2025高考數(shù)學二輪復習：空間幾何體 專項訓練【含答案】

專題四立體幾何

微專題25空間幾何體

［考情分析］空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是立體幾何的基礎(chǔ)，空間幾何體的表面積和體積是高考

的重點與熱點，多以選擇題、填空題的形式考查，難度中等或偏上.

思維導圖

幾何體的結(jié)構(gòu)特征［一空間幾何體的折展問題

空間幾何體的表面積公式一_必備常見—空間幾何體的表面積、體積問題

空間幾何體的體積公式一知識題型一多面體與球

一

導數(shù)在求函數(shù)最值時的應用」空匚空間幾何體表面積、體積的最值問題

間

幾

何

體

一般求比較規(guī)則的幾何體采用公式法］一廠空間幾何體的表面積、體積公式記憶混淆

必備常見

對于不規(guī)則的幾何體采用割補法一一——忽略組合體銜接部分的表面積

解法誤區(qū)

求多面體體積時可采用等體積法—-幾何體折展時點的位置、邊的長度計算錯誤

考點一表面積與體積

【典例1］(1)(多選)(2023?新高考全國II)已知圓錐的頂點為尸，底面圓心為為底面直徑,

ZAPB=12O°,E4=2,點C在底面圓周上，且二面角尸一NC—。為45。，貝1］()

A.該圓錐的體積為兀

B.該圓錐的側(cè)面積為43兀

C.AC=2也

D.△HC的面積為他

答案AC

解析依題意，ZAPB=120°,PA=2,

所以O(shè)P=1,OA=OB=\H.

A項，圓錐的體積為羨義兀義(3)2*1=兀，故A正確；

B項，圓錐的側(cè)面積為兀*韻><2=23兀，故B錯誤；

C項，取NC的中點D,連接。D,PD,如圖所示，

則/C_LOD,AC±PD,所以/PDO是二面角尸一NC—。的平面角,

則NPDO=45。，所以。P=OZ）=1,

故AD=CD=\l3^1=W

則/C=2也，故C正確；

D項，尸。=\"2+12=也

所以孔恥=；乂2也義也=2,故D錯誤.

（2）（2023?新高考全國I）在正四棱臺NBCD-NiBiCQ中，AB=2,A\BX=\,AA\=^,則該

棱臺的體積為.

答案八卜

6

解析如圖，過小作〃ML4C,垂足為M,

易知A、M為四棱臺/BCQ—4SC01的高，

因為45=2,451=1,AAi=也,

則/。=1/?=1義仍4向=也，

222

AO=-AC=-X\l2AB=\!29

22

故AM—^AC-T4ICI）=^-,

所以所求體積為r=1x（4+i+^4xl）x^=2^.

326

跟蹤訓練1（1）（2023?廣州模擬）已知一個圓錐和圓柱的底面半徑和高分別相等，若圓錐的軸

截面是等邊三角形，則這個圓錐和圓柱的側(cè)面積之比為（）

A.1：2B.1：^2C.1：3D.^3：1

答案C

解析設(shè)圓錐和圓柱的底面半徑為廣，

因為圓錐的軸截面是等邊三角形，所以圓錐的母線長/=2r,

則圓錐和圓柱的高h=\l4r2—r2=,\l3r,

所以圓錐的側(cè)面積Si=nrl=2nr2,

圓柱的側(cè)面積S2=2nrXh=2由nr2,

所以圓錐和圓柱的側(cè)面積之比為與：$2=1：43.

（2）（多選）（2022?新高考全國II）如圖，四邊形/BCD為正方形，￡Z>_L平面N3CD,FB//ED,

/2=ED=2EB.記三棱錐E一/CD,F-ABC,尸一/CE的體積分別為片，Vi,匕，則（）

A.匕=2%B.匕=%

C.匕=片+%D.2匕=3%

答案CD

解析如圖，連接3。交/C于。，連接?！?OF.

