2024年中考數(shù)學(xué)題型突破：綜合探究題之非動(dòng)態(tài)探究題（專項(xiàng)訓(xùn)練）

類型一非動(dòng)態(tài)探究題（專題訓(xùn)練）

1.（2023?湖北宜昌?統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E,歹分別是邊AD,ABh

的點(diǎn)，連接CE,EF,CF.

⑴若正方形ABCD的邊長為2,E是AO的中點(diǎn).

①如圖1,當(dāng)/萬EC=90。時(shí)，求證：△AEFSADCE；

2

②如圖2,當(dāng)tanZFC￡=§時(shí)，求AF的長;

（2）如圖3,延長CP,D4交于點(diǎn)G,當(dāng)6￡=。￡,411//^￡=；時(shí)，求證：AE=AF.

【答案】（1）①詳見解析；②AF=?

（2）詳見解析

【分析】（1）①由NADC=N54D=NEEC=90。，證明NAEF="CD,可得結(jié)論；②如圖,

「歹「HFH

延長DA,CF交于點(diǎn)G作GH±CM垂足為",證明ACEDsAGEH，可得不一="

CECDED

可得。石=石，設(shè)即=m,GH=2m,EG=可得tan/FCE=^^=2m=，,可得

CHy/5+m3

m=—,可得EG=6m=9,證明△AGFS^DGC,可得生=竺，從而可得答案;

22DGDC

（2）如圖，延長CE,作G//LCE,垂足為X,證明△CEDsAGEH,設(shè)

AD=CD=a,GE=DE=t,EH=x,GH=y,CE=n,可得苫=匚y=—,由sin//CE=！，可

nn3

彳導(dǎo)tan/FCE=盅,可得2缶由1=產(chǎn)+/可得/_2后〃+2/=。，可得

a=\flt，證明△AG尸s/\DGC,可得---=---，AF=必4——=a———=a—――=a—t,

DGDCIt2t2t

從而可得答案.

【詳解】（1）解：如圖,

正方形A5CD中，CD=AD=2,

①ZADC=ZBAD=Z.FEC=90°,

ZAEF+ZCED=90°=ZCED+ZDCE,

:.ZAEF=ZECD,

.-.△AEFs^DCE,

②如圖，

延長DA,CP交于點(diǎn)G,

作GH_LCE,垂足為X,

?/ZEDC=NEHG=90°且NCED=NGEH,

:ACEDsAGEH,

GEGH_EH

~CE~~CD~~ED

-.-CD=2,DE=1,

CE=5

方法一：設(shè)EH=m,

.GEGHm

?飛—2—\

：.GH=2m,EG=y/5m,

-一GH2m2

-,-^CHG^,tanZFCE=—==-

m=——，

2

:.EG=45m=-

2f

2

方法二：在Rt^GHE1中，由tan/尸?！?一，設(shè)GH=2n,CH=3n,

3

3n-j52nGE

1一2一逐'

2

:.GE=&="

2

又Z.GAF=Z.GDC=90°且ZAGF=ZDGC,

.?△AGFsADGC,

AGAF

DG-DC

37

-:-=AF:2,

22

AF=-

7

延長CE,作GHLCE,垂足為X,

ZEDC=ZEHG=90。且ZCED=NGEH,

:ACEDsAGEH,

l^AD=CD=a,GE=DE=t,EH=x,GH=y,CE=n,

??——，

tan

t2at

x=—,y——,

nn

在RtZkCHG中，sinZFCE=-,

3

二.tan/FCE=—尸.

2V2

.y二i

x+n2A/2'

2垃y=x+n,

26att2

/.--------=——F〃，

nn

=/+/，

222

???在RRCDE中，n=t+a,

/.2yf2at=?+〃+〃2,

a?-2\/^成+2t2=0，

，(Q-V2/)2=0,貝！JQ=y/2t，

又?.?ZGAF=ZGDC=90°且ZAGF=ZDGC,

:.AAGFs/\DGC,

.AG_AF

,DG~DC

AF_2t-a

a2t

人尸二〃（2,一。）a22t2

=ci-----=a------=Q-t，

一_2tIt2t

?：AE=a-t,

:.AE=AF.

【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三

角函數(shù)的應(yīng)用，本題計(jì)算量大，對(duì)學(xué)生的要求高,熟練的利用參數(shù)建立方程是解本題的關(guān)鍵.

2.（2021?四川省達(dá)州市）某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，對(duì)多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線

段做了如下探究:

【觀察與猜想】

（1）如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別是AB,AD上的兩點(diǎn)，連接DE,CF,DE1CF,則

署的值為

CF

(2)如圖2,在矩形ABCD中，AD=7,CD=4,點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，連接CE,BD,且CE1BD,

則黑的值為______;

DU

【類比探究】

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，ZA=NB=90。，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，連接DE,過點(diǎn)C作DE的垂

線交ED的延長線于點(diǎn)G,交AD的延長線于點(diǎn)F,求證：DE-AB=CF-AD；

圖3圖4

【拓展延伸】

(4)如圖4,在RtAABD中，ZBAD=90°,AD=9,tanzADB=將△ABD沿BD翻折，點(diǎn)A落

在點(diǎn)C處得ACBD,點(diǎn)E,F分別在邊AB,AD上，連接DE,CF,DE1CF.

