2024-2025學年重慶市萬州區(qū)高二年級上冊11月期中考試數(shù)學檢測試題（附解析）

2024-2025學年重慶市萬州區(qū)高二上學期11月期中考試數(shù)學

檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.直線x+gy+2=0的傾斜角為（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

2.已知圓C的方程是x2+/+4x-2y-ll=0,則圓心C的坐標是（）

A.（-2,1）B.（2,-1）C.（-4,2）D.（4,-2）

3.設(shè)片，鳥是雙曲線C：=1的左、右焦點，過修的直線與C的右支交于P,

Q兩點,則出尸|+|片。|T尸。卜（）

A.5B.6C.8D.12

4.兩平行直線乙：x—2y—麗=0,4：2x—4》+3而=0之間的距離為()

5F)

A.*B.3C.V5D.2A/2

2

5.已知圓河：(、+1)2+3+2)2=1與圓2(%-3)2+3+4)2=1關(guān)于直線/對稱，則/的方程

為()

A.%+2y+5=0B.x-2y-5=0

C.2x+y+5=0D.2x-y-5=0

6.已知向量值=(2,-3,0),3=(0,3,4),則向量方在向量往上的投影向量的坐標為

)

A.B.|

C.|D.“奈-

7.已知圓C:/+y2—8工+12=0,點夕在圓。上，點力（6,0）,M為北的中點，。為坐

標原點，貝I」的最大值為（）

AA/6口SrV6八V6

121243

8.已知點P為直線《：加x-2y-加+6=0與直線/2：2尤+叼-m-6=0（加eR）的交點，點

Q為圓C：(x+3)2+(y+3)2=8上的動點，貝八尸。|的取值范圍為()

A.[2拒,8&]B.(272,872]C.[72,672]D.(拒,6&]

二、多選題（本大題共3小題）

9.若直線（。一2）x+4y+a=0與直線（。-2）&+（。2+2。+4）＞-2=0平行，則。的值可以

是（）

A.0B.2C.-2D.4

10.已知正方體/BCD-44GA的棱長為2,若幺4，8c的中點分別為W,N,則

（）

A.MN1CQB.平面43G〃平面42c

C.BXNLDXMD.點。到平面的距離為生竺

29

11.已知點尸（尤0,%）,直線/：%x+%y=l及圓=1,則下列結(jié)論正確的是

（）

A.若點P在C上，貝心與C相切

B.若點尸在圓/+，=4上，貝I"被圓C截得的弦長為1

2

C.若點P在圓C外，過點尸作圓C的切線，貝h為過兩切點的直線

D.若點P在圓C內(nèi)，過點P的直線與圓C交于點W,N,則圓C在處的切線

的交點在1上

三、填空題（本大題共3小題）

12.設(shè)向量3=（1,2,刃）3=（2,0,-1）,若也,貝!|刃=.

2

爐V

13.已知橢圓C:1y+方=1（。＞6＞0）左、右焦點分別為￡、F2,過片且傾斜角為30。的

直線4與過工的直線4交于尸點，點尸在橢圓上，且2月產(chǎn)工=90°.則橢圓C的離心率

e=.

14.我國南北朝時期的著名數(shù)學家祖原提出了祖曬原理：“幕勢既同，則積不容

異.”意思是，夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意一

個平面所截，若截面面積都相等，則這兩個幾何體的體積相等，運用祖原理計算球

的體積時，構(gòu)造一個底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱，與半球（如圖①放置在

同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面

的圓錐后得到一新幾何體（如圖②，用任何一個平行于底面的平面去截它們時，可證

得所截得的兩個截面面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等，即

小>3,現(xiàn)將橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖狀的幾

何體(如圖③，類比上述方法，運用祖曬原理可求得其體積等于

四、解答題(本大題共5小題)

15.已知直線/.(2a-l)x+(a+l)y+a-5=0

⑴若直線/與直線廠：x+2k1=0平行，求a的值；

(2)若直線/在兩坐標軸上的截距相等，求直線/的方程.

16.已知。C：x2+y2=16.

(I)設(shè)點。(x,y)為OC上的一個動點，求4x+3y的范圍；

(II)直線/過點尸(3,4),且與OC交于A、3兩點，若Ma=2近，求直線/的方程.