設(shè)AB=ED=2FB=2,

則AB=BC=CD=AD=2,

FB=1.

因為助_L平面4BCD,FB//ED,

所以用_L平面/gen,

所以%=%7co=CD-ED=-X-AD-CDED^-X-X2X2X2^-,

332323

Vi=VF.ABC^-SAABC-FB^-X1/2BCFB=1義IX2X2X1=2.

332323

因為￡￡>_L平面/BCD,/CU平面/BCD,

所以￡O_L4C,

又ACLBD,

且￡DCAD=D,ED,BDU平面BDEF,所以NC_L平面5DER

因為OE,OFU平面BDEF,

所以/C_LOE,ACLOF.

易知AC=BD=/AB=2也

OB=OD=-BD=\{2,

2

0F=\{0B2+FB2=yJi,

0E=\j0D2+ED2=yj6,

EF=、JBD?+(ED—FB￥

=1(2也>+(2—1)2=3,

所以即=。四+。/，所以O(shè)FLOE.

又。EC/C=。，OE,/cu平面ZCE,

所以。/，平面/C￡,

==

所以V3VF-ACE^SAACE-0F

=-X-ACOEOF

32

=-X-X2A/2X^6X^3=2,

32

所以匕W2%,HW%,匕=片+%,2匕=3匕,

所以選項A,B不正確，選項C,D正確.

考點二空間幾何體的折展問題

【典例2】(1)“莫言下嶺便無難，賺得行人空喜歡.”出自南宋詩人楊萬里的作品《過松源晨

炊漆公店》.如圖是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑為40km,山高為

40\15km,8是山坡山上一點，且/8=40km.為了發(fā)展旅游業(yè)，要建設(shè)一條從4到8的環(huán)

山觀光公路，這條公路從N出發(fā)后先上坡，后下坡，當公路長度最短時，下坡路段長為()

A.60kmB.12加km

C.72kmD.12"i5km

答案C

解析該圓錐的母線長為y(4(h/H)2+402=160(km),

所以圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為吆讓羽=匹的扇形,

1602

如圖為圓錐的側(cè)面展開圖，連接H

由兩點之間線段最短，知觀光公路為圖中的卬B,A'B=\jSA'2+SB2=\1602+1202=

200(km),

過點S作/'2的垂線，垂足為X,

記點P為/'3上任意一點，連接尸S,當上坡時，尸到山頂S的距離PS越來越小，當下坡

時，P到山頂S的距離PS越來越大，

則下坡路段為圖中的上出，

由RtZ\S4'Bs母AHSB,

滬9SB21202、

行HB——,—=——=72(km).

A'5200

(2)(2023?黃山模擬)如圖1,將一塊邊長為20的正方形紙片N2CO剪去四個全等的等腰

△PEE\,APFFi,△PGGi,XPHH\,再將剩下的部分沿虛線折成一個正四棱錐

使E與?重合，尸與尸1重合，G與Gi重合，X與M重合，點/,B,C,。重合于點。，

如圖2.則正四棱錐尸一EFG8體積的最大值為()

A32vl0「645)cl28yTo6256而

A.D.C.D.

3333

答案D

解析根據(jù)題意，PG是側(cè)棱，底面正方形EFG77的對角線的一半是GC,

設(shè)GC=x,0<x<10,則有PG2=(10—x)2+102,OF=OG=X,

四棱錐的高h=^PG2~OG2=^200-20%,

底面正方形EFGH的面積S—4S^OFG—2x2,

四棱錐P-EFGH的體積

r=-x2^200-20x,

3

令1=寸200-20X,則L2。?！?。O?2<2oo,

20

2poM1

則憶=420yt,v'=-*-(200—5)(200—5/2),

3600

/200-a

當40<祥<200時，V'<0,%=420%單調(diào)遞減;

3

poo-a

當0<d<40時，V>o,920%單調(diào)遞增，

3

...當j=40時，%取最大值,

poo-40]

2

.,.%ax=：X120JX^40=256\10

—3,

跟蹤訓練2（1）（2023?廣東大灣區(qū)聯(lián)考）如圖為三棱錐/一BCD的平面展開圖，其中/C=CD

=CB=2,AELBD,垂足為C,則該三棱錐的體積為.

