2024年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題型提分練：二次函數(shù)（含解析）

專題05二次函數(shù)

【考點精說】

必考點1二次函數(shù)的概念：一般地，形如，=/+廄+。9,是常數(shù)，分0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。

這里須要強(qiáng)調(diào)：①aW0②最高次數(shù)為2③代數(shù)式肯定是整式

【典例1】（2024?南通市）若丫=（m-1）%毋+，"是關(guān)于x的二次函數(shù)，則m的值為（）

A.-2B.1C.-2或1D.2或1

【答案】A

【解析】

解：??？=（mT）+根是關(guān)于x的二次函數(shù)，

m2+m=2,且m-1r0,

解得：m=-2.

故選：A.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的定義，最高次數(shù)是二次且二次項系數(shù)不為零

【舉一反三】

1.（2024?哈爾濱市）下列各式中表示二次函數(shù)的是（）

A.y=x2+——1-1B.y=2-x2

x

C.y=\-%?D.y=（x-1）2-x2

x

【答案】B

【解析】

解：A、y=/+-+l,含有分式，不是二次函數(shù)，故此選項錯誤；

X

B、y=2-x,是二次函數(shù)，故此選項正確；

1

C、y=-y-x92,含有分式，不是二次函數(shù)，故此選項錯誤；

X

D、y=（x-l）2-V=_2X+1,是一次函數(shù)，故此選項錯誤.

故選：B.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的概念，屬于應(yīng)知應(yīng)會題型，熟知二次函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

2.（2024?遵義市）下列函數(shù)中屬于二次函數(shù)的是（）

12

A.y=-xB.y=2x-lC.y=s]x+3D.y=x+-+l

2x

【答案】B

【解析】

解：A.是正比例函數(shù)，不符合題意;

2

B.尸2*-1是二次函數(shù)，符合題意；

C.y=不是二次函數(shù),不符合題意；

D.y=*+1+l不是二次函數(shù)，不符合題意.

x

故選：B.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的定義，解題關(guān)鍵是駕馭一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的定義.

3.（2024?浙江初三期末）圓的面積公式S=K#中，S與7?之間的關(guān)系是（）

A.S是A的正比例函數(shù)B.S是火的一次函數(shù)

C.S是火的二次函數(shù)D.以上答案都不對

【答案】C

【解析】

依據(jù)二次函數(shù)的定義，易得S是R的二次函數(shù)，故選C.

必考點2二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的性質(zhì)

I.當(dāng)。＞0時，拋物線開口向上，對稱軸為頂點坐標(biāo)為1-2,

2aI2〃4aJ

當(dāng)x＜-2時，y隨x的增大而減小；當(dāng)》＞一2時，y隨x的增大而增大；當(dāng)尤=一2時，y有最小值

2a2a2a

4ac-b2

4。

2.當(dāng)。<0時，拋物線開口向下，對稱軸為元=-2,頂點坐標(biāo)為如土].當(dāng)時，y隨

2a12a4aJ2a

x的增大而增大；當(dāng)x>-2時，y隨x的增大而減小；當(dāng)片_2時，y有最大值細(xì)二

2a2a4。

【典例2](2024?福建中考真題)若二次函數(shù)產(chǎn)㈤V+6戶c的圖象經(jīng)過AE,〃)、B(0,%)、C(3-?〃)、D(&,

㈤、E(2,%),貝(I%、乃、萬的大小關(guān)系是().

A.yi<y2<與B.yi<y2C.73<y2<%D.J2<J3<%

【答案】D

【解析】

?.,經(jīng)過A(m,n)、C(3-m,n),

3

???二次函數(shù)的對稱軸x=一

2

VB(0,y])、D(&,y2)>E(2,y3)與對稱軸的距離B最遠(yuǎn)，D最近，

V|a|>0,

j2<yi；

故選：D.

【點睛】

本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；嫻熟駕馭函數(shù)圖象上點的特征是解題的關(guān)鍵.

