2024-2025學(xué)年廣西欽州市高三年級上冊10月摸底考試數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年廣西欽州市高三上學(xué)期10月摸底考試數(shù)學(xué)

檢測試卷

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2、回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑、如需改動

、用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷

上無效.

3、考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

小本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

甘什人力=卜卜〉21B={v\2<y<3}、

1.若集合11>,1"J,則nl（z）

A.AC\B=0B.AC\B=AC.A\JB=BD.

A\JB=A

2.曲線y=+i在點（-3,—8）處的切線斜率為（）

A.9B.5C.-8D.10

3.若向量加=（2,5）,AC=（m,m+l）,且A,B,。三點共線，則加=（）

2233

AB.-C.D.一

.3322

4.在四棱錐尸中，“5€7/40”是“8。//平面尸40''的（）

A充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

（兀..4兀3兀..3兀、

5cos—+isin-cos一+isin-=（）

.155大1010；

A.1B.iC.-1D.-i

6.已知雙曲線C：］—：=1的左、右焦點分別為片，鳥，尸為C右支上一點，。為坐標

原點，。為線段期的中點，T為線段上一點，且=則閨刀=（)

A.3B.V10C.4D.5

7.定義在R上的奇函數(shù)/（x）在（O,+力）上單調(diào)遞增，且=則不等式g?W0的

8.若數(shù)列｛?！埃?、也｝滿足％=%=1,〃=an+l-n+1,Az=an-n+3,則數(shù)列｛an+bn｝

的前50項和為（）

A.2500B.2525C,2550D.3000

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.廣西壯族自治區(qū)有7個市區(qū)的面積大于1.3萬平有千米，這7個市區(qū)為南寧市（22100平方

千米）、柳州市（18596平方千米），桂林市（27800平方千米），百色市（36300平方千米）,

河池市（33500平方千米），來賓市（13411平方千米），崇左市（17332平方千米），這7個市

區(qū)的面積構(gòu)成一組數(shù)據(jù)，則（）

A.這組數(shù)據(jù)的極差為22889平方千米

B.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)對應(yīng)的市區(qū)為桂林市

C.這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)對應(yīng)的市區(qū)為柳州市

D.這組數(shù)據(jù)中，大于1.8萬平方千米的頻率為』

7

10.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點

的曲率等于2兀與多面體在該點的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角.

JT

角度用弧度制表示.例如：正四面體每個頂點均有3個面角，每個面角均為一，故其各個頂點

3

的曲率均為2?！?X1=TI,如圖，在正方體48co—4B1G2中，AB=&，則（）

A.在四面體48CD］中，點A的曲率為五

7兀

B.在四面體48CD］中，點A的曲率大于一

6

C.四面體48CD］外接球的表面積為127r

D.四面體48CR內(nèi)切球半徑的倒數(shù)為6+46+3JI

6

11.已知函數(shù)/(x)=kin2x|+cos4x,則()

A./(x)的最大值為:

B./(x)的最小正周期為、

C.曲線y=/(x)關(guān)于直線x=軸對稱

D.當xw［O,兀］時,函數(shù)g(x)=16/(x)-17有9個零點

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.lg-+lg-=-

13.(x+y)(x->)6的展開式中，各項系數(shù)之和為,項的系數(shù)為

14.兩條都與〉軸平行的直線之間的距離為6,它們與拋物線/=4x和圓(X+4『+/=4

分別交于點A,8和C,D,則的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在V48C中，a,b,c分別是內(nèi)角A,B,。的對邊，且/+廿=仍+。2,

bcsinZ=sinC.

(1)求c；

(2)求。的最小值.

16.在六面體/BCD—4名。1，中，力4,平面Z8CD,AAJIBBXI/CCJ!DDX,且底面

(1)證明：平面ZCG4.

7

(2)若441=CG=5，ABAD=60°，AB=BBX=2.求平面481G2與平面ABCD所

成二面角的正弦值.

17.已知函數(shù)/(x)=ax-1+lnx.

a

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(x)存在最大值，且最大值小于0,求。的取值范圍.