①求籌的值;

②連接BF,若AE=1,直接寫出BF的長度.

解：(1)如圖1,設(shè)DE與CF交于點(diǎn)G,

???四邊形ABCD是正方形,

???zA=ZFDC=90°,AD=CD,

???DE1CF,

??.Z.DGF=90°,

???4ADE+ZCFD=90°,zADE+zAED=90°,

Z.CFD=Z.AED,

在4AED和ADFC中，

2A=ZFDC

ZCFD=ZAED,

AD=CD

.-.AAED^ADFC(AAS),

??.DE=CF,

DEy

???一=1;

CF

(2)如圖2,設(shè)DB與CE交于點(diǎn)G,

圖2

???四邊形ABCD是矩形，

???NA=zEDC=90°,

vCE1BD,

??.Z.DGC=90°,

Z.CDG+ZECD=90°,zADB+Z.CDG=90°,

Z.ECD=Z.ADB,

???Z.CDE=zA,

???△DEC^AABD,

.CE_DC_4

??BD-AD-7’

故答案為：

(3)證明：如圖3,過點(diǎn)C作CH1AF交AF的延長線于點(diǎn)H,

G

D

H

圖3

,*,CG_LEG,

Z.G=zH=Z.A=Z.B=90°,

???四邊形ABCH為矩形，

??.AB=CH,ZFCH+ZCFH=zDFG+zFDG=90°,

???Z.FCH=ZFDG=ZADE,zA=zH=90°,

DEA^ACFH,

?D?E—_AD，

CFCH

DE_AD

"CF-AB*

???DEAB=CFAD；

(4)①如圖4,過點(diǎn)C作CGIAD于點(diǎn)G,連接AC交BD于點(diǎn)H,CG與DE相交于點(diǎn)0,

圖4

vCF1DE,GC1AD,

??.ZFCG+ZCFG=ZCFG+zADE=90°,

??.Z.FCG=ZADE,ZBAD=zCGF=90°,

???△DEA0°ACFG,

DE_AD

"CF-CG?

-i

在RtAABD中，tanzADB=AD=9,

???AB=3,

在RtAADH中，tanNADH=（,

.AH_1

"DH-3，

設(shè)AH=a,貝!|DH=3a,

???AH2+DH2=AD2,

???a2+（3a）2=92,

.?.a=^VT6（負(fù)值舍去），

AH=—V10,DH=—V10,

1010

AC=2AH=|V10,

11

??,SAADC.AC.DH.AD.CG，

???-x-VlOx—V10=-x9CG,

25102

??.CG=27g

.DE_AD_9_5

"CF-CG———3;

5

@vAC=|V10,CG=暫,zAGC=90°,

AG=VAC2-CG2=J（^VTo）2-（^）2=

由①得：△DEASACFG,

CF_FG

??—，

DEAE

-T-7DE5.?

又,辛=7AE=I，

??.FG=I，

g3A

AF=AG-FG=J-I=p

BF=VAB2+AF2=J32+（§2=|V29.

3.（2023?甘肅武威.統(tǒng)考中考真題）【模型建立】

（1）如圖1,AABC和ABDE都是等邊三角形，點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)尸在8。邊上.

①求證：AE=CD-

②用等式寫出線段AD,BD,的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【模型應(yīng)用】

(2)如圖2,AA6C是直角三角形，AB^AC,CDLBD,垂足為。，點(diǎn)C關(guān)于AO的對(duì)稱

點(diǎn)尸在8。邊上.用等式寫出線段AD,BD,DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【模型遷移】

(3)在(2)的條件下，若4。=4夜，BD=3CD,求cos/AEB的值.

【答案】(1)①見解析；?AD=DF+BD,理由見解析；(2)五AD=DF+BD，理由見

解析；(3)/

【分析】(1)①證明：ZABE=ZCBD,再證明A4BE三△CBD(SAS)即可；②由。尸和DC

關(guān)于AD對(duì)稱，可得DP=DC.證明從而可得結(jié)論；

(2)如圖，過點(diǎn)8作于點(diǎn)E,得/BED=90。,證明=NADC=45。，

ZEBD=45°.可得?！?也2。，證明=,ZABE=ZCBD,可得

22

sinZABE^sinZCBD,則AE-3C=CD-AB,可得AE=^CD,從而可得結(jié)論；

2

(3)由8。=3。=3。f，Pi^y/2AD=DF+3DF=4DF，結(jié)合AD=40,求解

DF=DC=2,BD=6,如圖，過點(diǎn)A作四J.BD于點(diǎn)//.可得HF=；BF=2,

BC=dGS=2而,可得AP=AC=￥BC=2百，再利用余弦的定義可得答案.

