2024-2025學(xué)年廣東省五校高三年級(jí)上冊(cè)10月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省五校高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題

說明：本試題共4頁，19小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)

填寫在答題卡上.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合"=｛內(nèi)='8=｛"=皿2-x）｝,則如人（）

AJO*）b（0,2）c［0,2）D.G"）

2.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（）

Ay=y/xBN=cosx

Cy=lnx口y=qX~qX

3.已知/（X）是定義在上［°刀的函數(shù)，那么“函數(shù)/（X）在［°，I］上單調(diào)遞增”是“函數(shù)/（X）在

［°』］上的最大值為了⑴”的（）

A充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分

也不必要條件

已知函數(shù)A'”三，則函數(shù)小）的圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（

4.)

B.（一⑶C.(T-2)D.（T2）

A.

fg,丑

5.己知且則函數(shù)的圖象一定經(jīng)過（)

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D(zhuǎn).三、四象

限

3.3

CL——c=sm—

6.設(shè)7,b=ln2,7,則()

A.b>c>aga>c>b

Qa>b>cDb>a>c

7.已知函數(shù)/（x）=2*2-3x4=若i+xwo,則/（x）的最大值和最小值分別是（）

2o11

A.3*B,c.3,4D,I?g3，l

Inx,x>0

1n

8.設(shè)函數(shù)〔工，若方程JI"）=”有3個(gè)不同的實(shí)根，則b的取值范圍

為（）

A-）B.（T。）C,（。/）D.…

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)/（x）="n（x+l）,則（）

A./（X）只有1個(gè)零點(diǎn)B./⑺在（°'+"）單調(diào)遞增

p?/LO

C.曲線了=/&）在點(diǎn)I2，I2〃處切線的斜率為_1—In2D./（"）是偶函數(shù)

10.若x,y滿足一+/一孫=1,則（）

Ax+"lB.X+—2

222

c,x+/<2Dx+j>1

11.若正實(shí)數(shù)x,衛(wèi)滿足xe~=yO+lny）,則下列不等式中可能成立的是（）

A1vxvyB

Cx<y<1Dy<x<l

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

cos6）=-O<0<—/_,/3\

12.已知5,2,則sm（兀+〃）

"l+x)=/(-x)若

13.設(shè)f(久)是定義域?yàn)槌叩钠婧瘮?shù)，且?4=1則

14.已知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)槠鋵?dǎo)函數(shù)為了'(X),若切'(x)T<0J(e)=2,則

關(guān)于X的不等式/(/)<X+1的解集為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

/(x)=V2sin—cos--V2sin2—

15.已知函數(shù)222.

(I)求/(X)的最小正周期；

(n)求/(X)在區(qū)間［一幾°】上的最小值.

16.已知函數(shù)/(")=丁+2/+1+2,L25_.

(1)求曲線了=/卜)在點(diǎn)(1'/。))處的切線方程；

(2)求)(“)的最大值和最小值.

17.在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下:

將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通

過對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者

4,A2,A3,A4,A5,4和4名女志愿者5，B2,Bi，&，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理

暗示，另5人接受乙種心理暗示.

(I)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含4但不包含耳的概率.

(II)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望Et

18.已知函數(shù)/(x)Tnx+ax2+(2a+l)x.

(1)討論/(X)的單調(diào)性；

3

f(x)<-----2

(2)當(dāng)。<0時(shí)，證明4。.

//、Inx+左

/⑺=-------〃Q=2ei+l7

19.已知函數(shù)》,），其中左為實(shí)數(shù).

（1）求/（X）的極值；

（2）若“（x）=gO/（X）有4個(gè)零點(diǎn),求上的取值范圍.

2024-2025學(xué)年廣東省五校高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題

說明：本試題共4頁，19小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)

填寫在答題卡上.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.］知集合人{(lán)加—2},3={"=ln（2.x）上則?=）

A.P+8）B,（°2）c陛）D.（一叫2）

【正確答案】C

【分析】首先分別求解出A、8兩個(gè)集合，然后再根據(jù)集合交集的定義進(jìn)行運(yùn)算即可.

【詳解】由于屋0,故

=ln（2-x）,2-x>0;即x<2,故8={11》<2},

因此zn8={x|o〈x<2},即/n八［0,2）,

故選：C

2.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（）

Ay=VxBj=cosxcy=InxD

y=ex-e~x

【正確答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義逐個(gè)判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,函數(shù)的定義域?yàn)槎x域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,定義域?yàn)镽,因?yàn)?T）=COS（T）=COSX=/（X）,

所以此函數(shù)為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,定義域?yàn)椋?。?8）,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,定義域?yàn)镽,因?yàn)?（r）=e「e」（e=尸）=一?。?/p>

所以此函數(shù)為奇函數(shù)，故D正確.