18.甲、乙兩個口袋都裝有3個小球(1個黑球和2個白球).現(xiàn)從甲、乙口袋中各取1個小球

交換放入另外一個口袋(即甲口袋中的小球放入乙口袋，乙口袋中的小球放入甲口袋)，交換

小球〃次后，甲口袋中恰有2個黑球的概率為P,,，恰有1個黑球的概率為%.

⑴求。1，qx；

(2)求夕2，%；

〃

(3)求數(shù)列｛%｝的通項公式，并證明?＞，—￡3＜右1.

i=i520

19.若一個橢圓的焦距為質(zhì)數(shù)，且離心率的倒數(shù)也為質(zhì)數(shù)，則稱這樣的橢圓為“質(zhì)樸橢圓”.

A22

(1)證明：橢圓"＜+二=1為“質(zhì)樸橢圓”.

22554

22

(2)是否存在實數(shù)加,使得橢圓餐+%1(。<加<36)為“質(zhì)樸橢圓”？若存在，求加的

值；若不存在，說明理由.

22

(3)設(shè)斜率為2的直線/經(jīng)過橢圓C:]+￡=1(0<6<3)的右焦點，且與。交于A,8兩

點，|48|=黑，試問C是否為“質(zhì)樸橢圓”，說明你的理由.

2024-2025學(xué)年廣西欽州市高三上學(xué)期10月摸底考試數(shù)學(xué)

檢測試卷

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2、回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑、如需改

動、用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試

卷上無效.

3、考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

小本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

什正人Z=（x|x〉2]B=[y\2<y<3\

1.若集合111,V1-J,則（）

A.AC\B=0B.AnB=AC.A\JB=BD.A\JB=A

【答案】D

【解析】

【分析】首先判定集合A和集合3的關(guān)系，再根據(jù)集合的運算確定=A\3B=A.

【詳解】由題意可得，集合3是集合A的一個真子集，

則4口3=5,A\3B=A,

故選：D.

2.曲線yngd+i在點（-3,—8）處的切線斜率為（）

A.9B.5C.-8D.10

【答案】A

【解析】

【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得解.

【詳解】由已知y=gY+i,則_/=/,

當x=-3時，y'-（一3）2=9,

即切線斜率左=9,

故選：A.

3.若向量45=(2,5),AC=[m,m+l),且A,B,C三點共線，則加=()

2233

A.----B.-C.----D.一

3322

【答案】B

【解析】

【分析】由題意可得益〃正，根據(jù)兩向量平行的坐標運算求解即可.

【詳解】解：由A,2,C三點共線，

得刀〃4，

2

得2(m+1)-5機=0,解得加=§.

故選：B.

4.在四棱錐P—48C。中，“8。//40”是“5。//平面尸40”的()

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】利用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合充分、必要條件的定義進行判定.

由8C//4D,8C■平面尸4D,4Du平面尸4D,得5C//平面04D.

由3C//平面尸4D,BCu平面48CD,平面43CD0平面P4D=，得BC//AD.

故"BCHAD”是“//平面PAD”的充要條件.

故選：C.

(it..4TIY3兀..3兀、

5.cos—+isin—cos—+ism—=()

I55共1010)

A.1B.iC.-1D.-i

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算，結(jié)合三角恒等變換可得解.

,、斗左力.(兀??4兀3兀..3兀、

【詳解】Icosy+ism—IIcos—+isin—I

(兀..兀、(3兀..3兀、

=cos—+ism—cos—+ism—

I551010)

兀3兀.兀.3兀.，.兀3兀兀.3兀、

=cos—cos---sm—sin----Fism—cos---1-cos—sin—

510510I510510J

兀..兀

=cos—+1sm—

22

=i,

故選：B.

6.已知雙曲線=l的左、右焦點分別為片，F(xiàn)2,尸為C右支上一點，。為坐標原點，0為線

段尸片的中點，T為線段4上一點，且|。丁|=|。。|，則閨T|=()

A.3B.VlOC.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】利用雙曲線的標準方程，結(jié)合雙曲線的定義，可得問題答案.

【詳解】如圖：

因為P為C右支上一點，所以|尸圖一|尸聞=2。=2而=8.

