2025高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)剖析：空間向量與立體幾何【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)剖析精創(chuàng)專題卷七-空間向量與立體幾何

一、選擇題

1.某同學(xué)有一個(gè)形如圓臺(tái)的水杯如圖所示，已知圓臺(tái)形水杯的母線長(zhǎng)為6cm,上、下

2

底面圓的半徑分別為4cm和2cm.為了防燙和防滑，水杯配有一個(gè)杯套，包裹水杯一高

3

度以下的外壁和杯底，如圖中陰影部分所示，則杯套的表面積為（不考慮水杯材質(zhì)和杯

套的厚度）（）

W

A.竺兀cm?。至兀州2

B.24兀cm2D.25兀cm2

33

2.在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉膈.在鱉膈P—/5C中,

產(chǎn)/,平面48C，ACLCB，PA=2BC=2-AC=也，則此四面體的外接球表面

積為（）

A.3兀B.8兀C-9兀D-------71

3

3.已知/,m,"表示不同的直線，a,0,Y表示不同的平面，則下列四個(gè)命題正

確的是（）

A.若〃/1，且加〃a，則/〃加B.若a_1_，mlla>〃_L/?，則加〃〃

C.若加〃/，且加_La，則/_LaD.若加_）_〃，mVa,，則a_L，

4.在正四棱臺(tái)/BCD-中,已知AB=2,44]=4耳=1，則側(cè)棱5片與底

面ABCD所成角的正弦值為（）

B.正

A，

3

5.在正方體48co—48]G2中，E,尸分別為258c的中點(diǎn)，貝版)

A.平面BgF1平面BDDlB.平面B[EF1平面A[BD

C.平面BXEFH平面AXACD.平面B\EF〃平面4c1。

6.如圖，在四棱錐P-48CD中，底面/8Q?是正方形，￡是戶。的中點(diǎn)，點(diǎn)尸滿足

CF=2FB.若P4=a,PB=b,PC=c,則FE=()

.I、、

7.已知空間向量a=(2,-1,3),6=(-1,4,-2),c=(l,3"),若這三個(gè)向量共面，則

實(shí)數(shù)2等于()

A.1

B.2

C.3

D.4

8.在中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體

的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形(扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分).現(xiàn)有一個(gè)如圖所

示的“曲池”，它的高為4,AA1,BB[,Cq,均與''曲池"的底面垂直，底面扇

環(huán)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑分別為2和4,對(duì)應(yīng)的圓心角為90。，則圖中異面直線ABX與CDX

所成角的余弦值為（）

Ct

二、多項(xiàng)選擇題

9.如圖，在菱形28。中，48=1±，ZBAD=60°,沿對(duì)角線8。將△45。折起,

3

使點(diǎn)4C之間的距離為20.若戶，Q分別為線段8。，C4上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正

A.平面ABD1平面BCD

B.線段戶Q長(zhǎng)度的最小值為0

C.當(dāng)2。=。。，4尸。=。5時(shí)，點(diǎn)。到直線PQ的距離為普

D.當(dāng)2Q分別為線段8。，C4的中點(diǎn)時(shí)，QQ與2。所成角的余弦值為手

10.如圖，正方體4BCD-48001的棱長(zhǎng)為L(zhǎng)線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)￡F,且

A.當(dāng)點(diǎn)￡運(yùn)動(dòng)時(shí)，4c±ZE總成立

8.當(dāng)￡向2運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角Z-￡尸-3逐漸變小

C.二面角E-AB-C的最小值為45°

D.三棱錐A-BEF的體積為定值

11.已知在直三棱柱4BC-481G中，底面是一個(gè)等腰直角三角形，且4B=BC=BB］,

E,F,G,例分別為gG，4g，AB,BC的中點(diǎn)，貝女）

A.GB［與平面ZCG4夾角的余弦值為半

B.4B］與BQ的夾角為T:T

C.AXMH平面EFB

D.平面ABXC_L平面AXMC

三、填空題

12.在正方體45CD-481G3中是5。的中點(diǎn)，求￡>￡與CD］兩條異面直線所成角的

余弦值為.

13.已知平面四邊形28。中，點(diǎn)8,。在線段/C兩側(cè)，且線段2C的垂直平分線為

直線8。，其中AD=12,45+40=15,現(xiàn)沿8。進(jìn)行翻折，使得點(diǎn)Z到達(dá)點(diǎn)H的

位置，且4到。的距離為3,連接H8,A'C,A'D,則四面體45CD體積的最大值

為.

14.如圖，由直三棱柱Z8C-Z￡G和四棱錐。-BBC。構(gòu)成的幾何體中，

ABAC=90°,AB=1,BC=BB、=2,￡>G=。。=6，平面CCQ，平面?0

為線段8c上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BP=時(shí)，直線。戶與平面ABQ所成角的正弦值為義.

四,解答題

15.如圖，在三棱錐/—BCD中，平面23。，平面BCD,AB=AD,。為8。的中

點(diǎn).

A

(1)證明：OALCD；

(2)若△OC。是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)￡在棱2。上，DE=2EA,且二面角

￡-5。-。的大小為45。，求三棱錐5CO的體積.