【詳解】(1)①證明：和ABDE都是等邊三角形，

AAB=BC,BE=BD,ZABC=ZEBD=60°,

：.ZABC-ZCBE=NEBD—/CBE,

：.ZABE=ZCBD,

：.AABE三△CBO(SAS).

AE=CD.

A

②AD=DF+BD.理由如下：

???。尸和OC關(guān)于AD對(duì)稱，

：.DF=DC.

;AE=CD,

/.AE=DF.

???AD=AE+DE=DF+BD.

（2）6AD=DF+BD.理由如下：

如圖，過點(diǎn)與作BELAD于點(diǎn)石，得NBED=90。.

??,。齊和。。關(guān)于AD對(duì)稱，

DF=DC,ZADF=ZADC.

丁CD工BD,

：.ZADF=ZADC=45°,

：.NEBD=45。.

???DE=—BD.

2

???"IBC是直角三角形，AB=AC,

???ZABC=45。，AB=—BC,

2

???ZABC-ZCBE=ZEBD-ZCBE,

ZABE=NCBD,

：.sinZABE=sinZCBD,

.AECD

**AB-BC?

：?AEBC=CDAB,

AE=—CD.

2

AD=AE+DE=—CD+—BD=—DF+—BD，即后尸+8。.

2222

(3),:BD=3CD=3DF,

及AD=DF+3DF=4DF，

AD=40，

DF=DC=2,

：.BD=6.

如圖，過點(diǎn)A作A”_L5￡＞于點(diǎn)H.

/.HF=gBF=；(BD—DF)=2,

BC=xlBDr+CD1=V62+22=2M-

/.AF=AC=—BC=—x2^i0=2^5.

22

：.cosZAFB=—=^==—

AF2非5

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，軸

對(duì)稱的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的靈活應(yīng)用，本題難度較高，屬于中考?jí)狠S題，作出合適的輔助

線是解本題的關(guān)鍵.

4.（2021?湖北中考真題）問題提出如圖（1）,在△45。和^。石。中，

ZACB=ZDCE=90°,BC=AC,EC=DC,點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部，直線AT＞與HE交

于點(diǎn)p，線段AR,BF,Cb之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？

問題探究（1）先將問題特殊化.如圖（2）,當(dāng)點(diǎn)。，尸重合時(shí)，直接寫出一個(gè)等式，表

示AR,BF,CV之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）再探究一般情形.如圖（1）,當(dāng)點(diǎn)。，尸不重合時(shí)，證明（1）中的結(jié)論仍然成立.

問題拓展如圖（3）,在AA3c和ADEC中，ZACB^ZDCE=90°,BC=kAC,

EC=kDC（左是常數(shù)），點(diǎn)E在△A5C內(nèi)部，直線4。與3石交于點(diǎn)尸，直接寫出一個(gè)

等式，表示線段AR,BF,Cb之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）BF-AF=s[lCF-（2）見解析；問題拓展：BF-k-AF=\ll+k2CF-

【分析】

（1）先證明△BCEgZXACD,得到AF=BE,BF-BE=BF-AF=EF=4ICF；

（2）過點(diǎn)C作CGLCF交8E于點(diǎn)G,證明△ACD=z\BCE,AACF=ABCG,

△CGF是等腰直角三角形即可；利用前面的方法變?nèi)葹橄嗨谱C明即可.

【詳解】

問題探究（1）BF-AF=41CF■理由如下：如圖（2）,

BC

⑵

VZBCA=ZECF=90°,

ZBCE=ZACF,

VBC=AC,EC=CF,

△BCE^AACF,

/.BE=AF,

/.BF-BE=BF-AF=EF=-J2CF；

(2)證明：過點(diǎn)。作CGLCF交助于點(diǎn)G,則/FCG=NACB=90°,

：.ZBCG=ZACF.

VZACB=ZDCE=90°,

：.ZBCE=ZACD.

又：AC=JBC,DC=EC,

：.Z\ACD=ABCE,

ZCAF=ZCBG.

：.AACF=ABCG.

：.AF=BG,CF=CG,

/.ACGF是等腰直角三角形.

???GF=V2CF.

???BF-AF=BF-BG=GF=42CF-

問題拓展BF-k-AF=y/l+k2CF-理由如下:

VZBCA=ZECD=90°,

.?.ZBCE=ZACD,

VBC=kAC,EC=kCD,

/.△BCE^AACD,

ZEBC=ZFAC,

過點(diǎn)C作。交BE于點(diǎn)M,則NRCN=NACB=90。,

:.ZBCM=ZACF.

/.△BCM^AACF,

BM:AF=BC:AC=MC:CF=k,

；.BM=kAF,MC=kCF,

BF-BM=MF,MF=7MC2+CF2=yJk2CF2+CF2=y/l+k2CF

???BF-kAF=71T^CF-

【點(diǎn)睛】

本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì),

勾股定理，熟練掌握三角形全等的判定，三角形相似的判定，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?湖北武漢?統(tǒng)考中考真題）問題提出：如圖（1）,E是菱形ABCD邊BC上一點(diǎn)，AAEF

是等腰三角形，AE=EF,/但='。=。（。290。）,"'交8于點(diǎn)6,探究/GCF與a

的數(shù)量關(guān)系.