因為。為坐標原點，。為線段尸片的中點，所以「聞，閨0|=。|尸周,

則閨=\F.Q\-\QT\=閨。|—|。@=|(|^|-|^|)=4.

故選：C

則不等式（Mvo的解集為

7.定義在R上的奇函數(shù)〃x）在（0,+。）上單調(diào)遞增，且/=0,

IX2-2

()

A.B.一鞏

cf—V2,——u｛0｝U(V^,+8)

D.一8,

【答案】D

【解析】

【分析】首先根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，判斷/（。）=0,/（x）在（-。,0）上單調(diào)遞增，且

0,再結(jié)合函數(shù)/（X）的單調(diào)性解不等式即可.

【詳解】由題意可得，/（o）=o,/（X）在（-8,0）上單調(diào)遞增,

由駕0,得

X2-2>0,或

X2-2<0,

?.?/(x)W0時，x<-1,或

XX2-2>0,即x<—后，或x>&，

二/(x)<〉0解得…廠,

故0,

1八31

?.?/(x)20時,—Vx<0,或—，

33

又2<0，即—夜<x（啦，

<個)"°,解得—Lx<0,或LX<VL

故

X2-2<033

則不等式j(luò)fclwo的解集為：xeo-i1,0oi,

X2-2333

故選：D.

ba

8.若數(shù)列｛4｝、｛a｝滿足%=%=1，"=%—〃+1，n+X=n〃+3,貝。數(shù)歹!]{a“+”}的前50項

和為（）

A.2500B.2525C.2550D.3000

【答案】C

【解析】

【分析】又已知可得％+]+4+]=%+〃+2,可知數(shù)列｛%+4｝為等差數(shù)列，進而可得解.

【詳解】因為。2=1，。=4+1一”+1，所以4=%-1+「1，

又%+1=4+〃-1，4+1=%-〃+3，

則%+1+&1=an+bn+2,

所以數(shù)列｛%+%｝是首項為%+4=2,公差為2的等差數(shù)列，

所以4+4=2+（〃一1>2=2〃,

則數(shù)歹U｛%+4｝的前50項和為50x2+x2=50x（2+49）=2550,

故選：C.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.廣西壯族自治區(qū)有7個市區(qū)的面積大于1.3萬平有千米，這7個市區(qū)為南寧市（22100平方千米）、柳州

市（18596平方千米），桂林市（27800平方千米），百色市（36300平方千米），河池市（33500平方千

米），來賓市（13411平方千米），崇左市（17332平方千米），這7個市區(qū)的面積構(gòu)成一組數(shù)據(jù)，則

（）

A.這組數(shù)據(jù)的極差為22889平方千米

B.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)對應(yīng)的市區(qū)為桂林市

C.這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)對應(yīng)的市區(qū)為柳州市

D.這組數(shù)據(jù)中，大于1.8萬平方千米的頻率為*

7

【答案】ACD

【解析】

【分析】將這7個數(shù)從小到重新排列，求出極差判斷A；找出中位數(shù)判斷B；求出第40百分位數(shù)判斷C；

求出大于1.8萬平方千米的頻率判斷D.

【詳解】解：這組數(shù)據(jù)（單位：平方千米）按照從小到大的順序排列為13411,17332,18596,22100,

27800,33500,36300,

所以這組數(shù)據(jù)的極差為36300-13411=22889平方千米，故A正確；

這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)22100平方千米，中位數(shù)對應(yīng)的市區(qū)為南寧市，故B錯誤；

因為7x40%=2.8,所以這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為18596平方千米，

所以第40百分位數(shù)對應(yīng)的市區(qū)為柳州市，故C正確；

這組數(shù)據(jù)中，大于1.8萬平方千米的有5個，

所以大于1.8萬平方千米的頻率為T，D正確.

故選：ACD.

10.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于

2兀與多面體在該點的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角.角度用弧度制表示.例如:

兀兀

正四面體每個頂點均有3個面角，每個面角均為一，故其各個頂點的曲率均為2兀-3x—=兀.如圖，在正

33

方體48co-45012中，48=而，則（）

A.在四面體中，點A的曲率為——

12

7兀

B.在四面體45。。］中，點4的曲率大于——

6

C.四面體4SC2外接球的表面積為12兀

D.四面體ABCn內(nèi)切球半徑的倒數(shù)為"+4?+30

6

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)及四面體的內(nèi)切球與外切球的半徑算法，結(jié)合曲率的定義分別計算各選項.