故選：D.

3.已知/（X）是定義在上1°刀的函數(shù)，那么“函數(shù)/（X）在10，I1上單調(diào)遞增”是“函數(shù)/（X）在

［°』］上的最大值為/⑴”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D,既不充分

也不必要條件

【正確答案】A

【分析】利用兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.

【詳解】若函數(shù)/（X）在［°」］上單調(diào)遞增，則在［°」］上的最大值為/I）,

若/（x）在M上的最大值為"1）,

°4為減函數(shù)，在13」為增函數(shù),

故/（x）在［°，”上的最大值為/（1）推不出/（x）在［°，”上單調(diào)遞增,

故，函數(shù)/（x）在［°，1］上單調(diào)遞增，，是，J（x）在［°，1］上的最大值為/（1），，的充分不必要條件,

故選：A.

f（\

4.已知函數(shù)x+1,則函數(shù)‘Ix"的圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（）

A.（「）B.（一⑶c（一12）D.QU）

【正確答案】C

【分析】化簡/（T+x）+/（T-X）即可得對(duì)稱中心.

【詳角軍】因?yàn)?1+x+l-1-x+lXX

J=logjX+-

5.己知。＞°,且則函數(shù)I°）的圖象一定經(jīng)過（）

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D(zhuǎn).三、四象

限

【正確答案】D

y=log?Ix+~jm_八

【分析】由函數(shù)I°）過"'點(diǎn)，分類可解.

111

J=log.—=-1

【詳解】當(dāng)x=0時(shí),a

則當(dāng)0＜。＜1時(shí)，函數(shù)圖象過二、三、四象限;

則當(dāng)?！?時(shí)，函數(shù)圖象過一、三、四象限;

的圖象一定經(jīng)過三、四象限.

故選：D

3.3

a=-c=sin—

6.設(shè)7,b=ln2,7,則()

A.b>c>aB.a>c>bC.a>b>cD.b>a>c

【正確答案】D

f(x)=x-sinx(0<x<-)

【分析】構(gòu)造函數(shù)2,利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性并比較再利用對(duì)

數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小即得.

[詳解】當(dāng)時(shí)，令/(x)=x-sinx,求導(dǎo)得r(x)=l-cosx>0,

則函數(shù)/(x)在’2上單調(diào)遞增，有即有x>sinx,

a=—>sin—=cb-ln2>]ns[e=—>-=a

因此77,顯然27,

所以b>a>c.

故選：D

7,已知函數(shù)/O2*2-3x4：若V+xwo,則/(X)的最大值和最小值分別是()

2o11fl

A.3'B.3'c.3'4D.Ml

【正確答案】B

“I，從而將問題轉(zhuǎn)化成求

2一三

【分析】根據(jù)條件,得到-o,令

在區(qū)間上團(tuán)的最值，即可求解.

歹=今_3戶

,—2-e

【詳解】由廣+xWO,得至廣0,令

_2

則y=4/_3d,對(duì)稱軸/一§,

2244

~_A>2*2y=4x—3x_=_

當(dāng)3時(shí)，>="一"取得最大值，最大值為393

當(dāng)》=1時(shí)，N=3/取得最小值，最小值為>=4-3=1

4

所以/（“）的最大值和最小值分別是H,1,

故選：B.

Inx,x>0

/(X)h

XH--,X<0r/\_1

8.設(shè)函數(shù)x，若方程有3個(gè)不同的實(shí)根，貝W的取值范圍

為（）

(-<?,-!)

AB.（T°）C.（°』）D,0，+°°)

【正確答案】A

【分析】令g（x）=/（x）『將問題轉(zhuǎn)化為8⑺與歹=”有3個(gè)不同的交點(diǎn)；結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求

得g（x）單調(diào)性，由此可得且■）的圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.

