2024年中考數(shù)學幾何模型歸納訓練：圖形變換模型之翻折（折疊）模型（原卷版+解析）

專題37圖形變換模型之翻折（折疊）模型

幾何變換中的翻折（折疊、對稱）問題是歷年中考的熱點問題，試題立意新穎，變幻巧妙，主要考查

學生的識圖能力及靈活運用數(shù)學知識解決問題的能力。

涉及翻折問題，以矩形對稱最常見，變化形式多樣。無論如何變化，解題工具無非全等、相似、勾股

以及三角函數(shù)，從條件出發(fā)，找到每種對稱下隱藏的結(jié)論，往往是解題關(guān)鍵。本專題以各類幾個圖形（三

角形、平行四邊形、菱形、矩形、正方形、圓等）為背景進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

【知識儲備】

翻折和折疊問題其實質(zhì)就是對稱問題，翻折圖形的性質(zhì)就是翻折前后圖形是全等的，對應(yīng)的邊和角都是相

等的。以這個性質(zhì)為基礎(chǔ)，結(jié)合三角形、四邊形、圓的性質(zhì)，三角形相似，勾股定理設(shè)方程思想來考查。

解決翻折題型的策略：

1）利用翻折的性質(zhì)：①翻折前后兩個圖形全等；②對應(yīng)點連線被對稱軸垂直平分；

2）結(jié)合相關(guān)圖形的性質(zhì)（三角形，四邊形等）；3）運用勾股定理或者三角形相似建立方程。

模型1.矩形中的翻折模型

【模型解讀】

例L（2023?遼寧鞍山?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，矩形AQBC的邊08,0A分別在x軸、

，軸正半軸上，點。在8C邊上，將矩形AO3C沿AD折疊，點C恰好落在邊0B上的點E處.若。4=8,

08=10,則點。的坐標是.

yi

A

O'EBx

例2.（2023春?江蘇泰州?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABC。中，AB=3,BC=8,E是BC的中點，將，ABE

沿直線AE翻折，點落B在點尸處，連結(jié)b,則CF的長為（）

C.3A/5

例3.（2023?湖北?統(tǒng)考中考真題）如圖，將邊長為3的正方形ABCD沿直線所折疊，使點5的對應(yīng)點M落

在邊AD上（點M不與點重合），點C落在點N處，MN與CD交手點、P,折痕分別與邊AB,8交于

點瓦尸，連接私T（1）求證：/AMB=/BMP；⑵若DP=1,求VD的長.

例4.（2023春?江蘇宿遷?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形A3C。中，AB=6,BC=8.點。為矩形A3CD的

對稱中心，點E為邊A3上的動點，連接E。并延長交。于點孔將四邊形AEED沿著即翻折，得到四邊

形A'EED'，邊AE交邊BC于點G,連接。G、OC,貝UOGC的面積的最小值為（）

c.”7

例5.（2023春?遼寧撫順?八年級校聯(lián)考期中）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6,BC=10,點、E、G分別

在3C、AB上，將△DCE、一8￡G分別沿。區(qū)EG翻折，翻折后點C與點尸重合，點8與點尸重合.當A、

P、F、E四點在同一直線上時，線段G尸長為（）

8f7855rr

A.-V2B.-C.-D.-V2

3333

例6.（2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐

【問題情境】如圖1,小華將矩形紙片A3CD先沿對角線折疊，展開后再折疊，使點B落在對角線上,

點B的對應(yīng)點記為折痕與邊AD,BC分別交于點E,F.

【活動猜想】（1）如圖2,當點&與點。重合時，四邊形BED尸是哪種特殊的四邊形？答：.

【問題解決】（2）如圖3,當AB=4,AD=8,3尸=3時，求證：點A,B',C在同一條直線上.

【深入探究】（3）如圖4,當與BC滿足什么關(guān)系時，始終有與對角線AC平行？請說明理由.

（4）在（3）的情形下，設(shè)AC與所分別交于點。，P,試探究三條線段AP,B'D,政之間滿足

的等量關(guān)系，并說明理由.

