陜西省藍(lán)田縣焦岱中學(xué)高中數(shù)學(xué)必修三33模擬方法概率的應(yīng)用1教案

北師大2003版必修3第三章模擬方法—概率的應(yīng)用(第一節(jié))教學(xué)設(shè)計(jì)模擬方法—概率的應(yīng)用1.教學(xué)目標(biāo)（1）知識(shí)與技能：了解模擬方法估計(jì)概率的過程，初步體會(huì)幾何概型的意義；能夠運(yùn)用模擬方法估計(jì)隨機(jī)事件的概率.了解模擬方法的基本思想，會(huì)利用這種思想解決某些具體問題，如求某些不規(guī)則圖形的近似面積等.（2）過程與方法：通過虛擬模擬實(shí)驗(yàn)的過程，讓學(xué)生掌握模擬實(shí)驗(yàn)的方法，并能利用這種方法估計(jì)概率.結(jié)合實(shí)例，體會(huì)概率思想在實(shí)際中的應(yīng)用．（3）情感、態(tài)度、價(jià)值觀：通過本節(jié)學(xué)習(xí)，進(jìn)一步引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，認(rèn)識(shí)模擬方法在解決概率問題中的應(yīng)用.學(xué)情分析幾何概型與古典概型的區(qū)別在于試驗(yàn)的結(jié)果是無限個(gè)，它的特點(diǎn)是在一個(gè)區(qū)域內(nèi)均勻分布，所以隨機(jī)事件的概率大小與隨機(jī)事件所在的區(qū)域的形狀、位置無關(guān)，只與該區(qū)域的幾何度量（線段長(zhǎng)、面積、體積）有關(guān).對(duì)于學(xué)生來說，古典概型易于理解，古典概型的概率用公式也易于求解，但對(duì)于幾何概型，特別是隨機(jī)事件所在的區(qū)域的形狀不規(guī)則時(shí)，學(xué)生理解相對(duì)難一些。模擬方法中，讓學(xué)生體驗(yàn)非常重要.課本中，無論是“撒芝麻”模擬、計(jì)算機(jī)模擬、“兩個(gè)轉(zhuǎn)盤”模擬等，都是用“有限”來估計(jì)“無限”時(shí)的情形，這剛好是促使學(xué)生更好理解概率的契機(jī)。學(xué)生學(xué)習(xí)概率的熱情很高.課堂上老師做好示范，解決一些幾何概型的問題，課后組織學(xué)生的動(dòng)手試驗(yàn)也很重要，通過大量試驗(yàn)估計(jì)概率，通過公式計(jì)算概率，通過比較，使學(xué)生更好的理解概率。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn):幾何概型;用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)概率.難點(diǎn)：幾何概型問題概率的求法.教學(xué)過程第一學(xué)時(shí)教學(xué)活動(dòng)【導(dǎo)入】探要點(diǎn)究所然在現(xiàn)實(shí)生活中，常常會(huì)遇到試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是無窮多的情況，例如：一個(gè)正方形方格內(nèi)有一內(nèi)切圓，往這個(gè)方格中投一個(gè)石子，求石子落在圓內(nèi)的概率，由于石子可能落在方格中的任何一點(diǎn)，這個(gè)實(shí)驗(yàn)不能用古典概型來計(jì)算事件發(fā)生的概率．對(duì)此，我們必須學(xué)習(xí)新的方法來解決這類問題．【活動(dòng)】模擬方法的基本思想探究模擬方法的基本思想問題如圖所示，向正方形中隨機(jī)地撒一把芝麻，假設(shè)每一粒芝麻落在正方形內(nèi)的每一個(gè)位置的可能性都是相同的．思考1你估計(jì)大約有多少芝麻會(huì)落在區(qū)域A中？為什么？答約有eq\f(1,4)的芝麻落在區(qū)域A中，因區(qū)域A的面積是整個(gè)正方形面積的eq\f(1,4)，所以約有eq\f(1,4)的芝麻落在區(qū)域A中．思考2若向正方形中隨機(jī)地撒100粒芝麻，則大約有多少粒芝麻落在區(qū)域A內(nèi)？答大約有25粒落在區(qū)域A內(nèi)．思考3根據(jù)思考1和思考2中的答案，你能得出怎樣的結(jié)論？答近似的有eq\f(落在區(qū)域A內(nèi)的芝麻數(shù),落在正方形內(nèi)的芝麻數(shù))＝eq\f(區(qū)域A的面積,正方形的面積).思考4如圖，曲線y＝－x2＋1與x軸，y軸圍成區(qū)域A，直線x＝1，直線y＝1，x軸，y軸圍成一個(gè)正方形，如何求陰影部分面積？答向正方形中隨機(jī)地撒一把芝麻，數(shù)出落在區(qū)域A內(nèi)的芝麻數(shù)與落在正方形內(nèi)的芝麻數(shù)，由eq\f(落在區(qū)域A內(nèi)的芝麻數(shù),落在正方形內(nèi)的芝麻數(shù))＝eq\f(區(qū)域A的面積,正方形的面積)，就可求出區(qū)域A的近似面積．