答案3

解析由三棱錐/—BCD的平面展開圖可得其直觀圖，如圖所示.

其中/C_LCD,ACLCB,CDLCB,AC=CD=CB=2,

又BCCCD=C,BC,COU平面8cD,所以/C_L平面BCD,

1114

所以VA-BCD=-SBCD-AC=-X-X2X2X2=-

3A323

（2）如圖所示是一個底面半徑和高分別為1和4的圓柱形開口容器（下表面密封），尸是母線BC

的中點，現(xiàn)有一只螞蟻位于外壁N處，內(nèi)壁尸處有一米粒，若這只螞蟻要先爬到上口邊緣再

爬到點尸處取得米粒，則它所需經(jīng)過的最短路程為（）

A.A/^2-I-36B.q兀16

C.44兀2+36D.\/47i2+1

答案A

解析依題意可得圓柱的底面半徑r=l,高為=4,

/I

將圓柱的側(cè)面（一半）展開后得矩形48CD,其中48=兀，40=4,

問題轉(zhuǎn)化為在CD上找一點。，使AQ+PQ最短，

作尸關(guān)于CD的對稱點E,連接4E,/￡與CO交于點0,

則得/Q+P。的最小值就是

AE=1兀2+（4+2）2=1Tl2=36.

考點三多面體與球

【典例3】⑴（2022?新高考全國I）已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若

該球的體積為36兀，且3W/W33,則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

二。811F278F

1O?,

A.L4」B.L44」

R2764]

[18,27]

答案C

解析方法一如圖，設(shè)該球的球心為。，半徑為幾正四棱錐的底面邊長為。，高為h,

依題意，得36兀=￡尺3,

3

P

）

解得R=3.

由題意及圖可得‘住]

催=（〃一尺）2+匠。1,

27?6

解得,/4

〃=2/一J

18

所以正四棱錐的體積V=~a2h

令/=0,得/=2加，

所以當3W/<2加時，V>0；

當2#<03幽時,V<0,

所以函數(shù)V=(3W/W343)在［3,2#)上單調(diào)遞增，在(2#,3弋3］上單調(diào)遞減,

又當1=3時，；

4

當7=2#時，；

3

當/=33時，K=―,

4

27641

所以該正四棱錐的體積的取值范圍是14'3」.

方法二如圖，設(shè)該球的球心為。，半徑為上正四棱錐的底面邊長為°,高為加

P

依題意，得36兀=4?；?,

3

解得R=3.

由題意及圖可得及2=(〃—R)2+d

[IP

2R6

解得/4

。2=2/2—\

L18

又3WIW30

所以該正四棱錐的體積V=~a2h

3

「當且僅當上=2—互，即/=2#時取等號]

I3618J,

所以正四棱錐的體積的最大值為號，排除A,B,D.

3

方法三如圖，設(shè)該球的半徑為R,球心為。，正四棱錐的底面邊長為a,高為九正四棱錐

的側(cè)棱與高所成的角為仇

P

依題意，得36兀=%1必，

3

解得R=3,所以正四棱錐的底面邊長a=\[2lsm0,高/z=/cos0.

在△。尸。中，作?！阓LPC,垂足為￡,

則可得cos9=2=—￡_2*2_,

R6

所以/=6cos0,

所以正四棱錐的體積

V—j6z2/z=1(^/sin027cos0

=-(6cos03sin20cos9=144(sin0cos20)2.

1回

設(shè)sin。一，易得，￡但2J,

則尸sin0cos29=t(1—Z2)=/—Z3,

則y'=1—3月令，=0,得f=：，

所以當時，y'>0;

23

當匚4V工時，y'<0,

32

所以函數(shù)>=/一戶上單調(diào)遞增，在13，2）LE單調(diào)遞減.

