2024高考數(shù)學(xué)?？碱}型 利用導(dǎo)數(shù)解決整數(shù)解及方程根的個數(shù)問題（解析版）

第9講利用導(dǎo)數(shù)解決整數(shù)解及方程根的個數(shù)問題

【典例例題】

題型一：整數(shù)解問題之化為直線與曲線位置關(guān)系問題

【例1】(2023?全國?高三專題練習(xí))若關(guān)于尤的不等式a(l-x)>e%2x-l)(其中有且只有兩個整

數(shù)解，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.［弓B-

C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)給定不等式，構(gòu)造函數(shù)/(x)=e*(2x-l)和g(x)=a(l-x),作出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象分析求解作答.

【詳解】

由不等式a(l-x)>e"(2x—l)(a>-l),令f(x)=e*(2x-l),g(x)=a(l-x),

「(尤)=e，(2x+l),當x<-;時，/V)<0,當x>-;時，/，U)>0,

即函數(shù)/(x)在(-叫-；)上單調(diào)遞減，在(-J,+⑹上單調(diào)遞增,/(尤)g=/［-；］=-1，且當x<3時,恒

有f(x)<0,

函數(shù)g(x)=a(l—x),a2—1表示恒過定點(L0),斜率為一。的直線,

在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)y=/(尤)的圖象和直線y=a(i-尤)，如圖,

因不等式a(l-x)>eX(2x-l)(。2-1)有且只有兩個整數(shù)解，觀察圖象知，-1和。是不等式g(x)>/⑺解集

中的兩個整數(shù),

(2a>--

于是得｛35

即V

9(-2)</(-2)'3a<-4

所以實數(shù)a的取值范圍是(一1，-備］.

故選：D

【點睛】

關(guān)鍵點睛：涉及不等式整數(shù)解的個數(shù)問題，構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)的性質(zhì)并畫出圖象，數(shù)形結(jié)合建立不等關(guān)

系是解題的關(guān)鍵.

【例2】（2023?四川?成都七中模擬預(yù)測（理））已知不等式*（x+3）-尤-2<0（a<l）恰有2個整數(shù)解,則。

的取值范圍為（）

323232

A.—^<a<——B.—^<a<——D.—<a<—

4e23e4e23e4e3

【答案】C

【解析】

【分析】

首先通過不等式分析，排除的可能性，對于%>-3,將不等式分離參數(shù)，得到“<（x+3）e~分析排除

aVO的情況，然后令g"）=（二點一利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的正負值和零點，極值點分析，

得到函數(shù)的大致圖象，然后觀察圖象分析，將問題要求等價轉(zhuǎn)化為,進而求解.

【詳解】

當彳=一3時，氏*。+3）-工-2<0（。<1）即為0+3-2<0,即1<0,不成立；

當…3時不等式等價于3f^=卜-±通$=->、,

由于。<1,故不成立；

x+2

當x>-3時，不等式等價于“<（x+3）e，'

若aVO,則不等式對于任意的x>-2恒成立，滿足不等式的整數(shù)有無窮多個，不符合題意;

當"。時，令g（x）='C"3）,則

//—\//—\

在-3,——上g[x)>0,；.g(x)單調(diào)遞增，在一|■工,+8上g<x)<0,；.g(x)單調(diào)遞減，且在

、2JI2,

(-3,-2)上g(尤)<。,在(一2,+oo)上g(尤)>。,

又???在尤趨近于+8時，g（X）趨近于0,

g(x)在(-3,+8)上的圖象如圖所示:

.?.-2＜上-5-1產(chǎn)-A/?＜-1,.??當時’不等式等價于.〈EX+27有兩個整數(shù)解’這兩個整數(shù)解必然是7和

g(O)><2

0,充分必要條件是g⑴”即

故選：C

【點睛】

分類討論是解決這類問題的重要方法，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性后要結(jié)合函數(shù)的零點和極值，極限值進行分析,

然后利用數(shù)形結(jié)合思想找到題設(shè)要求的充分必要條件，是問題解決的關(guān)鍵步驟.