7T

【詳解】在正方體43CQ—4gG2中，易證△NCR為正三角形，AB±ADX,ZBAC=~,

在四面體48c中，點A的曲率為2兀-A選項正確;

在正方體ABCD-481GA中，NgB=/BRC,?/tan^AD^=tanZBD.C=-^<1,

77

:.O〈/ADTB=NBDTC<1,在四面體ZBCD］中，點A的曲率為

2兀一++；〉2兀一］；71x2+；717兀

-7，B選項正確;

436

???四面體ABCD｛外接球的半徑即為正方體ABCD-外接球的半徑為走.、％=

22

2

???四面體外接球的表面積為47rx=1871,C選項錯誤;

四面體的體積％=

32

213義(舊了=3+6&+3月，

四面體ABCD,的表面積5=-x(V6y+-XV6XV12X2+

2

3瓜6

???四面體內(nèi)切球的半徑r=—=----尸_廣=-----尸~廣=———廣_尸,

S3+6V2+3V31+2V2+V3V6+4V3+3V2

日門1y/-6+4V3+3^/2c注T否pr#.

即一二------------—，D選項正確；

6

故選：ABD.

11.已知函數(shù)/(x)=bin2x|+cos4x,則(

/(x)的最大值為j

A.

B./(x)的最小正周期為］

曲線V=/(x)關(guān)于直線x=與(左eZ)軸對稱

D.當xe［O,可時，函數(shù)g(x)=16/(x)—17有9個零點

【答案】BC

【解析】

【分析】化簡函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)的周期性與對稱性可判斷各選項，根據(jù)函數(shù)零點的定義可解得

1B

回112乂=：±子，數(shù)形結(jié)合即可得解.

［詳解】/(x)=|sin2x+1-21sin2x|2

當卜in2x|=；時，/(x)取得最大值，且最大值為I,A選項錯誤;

因為>=卜由2司，y=cos4x的最小正周期均為所以/(x)的最小正周期為B選項正確;

所以曲線y=/(x)關(guān)于直線

x=彳(左eZ)軸對稱，C選項正確;

令g(x)=16/(x)—17=0,得/(x)=￡,則|sin2x|=；土芯,

結(jié)合函數(shù)>=卜由2城0Wx4兀)的圖象，可知方程卜也2$=；±/在［0,可上有8個不同的實根，D選項

錯誤；

故選：BC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

,1,1

12.lg-+lg-=?

【答案】-1

【解析】

【分析】根據(jù)對數(shù)的運算公式直接可得解.

【詳解】lg1+lg|=lg^=-l-

故答案為：-1.

13.(x+.v)(x-y)6的展開式中，各項系數(shù)之和為,項的系數(shù)為

【答案】①.0②.-5

【解析】

【分析】令x=y=l可得展開式各項系數(shù)和，寫出(X-jo。展開式的通項，利用通項求出/式項的系數(shù).

【詳解】令x=y=l,得(x+y)(x—>)6=0,即各項系數(shù)之和為0,

6

又(x+y)(x—y)6=x(x—y)6+y(x-y),

6r

其中(x->)6展開式的通項為Tr+l=C'6x-re{0,1,2,3,4,5,6},

所以含的項為xC江3(一方+式"4(_歷2=_5X"3,即》與3項的系數(shù)為—5.

故答案為：0；-5

14.兩條都與軸平行的直線之間的距離為6,它們與拋物線j2=4x和圓(x+4)2+/=4分別交于點

A,8和C,D,則的最大值為.

128百

【答案】

9

【解析】

【分析】設(shè)直線CD方程為x=/,結(jié)合直線與圓相交可知/e(-6,-2),則直線4B的方程為x=/+6,根

據(jù)直線與圓相交的弦長及直線與拋物線相交得弦長可得|48卜|。。|=8，(7+6,4-(+4門,設(shè)

m=t+4e(-2,2),結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得\AB\.\CD\的最大值.