又當仁;時，尸了；當時，尸;;

當片?時，y=T,

所以；0小;，所以看w?.

-276￡

所以該正四棱錐的體積的取值范圍是14'3_

（2）（2023?南昌模擬）如圖，在正四棱錐尸一/BCD框架內(nèi)放一個球O,球。與側(cè)棱刃，PB,

PC,PD均相切.若/APB=四,且OP=2,則球。的表面積為

3------------

P

答案8兀

解析在正四棱錐P-ABCD中,NAPB=%,則△F48是正三角形,

3

P

于是所以乙4尸。=匹,

2

因為球。與側(cè)棱為，PB,PC,尸。均相切，

則由對稱性知，平面RC截正四棱錐得等腰直角三角形，

截球。得球。的大圓，且圓。與直角邊R4,PC都相切，如圖,

顯然OP平分N/PC,因此球O的半徑R=O尸sin工=他，

4

所以球O的表面積為4兀穴2=8兀.

跟蹤訓練3（1）（2022?全國乙卷）已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點為。，底面的四個頂點

均在球。的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（）

答案C

解析該四棱錐的體積最大即以底面截球的圓面和頂點。組成的圓錐體積最大.

設(shè)圓錐的高為人(0?1),底面半徑為廠,

則圓錐的體積V=jnr2//=|n:(1—/z2)A,

則V'=$(1—3序)，

4V=4(l-3A2)=0,得〃=也,

33

所以％=$(1—盾)〃在t'吊上單調(diào)遞增，

在1］上單調(diào)遞減，

所以當〃=也時，四棱錐的體積最大.

3

(2)已知在三棱柱中，CG_L/C,AA\LBC,平面/i3C_L平面44/,4c=5,

若該三棱柱內(nèi)存在體積為與的內(nèi)切球，則三棱錐/—42C的體積為()

24

A.-B,-C.2D.4

33

答案D

解析如圖所示，

因為CCi_L4C,AA!±BC^CCI±BC,ACHBC^C,AC,BCu平面A8C,

所以CC1，平面48C,

又因為平面/i2C_L平面AAiB,

平面NiBCPl平面AA\B=A\B,

過點/作4E_L作用,

則/￡_L平面AiBC,

貝IAELBC,

又因為N4_L8C,AAinAE=A,AA\,ABU平面/38聞，

所以BC,平面482/1,

又48U平面聞，

所以4B_L3C

設(shè)NB=c,AC—b,BC—a,

則b2=a2+c2,

又因為三棱柱內(nèi)切球的體積為題,

3

設(shè)內(nèi)切球的半徑為上

則電1=￡尺3,

33

解得R=l,又&=-------,即c+a—6=2,

2

源+。2=25,

則.

a+c=7,

解得ac=12,因為棱柱的高等于內(nèi)切球直徑2,

所以匕I-4BC=〃TBC=；義金義12X2=4,

故三棱錐A-AxBC的體積為4.

［總結(jié)提升］

空間幾何體在高考題中主要考查表面積、體積問題，常見題型求解思路有兩種，一是對于規(guī)

則的幾何體直接使用公式法求解，二是將不規(guī)則的幾何體分解成基本的柱、錐、臺體，先求

這些柱、錐、臺體的表面積或體積，再通過求和或作差得不規(guī)則幾何體的表面積或體積.

提醒：組合體的表面積問題注意銜接部分的處理.旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的

應用.

熱點突破

1.（2023?深圳模擬）圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角為60。，底面圓的半徑為8,則圓錐的側(cè)面

積為（）

A.384兀B.392兀C.398兀D.404兀

答案A

解析設(shè)圓錐的半徑為r,母線長為/,則r=8,

由題意知，2兀尸=巧，

3

解得7=48,

所以圓錐的側(cè)面積為71/7=8*48兀=384兀.

2.（2023?惠州模擬）如圖1,在高為人的直三棱柱容器/8C—481G中，AB=AC=2,ABLAC.

