浙江省浙大附中玉泉校區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷（含答案）

浙江省浙大附中玉泉校區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、單選題1．已知集合A={?2，0，1}，A．{0，1} C．{?2，0，2．函數(shù)f(x)=sinA．x=?π8 B．x=?π4 C．3．在用斜二測畫法畫水平放置的△ABC時，若∠A的兩邊分別平行于x軸、y軸，則在直觀圖中∠A′等于（）A．45° B．135° C．90° D．45°或135°4．四邊形ABCD為矩形，對角線長為4，若AB=a，A．0 B．6 C．8 D．105．已知i為虛數(shù)單位，下列與i相等的是（）A．1i B．C．1+i1?i D．6．平行四邊形ABCD，點E滿足AC=4AE，DE=A．18 B．14 C．17．函數(shù)f(A． B．C． D．8．如圖所示，為測量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點，從A點測得M點的仰角∠MAN=60°，C點的仰角∠CAB=30°以及∠MAC=75°，從C點測得∠MCA=60°，若山高BC=1002米，則山高M(jìn)NA．300米 B．360米 C．240米 D．320米二、多選題9．已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點，則下列結(jié)論正確的是（）A．若(AB+ACB．若OA+OB+C．若AB?BC<0D．若OA?BC=0，10．下列說法正確的是（）A．在△ABC中，sinA<sinBB．將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移π6C．復(fù)數(shù)z1，z2，則z1D．在△ABC中，若sin2A+11．在△ABC中，角A，B，C對邊分別是a，b，c，A=π3，b=8，A．△ABC為銳角三角形 B．△ABC面積為43或C．AB長度為6 D．△ABC外接圓的面積為52π12．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且y=f(x+1)為偶函數(shù)，當(dāng)x∈(0，1]時，A．函數(shù)f(x)的周期是4B．直線x=2023是函數(shù)f(x)的一條對稱軸C．f(x)在[2022，D．f(2022)+f(2023)=1三、填空題13．函數(shù)y=sin(2ωx+π6)，(ω>0)的周期是14．已知向量a，b滿足|a+b|=|a?2b|，且15．函數(shù)f(x)=a2x?12x+116．在△ABC中，已知角A=2π3，角A的平分線AD與邊BC相交于點D，AD=2.則AB+2AC的最小值為四、解答題17．已知向量a=(m，1)，b（1）若向量a，b能構(gòu)成一組基底，求實數(shù)m的范圍；（2）若c=(1，3)，且c⊥(a18．設(shè)復(fù)數(shù)z=m（1）當(dāng)m為何值時，z是純虛數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)m的取值范圍．19．已知π3是函數(shù)f(x)=2a（1）求實數(shù)a的值；（2）求f(x)單調(diào)遞減區(qū)間20．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若2c?b（1）求角A的大小；（2）若a=2，求中線AD長的最大值（點D是邊BC中點）．21．銳角△ABC的三個內(nèi)角是A、B、C，滿足(si（1）求角A的大小及角B的取值范圍；（2）若△ABC的外接圓圓心為O，且OB?OC=22．已知函數(shù)f(x)=ex?x在(?∞，0)（1）寫出函數(shù)y=g(x)的單調(diào)區(qū)間（無需說明理由）及其最小值；（2）若直線y=b與函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象共有三個不同的交點，從左到右依次記為A(x1，y1)，

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】∵A={?2，0，1}，B=則A∪B={?2，0，1}∪{故答案為：C

【分析】利用已知條件結(jié)合并集的運(yùn)算法則，進(jìn)而得出集合A和集合B的并集。2．【答案】A【解析】【解答】對于A，因為f(?π所以x=?π8是函數(shù)對于B，因為f(?π所以x=?π4不是函數(shù)對于C，因為f(π所以x=π8不是函數(shù)對于D，因為f(π所以x=π4不是函數(shù)故答案為：A.

【分析】利用已知條件結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象求對稱軸的方法，進(jìn)而得出函數(shù)f(x)=sin3．【答案】D【解析】【解答】因為∠A的兩邊分別平行于x軸、y軸，故∠A＝90°，在直觀圖中，按斜二測畫法規(guī)則知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°.故答案為：D.

【分析】利用已知條件結(jié)合斜二測畫直觀圖的方法，進(jìn)而得出直觀圖中的角A的值。4．【答案】C【解析】【解答】由題意知：|a|==2=2=4=4×16=64所以|a故答案為：C.

【分析】首先由題意得到|a|2+5．【答案】C【解析】【解答】對于A，1i對于B，(1?i)(1+i)=1?i1+i1?ii+i故答案為：C.

