x）41,解得X2025J（x）定義域?yàn)椋?.25,+8）,

又，=1%（2x）在［0.25,+8）上單調(diào)遞減，則y=l-k）go5（2x）在［0.25,+e）上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)/㈤在限25,+09）上單調(diào)遞增,即函數(shù)/（x）在區(qū)間［2,4］內(nèi)單調(diào)遞增，

所以/G）在區(qū)間［2,4］內(nèi)的最大值為"4）=2.

故選：B.

6.【正確答案】D

【分析】根據(jù)已知條件判斷出/（X）的單調(diào)性，由此列不等式組，解不等式組求得a的

取值范圍.

3a—1>0

/（尤2）-/（再））0a>\

2a5a

【詳解】由于尤2-%，所以/（X）在尺上遞增.所以~-°,解得l<a￡3.

故選：D

本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，考查指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題

7.【正確答案】C

sinf-^-+ht.5K

=sm——f(k)=2sin—=1

【詳解】當(dāng)片為偶數(shù)時(shí),12,所以v712

.5兀

總+E加12,所以/G)=[°]=°,

當(dāng)上為奇數(shù)時(shí),

所以/⑹的值域?yàn)閧0i}.故選：C.

8.【正確答案】B

【詳解】設(shè)x天后的“進(jìn)步值”是“退步值”的5倍,

i.or101101

=5lg=lg5

=5~99~99

則0.9Q,即,兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得

101|=xig^-=x(Igl01-lg99)=lg5

1g~99

化簡(jiǎn)得

lg5l-lg21-0.3010

X=

所以lgl01-lg99lgl01-lg992.0043-1.9956

故當(dāng)“進(jìn)步值”是“退步值”的5倍時(shí)，大約經(jīng)過80天.

故選：B.

9.【正確答案】ABD

sincos

本題可通過誘導(dǎo)公式將尹。轉(zhuǎn)化為,A正確，然后通過誘導(dǎo)公式將

區(qū)+

cos0-sin

I6，B正確，最后根據(jù)sm（15；a）=cos（75'+a）以及同角

轉(zhuǎn)化為

三角函數(shù)關(guān)系判斷出C錯(cuò)誤以及D正確.

71717171

sin---FCt=sin—+a----=cosa~~=cos

【詳解】A項(xiàng)：623，A正確;

cosf—+|=-sin\—7T+0

=-sin71-^-6=-sin^-0

B項(xiàng)：因?yàn)?3

cos——+6+sin------0=0

所以63，B正確;

sin（15°-a\=sin—（75。+a）=cos（75。+a）

C項(xiàng)：因?yàn)長(zhǎng)2

sin2（15。-a）+cos?（75。+a）=Zcos?（75。+a）w1

所以C錯(cuò)誤;

sin2（15°-a^）+sin2（75°+a）=cos2（75°+a^+sin2（75°+a）=1

D項(xiàng):D正確,

故選：ABD.

10.【正確答案】AB

【詳解】在V/8C中，A+B+C=K,

對(duì)于A,COS（/1+5）=COS（K-C）=-COSC；選項(xiàng)人錯(cuò)誤；

對(duì)于B,sm（/+8）=smS-C）=smC,選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

A+Cit-B（TiBy.B

cos-------=cos--------=cos--------=sm—

對(duì)于C,22122J2,選項(xiàng)c正確;

.B+C.n-A.（TIAyA

sin-------=sin--------=sin--------=cos—

對(duì)于D,22122J2,選項(xiàng)口正確.

故選：AB.

11.【正確答案】BCD

【詳解】對(duì)于A,函數(shù)>=的定義域?yàn)橥瑇*°},函數(shù)y=°的定義域?yàn)镽,故A

不正確；

對(duì)于B,t=G+\,則此1,且X+26=（7-1）+2（/_1）=/一1,所以/■⑺

即/（刈=/-1（壯1）,故B正確；

1

八9X二一

對(duì)于C,令k°,得2/+x7=°解得2或尤=-1,故C正確；

對(duì)于D,2的對(duì)稱軸為x=-1-，由/（x）在［2,6］上單調(diào)遞增，得§-<一2，

解得上416,故D正確.

故選：BCD.

711

——71

12.【正確答案】3/3

14兀24K

—x—xr=---

【詳解】設(shè)圓的半徑為『，扇形的圓心角的弧度數(shù)為a,則2525,

4兀

解得‘一5,故5.

兀

故3

13.【正確答案】b>a>c

【分析】

利用誘導(dǎo)公式以及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算出a/，。的值，再進(jìn)行比較.

【詳解】

a=-tan—=-tan—=b=cos^/r-=C0S-T=c=-sin^^-=-sin—=

663,I42,442

:b>a>c

故答案為

本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用和特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.

14.【正確答案】①③④

【分析】

根據(jù)函數(shù)滿足/a一切=八乃，可知①正確；假設(shè)函數(shù)圖象是中性對(duì)稱圖形，結(jié)合①

可知函數(shù)為周期函數(shù)，結(jié)合函數(shù)解析式，可判斷②錯(cuò)誤；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷

③正確；

2」1丫3、3

根據(jù)函數(shù)sin^Vl,V2J44,可判斷④正確.