【講授】幾何概型探究幾何概型問題1如圖，射箭比賽的箭靶涂有五個(gè)彩色得分環(huán)，從外向內(nèi)為黑色、白色、藍(lán)色、紅色，靶心為黃色，靶面直徑為122cm，靶心直徑為12.2cm，運(yùn)動(dòng)員在70m外射．假設(shè)射箭都能中靶，且射中靶面內(nèi)任意一點(diǎn)都是等可能的，那么射中黃心的概率有多大？思考1試驗(yàn)中的基本事件是什么？每個(gè)基本事件的發(fā)生是等可能的嗎？答射中靶面上每一點(diǎn)都是一個(gè)基本事件，這一點(diǎn)可以是靶面直徑為122cm的大圓內(nèi)的任意一點(diǎn)．是等可能性的．思考2所求事件的概率是古典概型嗎？為什么？答不符合古典概型的特點(diǎn)，因?yàn)榛臼录袩o數(shù)多個(gè)．思考3問題1中的概率屬于幾何概型，你能說出幾何概型有什么特點(diǎn)嗎？答幾何概型的特點(diǎn)：(1)試驗(yàn)結(jié)果有無限多個(gè)；(2)每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的發(fā)生是等可能的．【講授】抽象概括1．幾何概型的概念向平面上有限區(qū)域(集合)G內(nèi)隨機(jī)地投擲點(diǎn)M，若點(diǎn)M落在子區(qū)域G1G的概率與G1的面積成正比，而與G的形狀、位置無關(guān)．即P(點(diǎn)M落在G1)＝eq\f(G1的面積,G的面積)，則稱這種模型為幾何概型．2．幾何概型中的G的類型幾何概型中的G也可以是空間中或直線上的有限區(qū)域，相應(yīng)的概率是體積之比或長(zhǎng)度之比．3．模擬方法的用途模擬方法可以來估計(jì)某些隨機(jī)事件發(fā)生的概率．【活動(dòng)】例題講解問題2小明家的晚報(bào)在下午5：30～6：30之間的任何一個(gè)時(shí)間隨機(jī)地被送到，小明一家人在下午6：00～7：00之間的任何一個(gè)時(shí)間隨機(jī)地開始晚餐．思考1你認(rèn)為晚報(bào)在晚餐開始之前被送到和在晚餐開始之后被送到哪一種可能性更大？答晚報(bào)在5：30～6：00之間送到，或晚餐在6：30～7：00之間開始，這兩種情況都使得晚報(bào)的送達(dá)在晚餐開始之前，同時(shí)，在6：00～6：30之間，晚報(bào)被送達(dá)和晚餐開始的可能性相同．因此，晚報(bào)在晚餐開始之前被送到的可能性更大．思考2如果小明家的晚報(bào)在下午5：50～6：50之間的任何一個(gè)時(shí)間隨機(jī)地被送到，小明一家人在下午6：00～7：00之間的任何一個(gè)時(shí)間隨機(jī)地開始晚餐．你認(rèn)為晚報(bào)在晚餐開始之前被送到可能性是變大了還是變小了呢？并說明其原因．答變?。韴?bào)在5：50～6：00之間送到，或晚餐在6：50～7：00之間開始，這兩種情況都使得晚報(bào)的送達(dá)在晚餐開始之前，這與問題2中的已知的數(shù)據(jù)相比，晚報(bào)送達(dá)在晚餐開始之前的時(shí)間縮小了，所以對(duì)應(yīng)的概率變?。伎?利用幾何概型，求晚報(bào)在晚餐開始之前被送到的概率.解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，直線x=5.5,x=6.5,y=6,y=7圍成一個(gè)正方形區(qū)域設(shè)為G。送報(bào)人在x(5.5≤x≤6.5)時(shí)刻將晚報(bào)送到，小明一家人在y(6≤y≤7)時(shí)刻開始晚餐，這個(gè)結(jié)果與平面上的點(diǎn)（x，y）對(duì)應(yīng)。于是試驗(yàn)的所有可能結(jié)果就與G中的所有點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).由題意知，每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的，因此，試驗(yàn)屬于幾何概型.晚報(bào)在晚餐開始前被送到，當(dāng)且僅當(dāng)x<y，所以圖中的陰影區(qū)域g就表示“晚報(bào)在晚餐前被送到”.容易求得g的面積為,G的面積為1.由幾何概型的概率公式，“晚報(bào)在晚餐前被送到”的概率為.【例題講解】幾何概型的應(yīng)用探究幾何概型的應(yīng)用例在墻上掛著一塊邊長(zhǎng)為16cm的正方形木板，上面畫了小、中、大三個(gè)同心圓，半徑分別為2cm，4cm，6cm，某人站在3m之外向此板投鏢．設(shè)投鏢擊中線上或沒有投中木板都不算，可重投，問：(1)投中大圓內(nèi)的概率是多少？(2)投中小圓與中圓形成的圓環(huán)的概率是多少？(3)投中大圓之外的概率是多少？