【分析】利用已知條件結(jié)合復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則、虛數(shù)單位的運(yùn)算法則和周期性，進(jìn)而找出與i相等的復(fù)數(shù)。6．【答案】A【解析】【解答】DE=又因為DE=所以λ2=1所以λ+μ=1故答案為：A.

【分析】利用已知條件結(jié)合平面向量基本定理得出λ，μ的值，從而得出λ+μ的值。7．【答案】C【解析】【解答】函數(shù)的定義域為{x|x≠±12}所以函數(shù)f(因為當(dāng)x>0時，ex所以當(dāng)0<x<12時，f(x)當(dāng)x趨近于+∞時，由于指數(shù)呈爆炸型增長，故函數(shù)值f(x)趨近于+∞，故排除A選項，故答案為：C

【分析】利用已知條件結(jié)合函數(shù)的定義域、奇函數(shù)的圖象的對稱性、特定區(qū)間求函數(shù)的值域的方法、函數(shù)求極限的方法，從而找出函數(shù)的大致圖象。8．【答案】A【解析】【解答】因為在Rt△CAB中，BC=1002，∠CAB=30°所以AC=BC在△CAM中，∠AMC=180°?∠MCA?∠MAC=45°，由正弦定理得：ACsin∠AMC=所以AM=2003在Rt△AMN中，∠MAN=60°，所以MN=AMsin故答案為：A

【分析】在相關(guān)三角形中，兩次利用正弦定理，就可以求解。9．【答案】A,D【解析】【解答】由(AB+AC)?(AB由OA+OB+OC=0，取BC中點所以O(shè)A，OD共線，且O在線段AD上，OAOD=2由AB?BC=|AB|?|BC|cos(π?B)<0，得cos(由OA?BC=0，OB?AC=0，得OA⊥BC，故答案為：AD.

【分析】利用已知條件結(jié)合三角形的結(jié)構(gòu)特征，再結(jié)合等腰三角形的定義和鈍角三角形的定義、三角形外心的定義、數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關(guān)系，進(jìn)而找出結(jié)論正確的選項。10．【答案】A,D【解析】【解答】對于A，在△ABC中，因為sinA<sinB，由正弦定理BCsinA=ACsinB在△ABC中，因為BC<AC，則2RsinA<2Rsin所以在△ABC中，sinA<sinB對于B，將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移得y=sin對于C，若z1=2+i，但是z1=2+i，z2對于D，在△ABC中，因為sina2+b則cosC=a2+b所以△ABC是鈍角三角形，D符合題意.故答案為：AD.

【分析】利用已知條件結(jié)合充分條件和必要條件的判斷方法、正弦型函數(shù)的圖象變換、鈍角三角形的定義，進(jìn)而找出說法正確的選項。11．【答案】B,D【解析】【解答】由A=π3，b=8，即c2?8c?12=0，解得c=2或當(dāng)c=2時，cosB=a2此時△ABC為鈍角三角形，A不符合題意；當(dāng)c=2時，S=1當(dāng)c=6時，S=1所以△ABC面積為43或12設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，由正弦定理得2R=asinA所以△ABC外接圓的面積為πR故答案為：BD.

【分析】利用已知條件結(jié)合銳角三角形的定義、三角形的面積公式、余弦定理求AB的長度的方法、正弦定理求三角形的外接圓的半徑的方法，圓的面積公式，進(jìn)而找出說法正確的選項。12．【答案】A,B,D【解析】【解答】對于A，因為函數(shù)f(x+1)為偶函數(shù)，所以f(x+1)=f(?x+1)，即f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(?x)=?f(x)，則f(x+2)=f[?(x+1)+1]=f(?x)=?f(x)，所以f(x+4)=?f(x+2)=f(x)，所以f(x)是周期為4的函數(shù)，A符合題意；因為f(x)關(guān)于直線x=1對稱，且為奇函數(shù)，所以f(x)關(guān)于直線x=?1對稱，又f(x)是周期為4的函數(shù)，所以f(x)關(guān)于直線x=3對稱，因為2023=505×4+3，所以直線x=2023是函數(shù)f(x)的一條對稱軸，B符合題意；由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0，當(dāng)x∈(0，1]時，f(x)=?x2，可得當(dāng)令x∈[2，3]，則x?2∈[0，此時f(x)單調(diào)遞增，因為2022=505×4+2，所以f(x)在[2022，2023]上的單調(diào)性相當(dāng)于f(x)在f(2022)=f(2)=0，所以f(2022)+f(2023)=1，D符合題意.故答案為：ABD.