【詳解】

「「、sin兀(l-x)sinjLx”、

f(l-x)=-----------------------=----------=/(X)

八幻的定義域?yàn)镽,由于(1-X)--(l-x)+lX7+1，所以/⑴的圖象

1

X=——

關(guān)于2對(duì)稱，故①正確；

「/、sin7ix

j(X)-—-

對(duì)于②，假設(shè)--X+1圖象有對(duì)稱中心，又由①知函數(shù)圖象有對(duì)稱軸，則函

“、sin7rx

/(x)=-9

數(shù)人口必為周期函數(shù)，而V-X+1顯然不具有周期性，故②錯(cuò)誤；

XG|0,—|2

當(dāng)I2J時(shí)，V=sinm單調(diào)遞增且函數(shù)值為正數(shù)，了=尤-x+l單調(diào)遞減且函數(shù)值為

粵三［0f

正數(shù)，故/_x+l在I2J上單調(diào)遞增，故③正確；

4

<—

33

x2—x+1+3二+—

由于sin7tx<l,44,所以4,當(dāng)且僅當(dāng)

1

x——

2時(shí)取等號(hào)，故④正確;

故①③④.

15.【正確答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

tan(-a)sin(-a)cos(-a)

TTrr

sin[2/r-a)]cos[2^--a)]

【詳解】(1)左邊=22

(-tana)(—sina)cosasin2asin2a

sina

sin[-(f-?)]cos[-(y-?)]-sin(|-?)cos(|-?)—cosasina-------=-tana

cosa=右邊,所以

原等式成立.

./8萬、?，c8萬、cr

sin[7rT+(——Fa)]+3cosr[z(6ZH——)—3幻

?rA/8兀、、-/8兀、、

sin[4萬一(a+——)1-cosr[2?+(a+——)]

(2)方法1：左邊=77

./8乃、_/8%、/8%、_

-sin(^-+a)-3cos(a+-)tan(a+萬)+3

./肪、/肪、/8%、1m+3

-sm(a+3)-cos(a+3)tan(a+斤)+1

=m+l=右邊,所以原等式成立.

,8萬、.兀、

tan(crH-----)=mtan(ad——)=m

方法2：由7，得'7，

.71兀./7Tx_/7C、

sin[2^+(y+a)]+3cos[(cr+y)-2TT]sin(y+a)+3cos(a+—)

.7c71

sin124+萬一(ad——)1-cosF2^+乃+(aH——)1sin(a+y)+cos(a+y)

所以，等式左邊=77”

tan(?+y)+3

m+3

tan(a+y)+1m+l

=右邊，等式成立.

16.【正確答案】（l）"a）=sina

（2）1+收

571

sin2(^-cr)tan(-^+cr)sin|三+a.2

2sinatanacosa_.

/(?)=cosa(-sina)(-tana)

COSCOStan(-a+3%)

【詳解】（1）

=sina=近^cosa=Jl-sin，a=

（2）因?yàn)?,且。是銳角，所以3,所以

smar-

tancr=-------=72

cosa

22

.2廣.22siner+V2sin(7cosa-cosa2

sma+yj2smacosa-cosa+-------=----------------------------------------+-------

貝°tanasin(7+cosatana

_tan2+V2tanor-12+亞

tan2a+\tana.

17.【正確答案】（1/口低'）=｛小4一2或x>。｝

⑵側(cè)mV-2或一14加40｝

【詳解】（1）當(dāng)加=1時(shí)，，=｛4°

因?yàn)?，?+2<°[所以8-XV1｝,

所以相=｛小4-2或空1｝,

所以“。（。，）=｛小"2或x>0｝；

（2）由于是'WB的充分不必要條件，故A是5的真子集，

若/=0,則加一122加+1,所以加工一2,

若/W0,則加>-2,且2加+1?1且加-12-2（等號(hào)不同時(shí)取得），

當(dāng)加=0時(shí)，/=同一1<%<1｝真包含于3,

當(dāng)m=-1時(shí)，/=*'2<X<T｝真包含于3,

故：~i<m<0,

綜上所述，實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍是出根<一2或-1W加<0｝.

12/c

一石、+4x-10%￡（0,30）且工￡雙

L=\

於800

40----------

【正確答案】⑴【且；

18.x-20xe[30,50]xeN（2）當(dāng)月產(chǎn)量為12

件時(shí)，該廠所獲月利潤(rùn)最大.

【詳解】試題分析：°）根據(jù)已知條件通過x的分段，列出函數(shù)的解析式即可；

0）利用分段函數(shù)的解析式，分別求解函數(shù)的最大值，即可得到結(jié)論.

L=5x—C（x）-10=5x-[—x2+x|-10=——X2+4X-10

解析：⑴當(dāng)°<x<30且xeN時(shí)，16）6