圖I圖2圖3圖4

模型2.正方形中的翻折模型

【模型解讀】

例1.（2023?河南洛陽,統(tǒng)考二模）如圖，正方形ABCD的邊長為4,點尸為。邊的中點，點尸是AD邊上

不與端點重合的一動點，連接斯.將一尸沿8尸翻折，點A的對應(yīng)點為點E,則線段所長的最小值為（）

A.2近B.2石-4C.用D.3幣一2

例2.（2023?廣西玉林?統(tǒng)考模擬預測）如圖，在正方形ABCD的邊AB上取一點E,連接CE,將回BCE沿CE

翻折，點B恰好與對角線AC上的點F重合，連接OF,若BE=2,則回COF的面積是（）

D

例3.（2023?廣東九年級課時練習）如圖，正方形ASC。中，AB=6,點E在邊CD上，且CD=3QE.將VADE

沿AE對折至/XAEE,延長跖交邊BC于點G,連接AG、CF,則下列結(jié)論：@AABG^^AFG；②

ZAGB+4?=135。③5=3；@AG//CF；其中正確的有（填序號）.

例4.（2023?江蘇揚州?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知正方形A3C。的邊長為1,點E、/分別在邊AD、3c上，

將正方形沿著防翻折，點B恰好落在8邊上的點B'處，如果四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為305,

那么線段FC的長為.

例5.（2023?江蘇?統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐定義：將寬與長的比值為J2”'+1T（〃為正整數(shù)）的矩形

2"

稱為〃階奇妙矩形.（1）概念理解：當，=1時，這個矩形為1階奇妙矩形，如圖（1）,這就是我們學習過

的黃金矩形，它的寬（AD）與長（CD）的比值是.

（2）操作驗證：用正方形紙片A8CD進行如下操作（如圖（2））：

第一步：對折正方形紙片，展開，折痕為所，連接CE；

第二步：折疊紙片使8落在CE上，點。的對應(yīng)點為點展開，折痕為CG；

第三步：過點G折疊紙片，使得點A3分別落在邊AD、3c上，展開，折痕為GK.

試說明：矩形GOCK是1階奇妙矩形.

EBEB

.&H|~^H~I

DFC

圖⑴圖（2）圖（3）圖（4）

（3）方法遷移：用正方形紙片ABCD折疊出一個2階奇妙矩形.要求：在圖（3）中畫出折疊示意圖并作

簡要標注.（4）探究發(fā)現(xiàn)：小明操作發(fā)現(xiàn)任一個“階奇妙矩形都可以通過折紙得到.他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4）,

點E為正方形ABCD邊上（不與端點重合）任意一點，連接CE,繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步,

四邊形AGHE的周長與矩形GDCK的周長比值總是定值.請寫出這個定值，并說明理由.

模型3.菱形中的翻折模型

【模型解讀】

例L（2023?四川成都?模擬預測）如圖，在菱形ABCO中，NABC=120。，將菱形折疊，使點A恰好落在對

角線8D上的點G處（不與6、。重合），折痕為EF,若￡>G=2,BG=6,則BE的長為.

例2.（2023?安徽?統(tǒng)考一模）如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，回A=60。，點M是AD邊的中點，點N是

AB邊上一動點，將回AMN沿MN所在的直線翻折得至物A，MN,連結(jié)AC則A，C長度的最小值是（）.

A.近B.77-1C.招D.2

例3.（2023?山東棗莊?九年級校考階段練習）如圖，在菱形紙片ABCD中，AB=4,NA=60。，將菱形紙

片翻折，使點A落在8的中點E處，折痕為尸G,點尸，G分別在邊AB,AD上，則所的長為（）

7

C.一D.273

4

例4.（2023春?湖北十堰?八年級校聯(lián)考期中）如圖，在菱形紙片ABCD中，ZABC=60°,E是CD邊的中

點，將菱形紙片沿過點A的直線折疊，使點2落在直線AE上的點G處，折痕為AF,FG與CD交于點H,

有如下結(jié)論：①/CFH=30。；②DE=￡AE；③CH=GH；（4）5ABF：SW^AFCD=3：5,上述結(jié)論中，

所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②④B.①②③C.①③④D.①②③④

例5.（2023?浙江?九年級期末）對角線長分別為6和8的菱形ABCD如圖所示，點。為對角線的交點，過

點。折疊菱形，使8,夕兩點重合，MV是折痕.若？V=1,則CN的長為.

例6.（2023秋?重慶?九年級專題練習）如圖，在菱形ABCD中，BC=4,ZB=120。，點E是的中點，點

歹是AB上一點，以E歹為對稱軸將AH尸折疊得到△￡■中,以CE為對稱軸將-CDE折疊得到CHE,使得

點我落到EG上，連接AG.下列結(jié)論錯誤的是（）

A.ZCEF=9Q°B.CE//AGC.FG=1.6D.——=—

AB5

模型4.三角形中的翻折模型

【模型解讀】

例1.（2023?內(nèi)江九年級期中）如圖，在RtABC的紙片中，ZC=90°,AC=7,4B=25.點。在邊BC上,

以AD為折痕將"ADB折疊得到一，AB'與邊8c交于點E.若ADEB'為直角三角形，則BD的長是.