【例3】(2022?遼寧?遼陽市第一高級中學(xué)高二期末)已知函數(shù)/")=丘(龍+l)-lnx,若/■(x)＜0有且只有

兩個整數(shù)解，則上的取值范圍是()

A.B.

C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】

將問題化為左(x+1)V—有且只有兩個整數(shù)解，利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)=—的性質(zhì)，并畫出g(x)與y=?x+1)

無x

的圖象，判斷它們交點橫坐標的范圍，列不等式組求上的范圍.

【詳解】

由題設(shè)，“X)定義域為(。,+8),則〃x)v。可得以x+

X

/、Inxrj,/、1-lnx

令A(yù)g（x）=---,貝！Ig（無）=——,

XX

所以0<x<e時g'（x）>0,即g（x）遞增，值域為（_/」）；

e

x>e時，（無）<0,即g（無）遞減，值域為（0一）；

X

若交點的橫坐標為不<々，貝!]1<玉<2<3?%2<4,

2In2

3k<----

2

.7/In3In2.In3

所以4k<一,BnrPl——<k<一.

31012

In4

5k>——

4

故選：c

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：首先轉(zhuǎn)化為人（龍+1）V出Inx有且只有兩個整數(shù)解，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，再應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法判斷

X

g（x）=—>y=依尤+D交點橫坐標范圍，即可求參數(shù)范圍.

X

【題型專練】

1.（2022?福建?莆田二中高二期中）設(shè)函數(shù)/（尤）=立工-辦+a,其中“>1,若存在唯一的整數(shù)%,使得〃/）<0,

則。的取值范圍是（）

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)8（>）=肥*,〃（%）=辦-。，將問題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)不使得

(%送(%))在直線h(x)=ax-a下方,再借助導(dǎo)數(shù)探討求解作答.

【詳解】

☆g(x)=xe*,/z(x)=ax-a,a>l,顯然直線/?(x)=ax-a恒過點A(1,O),

則“存在唯一的整數(shù)%,使得<0”等價于“存在唯一的整數(shù)為使得點(%遙(尤。))在直線必功=ox-。下方”,

g'(x)=(x+l)e",當尤<-1時，g'(x)<0,當無>-1時，gr(x)>0,即g(x)在(-<?,T)上遞減,在(T,+℃)上遞

增，

則當x=—l時，g(尤)而n=g(-1)=」，當X40時，g(x)e[--,0],而砥)4/?(())=一。<一1,

ee

即當x40時，不存在整數(shù)與使得點(%,g(/))在直線力(%)=以-〃下方，

當了>0時，過點4L0)作函數(shù)g(%)=xe、圖象的切線，設(shè)切點為尸￡H)/>0,則切線方程為：

y-tel=(Z+l)er(x-Z),

而切線過點41,0),即有Te'=Q+l)e'(lT),整理得：t2-t-l=0,而f>0,解得f=上空e(1,2),

因g(l)=e>0=A(l),又存在唯一整數(shù)%0使得點(%,g(x。))在直線//(x)=辦-a下方，則此整數(shù)必為2,

即存在唯一整數(shù)2使得點(2,g(2))在直線//(X)=以-a下方，

g⑵<〃⑵=

因此有g(shù)(3)N/3)0解得

所以a的取值范圍是(262,^].

故選：D

【點睛】

思路點睛：解決過某點的函數(shù)1x)的切線問題，先設(shè)出切點坐標(為，%),求導(dǎo)并求出切線

方程卜為=廣(九。)(%-九。),然后將給定點代入切線方程轉(zhuǎn)化為方程根的問題求解.

2.(2022?青海?海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(理))已知函數(shù)/")=優(yōu)，-金，若有且僅有兩個正整數(shù)，使得

/(“<0成立，則實數(shù)〃的取值范圍是(

1191

A.B.