【詳解】設(shè)直線C。方程為x=/,

由己知圓(x+4『+/=4的圓心〃(一4,0),半徑廠=2,

由直線CD與圓M相交，即點〃到直線C。的距離"=卜+4|<2,解得—6</<—2,

且|卬=2AP--=2#—?+4.；

直線4B的方程為x=I+6,設(shè)見%2，，2)，

x=t+6

聯(lián)立直線<貝!IVj=2J/+6，y-,=-2J7+6,

「=4x

貝ij3|=|必-為=4J/+6,

則以郎|CO|=254—'+41-4#F6=3+6)4—(7+4『］(―6</<—2)

設(shè)加=￡+4w(-2,2),

則|^|-|CD|=8,(加+2)(4—42)(-2<m<2),

設(shè)f(m)=(加+2乂4一加2)(_2<m<2),

則尸（m）=（4一加2）+（加+2）-（一2加）=-3m2-4m+4=一（3加一2）（加+2）,

22

令/'（加）＞0,解得一2c加＜§,令/'（加）＜0,解得加＜2,

即/（機）在2,1）上單調(diào)遞增，在（g2］上單調(diào)遞減，

2（2、25（

即當加=］時，/（機）取得最大值為/=H

則H即\CD\的最大值為8，%=*|叵，

故答案為：生I.

9

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在△45C中，a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對邊，^.a1+b~=ab+c1bcsvaA=sinC.

（1）求C；

（2）求c的最小值.

jr

【答案】（1）c=-

3

（2）1

【解析】

【分析】（1）根據(jù)余弦定理直接可得角C；

（2）結(jié)合正弦定理邊角互化可知仍=1,則根據(jù)基本不等式可得最值.

【小問1詳解】

〃2.卜2_21

因為。2+，所以COSC=----------=—，

lab2

因為Ce（0,7i）,所以C=/；

【小問2詳解】

因為bcsinZ=sinC,

由正弦定理可知abc=c,

所以仍=1,

由/=仍+。2，

得c2=a1+b~-ab>lab-ab=ab=\，

則c21,

當且僅當a=6=1時，等號成立.

所以c的最小值為1.

16.在六面體ABCD—481GA中，AA11平面ABCD,AAJIBBJ/CCX!/DD,,且底面ABCD為菱

(1)證明：AD2平面/CC/2-

7

(2)若=CG=2,ABAD=60。，AB=BBl=2.求平面481Goi與平面ABCD所成二面角的正

弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵巫

13

【解析】

【分析】(1)先證ZC工AD,AAJBD,再根據(jù)線面垂直的判定定理證明8。工平面么。。4.

(2)建立空間直角坐標系，用空間向量求二面角的三角函數(shù).

【小問1詳解】

因為四邊形N8CD為菱形，所以ZC1AD.

又AAl1平面ABCD,BDu平面ABCD,所以24_LRD.

因為44],ZCu平面NCG4，

所以5。1平面NCG4.

【小問2詳解】

由題意得3。=2,AC=2拒

以菱形48CD的中心。為坐標原點，0B，衣的方向分別為x,N軸的正方向，建立空間直角坐標系

Oxyz,如圖所示,

則“0,—百,(J,g(1,0,2),C^0,V3,1

所以函=T］，A^=f-i,A|

設(shè)平面的法向量為〃1=(x,j,z),

4片?兒］=0

則令z=2,得［=(3,0,2).

B［C［?/=0

易知平面48CQ的一個法向量為0=(0,0,1),

一〃1的222V13

則COS(〃i，〃2

同同V13xl13，

3713

所以平面44G。］與平面ABCD所成二面角的正弦值為

13

17.已知函數(shù)/(X)=QX——+lnx.

a

(1)討論/(%)的單調(diào)性；

(2)若/(x)存在最大值，且最大值小于0,求。的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析;

(2)(-<x),-l).

【解析】

【分析】(1)求出函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)，再按。分類討論求出/(x)的單調(diào)區(qū)間.

(2)由(1)的信息，求出最大值，再建立不等式并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性求解即得.