【分析】利用已知條件結(jié)合奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，再結(jié)合函數(shù)的周期性、函數(shù)的對稱性、減函數(shù)的定義、函數(shù)的周期性求函數(shù)的值的方法，進(jìn)而找出結(jié)論正確的選項。13．【答案】1【解析】【解答】因為函數(shù)y=sin(2ωx+π6)所以2π2ω=π，解得故答案為：1.

【分析】利用已知條件結(jié)合正弦型函數(shù)的最小正周期公式，進(jìn)而得出ω的值。14．【答案】1【解析】【解答】因為|a+b所以(a+b所以a在b上的投影向量是a?故答案為：1

【分析】利用已知條件結(jié)合數(shù)量積求向量的模的公式，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算法則，進(jìn)而得出a→?b→的值，再結(jié)合數(shù)量積求投影向量的方法，進(jìn)而得出15．【答案】3【解析】【解答】令g(x)=a2x?12x因為f(?2023)=?1，所以g(因為g(?x)=a2所以g(所以g(所以f(2023)=g(2023)+1=?g(故答案為：3

【分析】令g(x)=a2x?12x+1+bsinx16．【答案】6+4【解析】【解答】AB=c，依題意AD是角A的角平分線，由三角形的面積公式得12化簡得2c+2b=bc，1bAB+2AC=c+2b=2(c+2b)(≥2(3+2c當(dāng)且僅當(dāng)cb=2b故答案為：6+4

【分析】由三角形的面積公式得1b+117．【答案】（1）解：若向量a，b能構(gòu)成一組基底，則向量a，b不共線，則m(m+1)?2≠0，解得m≠?2且m≠1；（2）解：因為c⊥(a?即m+3?2?3(m+1)=0，解得m=?1，所以a=(?1，1)則cos?又因為0≤?a，b即向量a與b的夾角為3π4【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合平面向量的基底的判斷方法，再結(jié)合向量共線定理，進(jìn)而得出實數(shù)m的取值范圍。

（2）利用已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關(guān)系，再結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出實數(shù)m的值，再結(jié)合數(shù)量積求向量夾角公式和兩向量的夾角的取值范圍，進(jìn)而得出向量a與b的夾角大小。18．【答案】（1）解：因為z是純虛數(shù)，所以m2?2m?3=0m（2）解：z=因為復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，所以m2?2m?3>0?(所以實數(shù)m的取值范圍為(?2，【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的判斷方法，進(jìn)而得出實數(shù)m的值。

（2）利用已知條件結(jié)合復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而得出復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義得出共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)，再利用點的坐標(biāo)確定點所在的象限的方法，進(jìn)而得出復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限，從而得出實數(shù)m的取值范圍。19．【答案】（1）解：f(x)=2asin由題意可得f(π3)=0，即3（2）解：由（1）得f(x)=3令π2+2kπ≤2x?π所以f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為[π【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合二倍角的余弦公式和正弦公式，再結(jié)合輔助角公式化簡函數(shù)為正弦型函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)的零點求解方法，進(jìn)而得出實數(shù)a的值。

（2）利用（1）得出的實數(shù)a的值得出函數(shù)的解析式，再結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象判斷其單調(diào)性，從而得出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間。20．【答案】（1）解：因為2c?ba由正弦定理可得：2sin即(2sin2sin因為C∈(0，π)，所以所以cosA=因為A∈(0，π)，所以（2）解：由（1）得A=π則cosA=所以b2+c當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時等號成立，因為點D是邊BC中點，所以2AD兩邊平方可得：4|則4|所以|AD|≤3中線AD長的最大值為3.【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合正弦定理和兩角和的正弦公式，再結(jié)合三角形內(nèi)角和為180度的性質(zhì)和誘導(dǎo)公式，從而由三角形內(nèi)角的取值范圍，進(jìn)而得出角A的余弦值，再結(jié)合三角形中角A的取值范圍，從而得出角A的大小。

（2）由（1）得A=π3，再利用余弦定理和均值不等式求最值的方法得出bc的最大值，再結(jié)合點D是邊BC中點，再利用平行四邊形法則，所以221．【答案】（1）解：設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，因為(si由正弦定理可得(b2+故sinA=cosA?sinA因為△ABC為銳角三角形，則0<B<π2π所以，角B的取值范圍是(π（2）解：設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，所以|OA因為A=π6，所以又OB?OC=12設(shè)∠AOC=θ，則θ=2B∈(2π3，所以O(shè)A?=1×1×?=3因為θ∈(2π3，所以?1≤cos(θ+π所以，AO?(所以O(shè)A?(AB+【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合正弦定理和余弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和銳角A的取值范圍，進(jìn)而得出角A的值，再利用銳角三角形的取值范圍和三角形內(nèi)角和為180度的性質(zhì)，進(jìn)而得出角B的取值范圍。

（2）設(shè)△ABC的外