【舉一反三】

1.(2024?內(nèi)蒙古中考真題)二次函數(shù)y=ax-與一次函數(shù)y^ax+a在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是

()

【答案】D

【解析】

解：由一次函數(shù)y=ax+a可知，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點（—1,0）,解除A、B；當(dāng)aX）時，二次函

數(shù)開口向上，一次函數(shù)經(jīng)過一、三、四?象限，當(dāng)a<0時，二次函數(shù)開口向下，一次函數(shù)經(jīng)過二、三、四象

限，解除C；

故選D.

【點睛】

本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是嫻熟駕馭二次函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象與系

數(shù)之間的關(guān)系.

2.（2024?廣東初三月考）二次函數(shù)尸a/+6x+c（aW0）的圖象如圖，下列結(jié)論正確的是（）

b

A.a<0B.lj-4ac<0C.當(dāng)一1<水3時，y>0D.-------=1

2a

【答案】D

???拋物線開口向上，

a>0

；.A選項錯誤，

:拋物線與x軸有兩個交點，

b1—4ac>0

，B選項錯誤，

由圖象可知，當(dāng)一時，y<0

???C選項錯誤，

由拋物線的軸對稱性及與x軸的兩個交點分別為（-1,0）和（3,0）可知對稱軸為x=l

即—冬=1,

，D選項正確，

故選D.

3.（2024?安徽初三月考）二次函數(shù).af+Z^+c（aWO）的圖象如圖，給出下列四個結(jié)論：?4ac-A2<0；

②392。<0；③4a+c<2b；@mQan^b）+b<a（得-1）,其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）

【答案】C

【解析】

:圖象與x軸有兩個交點，

方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根,

/.b2-4ac>0,

/.4ac-b2<0,

①正確;

：_—=-1,

2a

??b—2a.?

*/a+b+c<0,

-b+b+c<0,3b+2c<0,

2

...②是正確；

:當(dāng)x=-2時，y>0,

4a-2b+c>0,

4a+c>2b,

③錯誤；

:由圖象可知X=-1時該二次函數(shù)取得最大值,

.*.a-b+c>am2+bm+c(mW-1).

.,.m(am+b)<a-b.故④正確

...正確的有①②④三個，

故選C.

必考點3待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

依據(jù)條件不同，二次函數(shù)可設(shè)三種不同的表達(dá)式：

①一般式：y=ax1+bx+c

②頂點式:y=a(x-hf+k

③交點式：j=a(x-x1)(x-x2)

【典例3】(2024?江蘇中考真題)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點/2,2),頂點為。(0,0)將該圖象向右平移,

當(dāng)它再次經(jīng)過點P時，所得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為

【答案】y=-(x-4)2.

【解析】

設(shè)原來的拋物線解析式為：y=ax20),

把尸(2,2)代入，得2=4a,

解得a=g,

2

1,

故原來的拋物線解析式是：y=-x2,

設(shè)平移后的拋物線解析式為：y=-(x-b)2,

1

把尸(2,2)代入，得2=萬(2—加29,

解得6=0(舍去)或6=4,

所以平移后拋物線的解析式是：y=-(x-4)2,

1,

故答案是：y=—(x—4)^.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.利用待定系數(shù)法

確定原來函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

【舉一反三】

1.(2024?江蘇初三期末)已知二次函數(shù)尸af+6x+c中，自變量x與函數(shù)y的部分對應(yīng)值如下表:

X???-2023???

???

y???8003

當(dāng)x=_1■時，y=.

【答案】3

【解析】

將點(0,0),(2,0),(3,3)代入y=加+bx+c,得

c=0。=1

{4。+2〃=0解得：協(xié)=—2

9a+3b=3.c=0.

二二次函數(shù)的解析式為：丁=必-2x.

當(dāng)x=-l時，y=(-l)2-2x(-l)=3.

故答案為：3.

2.已知二次函數(shù)>=以2+法+。的圖像經(jīng)過點4(—1,0)、5(2,0)、C(0,-2),那么這個二次函數(shù)的解

析式為.