Inx-x,x>0

g（x）=/（x）-x=]1

—,x<0

【詳解】令〔X；

方程）（X）—X+'有3個(gè)不同的實(shí)根等價(jià)于g（x）與少="有3個(gè)不同的交點(diǎn)；

g'(x)=--1=---

當(dāng)x>0時(shí)，-JX

則當(dāng)xe（0,1）時(shí)，g'（x）〉0；當(dāng)xe（l,+co）時(shí),g'（x）<0；

’g（x）在（°」）上單調(diào)遞增,在（1+°°）上單調(diào)遞減，??.g（x）M=g（l）=T；

則可得g（x）圖象如下圖所示，

由圖象可知：當(dāng)6<T時(shí)，g（“）與歹=6有3個(gè)不同的交點(diǎn)；

綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為（一嗎T）.

故選：A.

思路點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，解題基本思路是將問題轉(zhuǎn)化為

兩函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，作出函數(shù)圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式確定參數(shù)范圍.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)/（x）="n（x+l）,則（）

A./（“）只有1個(gè)零點(diǎn)B./G）在（°,+"）單調(diào)遞增

C.曲線y=/（x）在點(diǎn)I2，I2〃處切線的斜率為_1一必2D./（X）是偶函數(shù)

【正確答案】ABC

【分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，求出/（*）的單調(diào)區(qū)間，即可判斷出選項(xiàng)B的

正誤；選項(xiàng)A,由再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷出選項(xiàng)A的正誤；選項(xiàng)C,利

用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；選項(xiàng)D,利用函數(shù)奇偶性的判斷方法，即可求解.

xlnx+1+

【詳解】易知/3=xM（x+l）的定義域?yàn)椋═+s）,（）-（）x+1；

g(x)=ln(x+l)H-------g'(x)=7+TK〉0/1?、

令)x+1,則x+1(x+l)在區(qū)間(T，+00)上恒成立,

所以ln(x+>x+l在區(qū)間(T,+s)上單調(diào)遞增，又g(°)=°,

所以一l<x<0時(shí),g(x)<。，x>°時(shí)，g(x)>0,

即/(x)="ln(x+l)在區(qū)間(_i,0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,+s)上單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)B正

確，

對(duì)于選項(xiàng)A,因/(°)二0,所以/(“)只有1個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確,

1

f|-lVh-+—^-=-ln2-l

I2；2_1+1

對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)?所以曲線y=f(x)在點(diǎn)

處切線的斜率為T-山2,故選項(xiàng)C正確,

對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?—L+00),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以,(“)是非奇非偶函數(shù),

故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

故選：ABC.

10若x,y滿足-+V—盯=1,則()

Ax+y<\B.x+)“2

22

cx+y<2DY+"

【正確答案】BC

【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項(xiàng)的真假.

(Q+Z?Y/+/

ab<\----<-------[22

【詳解】因?yàn)镮2J2R),由x+?一肛=1可變形為,

/.、2

(%+yy_1=3xy<3|-~—

I2J,解得_24x+y<2,當(dāng)且僅當(dāng)x=N=—l時(shí)，

x+y=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時(shí)，x+y=2t所以A錯(cuò)誤，B正確;

22

22>

22_1(x+y\-\=xy<X+122/C

由x+y—孫=1可變形為I72,解得X+yW2,當(dāng)且僅當(dāng)

x=>=±l時(shí)取等號(hào)，所以C正確;

,23e

x---十:/=1X--=cos0.——y=sin。

因?yàn)?+^一a=1變形可得4，設(shè)2，2,

,所以

12

x=cos8+—^=sin0,y=—j=smd

J3<3,因此

x2+y2=cos26,+—sin26>+-^sin6*cos^=l+^sin2^--cos261+—

3MG33

42/八鬲「2°百22

33I6)L3.x=~r^y

,所以當(dāng)33時(shí)滿足等式，但是x2+V'l不

成立，所以D錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.若正實(shí)數(shù)X,V滿足xe"=^(1+M少)，則下列不等式中可能成立的是()

A\<x<yB

Qx<y<1口歹<%<1

【正確答案】AC

【分析】依題意可得xe~=0+1戶°+",令xe(0,+oo),利用導(dǎo)數(shù)

說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到》=1+必),再令g(x)=M"+l—”,利用導(dǎo)數(shù)說明

g(x)=lnx+l-xWO,即Inx+lWx,從而得到x“，當(dāng)且僅當(dāng)》=N=1時(shí)取等號(hào)，即

可判斷.

