2024年中考數(shù)學(xué)二輪題型突破專練：二次函數(shù)綜合題（復(fù)習(xí)講義）（學(xué)生版）

題型九二次函數(shù)綜合題(復(fù)習(xí)講義)

【考點總結(jié)I典例分析】

⑦要點歸納

二次函數(shù)的綜合

1、函數(shù)存在性問題

解決二次函數(shù)存在點問題，一般先假設(shè)該點存在，根據(jù)該點所在的直線或拋物線的表達式，

設(shè)出該點的坐標(biāo)；然后用該點的坐標(biāo)表示出與該點有關(guān)的線段長或其他點的坐標(biāo)等；最后結(jié)

合題干中其他條件列出等式，求出該點的坐標(biāo)，然后判別該點坐標(biāo)是否符合題意，若符合題

意，則該點存在，否則該點不存在.

2、函數(shù)動點問題

(1)函數(shù)壓軸題主要分為兩大類：一是動點函數(shù)圖象問題；二是與動點、存在點、相似等

有關(guān)的二次函數(shù)綜合題.

(2)解答動點函數(shù)圖象問題，要把問題拆分，分清動點在不同位置運動或不同時間段運動

時對應(yīng)的函數(shù)表達式，進而確定函數(shù)圖象；解答二次函數(shù)綜合題，要把大題拆分，做到大題

小做，逐步分析求解，最后匯總成最終答案.

(3)解決二次函數(shù)動點問題，首先要明確動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度是多

少，結(jié)合直線或拋物線的表達式設(shè)出動點的坐標(biāo)或表示出與動點有關(guān)的線段長度，最后結(jié)合

題干中與動點有關(guān)的條件進行計算.

◎典例解析

1.(2023?浙江紹興?統(tǒng)考中考真題)己知二次函數(shù)y=

(1)當(dāng)b=4,c=3時，

①求該函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo).

②當(dāng)—時，求》的取值范圍.

⑵當(dāng)尤vo時，y的最大值為2；當(dāng)x>o時，>的最大值為3,求二次函數(shù)的表達式.

2.已知拋物線y=ax2-2x+l(a^0)的對稱軸為直線x=l.

(1)求a的值；

(2)若點M(xi,yD,N(x2,y2)都在此拋物線上，且一1<再<0,1<%2<2.比較力

與y2的大小，并說明理由；

(3)設(shè)直線y=m(m>0)與拋物線y=a?_2x+l交于點A、B,與拋物線y=3(x-l)2交

于點C,D,求線段AB與線段CD的長度之比.

3.已知拋物線丁=/+加+。.

國①圖②

⑴如圖①，若拋物線圖象與X軸交于點A(3,0),與y軸交點/0,-3).連接..

①求該拋物線所表示的二次函數(shù)表達式；

②若點尸是拋物線上一動點(與點A不重合)，過點尸作軸于點與線段A3交于

點、M.是否存在點P使得點M是線段PH的三等分點？若存在，請求出點尸的坐標(biāo)；若不

存在，請說明理由.

(2)如圖②，直線y=gx+”與V軸交于點C,同時與拋物線、=/+法+。交于點。(-3,0),

以線段8為邊作菱形CDJ芯，使點尸落在x軸的正半軸上，若該拋物線與線段CE沒有交

點，求6的取值范圍.

4.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線y=—x'+bx+c經(jīng)過點A(—1,0)和點B(0,3),

頂點為C,點D在其對稱軸上，且位于點C下方，將線段DC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,

點C落在拋物線上的點P處.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求點P的坐標(biāo)；

(3)將拋物線平移，使其頂點落在原點0,這時點P落在點E的位置,在y軸上是否存在點M,

使得MP+ME的值最小，若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

5.(2023?湖南?統(tǒng)考中考真題)如圖，二次函數(shù)》=/+6尤+。的圖象與x軸交于A,5兩點,

與，軸交于C點，其中3(1,0),C(0,3).

(1)求這個二次函數(shù)的表達式；

⑵在二次函數(shù)圖象上是否存在點P,使得S“AC=￡ABC?若存在，請求出尸點坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由；

(3)點。是對稱軸/上一點，且點。的縱坐標(biāo)為〃，當(dāng)△QAC是銳角三角形時，求。的取值范

圍.

6.拋物線y=—/+云+。與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,且3(—l,0),C(0,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點P是拋物線上位于直線AC上方的一點，3P與AC相交于點E,當(dāng)

?￡：5石=1:2時，求點P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,點D是拋物線的頂點，將拋物線沿CD方向平移，使點D落在點OC處，且

DD'=2CD,點M是平移后所得拋物線上位于OC左側(cè)的一點，軸交直線于

正

點N,連結(jié)CN.當(dāng)D'N+CN的值最小時，求的長.

7.已知二次函數(shù)y=X2+（加-2）%+zn-4,其中〃?>2.

(1)當(dāng)該函數(shù)的圖像經(jīng)過原點0(0,0),求此時函數(shù)圖像的頂點A的坐標(biāo)；

(2)求證：二次函數(shù)y=/+(m-2)x+加-4的頂點在第三象限；

(3)如圖，在(1)的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖像，使其頂點在直線y=-X-2上運

動，平移后所得函數(shù)的圖像與丫軸的負半軸的交點為3,求AAC?面積的最大值.