3eV

9112

C.D.

2eV

【答案】C

【解析】

【分析】

將/(x)<0轉(zhuǎn)化為a(x+2)<,再分別求導(dǎo)分析g(x)=pDM無)=a(x+2)的圖象，再分別求得(l,g(l)),

(2,g(2)),(3名(3))到(-2,0)的斜率，分析臨界情況即可

【詳解】

無22

由/(%)<。且無>0,得〃(％+2)<上，設(shè)g(x)=r—,h(x)=a(x+2),

exe%

g，(x)=生二t,已知函數(shù)g(無)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,+8)上單調(diào)遞減，

ex

。⑴1。⑵1。⑶Q

函數(shù),5)=。(％+2)的圖象過點(-2,0),=表結(jié)合圖象，因為

1-(-2)3e2-(-2)e3-(-2)5e

9119/1

營〈孝所以

故選：C

3.(2022?全國?模擬預(yù)測(理))已知關(guān)于x的不等式分2+2彳-必111彳>0的解集中只有1個整數(shù)，則實數(shù)。

的取值范圍是().

A.[-2,In2-1)B.(-2,In2-1]

C.(In2-l,ln3-；D.In2-l,ln3-|j

【答案】B

【解析】

【分析】

由題可得不等式/(x)=6+2-xlnx>0僅有1個整數(shù)解，利用數(shù)形結(jié)合可得即求.

【詳解】

由題可知xe(0,+8),

所以不等式辦2+2》一/111%>0,即<zx+2-;dnx>0只有一個整數(shù)解，

^f(x)=ax+2-xlnx,不等式/(x)>0僅有1個整數(shù)解，

令y=(xx+2,g(x)=xlnx,則函數(shù)g(x)=xlnx圖象上僅有1個橫坐標為整數(shù)的點落在直線y="+2的下

方，

：g'(x)=l+lnx,由g'(x)=l+lnx=O,得尤=(，

g(x)在(0,：)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為直線、="+2恒過點(0,2),

作出函數(shù)g(x)=xlnx與直線y="+2的大致圖象，

由圖象可知，這個點(L0),可得］：曰］；，即—2<a<ln2T.

故選：B.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=xlnx與直線、="+2的的交點的位置問題，然后利用

數(shù)形結(jié)合解決.

4.(2022?遼寧沈陽二中高二期末)設(shè)函數(shù)/(x)=e%2x-l)-ax+a,若不等式〃x)<0恰有兩個整數(shù)解，則

a的取值范圍是.

53

【答案】備"〈孤

【解析】

【分析】

由題知e%2x-l)<a(x-l)恰有兩個整數(shù)解，構(gòu)造函數(shù)g(x)=e，(2x-=1),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

的性質(zhì)，作出函數(shù)的大致圖象，利用數(shù)形結(jié)合即得.

【詳解】

由/(x)<0,可得

g(x)=(2%-l),/z(x)=a(x-l),

由題意知恰有兩個整數(shù)，使g(%)<M%)成立，

因為g'(%)=e"(2x+l),由/⑴=。，可得尤=—；,

所以當x<-g時，g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

當x>-g時，g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

所以g(x)1nHi=gf-1]=-2e^,且g(O)=T,g(-l)=-3e-*,g(-2)=一5廠,

直線A(x)=a(x-l)恒過點(1,0),且斜率為a,

7?(o)>g(o)-a>-1

結(jié)合圖象可得〃(T)>g(T)即<—2a>—3e,

X-2)<g(-2)—3。<—5e2

53

53

即〃的取值范L圍是三工。<三.

3e2e

53

故答案為；—.

題型二：方程根的個數(shù)問題

【例1】(2022?福建?漳州市第一外國語學(xué)校高二期中)設(shè)函數(shù)〃x)="lnx,則關(guān)于x的方程依刈-機=。的

實數(shù)根的個數(shù)不可能為()

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)/(尤)的單調(diào)性，進而得出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合得出方程實數(shù)根的個數(shù).