B'

例2.（2023年四川省成都市數(shù)學中考真題）如圖，在Rt^ABC中，ZABC=90°fCD平分NACB交于

AQ7

點O,過。作。石〃3c交AC于點E,將沿。石折疊得到。/交AC于點G.若==

GE3

例3.（2023?湖北襄陽,統(tǒng)考中考真題）如圖，在,.ABC中，AB=AC,點。是AC的中點，將BCD沿8。折

疊得到_5區(qū)＞,連接AE.若于點尸，BC=10,則AF的長為—.

例4.（2023糊北武漢?統(tǒng)考中考真題）如圖，DE平分等邊ABC的面積，折疊得到△口）￡AC分別

與。￡跖相交于G,"兩點.若DG=m,EH=n,用含私〃的式子表示GH的長是.

A

BEC

模型5.圓中的翻折模型（弧翻折必出等腰）

如圖，以圓。的一條弦BC為對稱軸將弧BC折疊后與弦AB交于點D,則CO=C4

例L（2022秋?浙江寧波?九年級?？计谀┤鐖D，。是ABC的外接圓，AB=BC=4,把弧A3沿弦AB

向下折疊交BC于點。，若點。為8c中點，則AC長為（）

A.1B.2C.2&D.布

例2.（2023,廣東廣州?統(tǒng)考一模）如圖，AB為。的直徑，點C為圓上一點，N54c=20。，將劣弧AC沿

弦AC所在的直線翻折，交A3于點。，則/ACD的度數(shù)等于（）.

A.40°B.50°C.80°D.100°

例3.（2023?浙江寧波?校考一模）如圖，。的半徑為4.將?。的一部分沿著弦翻折，劣弧恰好經(jīng)過圓

心。則這條劣弧的弧長為

例4.（2022春?湖北荊州?九年級專題練習）如圖，AB為。的直徑，將沿8C翻折，翻折后的弧交

sinNABC=@，則圖中陰影部分的面積為（）

于D若BC=4?,

5

"一2

C.8D.10

63

例5.（2023?河南商丘?統(tǒng)考二模）如圖，在扇形OSA中，4408=120。，點C,。分別是A?和。4上的點,

且CD〃03,將扇形沿8翻折,翻折后的4c恰好經(jīng)過點。.若=2,則圖中陰影部分的面積是

例6.（2023?吉林長春?統(tǒng)考模擬預測）如圖，在國。中，點C在優(yōu)弧AB上，將BC沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB

的中點D,連接AC,CD.則下列結(jié)論中錯誤的是（）

①AC=CD；②AD=BD；?AC+BD=BC;④CD平分團ACB

C.3D.4

例7.（2021?湖北武漢?統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是,：。的直徑，8C是。的弦，先將8C沿翻折交AB

于點￡）.再將30沿翻折交3c于點E.若BE=DE，設(shè)則。所在的范圍是（）

E

A.21.9°<a<22.3°B.22.3°<a<22.7°C.22.7°<tz<23.1°D.23.1°<a<23.5°

例8.（2022?江蘇揚州?統(tǒng)考一模）如圖，將回。沿弦A8折疊，使折疊后的弧恰好經(jīng)過圓心O,點尸是優(yōu)弧AAffi

上的一個動點（與A、8兩點不重合），若回。的半徑是2cm,則0Ap8面積的最大值是cm2

課后專項訓練

1.（2023?浙江?一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=6點E為。C的中點，點尸在BC上，連接AF,

將aAB尸沿AF翻折，使點8的對應(yīng)點恰為點E,則AF的長為（）

DEC

產(chǎn)-------------B

A.6B.空C.迪D.里

333

2.（2023年湖北省黃石市中考數(shù)學真題）如圖，有一張矩形紙片ABC。.先對折矩形A3CD,使AD與3C

重合，得到折痕跖，把紙片展平.再一次折疊紙片，使點A落在斯上，并使折痕經(jīng)過點8,得到折痕8M

，同時得到線段BN,MN.觀察所得的線段，若AE=1,則MN=（）

息2石

B.1D.2

,2亍

3.（2023?黑龍江?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標中，矩形ABCD的邊AD=5,Q4:OD=1:4,將矩