8.二次函數(shù),=以2+法+4(。片0)的圖象經(jīng)過點4-4,0),2(1,0),與y軸交于點C,點P

為第二象限內(nèi)拋物線上一點，連接BP、AC,交于點Q,過點P作尸軸于點D.

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)連接BC,當(dāng)NDPB=2NBCO時,求直線5P的表達式；

(3)請判斷：言PQ是否有最大值，如有請求出有最大值時點P的坐標(biāo)，如沒有請說明理由.

9.如圖，拋物線y=(x+l)(x—a)(其中。＞1)與x軸交于A、B兩點，交y軸于點C.

(1)直接寫出N0C4的度數(shù)和線段AB的長(用a表示)；

(2)若點D為的外心，且△BCD與△ACO的周長之比為JI6：4,求此拋物線

的解析式；

(3)在(2)的前提下，試探究拋物線y=(x+l)(x-a)上是否存在一點P,使得

NC4P=NDB4?若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

10.如圖1,已知二次函數(shù),=加+阮+c(a＞。)的圖象與x軸交于點A(-1,O)、8(2,0),與

y軸交于點C,且tan/。4c=2.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)如圖2,過點C作CD〃x軸交二次函數(shù)圖象于點D,P是二次函數(shù)圖象上異于點D的一

個動點，連接PB、PC,若SAPBC=SABCD，求點P的坐標(biāo)；

(3)如圖3,若點P是二次函數(shù)圖象上位于BC下方的一個動點，連接0P交BC于點Q.設(shè)點

P的橫坐標(biāo)為t,試用含t的代數(shù)式表示的值，并求的最大值.

11.如圖，已知拋物線y=--x-2交x軸于A、B兩點，將該拋物線位于x軸下方的部分沿x

軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象w”，圖象w交y軸于點c.

(1)寫出圖象W位于線段A8上方部分對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

⑵若直線y=-x+b與圖象W有三個交點，請結(jié)合圖象，直接寫出6的值；

(3)P為x軸正半軸上一動點，過點尸作PM//y軸交直線于點/，交圖象W于點N,是

否存在這樣的點尸，使△OWN與AO3C相似？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由.

12.(2023?安徽?統(tǒng)考中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，點。是坐標(biāo)原點，拋物線

y=axl+bx(a^0)經(jīng)過點4(3,3),對稱軸為直線尤=2.

⑴求“力的值；

(2)已知點民C在拋物線上，點B的橫坐標(biāo)為乙點C的橫坐標(biāo)為t+1.過點8作x軸的垂線

交直線于點。，過點C作x軸的垂線交直線Q4于點E.

(i)當(dāng)0</<2時，求AOBD與A4CE的面積之和；

3

(ii)在拋物線對稱軸右側(cè)，是否存在點B,使得以為頂點的四邊形的面積為:?

2

若存在，請求出點8的橫坐標(biāo)，的值；若不存在，請說明理由.

13.如圖，已知拋物線,="2+笈+4(。H0)與*軸交于點八(1,0)和B,與y軸交于點

C,對稱軸為x=2.

2

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,若點P是線段BC上的一個動點(不與點B,C重合),過點P作y軸的平行

線交拋物線于點Q,連接0Q.當(dāng)線段PQ長度最大時，判斷四邊形OCPQ的形狀并說明理由.

(3)如圖2,在(2)的條件下，D是0C的中點，過點Q的直線與拋物線交于點E,且

/DQE=2Z0DQ.在y軸上是否存在點F,使得REF為等腰三角形？若存在，求點F

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

14.(2023?四川涼山?統(tǒng)考中考真題)如圖，已知拋物線與x軸交于4(1,0)和3(-5,0)兩點,

與y軸交于點C.直線y=-3x+3過拋物線的頂點尸.

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)若直線x=m(-5<m<0)與拋物線交于點E,與直線2C交于點F.

①當(dāng)所取得最大值時，求機的值和EF的最大值；

②當(dāng)是等腰三角形時，求點E的坐標(biāo).

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=/-2x-3與x軸相交于點A、B(點A在點B的

左側(cè))，與y軸相交于點C,連接AC,8c.

y

c

y=x-2x-3

(D求線段AC的長；(2)若點P為該拋物線對稱軸上的一個動點，當(dāng)=時，求點P的

坐標(biāo);

(3)若點M為該拋物線上的一個動點，當(dāng)ABCM為直角三角形時，求點M的坐標(biāo).

16-(2?重慶?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=*與x

軸交于點A,B,與y軸交于點C,其中8(3,0),C(0,-3).

(1)求該拋物線的表達式;

(2)點P是直線AC下方拋物線上一動點，過點尸作尸。，AC于點。，求尸。的最大值及此時

點尸的坐標(biāo);

(3)在(2)的條件下，將該拋物線向右平移5個單位，點E為點P的對應(yīng)點，平移后的拋物

線與y軸交于點歹，Q為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點.寫出所有使得以QF為腰的

△QE尸是等腰三角形的點Q的坐標(biāo)，并把求其中一個點Q的坐標(biāo)的過程寫出來.