【詳解】

fr(x)=lnx+l

廣(x)>0n無>L尸(x)<0n0<x<1

ee

即函數(shù)“X)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

當x->0時，/(x)-0,==/(1)=0

ke/eee

則函數(shù)y=I"刈與y=根的圖象如下圖所示

則關(guān)于X的方程，⑸-機=0的實數(shù)根的個數(shù)可能為0,1,2,3

故選：A

【例2】(2022?重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)多選)已知函數(shù)〃x)=，下列選項正確的是()

----,X>1

A.函數(shù)〃x)的單調(diào)減區(qū)間為(—,1)、(e,+8)

B.函數(shù)的值域為(7』)

C.若關(guān)于x的方程/口)-4/(到=。有3個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)。的取值范圍是(I+")

D.若關(guān)于x的方程/2(尤)-a/(x)|=O有5個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)”的取值范圍是

【答案】ACD

【解析】

【分析】

利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系可判斷A選項；求出函數(shù)/(X)的值域，可判斷B選項；數(shù)形結(jié)合可判

斷CD選項.

【詳解】

對于A選項，當尤<1時，=貝U'W=-V^<。，

當xNl時，/(%)=—,則/⑺=5(l[nx),由/，⑺<0可得了>e,

%X

所以，函數(shù)“X)的單調(diào)減區(qū)間為(-8,1)、(e,+8),A對；

對于B選項，當xvl時，f(X)=Id-----<1,

X-1

當％21時，0</(%)=</(e)=-,

xe

因此，函數(shù)/(%)的值域為18,：,B錯；

對于CD選項，作出函數(shù)“X)的圖像如下圖所示:

若avo,由尸⑴一巾⑸=0可得〃x)=O,則方程〃x)=o只有兩個不等的實根;

若a>0,由r(x)-4〃x)|=0可得〃尤)=0或/(x)=a或/(x)=-a,

由圖可知，方程〃%)=0有2個不等的實根，方程只有一個實根,

若關(guān)于尤的方程r(x)-d〃x)=。有3個不相等的實數(shù)根，則。>，，C對;

若關(guān)于x的方程產(chǎn)(x)-4f(x)=。有5個不相等的實數(shù)根，貝也4。<；,D對.

故選：ACD.

【例3】(2022?江西贛州?高二期中(文))已知函數(shù)〃力=(，關(guān)于x的不等式產(chǎn)⑺-丁⑺〉。有且只有

四個整數(shù)解，則實數(shù)f的取值范圍是()

In5In2In6In5In6In5In3In4

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】

求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的符號變化研究其單調(diào)性、極值，對f分類討論，分別利用一元二次不等式的解法，結(jié)合函

數(shù)圖象和不等式的整數(shù)解個數(shù)進行判定求解.

【詳解】

,、lnX/白、1-lnx

由/(x)=一得/(x)=n

當0<x<e時，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增;

當x>e時，/,(x)<0,〃尤)單調(diào)遞減；

所以當x=e時，有最大值，且“無)1mx=/(e)=L

e

又當Xf+8時，/(無)-0,且〃無)>0,

當尤一0時，/(X)ff,/(l)=0.

其圖象如圖所不：

①當/=0,由產(chǎn)(力―J(x)>0,得/⑺>0,

即〃%)20,則xwl,此時不等式的整數(shù)解有無數(shù)多個，不合題意;

②當f<0時，由產(chǎn)⑺―獷⑺〉。得/(x)>0或"x)<"

當/(x)>0時，%>1,有無數(shù)個整數(shù)解；

當/(x)<r<0時，其解集為(0,1)的子集，不含有整數(shù)解；

故/<0不合題意；

③當力>0時,由產(chǎn)(x)—#x)>o得f(x)>t或F(x)v0,

當/(x)<0時，其解集為(0,1),不含有整數(shù)解；

當時，若不等式有且僅有四個整數(shù)解，

又〃3)=g,/(2)=〃4)=**5)=?,〃6)=/，

且〃3)>/(2)=〃4)>〃5)>〃6),

因為“X)在(0,e)遞增，在(e,+8)遞減，

所以四個整數(shù)解只能為2、3、4、5,

所以/⑹4<〃5),即?</<?