現(xiàn)往該容器內(nèi)灌進一些水，水深為2,然后固定容器底面的一邊N8于地面上，再將容器傾斜,

當傾斜到某一位置時，水面恰好為△45C（如圖2）,則容器的高〃為（）

一J

圖i圖2

A.2/B.3C.4D.6

答案B

角牛^^'工'^92多口-—'^■^△451C1^，

其中h表示三棱柱的高，

故七一怒耳8—^45。一481G一乙一4片。1

=sh--Sh=-Sh

zczBc4

°A4B1c/°A4Ai20Mii，

因此，無水部分體積與有水部分體積之比為1：2,所以圖1中高度之比為1：2,則h=3.

3.（2023?日照模擬）紅燈籠起源于中國的西漢時期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會掛起象征

美好團圓意義的紅燈籠，營造一種喜慶的氛圍.如圖1,某球形燈籠的輪廓由三部分組成，

上、下兩部分是兩個相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面除去上、下兩個相同球冠剩下的部分.如

圖2,球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直徑被截得的部分叫做球冠的高，

若球冠所在球面的半徑為R,球冠的高為力，則球冠的面積S=2.如圖I,已知該燈籠的高

為58cln,圓柱的高為5cm,圓柱的底面圓直徑為14cm,則圍成該燈籠中間球面部分所需

布料的面積為（)

所以兩個球冠的面積為25=2X2^/?=2X2X7tX25Xl=1007r(cm2),

222

則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為47tT?-2S=4X7TX25-1007I=24007t（cm）.

4.（2023?婁底模擬）如圖，在三棱柱4SC—43cl中，/?。?底面/8C,AB=BC=CA=AAX,

點。是棱44i上的點，AD^-AAu若截面如G分這個棱柱為兩部分，則這兩部分的體積比

4

為（）

A.1：2B.4：5

C.4：9D.5：7

答案D

解析不妨令AB=BC=CA=AAi=4,且上、下底面為等邊三角形，

又44],底面45C,易知三棱柱45C—45C1為直三棱柱，所以側(cè)面為正方形,

2

所以三棱柱45。一/151cl的體積V=AAVSAABC=4X-X^X—=16^39

22

而/。=1,CCi=4,故S四邊形4CGD=$C(/O+CCI)=10,

=283

所以七—ZCG。=］義22X10=——,故Vc-ABBD=P--B-ACCiD

XX—3

V

所以,B金2=5

v—7、

5.（2023?佛山模擬）科技是一個國家強盛之根，創(chuàng)新是一個民族進步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國之

重器，極目一號（如圖1）是中國科學院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器.截至2022年

5月，“極目一號”III型浮空艇成功完成10次升空大氣科學觀測，最高升空至9050m,超

過珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇原位大氣科學觀測海拔最高的世界紀錄，彰顯了中國的實

力.“極目一號”III型浮空艇長55m,高19m,若將它近似看作一個半球、一個圓柱和一

個圓臺的組合體，正視圖如圖2所示，則“極目一號”III型浮空艇的體積約為（參考數(shù)據(jù)：

9.52P90,9.53-857,315X1005心316600,兀仁3.14）（）

A.9064m3B.9004m3

C.8944m3D.8884m3

答案A

解析由圖2得半球、圓柱底面和圓臺一個底面的半徑R=5=9.5（m）,而圓臺另一個底面

的半徑r=l（m）,則心求三X：XTIX9.53心[題河），

2

KBtt=7tX9.5X14^=1260兀（m3）,

產(chǎn)園a=；X（9.5?兀+^912n^7t+兀）X31.5^,

所以％=修羋球+憶同相+%周臺260n+np3I^9064（m3）.

6.（2023?西寧模擬）已知矩形48。的頂點都在球心為。的球面上，AB=3,5C=3，且四

棱錐。一N8CD的體積為4他，則球。的表面積為（）

A.76兀B.112兀

?76岳口224?