17.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-/-4%+。與x軸交于點A,B(點A在點B的左側(cè)),

與V軸交于點。，且點A的坐標(biāo)為(-5,0).

（1）求點C的坐標(biāo)；（2）如圖1,若點P是第二象限內(nèi)拋物線上一動點，求點P到直線AC距

離的最大值；（3）如圖2,若點M是拋物線上一點，點N是拋物線對稱軸上一點，是否存在

點M使以A,C,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐

標(biāo)；若不存在，請說明理由.

18.（2023?四川瀘州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線

y=辦2+2x+c與坐標(biāo)軸分別相交于點A,B,C（0,6）三點，其對稱軸為x=2.

⑴求該拋物線的解析式；

⑵點F是該拋物線上位于第一象限的一個動點，直線AF分別與丫軸，直線交于點D,E.

①當(dāng)CD=CE時，求8的長；

②若ACW,ACDE,的面積分別為I，S],S3,且滿足5|+$3=2邑，求點尸的坐

標(biāo).

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為正方形，點A,3在％軸上，拋物線

丁=必+笈+。經(jīng)過點6,￡＞（T,5）兩點，且與直線。C交于另一點E.

(1)求拋物線的解析式；

(2)/為拋物線對稱軸上一點，。為平面直角坐標(biāo)系中的一點，是否存在以點Q,F，E，

3為頂點的四邊形是以BE為邊的菱形.若存在，請求出點廠的坐標(biāo)；若不存在，請說明

理由；

(3)P為＞軸上一點，過點尸作拋物線對稱軸的垂線，垂足為M，連接ME，BP.探

究EM+MP+PB是否存在最小值.若存在，請求出這個最小值及點M的坐標(biāo);若不存在，

請說明理由.

20.(2023?四川達州?統(tǒng)考中考真題)如圖，拋物線y=渥+區(qū)+c過點A(-l,0),3(3,0),C(0,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)設(shè)點P是直線8C上方拋物線上一點，求出APBC的最大面積及此時點P的坐標(biāo)；

(3)若點M是拋物線對稱軸上一動點，點N為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，是否存在以為邊，點

B、C、M.N為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說

明理由.

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線、=-/+法+。交X軸于點A和C。,。)，交y軸于

點3(0,3),拋物線的對稱軸交X軸于點E,交拋物線于點尸.

（1）求拋物線的解析式；

（2）將線段OE繞著點O沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段。少，旋轉(zhuǎn)角為1（0。<,<90。），連接

AE',BE',求的最小值.

（3）M為平面直角坐標(biāo)系中一點，在拋物線上是否存在一點N,使得以A,B,M,N為

頂點的四邊形為矩形？若存在，請直接寫出點N的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

22.（2023?湖南常德?統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A（TO）,川5,0）兩

點，與y軸交于點C，頂點為D.。為坐標(biāo)原點，tanZACO=g.

⑴求二次函數(shù)的表達式；

⑵求四邊形ACD8的面積；

（3）尸是拋物線上的一點，且在第一象限內(nèi)，若ZACO=NPBC,求P點的坐標(biāo).

23.若二次函數(shù)y="2+桁+c的圖象經(jīng)過點A（-2,0）,B（0,-4）,其對稱軸為直線x=l,與

x軸的另一交點為C.

⑴求二次函數(shù)的表達式；（2）若點M在直線48上，且在第四象限，過點M作MNLx軸于

點N.

①若點N在線段0C上，電MN=3NC,求點M的坐標(biāo)；

②以MN為對角線作正方形MPNQ（點P在MN右側(cè)），當(dāng)點P在拋物線上時，求點M的坐

標(biāo).

24.如圖1,已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是邊長為3的正方形，其中頂點A,

C分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上，拋物線＞=-*+法+。經(jīng)過A,C兩點，與x軸交

于另一個點D.

（1）①求點A,B,C的坐標(biāo)；

②求b,c的值.

⑵若點P是邊BC上的一個動點，連結(jié)AP,過點P作PMXAP,交y軸于點M（如圖2所示）.當(dāng)

點P在BC上運動時，點M也隨之運動.設(shè)BP=m,CM=n,試用含m的代數(shù)式表示n,并求

出n的最大值.

25.（2023?內(nèi)蒙古通遼?統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線

Q

丁=依2+§%+°（〃。0）與％軸交于點41,0）和點B,與y軸交于點。（0,-4）.

(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式；

(2)P是拋物線上一動點(不與點A,B,C重合)，作軸，垂足為。，連接尸C.

①如圖，若點尸在第三象限，且tan/CPD=2,求點P的坐標(biāo)；

②直線PD交直線BC于點E,當(dāng)點E關(guān)于直線PC的對稱點￡落在y軸上時，請直接寫出

四邊形PECE的周長.

26.如圖是一塊鐵皮余料，將其放置在平面直角坐標(biāo)系中，底部邊緣在x軸上，且AB=8

dm,外輪廓線是拋物線的一部分，對稱軸為丫軸，高度