所以實數(shù)t的取值范圍為［坐,苧).

故選：B.

------%>]

【例4】(2022?江西省宜春中學(xué)高二開學(xué)考試(理))已知函數(shù)/(尤)=eln/,若函數(shù)

4—2X—X2,X<1

y="(x)f+(2-4幻/(幻+1恰有5個零點，則實數(shù)。的取值范圍是()

「八、「

A-K9249J1B-[,4294；(o.J9yD-LF.'95_'

【答案】C

【解析】

【分析】

先研究x>l時，/(x)=『的單調(diào)性和極值，然后畫出分段函數(shù)的圖象，再令f(x)=r，通過換元后數(shù)形結(jié)合,

elnx

可轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問題，從而即可求解.

【詳解】

解:當X>1時，fM=~,貝打'(x)=W^,

elwcelnx

當l<x<e時，/V)<0,/⑺單調(diào)遞減，當x>e時，T(無)>0,/⑺單調(diào)遞增，

所以x>l時，/(x)../(e)=l；

當X,1,f(x)=5—2x———(x+1)2+5”5；

作出f(x)大致圖象如下：

由函數(shù)3="(切2+(2-4°)/0)+1恰有5個不同零點,即方程"(x)f+(2-4a)/(x)+l=0恰有5個不等實

根,

令/■(*)=/,則方程產(chǎn)+(2-4a)f+l=0(*),令函數(shù)"(f)=?+(2-4a)f+l,

、[〃⑴=1+2—4〃+1<09

①方程(*)在區(qū)間(-8,1)和(1,5)上各有一個實數(shù)根,則"=25+5(2-40+1>0'解得1<”]；

/、fw(l)=1+2-4Q+1>0

②方程(*)在區(qū)間(1,5)和(5,+8)各有一個實數(shù)根，則J〃；；)=25+5(2-4a)+1<0'不等式組無解；

③方程(*)的兩根為1和5,此時I?二償一切無解.

[1x5=1

9

綜上，1<4Z<—.

故選：C.

【題型專練】

]n犬x〉0

)若函數(shù)>=/(x)-人有兩個零點，則實

數(shù)8的取值范圍是()

A.(0,1)B.[0,1)C.[0,1]D.[0,l]o{-e-2}

【答案】D

【解析】

【分析】

先求導(dǎo)得出〃x)的單調(diào)性，進而畫出〃x)的圖象，將題設(shè)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=與y=b有兩個交點，結(jié)合

圖象求出實數(shù)》的取值范圍即可.

【詳解】

當x>0時，函數(shù)〃x)=lnx單調(diào)遞增；當x40時,/(x)=eA(x+1),則〃x)=e"(x+2)=0時，x=-2,

所以當尤<一2時，r(x)<0,-2<xV0時，r(x)>0,故當xWO時，〃x)在(一8,-2)上單調(diào)遞減，在(一2,0)

上單調(diào)遞增，

所以〃x)在尤=-2處取極小值，極小值為〃-2)=-作出函數(shù)的圖象如圖：

因為函數(shù)>=/(%)-6有兩個零點，所以函數(shù)y=/(x)與y=b有兩個交點，所以當匕武?！弧?}?}時

函數(shù)y=與>有兩個交點，所以實數(shù)6的取值范圍為［0』。{-r}.

故選：D.

2.(2022?寧夏中衛(wèi)?一模(文))設(shè)函數(shù)4)=即若函數(shù)g(x)=/(x)-加有兩個零點，則實數(shù)機的

取值范圍是()

A.1一,e］B.(一；，0C.1-：,0)U