17.如圖1,在直角梯形ABCD中，AB〃CD,ZB=90°,AB=3,CD=2,

BC=5E在AB上，且AD=AE.將AADE沿DE折起，使得點A到點P的位

置，且PB=PC,如圖2.

(1)證明：平面PDE_L平面BCDE；

(2)求二面角C-PB-E的正弦值.

18.已知離心率為母的橢圓。:]+《=1(0>6>0)過點”(行,1)

(1)求橢圓C的方程;

（2）過點（1,0）作斜率為2直線/與橢圓相交于A,3兩點，求的長；

（3）過點（1,0）的直線/與橢圓相交于A,8兩點，求的面積的最大值.

19.在平面直角坐標系xQy中，重新定義兩點工（國,%）,8（%,力）之間的“距離”為

|/同=民-xj+|%-弘|，我們把到兩定點耳（-。,0）,居（c,0）（c>0）的“距離”之和為常數(shù)

的點的軌跡叫“橢圓”.

⑴求“橢圓”的方程；

（2）根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對稱性，并說明理由；

（3）設(shè)c=l,a=2,作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為C,C的左頂點為

A,過耳作直線交。于兩點，A/MN的外心為。，求證：直線。。與的斜率

之積為定值.

答案

1.【正確答案】A

【詳解】由題意直線x+島+2=0,可得斜率為左=一二=一心，

V33

設(shè)直線x+島+2=0的傾斜角為。，其中04a<180°,

可得tanc=-@,所以a=150°,即直線工+0."+2=0的傾斜角為150°.

3

故選：A.

2.【正確答案】A

【詳解】圓C的方程可化為（x+2『+（y-l）2=16,圓心C的坐標是（-2,1）.

故選：A.

3.【正確答案】C

【分析】由雙曲線的定義知陽尸|一忸閶=2。=4,\FlQ\-\QF2\=2a=4,貝ij

小尸|+\FVQ\-\PQ\=\FlP\-\PF2\+閨0|-|明,即可得出答案.

【詳解】雙曲線C：^-y=l,則/=4,。=2,

由雙曲線的定義知：|耳目一戶閭=2。=4,\FlQ\-\QF2\=2a=4,

\PQ\=\PF2\+\QF2\,

所以優(yōu)刊+\FtQ\-\PQ\=閨P|+M-（l^I+舊山）

=陽尸|一|尸閭+寓QH。閶=8.

故選：C.

4.【正確答案】A

【詳解】由題意得：

???直線/i：x-2y—麗=0,Z2:2x-4y+3V10=0,

121

'-K=~,k=-=~,兩直線為平行直線，

2422

直線4:x-2〉-麗=00/]:2x-4〉-2麗=0,

兩平行直線之間的距離為J，廂-卜2㈣[逑.故選人.

V4+162

5.【正確答案】D

【詳解】圓M:（x+1）2+（y+2）2=1的圓心為

圓N:（X-3）2+5+4）2=1的圓心為N（3,-4）,所以線段7W的中點坐標為。,-3）,

.7-4+2171c

又與w=’1貝1左二一7一二2,

3+12^MN

所以直線/的方程為J+3=2（x-l）,即2x-y-5=0.

故選：D.

6.【正確答案】D

【分析】根據(jù)投影向量的定義求解即可.

【詳解】因為1=(2,-3,0),B=(0,3,4),

所以］%=2x0—3x3+0x4=-9，J0+9+16=5,

a-bb-9b9小個八

則向量值在向量5上的投影向量為.下^同=彳*彳=—天（034）二。隹

故選D.

7.【正確答案】A

【詳解】由題意知圓C的方程為"-盯+/=4,設(shè)尸優(yōu),%）,M（x,y）,

6+x_

0X,

2七二：一6,,又尸在圓。上，所以（/_4『+/=4,

則，所以

0+%%—2%

=%

2

即（2xT0『+（2y）2=4,即M的軌跡方程為（》-5『+必=1.如圖所示,

當ON與圓（x-5『+y2=i相切時，tanNMCU取得最大值,

此時|(W|=j25-l=2通,tanZMOA=-^==—,所以tan/MCM的最大值為逅.