【小問1詳解】

1Z7V+1

顯然QWO,/(%)的定義域為(0,+8),求導(dǎo)得/(%)=]+—=——,

XX

當。>0時，/(x)>0,/(x)在(0,+co)上單調(diào)遞增；

11

當Q<0時，由得0<x<--,令/'(x)<0,得X〉一一,

aa

則/(X)在(0,-L)上單調(diào)遞增，在(-工，+8)上單調(diào)遞減，

aa

所以當a〉0時，/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+?0；

當。<0時，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,—工)，單調(diào)遞減區(qū)間是(一上，+8).

aa

【小問2詳解】

由(1)知，當且僅當a<0時，/(X)存在最大值，且最大值為/(—L)=—l—L—a).,

aa

11-11-/7/、

設(shè)g(a)=—l——ln(—a),求導(dǎo)得g，(a)=-―-=—>0,函數(shù)g(a)在(―。,0)上單調(diào)遞增，

aa-aa

又g(-l)=O,則由g(a)<0,得a<—1,

所以。的取值范圍為(-

18.甲、乙兩個口袋都裝有3個小球(1個黑球和2個白球).現(xiàn)從甲、乙口袋中各取1個小球交換放入另

外一個口袋(即甲口袋中的小球放入乙口袋，乙口袋中的小球放入甲口袋)，交換小球“次后，甲口袋中

恰有2個黑球的概率為p?,恰有1個黑球的概率為%.

⑴求,1，名；

(2)求夕2，%；

n31

(3)求數(shù)列加“｝的通項公式，并證明Z0一￡<—

z=i520

25

【答案】(i)Pi=3,=—

，、1649

(2)Pr=—,q,=—

28181

32

(3)q—,證明見解析

"545

【解析】

【分析】(1)根據(jù)古典概型概率及互斥事件的概率公式計算即可；

(2)根據(jù)條件概率與全概率公式計算即可；

(3)討論第〃(〃>2)次換球后甲口袋中黑球的個數(shù)為1的情況下的三種情形,構(gòu)造等比數(shù)列計算通項公式,

再由等比數(shù)列求和公式結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)證明即可.

【小問1詳解】

第1次換球后甲口袋中有2個黑球，即從甲口袋取出的為白球且從乙口袋取出的為黑球，則

212

1339

第1次換球后甲口袋中有1個黑球，即從甲、乙口袋取出的同為白球或同為黑球，得

22115

133339

【小問2詳解】

若第2次換球后甲口袋中有2個黑球，

則當?shù)?次換球后甲口袋中有1個黑球時，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球，

當?shù)?次換球后甲口袋中有2個黑球時，第2次甲、乙口袋同取白球，

,,211522116

所ce以P?~Q]x—x—Fp,x—=—x—I—x-=—.

82"3313999381

若第2次換球后甲口袋中有1個黑球，

則當?shù)?次換球后甲口袋中有0個黑球時，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球，

當?shù)?次換球后甲口袋中有1個黑球時，第2次甲、乙口袋同取白球或同取黑球，

當?shù)?次換球后甲口袋中有2個黑球時，第2次甲口袋取黑球且乙口袋取白球，

所以%=(1一%—Pi)x；+qi+pi=n

313333/3o1

【小問3詳解】

第〃(〃22)次換球后，甲口袋中的黑球個數(shù)為1的情形有：

①若第"-1次換球后甲口袋中有2個黑球，則第〃次甲口袋取黑球且乙口袋取白球；

②若第〃-1次換球后甲口袋中有1個黑球，則第〃次甲、乙口袋同取黑球或同取白球；

③若第n-1次換球后甲口袋中有0個黑球，則第，次甲口袋取白球且乙口袋取黑球.

2(1122、221

所以9"=Xj+Xl+yXJl+(1-A1-l-

設(shè)縱+/=-+2)(zz>2),

則/=一號力一"縱—i，則一=得幾=一|-

32f3121

又名-一=-去，所以數(shù)列%一^是以一去為首項，一臺為公比的等比數(shù)列

545[5J459

所以縱-?3

1H），即縱=片〔-』

n32I111

所以學(xué)---1------------------

992

1-±

21o