v-1(l+lnvHI

r年鏟1例國內(nèi)xe、T=y(l+Iny)gR..xe=(1+lnj)e-

【詳解】解：因?yàn)関7,所以、“),

因?yàn)閤〉0,所以xei〉0,則l+lny>0,

令/(x)=xe*T,xe(0,+co),則/'(%)=(%+1)產(chǎn)>0,

所以/(x)”一在(0,+。)上單調(diào)遞增，

由/(x)=/(l+ln>),可得x=l+ln>,

令g(x)=lnx+l『則g⑺=一=下，所以當(dāng)0<x<l時(shí)g'G)>°,當(dāng)x>l時(shí)

g'(x)<0

所以g(x)在(°』)上單調(diào)遞增，在(1，+°°)上單調(diào)遞減，

所以g(x)max=g(l)=°,則g(x)=lnx+l-X<0,即Inx+lWx當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號(hào),

即l+lny<>當(dāng)且僅當(dāng)>=1時(shí)取等號(hào)，

又x=l+lny,所以xWy,當(dāng)且僅當(dāng)》=了=1時(shí)取等號(hào)，

當(dāng)歹/1時(shí)l<x<y或x<y<l,

結(jié)合y=lnx+l與歹=苫的圖象也可得到

所以1<》<y或》<丁<1.

故選：AC

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知cos3=5-,O<0<—2,則sm（5+,〃n）\

4

【正確答案】5##-0.8

【分析】根據(jù)同角的平方關(guān)系求出sin。，結(jié)合誘導(dǎo)公式計(jì)算即可求解.

0<<9<—,cosO=-sin0=Vl-cos20——

【詳解】因?yàn)?5,所以5,

4

sin（兀+夕）=-sin9=——

所以5.

_4

故5

“i+x）,若m

13.設(shè)/(尤)是定義域?yàn)槌叩钠婧瘮?shù)，且則

1

【正確答案】3

【分析】求得/(*)的周期性，利用函數(shù)周期性結(jié)合已知條件，求函數(shù)值即可.

【詳解】因?yàn)?G)是定義域?yàn)槌叩钠婧瘮?shù)，則"l+x)=/(f)=-/(》),

則"x+2)=-/(x+l)=/(x),故2是/(x)的周期，

1

故答案為.3

14.已知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?°，+°°),其導(dǎo)函數(shù)為了'(X),若切'(x)T<0J(e)=2,則

關(guān)于x的不等式/(I)<%+1的解集為.

【正確答案】"十0°)

【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(乃一lnx,x>°,再利用函數(shù)探討單調(diào)性，求解

不等式作答.

Inrr>0gG)=/◎)」=<0

【詳解】令函數(shù)g(#一八x)Tnx,x>U,則xx,因此函數(shù)

g(x)在(0,+0°)上單調(diào)遞減，

g(e)=/(e)-lne=l；因此/e)<x+l=/e)_x<l=g(eX)<g(e),即e*>e,解

得x>l,

所以不等式fC)<X+1的解集為(L+°°).

故(1,+°0)

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

/(%)=V2sin—cos--V2sin2—

15.已知函數(shù)222.

(I)求/(X)的最小正周期；

(II)求A%)在區(qū)間[一兀，°1上的最小值.

【正確答案】(I)2許di)2.

【詳解】試題分析：(I)先利用二倍角公式、配角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)：/(X)

=sin(x+—<x<0<x+—<—

42，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求周期(U),~4-4-4,

[-紅白

在(I)的基礎(chǔ)上，利用正弦函數(shù)性質(zhì)求44最值

/(x)=V2sin—cos--V2sin2—=V2?—sinx-V2---C°SX=

試題解析：(I)22222

V2.V26.,兀、6

----sinxH-------cosx-------=sin(xH—)--------

22242

2%

T=——=2萬

(l)/(x)的最小正周期為1

,,八3萬717171713萬

*.*~71<X<0,/.-----------<—XH--------,X=-----

(2)444,當(dāng)424時(shí),

_1_V|

/(X)取得最小值為：2

考點(diǎn)：二倍角公式、配角公式

32xe

nf(x)=x+2x+x+22」

16.已知函數(shù)'v7,L"」.

(1)求曲線^二/仁)在點(diǎn)O'/。))處的切線方程；

(2)求/(X)的最大值和最小值.

【正確答案】(1)了=8》一2

13

(2)最大值為6,最小值為8

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可求解；

(2)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/(X)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)/(X)的最值.

【小問1詳解】

由題意知，/0)=3/+4》+1,則/'(1)=8,

又/。)=6,所以切點(diǎn)為46),

所以曲線卜=/(X)在點(diǎn)06)處的切線方程為

y-6=8(x-l),即y=8x-2.