【答案】J=X2-X-2

【解析】

解：。二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象經(jīng)過點A(-1,0),B(2,0),C(0,-2),

a-b-\-c=0

<4〃+2b+c=0,

c=-2

a=l

解得:\b=-l,

c=-2

，這個二次函數(shù)的解析式為：J=X2-X-2.

故答案為：y=x2-x-2.

【點睛】

此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，正確解方程組得出是解題關(guān)鍵.

3.（2024?云南初三期中）已知拋物線的頂點為（1,-1）,且過點（2,1）,求這個函數(shù)的表達(dá)式為

【答案】y=2x2-4x+l

【解析】

解：設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）2-1,

把點（2,1）代入解析式得：a-l=l,

解得a=2,

,這個函數(shù)的表達(dá)式為y=2（x-1）2-1,

即y=2x2-4x+l.

故答案為y=2x'-4x+L

考點：利用頂點式求拋物線解析式.

必考點4二次函數(shù)與一元二次方程

二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x軸交點狀況）：

一元二次方程辦2+bx+C=O是二次函數(shù)產(chǎn)加+陵+c當(dāng)函數(shù)值y=o時的特別狀況.

圖象與X軸的交點個數(shù)：

①當(dāng)公=廿_4ac>0時，圖象與x軸交于兩點4（為，0）,8（9，。）（為*%），其中的玉，々是一元二次方

y/b2-4ac

程辦2+bx+c=0（a*0）的兩根.這兩點間的距離=|無2-七|=

問

②當(dāng)△=（）時，圖象與x軸只有一個交點；

③當(dāng)A<0時，圖象與x軸沒有交點.

r當(dāng)。>0時，圖象落在X軸的上方，無論X為任何實數(shù)，都有y>0；

2,當(dāng)a<0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數(shù)，都有y<0.

【典例4】（2024?湖北中考真題）拋物線y=-f+4x-4與坐標(biāo)軸的交點個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

當(dāng)X=O時，y=-x2+4x-4=-4,則拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為（0,-4）,

當(dāng)y=0時，一%2+4%—4=0，解得占=々=2,拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為（2,0）,

所以拋物線與坐標(biāo)軸有2個交點.

故選C.

【點睛】

本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ox2+6x+c（a,仇c是常數(shù)，awO）與％軸的交點坐標(biāo)

問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程.

【舉一反三】

1.（2024?湖南中考真題）對于一個函數(shù)，自變量x取a時，函數(shù)值y也等于a,我們稱a為這個函數(shù)的

2

不動點.假如二次函數(shù)7=X+2A+C有兩個相異的不動點荀、x2,且X1VIVX2,則c的取值范圍是（）

1

A.c<-3B.c<-2C.c<—D.cVl

4

【答案】B

【解析】

由題意知二次函數(shù)y=x2+2x+c有兩個相異的不動點X1、xz,

所以X1、xz是方程X2+2X+C=X的兩個不相等的實數(shù)根，

整理，得：x2+x+c=0,

所以△=l-4c>0,

又x?+x+c=O的兩個不相等實數(shù)根為X1、X2,X1<1<X2,

所以函數(shù)y=x2+x+c=0在x=l時，函數(shù)值小于0,

即l+l+c<0,

l-4c>0

綜上則

l+l+c<0

解得c<-2,

故選B.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，正確理解題中的定義，嫻熟駕馭二次函數(shù)與一元二次方程的

關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2.(2024?四川中考真題)已知二次函數(shù)，=(%-4-1)(%-4+1)-3々+7(其中犬是自變量)的圖象與》軸

沒有公共點，且當(dāng)尤<-1時，y隨x的增大而減小，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.a<2B.a>—1C.—l<aW2D.—lWa<2

【答案】D

【解析】

y=(x—a—1)(%—?+1)—3?+7=x2—2ax+?2—3?+6>

???拋物線與x軸沒有公共點，

A=(—2a)'—4(a~—3a+6)<0,解得a<2,

一2〃

???拋物線的對稱軸為直線x=-----=a,拋物線開口向上，

2

而當(dāng)了<-1時，y隨工的增大而減小，

CI>—1

實數(shù)a的取值范圍是—lWa<2,

故選D.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象與x軸交點問題，拋物線的對稱軸，二次函數(shù)圖象的增減性，嫻熟駕馭和敏捷運

用相關(guān)學(xué)問是解題的關(guān)鍵.