⑶

問題探究：

(1)先將問題特殊化，如圖(2),當(dāng)a=90。時(shí)，直接寫出/Gb的大小；

(2)再探究一般情形，如圖(1),求/GCF與a的數(shù)量關(guān)系.

問題拓展：

1DE1

⑶將圖(1)特殊化，如圖(3),當(dāng)。=120。時(shí)，若==求失的值.

CG2CE

【答案】(1)45。

3

(2)ZGCF=-a-90°

⑶些=2

CE3

【分析】(1)延長過點(diǎn)尸作FHLBC,證明AABE絲AB/TF即可得出結(jié)論.

(2)在48上截取AN,使AN=EC,連接7VE,證明"A/絲△￡1(￡,通過邊和角的關(guān)系

即可證明.

(3)過點(diǎn)A作8的垂線交8的延長線于點(diǎn)P,設(shè)菱形的邊長為3四，由(2)知，

ZGCF=1^-900=90°,通過相似求出。尸=還小即可解出.

【詳解】(1)延長5C過點(diǎn)尸作可，3。，

ZBAE-^-ZAEB=90°,

/FEH+ZAEB=900,

:?ZBAE=/FEH,

在^^!和AFHE中

ZABE=ZEHF

<ZBAE=ZFEH

AE=EF

；?△ABEgBHF,

:.AB=EH,

BE=FH,

；?BC=EH,

:.BE=CH=FH,

：.?GCF2FCH45?.

故答案為：45°.

(2)解：在A3上截取AN,使AN=EC,連接7VE.

???ZABC+ZBAE+ZAEB=ZAEF+ZFEC+ZAEB=180°,

ZABC=ZAEFf

:.ZEAN=ZFEC.

.?AE=EF,

:.AANE^AECF.

,\ZANE=ZECF.

???AB=BC,

:.BN=BE

,//EBN=a,

ZBNE=90°--a.

2

...Z.GCF=ZECF-ZBCD=ZANE—/BCD

(3)解：過點(diǎn)A作。。的垂線交。。的延長線于點(diǎn)尸，設(shè)菱形的邊長為3根,

DG_1

*CG~29

\DG=m,CG=2m,

在RUAftP中，

?.?？ADC1ABC120?,

:.ZADP=a）°,

aa

/.PD=—m,AP=-V3m.

22

3

?.?a=120。，由（2）知，ZGCF=-a-90°=90°.

2

-.-?AGP2FGC,

\△APSAFCG.

.AP_PG

'~CF~~CG'

—V3m—m

.2_____2，

CF2m

-_CF=-m,

5

在AB上截取AN,使4V=EC,連接AE,作BOLNE于點(diǎn)0.

由（2）知，AANE^AECF,

：.NE=CF,

?；AB=BC,

：.BN=BE,OE=EF=-EN=旦n.

25

ZABC=120°,

：.ZBNE=ZBEN=30°,

OF

Vcos30?—,

BE

BE=^m,.

9

\CE=-m

5

BE2

,CE-3,

P

BE

【點(diǎn)睛】此題考查菱形性質(zhì)、三角形全等、三角形相似，解題的關(guān)鍵是熟悉菱形性質(zhì)、三角

形全等、三角形相似.

6.（2021?浙江中考真題）（證明體驗(yàn)）

（1）如圖1,A。為AABC的角平分線，NADC=60°,點(diǎn)E在A5上，AE=AC.求

證：DE平分NADB.

（思考探究）

（2）如圖2,在（1）的條件下,F為A5上一點(diǎn)，連結(jié)尸C交AZ）于點(diǎn)G.若EB=bC,OG=2,

CD=3,求30的長.

（拓展延伸）

（3）如圖3,在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分N8A￡）,NBC4=2NOC4,點(diǎn)E在AC

上，/EDC=ZABC.若BC=5,CD=2&AD=2AE，求AC的長.

916

【答案】（1）見解析；（2）—：（3）一

23

【分析】

（1）根據(jù)SAS證明△EAD^MAD,進(jìn)而即可得到結(jié)論；

（2）先證明AEBDSAGCD,得變=匹，進(jìn)而即可求解；

CDDG

（3）在A5上取一點(diǎn)F,使得A^=AD,連結(jié)Cb,可得也從而得

△DCES/CF,可得J=—,/CED=/BEC,CE=4,最后證明△及⑦口.。,

BCCF

即可求解.

【詳解】

解：（1）：A￡＞平分N54C,

ZEAD^ZCAD,

?：AE=AC,AD=AD,

：.^EAD^CAD(SAS),

ZADE=ZADC=60°,

：.ZEDB=1800-ZADE-ZADC=60°,

：./BDE=/ADE，即平分NAD3；

(2)VFB=FC,

:.NEBD=/GCD,

；ZBDE=ZGDC^60°,

△EBDsAGCD)

.BDDE

"~CD~~DG'

,//\EAD^/\CAD,

：.DE=DC=3.