112V61212

【分析】先求出點尸的軌跡方程，再判斷兩圓的位置關(guān)系，即可求出IP0I的取值范圍.

【詳解】因為點尸為直線乙：加x-2y-加+6=0與直線4：2x+叼-加-6=0的交點，

所以由2根+（-2）加=0可得/J/”且4過定點（1,3）,乙過定點（3」），

所以點P的軌跡是以點（1,3）與點（3,1）為直徑端點的圓（去除（1,1））,圓心為（2,2）,

半徑,.=&1-3>+(3一小=0

2

而圓C:(x+3)2+(y+3)2=8的圓心為(-3,-3),半徑為R=242，

所以兩個圓心的距離d=J(2+3y+(2+3)2=5/,且4>r+R,所以兩圓相離,

所以|尸0|的最大值為：d+r+R=8柩,

因為(U)不在圓。上，故|尸0|>"-一尺=2近，

故選B.

【關(guān)鍵點撥】本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)直線4,右垂直以及過定點得到點尸的軌跡是圓，從而得

解.

9.【正確答案】AB

【詳解】因為兩直線平行，由斜率相等得―-=-2"了，，所以a-2=0或

44+2〃+4

/+20+4=4,解得。=2或0或-2,當。=-2時兩直線重合，舍去.

故選

10.【正確答案】BCD

【詳解】因為/4〃C￡,且44]=CC1,則446C為平行四邊形，

可得4c1〃NC,且4。平面NC￡>],/。<=平面/。。1，

所以/￡〃平面4CDi，因為/Baca，且/B=GA，則/2G2為平行四邊形,

可得/，〃3G，且平面平面/CDI,

所以BQ〃平面/CD1,又3。八/￡=。，8C]，4Gu平面

所以平面4c田〃平面故B正確；

B

x

分別以D4DC,他為x/,z軸建立空間直角坐標系，則。(0,0,0),4(2,0,0),

C(0,2,0),0(0,0,2),5(2,2,0),C,(0,2,2),<(2,2,2),4(2,0,2),"(2,0,1),

Ml,2,0),

旃=(一1,2,-1),CQ=(0,0,2),取=(-1,0,-2),9=(2,0,-1),

加"=-2/0,卒.^77=-2+0+2=0,

故兒WLCG不成立，B\NLD、M成立,故A錯誤，C正確；

設(shè)平面的法向量：=(x,y,z)，方而=(2,0,-1),旃=(一1,2,-1),

n?D,M=2x—z=0

則一，，令x=2,貝|z=4/=3,即力=(2,3,4),

n,MN=-x+2y-z=0

又西=(0,0,2),

所以］=但，/=/==生"，故點。到平面的距離為WH,故D正確.

同V292929

故選：BCD

11.【正確答案】ACD

【詳解】對于A,點尸在C上，則x；+y；=l,圓C的圓心(0,0)到/的距離

d=.1一=1

故/與C相切，A正確；

對于B,點P在圓/+y=4上，則其+火=4,圓C的圓心(0,0)到/的距離：

d==L所以/被圓。截得的弦長為2Mly=6，B錯誤；

對于C,設(shè)兩切點分別為/(匹,%),2(乙/2)，由A選項分析可知：

圓C在點48處的切線方程分別為％/+必了=1,工2%+為了=1,

因為點P在兩切線上，所以XRo=l,x2x0+y2y0=1,

所以點42都在直線XoX+%y=l上，C正確；

對于D,由選項C知，設(shè)圓C在處的切線的交點為

則ACV的方程為Xo'x+%“=1,由點尸在該直線上，所以=1,

所以點由',%')在直線x0x+%y=l上，D正確.

故選：ACD.

12.【正確答案】2

【詳解】因為之工3，所以1不二。，即1x2-〃?=0,故m=2.

故2.

13.【正確答案】V3-l##-l+V3

【分析】求出|尸閭、|尸片|,利用橢圓的定義可得出關(guān)于。、。的等式，即可求得橢圓

C的離心率的值.

【詳解】在Rt△大尸工中，NP￡￡=30°,/甲線=90。，則忸閭=c,

由橢圓的定義可得|尸用+|尸身=（百+1卜=如，則0=?=7^=6-1.