3.(2024?遼寧中考真題)如圖，二次函數(shù)y=ax?+bx+c(aWO)的圖象過點(-2,0),對稱軸為直線x

=1.有以下結(jié)論：

①abc>0；

②8a+c>0；

③若A(xi,m),B(xz,m)是拋物線上的兩點，當(dāng)x=xi+x?時，y=c；

④點M,N是拋物線與x軸的兩個交點，若在x軸下方的拋物線上存在一點P,使得PMLPN,則a的取值范

圍為a2l；

⑤若方程a(x+2)(4-x)=-2的兩根為Xi,x2,且XiVxz,則-2WXI<X2<4.

其中結(jié)論正確的有()

D.5個

【答案】A

【解析】

解：①由圖象可知：a>0,c<0,

-±>o

la

/.abc>0,故①正確；

②,??拋物線的對稱軸為直線x=l,拋物線的對稱軸為直線x=1,

，上=1

2a

.?.b=-2a,

當(dāng)x=-2時，y=4a-2b+c=0,

.,.4a+4a+c=0,

.'.8a+c=0,故②錯誤；

③〈A(xi,m),B(x2,m)是拋物線上的兩點，

由拋物線的對稱性可知：XI+X2=1X2=2,

當(dāng)x=2時，y=4a+2b+c=4a-4a+c=c,故③正確；

④由題意可知：M,N到對稱軸的距離為3,

當(dāng)拋物線的頂點到x軸的距離不小于3時，

在x軸下方的拋物線上存在點P,使得PMLPN,

4ac-b2

即<-3,

4a

V8a+c=0,

..c-8a,

Vb=-2a,

.4〃?(—8。)—(—

??----------------------S-3,

4a

解得：a>^,故④錯誤；

⑤易知拋物線與x軸的另外一個交點坐標(biāo)為(4,0),

y=ax2+bx+c=a(x+2)(x-4)

若方程a(x+2)(4-x)=-2,

即方程a(x+2)(x-4)=2的兩根為xi,x2,

則X］、&為拋物線與直線y=2的兩個交點的橫坐標(biāo)，

"."X1<X2,

,

-.X1<-2<4<X2,故⑤錯誤；

故選：A.

【點睛】

本題考查二次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是嫻熟運用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型.

必考點5二次函數(shù)的實際應(yīng)用

【典例5】(2024?武漢)如圖，一位運動員推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y(m)與水平距離x(m)之間的關(guān)系是y

A.12mB.10mC.3mD.4m

【答案】B

【解析】

I25

解：令y=---x2+—x+-=0

1233

則：x2-8x-20=0

A(x+2)(x-10)=0

.'.xi=-2(舍)，X2=10

由題意可知當(dāng)x=10時，符合題意

故選：B.

【點睛】

本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是本題的關(guān)鍵.

【舉一反三】

1.(2024?黑龍江初三期末)如圖，是某公園一圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管的=1.25卬，A

處是噴頭，水流在各個方向沿形態(tài)相同的拋物線落下，水落地后形成一個圓，圓心為0,直徑為線段龍.建

立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，若水流路途達(dá)到最高處時，到x軸的距離為2.253到y(tǒng)軸的距離為10，

則水落地后形成的圓的直徑CB=m.

【答案】5

【解析】

解：設(shè)y軸右側(cè)的拋物線解析式為：y=a(￡-1)、2.25

7點/(0,1.25)在拋物線上

/.1.25=a(0-1)>2.25

解得：a=-1

拋物線的解析式為：尸-(x-1)，2.25

令尸。得：0=-0-1)2+2.25

解得：x=2.5或x=-0.5(舍去)

.?.點6坐標(biāo)為(-2.5,0)

：.0B=0C=2.5

:.CB=5

故答案為：5.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，明確二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)及正確的解方程，是解題的關(guān)鍵.