VDG=2,

(3)如圖，在AB上取一點(diǎn)F,使得AR=AD,連結(jié)CF.

,/AC平分NS4D,

Z.ZFAC=ZDAC

■：AC=AC,

：.^AFC^ADC(SAS),

/.CF=CD,ZACF=ZACD,ZAFC=ZADC.

VZACF+ZBCF=ZACB=2ZACD,

ZDCE=NBCF.

?：NEDC=NFBC,

ADCES^BCF，

—=—,ZCED=ZBFC.

BCCF

BC=5,CF=CD=2s/5，

：.CE=4.

?：ZAED=180°-ZCED=180°-ZBFC=ZAFC=ZADC,

又<ZEAD=￡DAC,

：.AEADS^DAC

.EAAD1

,?而一就一5'

AC=4AE,

AC=-CE=—.

33

【點(diǎn)睛】

本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造全等

三角形和相似三角形，是解題的關(guān)鍵.

7.(2023?山東?統(tǒng)考中考真題)(1)如圖1,在矩形ABCD中，點(diǎn)、E,歹分別在邊DC,BC

上，AEA.DF,垂足為點(diǎn)G.求證：AADE^^DCF.

圖1圖2圖3

【問題解決】

(2)如圖2,在正方形ABC。中，點(diǎn)E,尸分別在邊DC,BC上，AE=DF,延長2C到

點(diǎn)、H,使CH=DE,連接￡>〃.求證：ZADF=ZH.

【類比遷移】

(3)如圖3,在菱形ABCD中，點(diǎn)E,尸分別在邊DC,3C上，AE=DF=U,DE=8,

ZAED=6O°,求CP的長.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)3

【分析】(1)由矩形的性質(zhì)可得/42比=/。6=90。，則NCD尸+"尸C=90。，再由

AE±DF,可得4>GE=90。，則NCDF+/AED=90。，根據(jù)等角的余角相等得

ZAED=NDFC,即可得證；

(2)利用“HL”證明AADERDCF，可得DE=CF,由CH=DE,可得CF=S,利用“SAS”

證明ADCF4QC",^\\ZDHC=ZDFC,由正方形的性質(zhì)可得AD〃BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)，

即可得證；

(3)延長BC到點(diǎn)G,使CG=DE=8,連接。G,由菱形的性質(zhì)可得AD=DC,AD//BC,

則NADE=NDCG,推出AADE名ADCG(SAS),由全等的性質(zhì)可得NDGC=NAED=60。，

DG=AE,進(jìn)而推出ADFG是等邊三角形，再根據(jù)線段的和差關(guān)系計(jì)算求解即可.

【詳解】(1)證明：,??四邊形ABCD是矩形，

:.ZADE=ZDCF=90°,

ZCDF+ZDFC=90°,

AE±DF,

:.ZDGE=90°,

:.ZCDF+ZAED=90°,

:.ZAED^ZDFC,

.-.△ADE^ADCF；

(2)證明：,??四邊形ABC。是正方形，

:.AD=DC,AD//BC,ZADE=NDCF=90。,

:AE=DF,

...△AOE注△OC/(HL),

.?.DE=CF,

又「CH=DE,

CF=CH,

??,點(diǎn)H在5C的延長線上，

ZDCH=ZDCF=90°,

???DC=DC,

「.△DC尸也△OCH(SAS),

:.ZH=ZDFC,

???AD//BC,

■.ZADF=NDFC=ZH；

(3)解：如圖，延長BC到點(diǎn)G,使CG=OE=8,連接DG,

四邊形ABC。是菱形，

:.AD=DC,AD//BC,

:.ZADE=ZDCG,

.?.AADE%DCG(SAS),

:.ZDGC=ZAED=60°,DG=AE,

-.-AE=DF,

:.DG=DF,

是等邊三角形，

:.FG=FC+CG=DF=U,

.?.FC=ll-CG=ll-8=3.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似

三角形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)

并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

8.(2021?安徽中考真題)如圖1,在四邊形ABCD中，NABC=/BCD,點(diǎn)E在邊BC上，

且AE//CD,DE//AB,作CF//AD交線段AE于點(diǎn)F,連接BF.

(1)求證：AABF烏AEAD；

(2)如圖2,若AB=9,CD=5,ZECF=ZAED,求BE的長；

BF

(3)如圖3,若BF的延長線經(jīng)過AD的中點(diǎn)M,求一的值.

AAA

【答案】（1）見解析；（2）6；（3）1+72

【分析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及已知條件易證=NDCE=/DEC,即可得

AB=AE，￡＞石=￡）。；再證四邊形AFCD是平行四邊形即可得Ab=CD,所以Ab=。石，

根據(jù)SAS即可證得△ABF/△EAD；

（2）證明利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；

AJ5AEBE

（3）延長BM、ED交于點(diǎn)G.易證AABES^DCE,可得一=—=——；設(shè)CE=1,BE=x,

DCDECE

DC=DE=a,由此可得AB=AE=ta,AF=CD=a；再證明△MABZAMDG,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DG=A3=G;.證明AE45s△FEG,根據(jù)相似三角形的性

質(zhì)可得簽ABaaxBE

即-------E'解方程求得*的值,繼而求得工的值?