故答案為.6-1

14.【正確答案】167r

【詳解】構(gòu)造一個底面半徑為2,高為3的圓柱，

在圓柱中挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點的圓錐，

小圓錐底面半徑為，，則。=］，所以，

則當截面與頂點距離為〃（0"43）時,

r=-h,

3

4

故截面面積為4%-§兀/，

把>=歷代入片+區(qū)=1,即工+仁=1,解得x=±2,9-后,

49493

所以，橄欖球形幾何體的截面面積為m2=4兀-34?！?,

由祖晅原理可得橄欖球形幾何體的體積為:

-=2（聯(lián)柱_聯(lián)錐）=2x|47ix3--x47rx3|=16K

I3J

故答案為.16兀

15.【正確答案】(1)4=1

(2)3x+2y=0或x+>-1=0

1?-1

【分析】(1)根據(jù)題意得到」二三0一，再解方程即可.

2a。+1a-j

—Sa—5

(2)首先分別求出直線在X軸和y軸的截距，從而得至Ij-。y=一三^,再解方程即

a+l2a-1

可.

(1)

(2)

a—Sa5

令x=o,得>=-巴上，即直線/在y軸上的截距為-y.

令y=0,得》=_/二，即直線/在x軸上的截距為-9二.

2。-12a-1

因為直線/在兩坐標軸上的截距相等，

所以一二=-￡,解得。=5或。=2.

貝Ij直線/的方程是3x+2y=0或x+尸1=0.

16.【正確答案】(I)-2044x+3yW20；(H)7x-24y+75=0或x=3.

(I)設(shè)4x+3y=f,由題意得直線4x+3y=f與OC有公共點，所以圓心到直線的距

離144,代入圓心到直線距離公式，即可求得答案；

(II)當直線/垂直于x軸時，經(jīng)檢驗，符合題意，當直線/不垂直于x軸時，設(shè)出直

線，根據(jù)弦長公式，即可求得圓心到直線距離d的值，根據(jù)圓心到直線距離公式，

即可求得k值，綜上即可得答案.

【詳解】(I)設(shè)4x+3y=Z,則直線4x+3y=f與0C有公共點，

Id

所以圓心到直線的距離144,即解得-20V/V20.

<42+32

(II)當直線/垂直于x軸時，此時直線方程為x=3,/與圓的兩個交點坐標為

(3,療)，(3,-々)，這兩點的距離為2々，滿足題意；

當直線/不垂直于x軸時，設(shè)其方程為了-4=左卜-3),即而-y-3"+4=0,

設(shè)圓心到此直線的距離為d(d>0),貝U2e=271工彳，解得1=3,

1-3左+417

即I,匕3,解得人二，，止匕時直線方程為7x—24y+75=0,

ylk2+l24

綜上所述，所求直線方程為7x-24y+75=0或無=3.

本題考查直線與圓位置關(guān)系的應用，解題的關(guān)鍵在于，根據(jù)題意，得到圓心到直線

的距離d的范圍或取值，再利用點到直線距離公式進行求解，考查分析理解，計算

求值的能力，屬中檔題.

17.【正確答案】（1）證明見解析；（2）生團.

【詳解】（1）證明：如圖,

取DE的中點0,連接PO,則PD=PE,故PO_LDE,

取BC的中點M,連接MO,貝!JMO〃BE,故MOJ_BC,

連接PM,因為PB=PC,M為BC的中點，所以PM_LBC,

又PMC0M=M,PM,OMu平面PMO,

所以BC_L平面PMO,又POu平面PMO,

貝l|BCXPO,

在平面BCDE內(nèi)，BC與DE相交，因此PO_L平面BCDE,

又POu平面PDE,

故平面PDEL平面BCDE；

（2）解：由（1）可知，PO_L平面BCDE,連接CE,

貝11BC=5BE=1,故CE7cB2+BE。=2=CD，

連接CO,則COLDE,則C0=6，

以點0為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示,

則尸（0,0,甸E（IQQ）,C（0,瓦），B10

（22

—>（36廠）一?（3百）一

所以尸5=—,-V3,CB=-,0,EB

「2J”2J

設(shè)平面PBC的法向量為加=（x，"z）,

r-^5八—x+---y—yl3z=0

貝H什，即2：,

\m-CB=03百八

—x------y=0

122，

令X=l,則y=z=百，

故加=,

設(shè)平面PBE的法向量為3=（。，b,c）,

3

3-O

—a+2

n-PB=02

則即<3

而-EB=0'12

—a+

12

令Q=V3，則b=-1,c=1,

故n=（月,-1,,

而工|V3_V3

所以cos〈檢砌=*］宿

\m\-\n\V7XV5"V35'