2.（2024?遼寧初三期末）從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度分（米）與小球運動時間t（秒）的

關(guān)系式是分=30-5巴小球運動中的最大高度是米.

【答案】45

【解析】

解：h=-512+301

=-5（t2-6^+9）+45

=-5（-3）?+45,

Va=-5<0,

圖象的開口向下，有最大值，

當(dāng)t=3時，h最大值=45.

故答案為：45.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)就能求出

結(jié)果.

3.（2024?湖北初三期中）如圖，一拋物線型拱橋,當(dāng)拱頂?shù)剿娴木嚯x為20時，水面寬度為4m；那

么當(dāng)水位下降后，水面的寬度為_________m.

53E7J卜...一.一.........——―

|4--------4m--------

【答案】2底

【解析】

如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)橫軸x通過47,縱軸y通過48中點。且通過。點，則通過畫圖可得知。為原點，拋物線以y軸為對稱軸,

且經(jīng)過46兩點，物和必可求出為"的一半2米，拋物線頂點C坐標(biāo)為（0,2）,通過以上條件可設(shè)頂

點式丁=”/+2,其中a可通過代入/點坐標(biāo)（-2,0）,到拋物線解析式得出：0.5,所以拋物線解

析式為丁=-0.5必+2,當(dāng)水面下降1米，通過拋物線在圖上的視察可轉(zhuǎn)化為：

當(dāng)尸-1時，對應(yīng)的拋物線上兩點之間的距離，也就是直線尸-1與拋物線相交的兩點之間的距離，可以

通過把產(chǎn)-1代入拋物線解析式得出：-1=-0.5尤2+2,解得：產(chǎn)土前，所以水面寬度增加到2n米，

故答案為2n米.

【考點精煉】

1.（2024?吉林初三月考）若函數(shù)y=（3-m）^-7-x+l是二次函數(shù)，則m的值為（）

A.3B.-3C.±3D.9

【答案】B

【解析】

依據(jù)二次函數(shù)的定義，可知m2-7=2,且3-mWO,解得m=-3,所以選擇B.

故答案為：B

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的定義，留意二次項的系數(shù)不能為0.

2.（2024?浙江初三期中）下列二次函數(shù)中，二次項系數(shù)是-3的是（）

A.-2戶5B.y^x-3H2C.-"ix-xD.y^x-3

【答案】C

【解析】

解：A.尸3/-21+5二次項系數(shù)是3,不合題意；

B.3矛+2二次項系數(shù)是3,不合題意；

C.尸-3*-x二次項系數(shù)是-3,符合題意；

D.y=x-3二次項系數(shù)是1,不合題意；

故選：C.

【點睛】

本題考查的是二次函數(shù)的定義.一般地，形如y=o?+初c+c（a、b、c是常數(shù)，aWO的函數(shù)，叫做二次函

數(shù).其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項.

3.（2024?安徽初三期末）關(guān)于二次函數(shù)丁=2f+4%-1,下列說法正確的是（）

A.圖像與y軸的交點坐標(biāo)為（o/）B.圖像的對稱軸在y軸的右側(cè)

c.當(dāng)尤<o時，y的值隨x值的增大而減小D.y的最小值為-3

【答案】D

【解析】

,/y=2x2+4x-l=2（x+1）2-3,

當(dāng)x=0時，y=-l,故選項A錯誤，

該函數(shù)的對稱軸是直線x=T,故選項B錯誤，

當(dāng)x<T時，y隨x的增大而減小，故選項C錯誤，

當(dāng)x=T時，y取得最小值，此時y=-3,故選項D正確，

故選D

點睛：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解

答.

4.（2024?重慶中考真題）拋物線y=-3d+6x+2的對稱軸是（）

A.直線尤=2B.直線x=—2C.直線x=lD.直線x=—1

【答案】C

【解析】

y——3%2+6x+2=—3（x—I）2+5,

拋物線頂點坐標(biāo)為（1,5）,對稱軸為x=l.