~EG6z(x-l)

【詳解】

(1)證明：?.?AE//CD,

:.ZAEB=/DCE；

■：DE//AB,

：.ZABE=ZDEC,N1=N2,

ZABC=ZBCD,

:.ZABE=ZAEB，ZDCE=ADEC,

..AB=AE,DE=DC,

'：AF//CD,AD//CF,

四邊形AFCD是平行四邊形

:.AF=CD

AF=DE

在即與△E4D中.

AB=EA

<Z1=Z2,

AF=ED

AABF^AEAD(SAS)

(2)-.AABF^/\EAD,

:.BF=AD,

在OAFCD中，AD=CF,

；.BF=CF,

:.ZFBC=ZFCB,

又?.?NbCB=N2,N2=ZL,

；.NFBC=N1,

在ZXEBF與AEAB中.

NEBF=Z1

<ZBEF=ZAEB'

:.△ERFS^FAR：

.EB_EF

"~EA~~EB''

?.?AB=9,

:.AE=9；

?:CD=5,

:.AF=5；

:.EF=4,

.EB4

??一,

9EB

，BE=6或一6(舍)；

(3)延長BM、ED交于點(diǎn)G.

?.?△ABE與△￡>€￡均為等腰三角形，ZABC=ZDCE,

^ABE^ADCE,

AB_AEBE

'~DC~~DE~~CE'

設(shè)CE=1,BE=x,DC=DE=a,

則AB=AE=ax,AF=CD-a,

EF=a(x-l),

-.AB//DG,

.?.N3=NG；

在與△MDG中，

N3=NG

<Z4=Z5,

MA=MD

/\MAB^^MDG(AAS)；

DG=AB=ax.

EG=a(x+l)；

ABIIEG,

.?.△FABSNEG,

,FAAB

,FE-EG；

a_ax

,?，

6Z(X-1)〃(x+l)

/.x(x-l)=x+l,

%?—2九—1=0，

/.(X-1)2=2,

x=l±y[2，

=1—^/2(舍)，x2=1+V2,

.?岑=1+0.

EC

【點(diǎn)睛】

本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)及判定、相似三角形的性質(zhì)及判定，熟練判

定三角形全等及相似是解決問題的關(guān)鍵.

9.(2023?黑龍江?統(tǒng)考中考真題)如圖①，AASC和VADE是等邊三角形，連接。C,點(diǎn)孔

G,H分別是QE,。。和2C的中點(diǎn)，連接FG,FH.易證：FH=&G.

若MBC和V4宏都是等腰直角三角形,且ZBAC=ZDAE=90。，如圖②:若和VADE

都是等腰三角形，且N54c=皿場(chǎng)=120。，如圖③：其他條件不變，判斷打/和FG之間

的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并利用圖②或圖③進(jìn)行證明.

A

M工

A_7口

BHCBHCBHC

圖①圖②圖③

【答案】圖②中尸〃=血打？，圖③中F"=/G,證明見解析

【分析】圖②：如圖②所示，連接加，HG,CE,先由三角形中位線定理得到

FG//CE,FG=-CE,GH//BD,GH=-BD,再證明△3)四△ACE得到

22

CE=BD,NACE=NABD,則FG="G,進(jìn)一步證明N尸GH=90。，即可證明△HG尸是等

腰直角三角形，則尸8=忘/G;

圖③：仿照?qǐng)D②證明△〃G尸是等邊三角形，則FH=FG.

【詳解】解：圖②中W=志尸G，圖③中EF/=BG,

圖②證明如下：

如圖②所示，連接3DHG,CE,

:點(diǎn)EG分別是DE,DC的中點(diǎn)，

，F(xiàn)G是ACDE的中位線，

/.FG//CE,FG=、CE,

2

同理可得GH〃3DGH^-BD,

2

?/AASC和VADE都是等腰直角三角形，且Na4C=NZME=90。，

AAB=AC,NBAD=NCAE,AD=AE,

：.△AS。絲△ACE(SAS),

:.CE=BD,/ACE=/ABD,

：.FG=HG,

,?BD//GH,FG//CE,

：.ZFGH=ZFGD+NHGD

=ZDCE+ZGHC+ZGCH

=NDBC+ZDCB+ZACD+NACE

=ZDBC+/ABD+ZACB

=ZACB+ZABC

=90°,

/.△〃GF是等腰直角三角形,

FH=&FG;