形ABC。沿直線OE折疊到如圖所示的位置，線段。，恰好經(jīng)過點8,點C落在y軸的點G位置，點E的坐

A.(1,2)B.C.(75-1,2)D.(1-^,2)

4.（2023?福建莆田?九年級?？计谀┤鐖D，在。中，點C在優(yōu)弧AB上，將弧8C沿8c折疊后剛好經(jīng)過A2

的中點。.若（。的半徑為5,AB=4出,則AC的長是（）

C-

a

B

5兀25%10萬

A.—B.------C.—D.4〃

243

5.（2022?浙江寧波?統(tǒng)考一模）如圖，A2是半徑為4的。的弦，且45=6,將A3沿著弦A3折疊，點C

是折疊后的上一動點，連接并延長8。交（。于點。，點E是。的中點,連接EO.則EO的最小值

6.（2023?遼寧盤錦?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=衣，3C=6.點E為邊BC的中

點，點尸為邊AO上一點，將四邊形至跖沿M折疊，點A的對應(yīng)點為點A,點B的對應(yīng)點為點過點

夕作3月，3C于點X,若87f=20，則ED的長是

7.（2023?山東濟南?統(tǒng)考中考真題）如圖，將菱形紙片A3CD沿過點C的直線折疊，使點。落在射線C4上

的點E處，折痕CP交AD于點尸.若NABC=30。，AP=2,則PE的長等于

8.（2023?山東淄博?統(tǒng)考一模）如圖所示，有一塊直角三角形紙片，ZC=90°,AC=4cm,BC=3cm,將斜

邊A3翻折，使點8落在直角邊AC的延長線上的點E處，折痕為AD,則OE的長是

E

9.（2023秋?四川雅安?八年級統(tǒng)考期末）在Rt^ACB中，/ACB=90。，點D在邊上，連接。，將△ADC

沿直線C。翻折，點A恰好落在BC邊上的點￡處，若AC=6,BE=2,則DE的長是.

10.（2023?湖北宜昌?統(tǒng)考中考真題）如圖，小宇將一張平行四邊形紙片折疊，使點A落在長邊CD上的點A

處，并得到折痕QE,小宇測得長邊8=8,則四邊形的周長為.

11.（2023?新疆?統(tǒng)考中考真題）如圖，在YABCD中，AB=6,BC=8,NABC=120。，點E是上一動

點，將ABE沿座折疊得到ABE，當點A，恰好落在EC上時，￡>￡■的長為.

12.（2023春?浙江寧波?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=7cm,BC=8cm,現(xiàn)將矩形沿用

折疊，點C翻折后交AB于點G,點。的對應(yīng)點為點X,當8G=4cm時，線段G/的長為cm.

人H

FD

13.（2023春?安徽安慶?九年級校聯(lián)考階段練習）如圖,長方形ABCD沿著對角線BD翻折，點C落在點C'處,

與AD相交于點E,若AB=3,AE=1,則BC的長為.

14.（2023春?湖北武漢?八年級?？茧A段練習）如圖（1）,在等腰直角三角形紙片ABC中，？390?,AB=2,

點。，E分別為AB,8C上的動點，將紙片沿DE翻折，點B的對應(yīng)點3'恰好落在邊AC上，如圖（2）,再

將紙片沿翻折，點C的對應(yīng)點為C',如圖（3）.當DB'E,△3'CE的重合部分（即陰影部分）為直角

三角形時，CE的長為______.

C'

圖⑴圖⑵圖⑶

15.（2022?浙江嘉興?統(tǒng)考中考真題）如圖，在扇形AOB中，點C,。在A臺上，將CD沿弦8折疊后恰好

與。4,相切于點E,F.已知ZAOB=120。，Q4=6,則爐的度數(shù)為;折痕的長為.

D

16.（2023?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題）如圖，Q的半徑為2cm,AB為。的弦，點C為AB上的一點,

將AB沿弦A3翻折，使點C與圓心。重合，則陰影部分的面積為.（結(jié)果保留萬與根號）

17.（2023?湖北?統(tǒng)考中考真題）如圖，將邊長為3的正方形ABCD沿直線所折疊，使點B的對應(yīng)點M落

在邊AD上（點M不與點4。重合），點C落在點N處，MN與CD交于點P,折痕分別與邊AB,CO交于

點瓦尸，連接.⑴求證：ZAMB=ZBMP；（2）若￡）尸=1,求MD的長.