【小問2詳解】

八x)=3x+4川=—)”6H

131

f\x)<0=>-1<x<——/(X)>0n——<x<-1—<x<1

令32或3,

（―19—）[_2_]）、（__!_1]

所以/（X）在3上單調(diào)遞減，在2'、3,上單調(diào)遞增，

[-2,1]_-衛(wèi)

故/（X）在2上的極大值為/（T）=2,極小值為327,

又〃一|）=”⑴=6,

所以/（X）在2上的最大值為6,最小值為8.

17.在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下:

將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通

過對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者

4,A2,A3,A4,A5,4和4名女志愿者3,B2,&，&，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理

暗示，另5人接受乙種心理暗示.

（D求接受甲種心理暗示的志愿者中包含4但不包含用的概率.

（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX

5

【正確答案】（1）18（2）見解析

AR

【詳解】（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含1但不包含1的事件為M,計(jì)算即得

（II）由題意知X可取的值為.°」，2,3,4利用超幾何分布概率計(jì)算公式

得X的分布列為

X01234

151051

p

4221212142

進(jìn)一步計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望.

試題解析：（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含其但不包含用的事件為M,則

C45

G5o18

（II）由題意知X可取的值為.2,3,4則

5

c1

P(X=O)=-f-=

^1042

C4cl5

尸(X=l)=3

^1021

C3c210

尸(丫=2)=言=

^1021

C2c35

尸(X=3)=,=

^1021

c*c41

產(chǎn)(萬=4)=吉=

^1042

因此X的分布列為

X01234

151051

P

4221212142

X的數(shù)學(xué)期望是

￡X=0xP(X=0)+lxP(X=l)+2xP(X=2)+3xP(X=3)+4xP(X=4)

Ox—+lx—+2x—+3x—+4x—=2.

=4221212142

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率公式和超幾何分布概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分

布列和數(shù)學(xué)期望.解答本題，首先要準(zhǔn)確確定所研究對(duì)象的基本事件空間、基本事件個(gè)數(shù)，利

用超幾何分布的概率公式.本題屬中等難度的題目，計(jì)算量不是很大，能很好的考查考生數(shù)學(xué)

應(yīng)用意識(shí)、基本運(yùn)算求解能力等.

18.已知函數(shù)/(x)=lnx+ax2+(2"+l)x.

(1)討論/(X)的單調(diào)性；

3

/(x)<---2

(2)當(dāng)。<°時(shí)，證明4a.

【正確答案】(1)見解析；(2)見解析.

f'（x）=+1）（*+1）（工〉°）

【分析】（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)X，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化情況

討論單調(diào)性：當(dāng)時(shí)，則/（X）在（。,+8）單調(diào)遞增；當(dāng)。＜0時(shí)，/（X）在

（0,一?。ㄒ欢?+°°）

2a單調(diào)遞增，在2a單調(diào)遞減.

33I',所以需證

f(x)<-----2f(x)<------2f(x)

(2)證明4a,即證4。,而

ln(----)H----F1<0z\_/i\_n

2a2a,設(shè)g(x)=lnx-x+l,利用導(dǎo)數(shù)易得g(町max==U,即得證.

(x+l)(2ax+l)

f/\f(x)=—+lax+2Q+1=

【詳解】(1)7W的定義域?yàn)?0,+8),%x

＞

若定0,則當(dāng)xe（0,+8）時(shí),于（x）°,故/（無）在（0,+00）單調(diào)遞增.

時(shí);當(dāng)在（一五"功時(shí)，/G）＜°.

若QVO,則當(dāng)時(shí),

（」,+“）

在/（x）＞°單調(diào)遞增

故「（X）,在2a單調(diào)遞減.

1

X=----

(2)由（1）知，當(dāng)QVO時(shí)，/（X）在2a取得最大值，最大值為

/(--)=ln(-—)-1--

lala4a

/(%)<---2ta(--)-1-—<---2ta(-—)+—+1<0

所以4〃等價(jià)于2a4。4a,即2a2a

、gW=--i

設(shè)g(x)=lnx-x+l,則x.

當(dāng)xe(0,1)時(shí)，g'(x)>°；當(dāng)花(1,+°?)時(shí)，g'(x)<°.所以g(%)在(0,1)單調(diào)遞增，

在(1,+8)單調(diào)遞減.故當(dāng)x=l時(shí)，g(X)取得最大值，最大值為g(1)=0.所以當(dāng)x>0時(shí),

113

ln(——)+—+1<0/(x)<---2

g(x)W0.從而當(dāng)。<0時(shí)，2ala，即