A

E

BHC

圖②

圖③證明如下：

如圖③所示，連接BDHG,CE,

???點(diǎn)RG分別是。。的中點(diǎn)，

???FG是△€!)￡的中位線，

AFG//CE,FG=-CE,

2

同理可得GH〃3DGH=-BD,

2

???AABC和VADE都是等腰三角形，且NR4C=N。場(chǎng)=120。,

：.AB=AC,/BAD=/CAE,AD=AE,

：.AABZ)^AACE(SAS),

ACE=BD,ZACE=ZABD,

：.FG=HG,

'：BD//GH,FG//CE,

JZFGH=ZFGD+ZHGD

=ZDCE+ZGHC+ZGCH

=NDBC+ZDCB+NACD+Z.ACE

=/DBC+/ABD+NACB

=ZACB+ZABC

=180°-ZBAC

=60。，

???ZV/G尸是等邊三角形，

???FH=FG.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，等邊三角形的性質(zhì)

與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

10.(2021?湖南中考真題)如圖，在3c中，=N是5C邊上的一點(diǎn)，D為AN

的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作的平行線交CD的延長線于T,且AT=6N,連接3T.

(1)求證：BN=CN；

(2)在如圖中AN上取一點(diǎn)0,使AO=OC,作N關(guān)于邊AC的對(duì)稱點(diǎn)M,連接〃T、MO、

OC、OT.CM得如圖.

①求證：口OMs@OC；

②設(shè)7M與AC相交于點(diǎn)P,求證：PD//CM,PD=-CM.

2

【答案】(1)見解析；(2)①見解析，②見解析.

【分析】

(1)先用AT//BN,且AT=5N證明出四邊形ATBN是平行四邊形，得到△TADg^CND,

用對(duì)應(yīng)邊相等與等量代換，從而得出結(jié)論.

(2)①連接AM、MN,利用矩形的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)，證明出AOCM是直角三角形，

證明出RtzXOAT絲Rt^OCM,得到對(duì)應(yīng)角相等，則得到答案；

②連接0P,由①中△TQWS44OC,得到NOTM=/OAP,點(diǎn)0、T、A、P共圓，由直徑所對(duì)

的圓周角為直角，證明出N0PT=90°,再根據(jù)等腰三角形的三線合一性得出結(jié)論.

【詳解】

證明：（1）VAT//BC,且=

AAT//BN,且AT=5N,

四邊形ATBN是平行四邊形，

：.AN//TB,

：.NDTA=NDCN,

ZADT-ZNDC,

丁點(diǎn)D為AN的中點(diǎn),

AAD=ND,

AATAD^ACND(AAS)

???TA=CN,

??,AT=BN,

.'.BN=CN,

(2)①如圖所示，連接AM、MN,

??,點(diǎn)N關(guān)于邊AC的對(duì)稱點(diǎn)為M,

AANC^AAMC,

???ZACN=ZACM,

VAB=AC,點(diǎn)N為AC的中點(diǎn)，

???平行四邊形ATBN是矩形，

???NTAB=NABN二NACN=NACM,NBAN=NMAC=NCAN,AT=BN=NC=MC,

VOA=OC,

NCAN=NACO,

ZTAB+ZBAN=ZACM+ZAC0=90°,

Z0AT=Z0CM=90°,

在RtZ^OAT和Rt^OCM中，

VAT=CM,Z0AT=Z0CM，OA=OC,

ARtAOAT^RtAOCM(SAS),

Z.ZAOT=ZCOM,OT=OM,

???ZAOT+ZAOM=ZCOM+ZAOM,

ZT0M=ZA0C

VOA=OC,OT=OM,

?.OT_OM

?~OA~~OC

:?NTOMsAAOC；

②如圖所示，連接OP,

?：NTOMs八AOC，

：.Z0TM=Z0AP,

???點(diǎn)0、T、A、P共圓，

VZ0AT=90°,

???0T為圓的直徑，

Z0PT=90°,

V0T=0M,

???點(diǎn)P為TM的中點(diǎn)，

???由(1)得ATAD義ZXCND,

???TD=CD,

???點(diǎn)D為TC的中點(diǎn)，

???DP為ATCM的中位線，

PD//CM,PD=-CM.

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、以及相

似三角形的判定與性質(zhì)、圓中直徑的性質(zhì)，關(guān)鍵在于通過等量代換，換出角相等，證明出直

角三角形全等，再證明三角形相似.

11.(2023?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題)(1)如圖，在矩形A3C。中，E為AD邊上一點(diǎn)，連接

BE,

①若BE=BC,過C作交BE于點(diǎn)尸，求證：LABE咨4FCB；

②若S期央?yún)?20時(shí)，則BECF=.

(2)如圖，在菱形ABCD中，cosA=；,過C作CE1AB交A3的延長線于點(diǎn)E,過E作

EFJ.AD交AD于點(diǎn)、F,若S菱形M⑺=24時(shí)，求政必。的值.

(3)如圖，在平行四邊形A5CD中，ZA=60°,AB=6,4)=5,點(diǎn)E在CD上，且CE=2,

點(diǎn)F為BC上一點(diǎn),連接所，過E作EGLE廠交平行四邊形A3CZ)的邊于點(diǎn)G,若

EF-EG=76時(shí),請(qǐng)直接寫出AG的長.