18.（2023?寧夏?統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐

問題背景：數(shù)學小組發(fā)現(xiàn)國旗上五角星的五個角都是頂角為36。的等腰三角形，對此三角形產(chǎn)生了極大興趣

并展開探究.探究發(fā)現(xiàn)：如圖1,在ABC中，ZA=36°,AB=AC.

（工）操作發(fā)現(xiàn)：將ABC折疊，使邊BC落在邊胡上，點C的對應(yīng)點是點E,折痕交AC于點D,連接DE,

DB,則N3DE=°,設(shè)AC=1,BC=x,那么AE=（用含》的式子表示）；

（2）進一步探究發(fā)現(xiàn)：昌些=苴二1,這個比值被稱為黃金比.在（1）的條件下試證明：昌仁=避二1；

腰AC2腰AC2

拓展應(yīng)用：當?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時，這個三角形叫黃金三角形.例如，圖1中的，ABC是

黃金三角形.如圖2,在菱形A3CD中，ZBAD=12°,AB=l.求這個菱形較長對角線的長.

19.(2023秋?山西?九年級專題練習)綜合與實踐:

在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學活動.

在矩形A3CD中，E為A2邊上一點，/為AD邊上一點，連接CE、CF,分別將，3CE和一CDP沿CE、CF

翻折，點。、8的對應(yīng)點分別為點G、H,且C、H、G三點共線.

圖2備用圖

(1)如圖1,若F為AZ)邊的中點，AB=3C=6,點G與點H重合，貝U/ECT=0,BE=

(2)如圖2,若尸為AD的中點，CG平分NEb,AB=&+1，BC=2,求/ECF的度數(shù)及BE的長;

(3)AB=5,AD=3,若尸為AC的三等分點，請直接寫出8E的長.

20.（2022?廣西南寧?統(tǒng)考三模）綜合實踐：在數(shù)學綜合實踐課上，第一小組同學展示了如下的操作及問題：

如圖1,同學們先畫出半徑為10cm的。一將圓形紙片沿著弦A3折疊，使對折后劣弧A3恰好過圓心。一

同學們用尺子度量折痕A3的長約為18cm,并且同學們用學過的知識驗證度量的結(jié)果是正確的.

驗證如下：如圖L過點。?作于點/，并延長。1廠交虛線劣弧于點E,0AB=2AF,

由折疊知，EF=O1F=1oiE=1xl0=5（cm）,連接。①，在放叢中，。伊=10,

根據(jù)勾股定理得，AF=JqT-oF="02-52=573（cm）,

回A8=2.AF=10A/3B10x1.732=17.732（cm）,

通過計算：17.732?18,同學們用尺子度量折痕AB的長約為18cm是正確的.

請同學們進一步研究以下問題：

⑴如圖2,。2的半徑為10cm,A3為。2的弦，O￡_LAB,垂足為點C,劣弧A3沿弦AB折疊后經(jīng)過

的中點P,求弦A3的長（結(jié)果保留根號）；（2）如圖3,在IQ中劣弧AB沿弦A3折疊后與直徑CB相交于點

Q,若CQ=8cm,BQ=12cm,求弦AB的長（結(jié)果保留根號）.

專題37圖形變換模型之翻折（折疊）模型

幾何變換中的翻折（折疊、對稱）問題是歷年中考的熱點問題，試題立意新穎，變幻巧妙，主要考查

學生的識圖能力及靈活運用數(shù)學知識解決問題的能力。

涉及翻折問題，以矩形對稱最常見，變化形式多樣。無論如何變化，解題工具無非全等、相似、勾股

以及三角函數(shù)，從條件出發(fā)，找到每種對稱下隱藏的結(jié)論，往往是解題關(guān)鍵。本專題以各類幾個圖形（三

角形、平行四邊形、菱形、矩形、正方形、圓等）為背景進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

【知識儲備】

翻折和折疊問題其實質(zhì)就是對稱問題，翻折圖形的性質(zhì)就是翻折前后圖形是全等的，對應(yīng)的邊和角都是相

等的。以這個性質(zhì)為基礎(chǔ)，結(jié)合三角形、四邊形、圓的性質(zhì)，三角形相似，勾股定理設(shè)方程思想來考查。

解決翻折題型的策略：

1）利用翻折的性質(zhì)：①翻折前后兩個圖形全等；②對應(yīng)點連線被對稱軸垂直平分；

2）結(jié)合相關(guān)圖形的性質(zhì)（三角形，四邊形等）；3）運用勾股定理或者三角形相似建立方程。

模型1.矩形中的翻折模型

【模型解讀】

例L（2023?遼寧鞍山?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，矩形AO3C的邊Q4分別在x軸、

》軸正半軸上，點。在3C邊上，將矩形AOBC沿折疊，點C恰好落在邊OB上的點E處.若。4=8,

03=10,則點。的坐標是.