故選：C.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì).拋物線y=a（x-丸）2+左的頂點坐標(biāo)為（h,k）,對稱軸為才=幾

5.（2024?廣西中考真題）如圖，拋物線丁=以2+法+。的對稱軸為直線x=l,則下列結(jié)論中，錯誤的

是（）

A.ac<0B.b1-4ac>0C.2a-b-QD.a-b+c=O

【答案】C

【解析】

A、由拋物線的開口向下知a<。，與y軸的交點在y軸的正半軸上，可得c>o,因此。。<0,故本選項正

確，不符合題意;

B、由拋物線與X軸有兩個交點，可得從-4ac>0,故本選項正確，不符合題意;

b

C、由對稱軸為x=——=1,得2a=—b,即2。+/?=0,故本選項錯誤，符合題意;

2a

D、由對稱軸為無=1及拋物線過(3,0),可得拋物線與x軸的另外一個交點是(-1,0),所以a—3+c=0,

故本選項正確，不符合題意.

故選：C.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.會利用對稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間

的轉(zhuǎn)換，根的判別式的嫻熟運用.

6.(2024?四川中考真題)在同一坐標(biāo)系中，二次函數(shù)了=依2+汝與一次函數(shù)了=法一。的圖像可能是

()

【答案】C

【解析】

y=ax"+bx?

解：由方程組得邳2=刃，

y=bx-a

：aWO

.,.x2=-l,該方程無實數(shù)根，

故二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象無交點，解除B.

A：二次函數(shù)開口向上，說明a>0,對稱軸在y軸右側(cè)，則b<0；但是一次函數(shù)b為一次項系數(shù)，圖象顯

示從左向右上升，b>0,兩者沖突，故A錯；

C：二次函數(shù)開口向上，說明a>0,對稱軸在y軸右側(cè)，則b<0；b為一次函數(shù)的一次項系數(shù)，圖象顯示從

左向右下降，b<0,兩者相符，故c正確；

D：二次函數(shù)的圖象應(yīng)過原點，此選項不符，故D錯.

故選C.

【點睛】

本題考查的是同一坐標(biāo)系中二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象問題，必需明確二次函數(shù)的開口方向與a的正負(fù)的

關(guān)系，a,b的符號與對稱軸的位置關(guān)系，并結(jié)合一次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行分析，本題中等難度偏上.

7.（2024?西藏中考真題）把函數(shù)了=一］/的圖象，經(jīng)過怎樣的平移變換以后，可以得到函數(shù)

1,

y=_3（x_l）+］的圖象（）

A.向左平移1個單位，再向下平移1個單位

B.向左平移1個單位，再向上平移1個單位

C.向右平移1個單位，再向上平移1個單位

D.向右平移1個單位，再向下平移1個單位

【答案】C

【解析】

119

拋物線y=--x2的頂點坐標(biāo)是（0,0）,拋物線線y=—5（x—1）+1的頂點坐標(biāo)是（1,1）,

所以將頂點（0,0）向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到頂點（1,1）,

119

即將函數(shù)y=-萬f的圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到函數(shù)y=-1）+1的圖象.

故選：C.

【點睛】

主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求嫻熟駕馭平移的規(guī)律：左加右減，上加下減.并用規(guī)律求函數(shù)解析式.

8.（2024?重慶初三期末）如圖是二次函數(shù)丫=a*^^+（:（a,b,c是常數(shù)，aWO）圖象的一部分，與x軸

的交點A在點（2,0）和（3,0）之間，對稱軸是x=l.對于下列說法：①ab<0；②2a+b=0；③3a+c>0；

④a+b2m（am+b）（m為實數(shù)）；⑤當(dāng)-1VXV3時，y>0,其中正確的是（1）

【答案】A

【解析】

①：對稱軸在y軸右側(cè)，

a、b異號，

ab<0,故正確；

b

②對稱軸x—..........=1,

2a

/.2a+b=0；故正確；

③?.?2a+b=0,

/.b=-2a,

;當(dāng)x=-1時，y=a-b+cVO,

.*.a-(-2a)+c=3a+cV0,故錯誤;

④依據(jù)圖示知，當(dāng)m=l時，有最大值；

當(dāng)m#l時，有am，bm+cWa+b+c,

所以a+b2m（am+b）（m為實數(shù)）.