備用圖

3

【答案】(1)①見解析；②20；(2)32；(3)3或4或；

2

【分析】(1)①根據(jù)矩形的性質(zhì)得出/ASE+/CBF=90。，ZCFB=ZA=90°,進(jìn)而證明

Z.FCB=ZABE結(jié)合已知條件，即可證明△ABE四△FCB；

②由①可得NFCBuNABE,ZCFB=ZA=90°,證明AABESAFCB,得出一=一，根據(jù)

CFBC

黑形AB8=.CD=20,即可求解；

14

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)得出線＞〃3C,AB=BC,根據(jù)已知條件得出==

證明△■“△3EC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；

(3)分三種情況討論，①當(dāng)點(diǎn)6在AD邊上時(shí)，如圖所示，延長FE交AD的延長線于點(diǎn)M,

連接過點(diǎn)E作于點(diǎn)H,證明AEDM^RCF,解RtADE//,進(jìn)而得出MG=7,

根據(jù)tan/MEH=tanNHGE,得出HE?=HM-HG，建立方程解方程即可求解；②當(dāng)G點(diǎn)

在AB邊上時(shí)，如圖所示，連接G/，延長GE交8C的延長線于點(diǎn)/，過點(diǎn)G作GN〃AD,

則GN〃3C,四邊形ADNG是平行四邊形，同理證明△硒G-AEQW,根據(jù)

tanNFEH=tanNM得出EH?=FH-HM，建立方程，解方程即可求解；③當(dāng)G點(diǎn)在BC邊

上時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)B作于點(diǎn)T,求得58加=空8,而S.G二出，得出矛

△07C843D2

盾，則此情況不存在.

【詳解】解：(1)①.?,四邊形ABC。是矩形，則NA=NABC=90。，

ZABE+ZCBF=90°f

又CF_LBC,

ZFCB+ZCBF=90°,ZCFB=ZA=90°,

ZFCB=ZABE,

XVBC=BE,

：.Z\ABE沿Z\FCB；

②由①可得NFC8=NABE,ZCFB=ZA=90°

:?△ABEsjCB

.ABBE

**CF-BC?

又**S短形ABCD=ABCD=20

BECF=ABBC=20,

故答案為：20.

(2)??,在菱形ABCD中，cosA=1,

C.AD//BC,AB=BC,

貝！JNCBE=NA,

*：CE1AB,

：.NCEB=90。,

BF

VcosZCBE=——

CB

BE=BC,cosNCBE=BCxcosZA=—BC,

3

114

：.AE=AB+BE=AB+-BC=AB+-AB=-AB

333f

EF_LAD,CE1AB

：.ZAFE=NBEC=9。。,

又NCS石=NA,

Z\AFE-ABEC,

.AEEFAF

''~BC~~CE~~BE'

444

???￡尸?60=4石"=］人5><以=35菱形.8=5*24=32；

(3)①當(dāng)點(diǎn)G在AD邊上時(shí)，如圖所示，延長FE交A。的延長線于點(diǎn)M,連接G尸，過點(diǎn)

E作EH上DM于點(diǎn)、H,

ACD=AB=6,DE=DC-EC=6-2=4,

???DM//FC.

：?AEDMS^ECF

?.E?-M=ED=—4=2c,

EFEC2

?S&MGE_EM_2

SjEF一

,?S^MGE=2s正FG=EFEG=Ty/3

在RtZ\O￡7/中，ZHDE=ZA=60°,

典\EH=^DE=Bx4=26,DH=-DE=2,

222

：.-MGxHE=Ty/3

2

，MG=7,

GELEF,EHIMG,

：.ZMEH=90°-NHEG=ZHGE

：.tanZMEH=tanZ.HGE

.HEHM

"HG~HE

HE-=HMHG

設(shè)AG=a,則G￡>=AD—AG=5—a,GH=GD+HD=5-a+2=l-a,

HM=GM—GH=7—(l—a)=a,

(2⑹°=彳(7一尤)

解得：“=3或。=4,

即AG=3或AG=4,

②當(dāng)G點(diǎn)在AB邊上時(shí)，如圖所示，

連接GF,延長GE交BC的延長線于點(diǎn)聞,過點(diǎn)G作GN〃A，則GN〃BC,四邊形ADNG

是平行四邊形，

設(shè)AG=x,則DV=AG=x,EN=DE-DN=4-x,

/GN//CM

：?AENG。小ECM

.EGENGN_4-x

?"生以旦

4-x4-x

?S&GEF=EG=4-X

?.S.ME「EM—2'

■/EF-EG=7A/3

?q_2SaEF='A

一^MEF-4_x-

過點(diǎn)E作必上3c于點(diǎn)H,

在RtAEHC中，EC=2,NECH=60°,

：.EH=6,CH=1,

；?SAMEF==XMFXEH，則工x指x/b=述，

△224-x

14

???MF=------,

4-x

14iorinid-r

FH=MF-CM-CH=------------------1=-------,MH=CM+CH=------+1=---------

4-x4-x4-x4-x4-x

???ZMEF=NEHM=90。,

???ZFEH=90°-ZM