【答案】（10,3）

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出AE=AC=10,在RtAAOE中，勾股定理求得OE=6,進而得出3E=4,在

RJD3E中，勾股定理建立方程，求得8。的長，即可求解.

【詳解】解：團四邊形AOBC是矩形，0AC=OB=1O,

團折疊，回鉆=AC=10,在Rt^AOE中，OE=y/AE^AO1=7102-82=6

^\EB=OB-OE=10-6=4,^DB=m,則CD=8—m，

回折疊，SDE=CD=8-m,在RtaDEB中,DE2=EB1+BD2，

0（8—?z）2=m2+42,解得:“7=3,0DB=3,回￡）的坐標為（10,3）,故答案為:（10,3）.

【點睛】本題考查矩形與折疊，勾股定理，坐標與圖形，熟練掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

例2.（2023春?江蘇泰州?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABC。中，AB=3,BC=8,E是BC的中點，將.ABE

沿直線AE翻折，點落B在點尸處，連結(jié)CP,則CF的長為（）

F

AD

B~EC

3225

A.6B.—C.375D.

5T

【答案】B

【分析】連接BF交AE于點H,根據(jù)三角形的面積公式求出3”,得到8尸，根據(jù)直角三角形的判定得到

NBFC=90°,根據(jù)勾股定理求出答案.

【詳解】解：連接所交AE于點H,

，將.ABE沿直線AE翻折，點落8在點尸處，

，點6、P關(guān)于AE對稱，=BF1AE,BC=8,點E為3C的中點，:.BE=4,

________________3x41224

又一A6=3,\AE^\lAB2+BE2=732+42=5>'=—=則2尸=三，

JJD

_________I,4OQ

FE=BE=EC,.'.ZBFC=90°,CF=A/BC2-BF2=J82-(y)2=y.故選：B.

【點睛】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前

后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

例3.(2023?湖北?統(tǒng)考中考真題)如圖，將邊長為3的正方形ABCD沿直線所折疊，使點8的對應(yīng)點加落

在邊AD上(點M不與點AD重合)，點C落在點N處，MN與CD交于點、P,折痕分別與邊AB,CO交于

點、E,F,連接⑴求證：ZAMB=ZBMP；(2)若。尸=1,求MD的長.

【答案】⑴證明見解析⑵=不

【分析】（1）由折疊和正方形的性質(zhì)得到N￡7WP=NEBC=9O。，EM=EB,則N￡MB=N￡BM,進而證明

ZBMP=ZMBC,再由平行線的性質(zhì)證明ZAMB=ZMBC即可證明ZAMB=NBMP；

（2）如圖，延長MN,BC交于點Q.證明△DMPsac。尸得到QC=2A?,QP=2MP,

設(shè)=，則QC=2x,3Q=3+2x.由=得到MQ=8Q=3+2x.則==.由

勾股定理建立方程x2+l2=（主守j，解方程即可得到AlD=y.

【詳解】（1）證明：由翻折和正方形的性質(zhì)可得，NEMP=NEBC=90。,EM=EB.

^ZEMB=ZEBM.國NEMP-NEMB=NEBC-NEBM,即NBMP=NMBC,

回四邊形ABCD是正方形，E1AD//BC.B1ZAMB=ZMBC.田NAMB=NBMP.

（2）解:如圖，延長跖V,BC交于點Q.^\AD//BC,^ADMP^ACQP.

?-,、…，MDMPDP1

又團￡>P=1,正方形ABC。邊長為3,^CP=2^——=—T=-^r=—,

[?]QC=2MD,QP=2MP,設(shè)MD=x,貝iJQC=2x,團5。=3+2%.

13+2x

?NBMP=ZMBC,^ZBMQ=ZMBQ,團MQ=BQ=3+2x.^\MP=-MQ=-^-.

22222

在Rt^DMP中，MD+DP=MP,0x+l=f^^"|.解得：占=0（舍），x2=y.0M￡>=y.