故正確.

⑤如圖，當(dāng)-l<x<3時，y不只是大于0.

故錯誤.

故選A.

【點睛】

本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是嫻熟駕馭①二次項系數(shù)a確定

拋物線的開口方向，當(dāng)a>0時，拋物線向上開口；當(dāng)a<0時，拋物線向下開口；②一次項

系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同確定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時（即ab>0）,對稱軸在y軸

左；當(dāng)a與b異號時（即ab<0）,對稱軸在y軸右.（簡稱：左同右異）③常數(shù)項c確定拋

物線與y軸交點，拋物線與y軸交于（0,c）.

9.（2024?甘肅中考真題）二次函數(shù)丁=以2+法+。的圖象如圖所示，若〃=4a+2"N=a-》.則M、

N的大小關(guān)系為MN.（填“>”、"=”或“<”）

【解析】

當(dāng)x=-l時，y=a-b+c>0,

當(dāng)x=2時，y=4a+2b+c<0,

M—N=4a+2b—(a—b)

=4a+2Z?+c—(a—Z?+c)<0,

即V<N,

故答案為：<

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，作差法比較代數(shù)式的大小，嫻熟駕馭二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)

滿意二次函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵.

10.(2024?山東初三期末)已知A(0,3),B(2,3)是拋物線y=-必+法+c上兩點，該拋物線的頂點

坐標(biāo)是.

【答案】(1,4).

【解析】

試題分析：把A(0,3),B(2,3)代入拋物線)，=-/+bx+C可得b=2,c=3,所以

j=_x：+2x+3=-(x-D：+4，即可得該拋物線的頂點坐標(biāo)是(1,4).

考點：拋物線的頂點.

11.(2024?四川初三月考)拋物線小c經(jīng)過點A(-5,0),對稱軸是直線x=-2,則a+Z^c=

【答案】0

【解析】

,拋物線y=ax+bx+c經(jīng)過點A(-5,0),對稱軸是直線x=-2,

，點/關(guān)于x=-2對稱點的坐標(biāo)為：(1,0)

...當(dāng)x=l時，y=a+Z?+c=0,

故答案為0.

【點睛】

本題考查二次函數(shù)對稱性，當(dāng)x=l時，y=K加c,再依據(jù)二次函數(shù)上縱坐標(biāo)一樣的點關(guān)于對稱軸對稱求出

當(dāng)x=l時，y=0o

12.(2024?北京市第六十六中學(xué)初三期中)已知：二次函數(shù)尸a/+Mc(aWO)中的x和y滿意下表:

X???012345???

y???30-10m8???

(1)必的值為;

(2)拋物線尸a/+Z?+c的對稱軸為

(3)這個二次函數(shù)的解析式為;

(4)當(dāng)0VxV3時，則y的取值范圍為.

【答案】(1)3；(2)直線x=2；(3)尸丁-4戶3；(4)-lWy<3.

【解析】

(1)?.?點(0,3)關(guān)于直線x=2的對稱點為(4,3),

m=3,

故答案為3；

(2)?.?由表中x、y的對應(yīng)值可知，當(dāng)x=l與x=3時y的值相等，

二對稱軸是直線了=上n=2,

2

故答案為直線x=2；

(3),?拋物線的頂點為(2,-1),

二設(shè)解析式為尸a(x-2)'-I,

代入點(0,3)得，3=4a-1,

解得3—1,

二次函數(shù)的解析式為y=x-4x+3,

故答案為y=^2-4x+3；

(4)Va=l,頂點為(2,-1),如圖所示，

由圖象可知，當(dāng)0<x<3時，則y的取值范圍為-lWy<3

故答案為-lWy<3.

【點睛】

此題主要考查拋物線性質(zhì)的綜合應(yīng)用，嫻熟駕馭，即可解題.