分析飛鏢落點(diǎn)區(qū)域是邊長(zhǎng)為16cm的正方形，而需擊中區(qū)域?yàn)槿齻€(gè)不同的圓面，故該題型為與面積有關(guān)的幾何概型問題．解答本題只需分別計(jì)算各區(qū)域的面積，以公式求解即可．解S正方形＝16×16＝256(cm2)，S小圓＝π×22＝4π(cm2)，S圓環(huán)＝π×42－π×22＝12π(cm2)，S大圓＝π×62＝36π(cm2)，S大圓外＝16×16－36π＝(256－36π)(cm2)，則(1)投中大圓的概率P(A1)＝eq\f(36π,256)≈0.442.(2)投中小圓與中圓形成的圓環(huán)的概率為P(A2)＝eq\f(12π,256)≈0.147.(3)投中大圓之外的概率為P(A3)＝eq\f(256－36π,256)＝1－eq\f(36π,256)＝1－P(A1)≈0.558.反思與感悟在研究射擊、射箭、投中、射門等實(shí)際問題時(shí)，常借助區(qū)域的面積來計(jì)算概率的值．此時(shí)，只需分清各自區(qū)域特征，然后利用面積比得到所求概率．【活動(dòng)】學(xué)生練習(xí)跟蹤訓(xùn)練在1升高產(chǎn)小麥種子中混入了1粒帶麥銹病的種子，從中隨機(jī)取出10毫升，則“取出的種子中含有麥銹病的種子”的概率是多少？解取出10毫升種子，其中“含有麥銹病種子”記為事件A，則P(A)＝eq\f(取出的種子體積,所有種子體積)＝eq\f(10,1000)＝0.01.∴“含有麥銹病種子”的概率為0.01.預(yù)備練習(xí)題（有時(shí)間則課堂練習(xí)，無時(shí)間則課外練習(xí)）1．面積為S的△ABC，D是BC的中點(diǎn)，向△ABC內(nèi)部投一點(diǎn)，那么點(diǎn)落在△ABD內(nèi)的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)解析向△ABC內(nèi)部投一點(diǎn)的結(jié)果有無限個(gè)，屬于幾何概型．設(shè)點(diǎn)落在△ABD內(nèi)為事件M，則P(M)＝eq\f(△ABD的面積,△ABC的面積)＝eq\f(1,2).答案B2.如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為eq\f(2,3)，則陰影區(qū)域的面積約為()A.eq\f(4,3) B.eq\f(8,3)C.eq\f(2,3) D．無法計(jì)算解析∵eq\f(S陰影,S正方形)≈eq\f(2,3)，∴S陰影≈eq\f(2,3)S正方形＝eq\f(8,3).答案B3．當(dāng)你到一個(gè)紅綠燈路口時(shí)，紅燈的時(shí)間為30秒，黃燈的時(shí)間為5秒，綠燈的時(shí)間為45秒，那么你看到黃燈的概率是()A.eq\f(1,12)B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,16)D.eq\f(5,6)解析由題意可知在80秒內(nèi)路口的紅、黃、綠燈是隨機(jī)出現(xiàn)的，可以認(rèn)為是無限次等可能出現(xiàn)的，符合幾何概型的條件．事件“看到黃燈”的時(shí)間長(zhǎng)度為5秒，而整個(gè)燈的變換時(shí)間長(zhǎng)度為80秒，據(jù)幾何概型概率計(jì)算公式，得看到黃燈的概率為P＝eq\f(5,80)＝eq\f(1,16).答案C4．在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則sineq\f(πx,4)的值介于－eq\f(1,2)與eq\f(\r(2),2)之間的概率為________．解析∵－1≤x≤1，∴－eq\f(π,4)≤eq\f(πx,4)≤eq\f(π,4).由－eq\f(1,2)≤sineq\f(πx,4)≤eq\f(\r(2),2)，得－eq\f(π,6)≤eq\f(πx,4)≤eq\f(π,4)，即－eq\f(2,3)≤x≤1.故所求事件的概率為eq\f(1＋\f(2,3),2)＝eq\f(5,6).答案eq\f(5,6)5．在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM小于AC的概率．解在AB上截取AC′＝AC，故AM<AC的概率等于AM<AC′的概率．記事件A為“AM小于AC”，P(A)＝eq\f(AC′,AB)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(AC,\r(2)AC)＝eq\f(\r(2),2).所以AM<AC的概率等于eq\f(\r(2),2).【活動(dòng)】小結(jié)（我的收獲）1.模擬方法的基本思想．2.用模擬方法計(jì)算不規(guī)則圖形的面積．3.用模擬方法估計(jì)隨機(jī)事件的概率．4.幾何概型的特征：幾何概型中所有可能出現(xiàn)的基本事件有有限個(gè)