【點睛】本題主要考查了正方形與折疊問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股

定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

例4.（2023春?江蘇宿遷?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形A8CD中，AB=6,BC=8.點。為矩形ABC。的

對稱中心，點E為邊上的動點，連接E。并延長交。于點孔將四邊形但D沿著跖翻折，得到四邊

形A'EED'，邊AE交邊BC于點G,連接。G、OC,貝UOGC的面積的最小值為（）

A.18-3B.2+3近C.12一D.6+”■

222

【答案】D

【分析】在胡上截取EM=EG,連接。M,證明JWO￡9GOE,所以加=OG,即可得ON最短時，OG

也就最短，而當時，最短，且QW=4=OG,再過點。作得OH=3,又因為OC=5,

就可以根據(jù)勾股定理計算GH、HC的長，從而計算出最小面積.

【詳解】解：在E4上截取EM=EG,連接QW,

由折疊得：ZMEO=Z.GEO,又?.EO=EO,；4MOE%-GOE（SAS）,

;.OM=OG,二切最短時，OG也就最短，而當時，?！ㄗ疃?，

此時，點。為矩形ABCD的對稱中心，.一.O"=j3C=4=OG,即。G的最小值是4,

在,OGC中，?點。為矩形ABCD的對稱中心，

J.OC長度是矩形對角線長度的一半，即是5,定值，N3CO度數(shù)也不變，是定值，

.,.當OG=4最小值時，AOGC面積最小.過點。作

???點。為矩形A8CD的對稱中心，OH=|AB=3,

.〔RtOG”中，GH=y/OG2-OH2=742-32=77，

RtO”C中，HC=>JOC2-OH2=>/52-32=4，:.GC=GH+HC=+4,

.「OGC面積的最小值是；xGCxOH=gxG/7+4）x3=#+6.故選：D.

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及垂線段最短等知識，解題關(guān)鍵是找到OG最小值.

例5.（2023春?遼寧撫順?八年級校聯(lián)考期中）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6,3c=10,點E、G分別

在3C、AB上，將ADCE、.3EG分別沿DE、EG翻折，翻折后點C與點尸重合，點B與點尸重合.當4

尸、F、E四點在同一直線上時，線段GP長為（）

【答案】B

【分析】據(jù)矩形的性質(zhì)得到CD=AB=6,AD=BC=10,ZB=NC=90。，據(jù)折疊的性質(zhì)得到叱=8=6,

EF=CE,NOEE=NC=NOE4=90。，根據(jù)勾股定理得到AF=8,設(shè)EF=CE=x,由勾股定理列方程得

到AE=10,BE=8,由折疊的性質(zhì)得到PG=3G,ZAPG=NEPG=NB=90。,PE=BE=8,求得

AP=AE-PE=2,設(shè)尸G=BG=y,則AG=6-y,據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論.

【詳解】解：在矩形紙片A3CD中，AB=6,3c=10,SCD=AB=6,AD=BC=10,ZB=ZC=90P,

團將△￡）€￡沿DE翻折，翻折后點C與點斤重合，

0DF=CD=6,EF=CE,ZDFE=ZC=ZDFA=90°,AFylAD2-DF2=V102-62=8,

設(shè)EF=CE=x,SBE=10-x,AE=8+x,

SAB2+BE2=AE2，062+（lO-.r）2=（8+x）2,解得：x=2,EAE=10,BE=8,

團將“BEG沿EG翻折，翻折后點8與點P重合，

13PG=BG,ZAPG=NEPG=NB=90。,PE=BE=8,回AP=AE—PE=2,設(shè)PG=BG=y,貝|AG=6-y,

oQ

AG2=AP2+PG-,E（6-y）2=22+/,ffly=-,回線段GP長為屋故選：B.

【點睛】本題考查翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)勾股定理列方程是解題關(guān)鍵.

例6.（2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐

【問題情境】如圖1,小華將矩形紙片A3CD先沿對角線3。折疊，展開后再折疊，使點B落在對角線3D上，

點2的對應(yīng)點記為玄，折痕與邊AD,8C分別交于點E,F.

【活動猜想】（1）如圖2,當點8'與點。重合時，四邊形BED尸是哪種特殊的四邊形？答：.

【問題解決】（2）如圖3,當AB=4,45=8,3尸=3時，求證：點A,B',C在同一條直線上.

【深入探究】（3）如圖4,當A3與BC滿足什么關(guān)系時，始終有A?與對角線AC平行？請說明理由.

（4）在（3）的情形下，設(shè)AC與BD,E尸分別交于點。，尸，試探究三條線段”，B'D,石廠之間滿足

的等量關(guān)系，并說明理由.