33

答案A

解析由題可知矩形/BCD所在截面圓的半徑r即為矩形/8C〃的對角線長度的一半,

'：AB=3,BC=①

,r=j3EW=^；

2

又矩形ABCD的面積S=ABBC=30

則O到平面ABCD的距離ft滿腔X3\[3h=45,

3

解得〃=4,故球的半徑工》=寸自，故球的表面積為4;出2=76兀.

7.（多選）某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺。。2,在軸截面/BCD

中，AB—AD—BC=2cm,且CD

A.該圓臺的高為1cm

B.該圓臺軸截面面積為33cm2

C.該圓臺的體積為citf

3

D.一只小蟲從點C沿著該圓臺的側(cè)面爬行到/。的中點，所經(jīng)過的最短路程為5cm

答案BCD

解析如圖1,作BELCD交CO于點E,易得CE=CD~AB=l（cm）,則BE=yj2^-L2=yj3（cm）,

則圓臺的高為3cm,故A錯誤；

圓臺的軸截面面積為;X（2+4）x3=3W（cm2）,故B正確;

圓臺的體積為:><{3義（兀+4兀尸Z~『（cm3）,故C正確；

由圓臺補成圓錐，可得大圓錐的母線長為4cm,底面半徑為2cm,側(cè)面展開圖的圓心角。=

2兀義2

4

設(shè)尸為40的中點，連接。尸，如圖2,可得/。。。=四，OC=4cm,0P=3cm,

2

CBO

a

D

圖2

則C尸=、42+32=5（cm）,從點。沿著該圓臺的側(cè)面爬行到4。的中點，所經(jīng)過的最短路程為

5cm,故D正確.

8.（多選）（2023?新高考全國I）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器

（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有（）

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體

答案ABD

解析對于A,因為0.99m<lm,即球體的直徑小于正方體的棱長，

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；

對于B,因為正方體的面對角線長為仍m,且仍>1.4,

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；

對于C,因為正方體的體對角線長為弋3m,且73<1.8,

所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C錯誤;

對于D,

因為可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，如圖,

過/G的中點。作

設(shè)OECAC=E,

0A

可知/c=3，CC1=1,ACI=3,=t

那么tanZG4Ci=-,

ACAO

解得OE=?,且2=-=—>—=0.62,

482425

*6,

所以以/Ci為軸可能對稱放置底面直徑為1.2in的圓柱,

若底面直徑為1.2m的圓柱與正方體的上下底面均相切,

設(shè)圓柱的底面圓心為。1,與正方體下底面的切點為

可知NG_LOiM,OiM=Q.6,

O\M

那么tanZC4Ci=-

ACAOi,

即

A/2AOi

解得/Oi=0.6也，

根據(jù)對稱性可知圓柱的高為

他一2X0.6/F.732—1.2X1.414=0.0352>0.01,

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，所以D正確.

9.(2023?遼陽模擬)將3個6cmX6cm的正方形都沿其中的一對鄰邊的中點剪開，每個正方

形均分成兩個部分，如圖(1)所示，將這6個部分接入一個邊長為3啦cm的正六邊形上，如

圖⑵所示.若該平面圖沿著正六邊形的邊折起，圍成一個七面體，則該七面體的體積為

cm3.

圖⑴圖⑵

答案108

解析將平面圖形折疊并補形得到如圖所示的正方體,

該七面體為正方體沿著圖中的六邊形截面截去一部分后剩下的另一部分，由對稱性知其體積

為正方體體積的一半，即3x63=108(cm3).

10.棱長為2的正方體N2。一中，M,N分別為棱ABi,AB的中點，則三棱錐出

一DiMN的體積為_______.

答案1

解析如圖，由正方體棱長為2,

得名語=2義2—2義餐2><1—*1X1

又易知為三棱錐。的高，且。遇1=2,

?V=v

y三棱錐4―烏跖vy三棱錐鼻一同又乂

I1a

=3%刖?。4=3*/2