13.(2024?山東初三期中)若二次函數(shù)y=2%2-4x—l的圖象與x軸交于A(%,0),B(電，0)兩點,

11

則一+—的值為_______

X]x2

【答案】-4

【解析】

設(shè)y=0,則2/—4x—1=0,二一元二次方程的解分別是點A和點B的橫坐標(biāo)，即再，%,

-4c1

=

??%+%----——2f一~

占+%2_2

11

—+—/x,_1＞故答案為：—4.

再X2-~2

【點睛】

hc

依據(jù)求根公式可得，若七，%是方程的兩個實數(shù)根，則為+%=—-,為羽=—

aa

14.（2024?深圳試驗學(xué)校初三月考）如圖是拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m時，水面寬4m,水面下降2m,

水面寬度增加1

【答案】40-4

【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橫軸x通過48縱軸y通過中點。且通過C點，則通過畫圖可得知。為原點,

拋物線以y軸為對稱軸，且經(jīng)過48兩點，以和神可求出為45的一半2米，拋物線頂點，坐標(biāo)為（0,2）.

通過以上條件可設(shè)頂點式y(tǒng)^ax2+2,其中?？赏ㄟ^代入/點坐標(biāo)(-2,0).

代入到拋物線解析式得出：a=-0.5,所以拋物線解析式為y=-0.5x2+2,

當(dāng)水面下降2米，通過拋物線在圖上的視察可轉(zhuǎn)化為：

當(dāng)y=-2時，對應(yīng)的拋物線上兩點之間的距離，也就是直線y=-2與拋物線相交的兩點之間的距離，

可以通過把y=-2代入拋物線解析式得出：

—2=—0.5/+2,解得：x=±272,

所以水面寬度增加到4&米，比原先的寬度當(dāng)然是增加了4亞-4.

故答案是：472-4,

【點睛】

考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，依據(jù)已知建立坐標(biāo)系從而得出二次函數(shù)解析式是解決問題的關(guān)鍵.

15.(2024?合肥市第四十五中學(xué)初三期中)如圖，從某建筑物9米高的窗口4處用水管向外噴水，噴出的

水成拋物線狀(拋物線所在平面與墻面垂直)，假如拋物線的最高點〃離墻1米，離地面12米，建立平面

直角坐標(biāo)系，如圖.

(2)求水流落地點6離墻的距離0B.

【答案】(1)y=-3/+6^+9；(2)3米.

【解析】

解：(1)依據(jù)題意，得/(0,9),頂點〃(1,12),

于是設(shè)拋物線解析式為尸a(x-1)z+12,

把/(0,9)代入，得9=a+12,解得a=-3,

所以拋物線的解析式為y=-3(x-1)2+12=-3*+6x+9.

答：拋物線的解析式為y=-3/+6X+9.

(2)當(dāng)y=0時，0=-31+6￡+9,解得不=3,xi=-1,

所以8(3,0).

答：水流落地點6離墻的距離OB為3米.

【點睛】

本題是二次函數(shù)的應(yīng)用題，正確理解題意、求出拋物線的解析式是解題關(guān)鍵.

16.(2024?北京四中初三月考)運動員將小球沿與地面成肯定角度的方向擊出，在不考慮空氣阻力的條件

下，小球的飛行高度力(就與它的飛行時間t(s)滿意二次函數(shù)關(guān)系，方與人的幾組對應(yīng)值如下表所示.

tQs)00.511.52???

h(卬)08.751518.7520???

(1)求分與方之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫力的取值范圍);

(2)求小球飛行3s時的高度；

(3)問：小球的飛行高度能否達(dá)到22勿？請說明理由.

【答案】(1)h=-5f+20t；(2)小球飛行3s時的高度為15米；(3)小球的飛行高度不能達(dá)到22加

【解析】

解：⑴時，h=Q,

...設(shè)方與t之間的函數(shù)關(guān)系式為(a#0),

時，力=15；方=2時，7?=20,

a+&=15

,

4a+28=20

.,"與力之間的函數(shù)關(guān)系式為h