【答案】（1）菱形；（2）證明見解答；（3）BC=y[3AB,證明見解析；（4）?EF=2（AP+B'D）,理由見解

【分析】（1）由折疊可得：EF±BD,OB=OD,再證得△8FO用ADEaASA）,可得OE=O尸，利用菱形的

判定定理即可得出答案;（2）設(shè)收與BD交于點、M,過點？作8K，BC于K,利用勾股定理可得BD=4#,

再證明△班可求得BM=W，進而可得BB，=為叵，再由△BBKs/XBDC,可求得8，K=q,

BK=g,CK=BC-BK=8-=^,運用勾股定理可得B,C=4,運用勾股定理逆定理可得"笈尸=90。，

進而可得ZAB'F+ZCB'F=90。+90。=180。，即可證得結(jié)論；

（3）設(shè)/。!B=NOBA=（z,則/。3。=90。一打，利用折疊的性質(zhì)和平行線性質(zhì)可得：ZAB'B=ZAOB=a,

再運用三角形內(nèi)角和定理即可求得夕=60。，利用解直角三角形即可求得答案；

（4）過點E作EGL3C于G,設(shè)EF交BD于H,設(shè)AE=?i,EF=n,利用解直角三角形可得

B'D=BD-BB'=y/3n--j3（m+-ri）=—n-^3m,AP=2AEcos30°=s/3m,即可得出結(jié)論.

22

【詳解】解：（1）當點8'與點。重合時，四邊形是菱形.

理由：設(shè)E尸與3。交于點。，如圖，

由折疊得：EF1.BD,OB=OD,:.ZBOF=ZDOE=90°,

四邊形ABC。是矩形，:.AD//BC,:.ZOBF=ZODE,

:.ABFO%△DEO(ASA),二OE=O尸，，四邊形BEER是菱形.故答案為：菱形.

(2)證明：?四邊形ABCD是矩形，AB=4,AD=8,BF=3,:.BC=AD=8,CD=AB=4,/BCD=90。,

:.CF=BC-BF=8-3=5,-,BD=^BC2+CD1=荷+不=4芯,

如圖，設(shè)EF與BD交于點、M,過點B作HKd.3c于K,

由折疊得：ZAB'F=ZABF=ZBMF=ZB'MF=90°,B'F=BF=3,BB'=2BM,:.ZBMF=ZBCD,

BMBF口口BM36J512J5

NFBM=ZDBC,..ABFMs/XBDC,「.——=——,BR—=—?=,:.BM=-,.W=」一,

BCBD84A/555

B，KBKBB'

/RKR'=/BCD,/R'RK-/DRC,ABB'/\BDC,-----二-,即BKBK5,

0。BCBD『『而

BX=y,BK==^~,:.CK=BC-BK=8-=^-,B'C=^B'K2+CK2=J(y)2+(y)2=4,

B'F2+B'C2=32+42=25,CF2=52=25,B'F2+B'C2=CF2,:.ZCB'F=90°,

ZAB'F+ZCB'F=90°+90°=180°,.,.點4,B',C在同一條直線上.

(3)當8C=gAB時，始終有A9與對角線AC平行.

理由：如圖，設(shè)AC、BD交于點、O,

四邊形ABCD是矩形，:.OA=OB,ZOBA+ZOBC=90°,:.NOAB=NOBA,

^ZOAB=ZOBA=a,則/。3。=90。一口，由折疊得：ZAB'F=ZABC=90°,B'F=BF,

ZBB'F+ZAB'B=90°,ZBB'F=ZOBC=90°-<z,ZAB'B=ZOBA=a,

A'B//AC,:.ZABB=ZAOB=a,ZOAB+ZOBA+ZAOB=180°,

.,.c+&+&=180。，即3a=180°,/.?=60°,/.ABAC=60°,「.——=tanZBAC=tan60°=V3,:.BC=,AB;

AB

(4)6EF=2(AP+B，D),理由如下：如圖，過點E作EG_LBC于G,設(shè)EF交BD于H,

由折疊得：EF±BD,B'F=BF,ZBFE=ZB'FE，設(shè)AE=〃z,EF=n,

由(3)得：ZBAC=6O0=ZABD,ZBB'F=ZDBC=30°,:.ZBFE=ZB'FE=60°,

:.EG=EF-sm60°=—n,FG=EFcos600=-n,ZEAB=ZABG=ZBGE=90°,

22

，四邊形ABGE是矩形，.?.A8=EG=@〃，BG=AE=m,AD//BC,

2

BF=B'F=m+—n,BH=BF-cos30°=(jn+—ri),BB'=2BH='fi(jn+—ri),

2222