故二面角C-PB-E的正弦值為力-（，二）2=嚕^

18.【正確答案】（1）—+^=1；（2）-V35；（3）如

4292

Cy[2

e=-=—

a2

21

（1）由題意，可列出方程組得/+7=1,即可求出橢圓方程;

a2=b2+c2

x2+2y2=4

（2）直線/：>=2x-2,聯(lián)立-,整理得9/_16》+4=0,寫出韋達定理，最

y^2x-2

后利用橢圓弦長公式能求出M切的長；

（3）當直線/的斜率不存在時，直線軸，分別求出A,8的坐標，根據(jù)

S=J/-%卜1求出△0/8的面積；當直線/的斜率存在，且不為0時，可得直線/的

方程為：x^my+l,與橢圓的方程聯(lián)立，得何?+2”2+2中一3=0,寫出韋達定理

和再根據(jù)5=；回一%11=；,（弘+%1-4”必求出△048的面積,最后根

據(jù)雙勾函數(shù)的性質(zhì)求出面積的取值范圍，綜合即可得出△O/B的面積的最大值.

【詳解】解：（1）由題可知，橢圓C的離心率為孝，且橢圓過點"（也,1）,

cV2

e=—=--

a2

21

則</+乒=1,解得：q2=4,c2=b2=2,

a2=b2+c2

故橢圓c的方程為《+￡=1；

42

（2）???過點（1,0）作斜率為2直線.?.直線/：y=2x-2,

（22

土+匕=1

聯(lián)立，42,整理得：9X2-16X+4=0,

y=2x-2

、164

設(shè)4%，%），B（&,歹2）,則玉+%2=]~，

.1|=J1+2z?J（西+芻）一4年馬=y/~5y^-

（3）由于直線/過點（1。直線/,設(shè)4（王，%），3（%,%）,

當直線/的斜率不存在時，直線軸，

此時將x=l代入巨+理=1,解得：y=土旦,

422

([7\1四

即A,5的坐標分別為1,手,

’2'

7

'

則△0/8的面積為：5=||y1-j2|xl=工娓=近

22

當直線/的斜率存在，且不為0時，可設(shè)直線/的方程為：x^my+l,

■22

土+匕=1

聯(lián)立42,整理得：(加之+2)j?+2叼-3=0,

x=my+1

—2m-3

貝1J必+%=

而△0/8的面積為：S=g帆-力卜1=

2

￡-2mL4加2?12

即S-4-

2m2+2m2+22m2+2^2/+2

￡+2412q4m2+64/+6

I2-2Xm2+2~-m2+2

2+2

_____________,2_z-

令t=飛4m2+6〉指‘則r=4加2+6,得m2----

■\14m2+64t

所以s=2

m+2-/-6?2一r+2

4+

由雙勾函數(shù)的性質(zhì)得/+2>"+壬=讓

由于Z>V6,

tV63

44=與《>峋

則,=L迤

3

所以綜上得:S當,

所以△ON3的面積最大值為四

2

19.【正確答案】（l）k+c|+k-c|+23=2a（4>c>0）

(2)答案見解析

(3)證明見解析

【詳解】(1)設(shè)“橢圓"上任意一點為尸(x,y),則「耳|+|尸閭=2°,

即|x+c|+|j；|+|x-c|[+回=2“，即,+,+k_《+23=2Q（Q〉c〉0）,

所以“橢圓”的方程為|x+c|+|x—。|+2M=24〃〉。>0)；

(2)由方程,+0|+卜_0|+23=2〃，得2|j；|=2d!-|x+c|-|x-c|,

因為320,所以2Q―卜+,_卜一,20,ip>|x+c|+|x-c|,

[x<-cf-c<x<c[x>c

所以