16.已知直三棱柱NBC-481G中，側(cè)面24耳8為正方形，AB=BC=2,￡尸分別

為/C和CG的中點(diǎn)，。為棱48上的點(diǎn)，BF±451-

(1)證明：BFLDE-

(2)當(dāng)耳。為何值時(shí)，面與面。任所成的二面角的正弦值最小？

17.如圖，四面體28Q?中，ADVCD,AD=CD,ZADB=ZBDC,￡為/C的

中?占八、、?

(1)證明：平面BE。，平面20；

(2)設(shè)AB=BD=2,NZCB=60。，點(diǎn)尸在8。上，當(dāng)△/人7的面積最小時(shí)，求

CF與平面所成的角的正弦值.

18.在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框28。，2%■尸的邊長(zhǎng)都是1,且平面

48CC平面26斤；活動(dòng)彈珠(大小不計(jì))M,N,G分別在線段/CBF,28上移

動(dòng),CM=BN,4F〃平面MNG,記BG=a(0<a<1).

(1)證明：MG，平面28￡尸；

(2)當(dāng)M/V的長(zhǎng)度最小時(shí)，求二面角5的余弦值.

19.如圖①，已知三棱錐P-48C,圖②是其平面展開圖，四邊形28。為正方形,

△45￡和48。廠均為正三角形，O,G分別為ZC必I的中點(diǎn)，AB=C.

(1)求證：0GL4P；

(2)求二面角C-力-8的余弦值;

CM34

⑶若點(diǎn)》在棱吒上，滿足m="選z，-，點(diǎn)/V在棱附上，且

求」PN的取值范圍.

PB

參考答案與詳細(xì)解析

一、選擇題

1.答案：C

解析：根據(jù)題意，杯套的形狀可看作一個(gè)圓臺(tái)，且該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)是圓臺(tái)形水杯的母線

長(zhǎng)的士,即4cm,下底面圓的半徑為圓臺(tái)形水杯的下底面圓的半徑，即2cm,上底面

3

圓的半徑是岑cm,所以杯套的表面積5=兀義22+”12+?卜4=］兀卜《12卜故選

C.

2.答案：B

解析：根據(jù)題意，平面48C，BCu平面48C，所以上4_LBC，

又/CJ,C5，PAAC=A,尸Z,ZCu平面上4。，所以5。，平面上4C，

將鱉麝尸—/5C補(bǔ)全成長(zhǎng)方體，如圖，

則此四面體的外接球的半徑為L(zhǎng)pB,G+f+忖=V2，

22

其外接球的表面積為s=4nR2=87r-

故選：B.

3.答案：C

解析：若〃/a，且加〃a，則/與?？赡芷叫校赡芟嘟?，可能異面，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

若a_L/?，mHa>n工0，則777與〃可能平行，可能相交，可能異面，B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

兩條平行直線，其中一條與平面垂直，則另一條也與平面垂直，C選項(xiàng)正確；

若加，加J_a，nil/3>貝Ua與力可能平行可能相父，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C

4.答案：B

解析：

由題意可得正四棱臺(tái)的截面圖，如圖所示，且與為等腰梯形，過點(diǎn)及做呂,

過點(diǎn)A做QNLBD,由線面角的定義可知，側(cè)棱8及與底面48C。所成角即為

NB[BM,

由條件可得,BBX=\，B[D]=e，BD=26,^B]D[=MN=6，BM=BD=g

則也〕=交，所以△同氏以為等腰直角三角形，

'V⑺2

所以NB[BM=45°，即sinZB.BM=—.

故選：B.

5.答案：A

解析：對(duì)于A選項(xiàng)：在正方體48co-48012中，因?yàn)椤闒分別為28,6c的中點(diǎn)，

所以及7/4C,則有EF1BD,又由正方體的性質(zhì)可得EE±DD[，又BDDDX=D,

從而EEL平面ADD].又因?yàn)镋Eu平面片所，所以平面與EEL平面ADA，所以A

選項(xiàng)正確.

對(duì)于B選項(xiàng)：因?yàn)槠矫嫫矫鍮OQ=BD,由選項(xiàng)A知平面8]EP_L平面BC）n,

若平面片所，平面4&D,則平面與所，顯然不成立，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于C選項(xiàng)：由題意知直線幺4與直線與￡必相交，故平面烏斯與平面Z/C有公共

點(diǎn)，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于D選項(xiàng)：如圖，連接/C,AB[,BXC,易知平面48c〃平面4CQ,

又因?yàn)槠矫?8。與平面與所有公共點(diǎn)片，故平面4G。與平面片所不平行，所以

D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選A.

6.答案：C

解析：由題意知巫=PE—尸尸=1?尸￡>—（尸C+CR）

=g(PB+BD)—PC—：CB=g(BD+PB)—PC—：(PB—PC)

=-(BA+BQ--PC--PB

236

=；(PA—PB+PC-PB)—；PC—、PB

171

=-PA—_PB+-PC

266

17,1

=—a——b+—c.

266

故選C.

7.答案：A

解析：由題意得，存在實(shí)數(shù)x,y,滿足a=x/>+yc,即

-x+y=2,x=-1,

解得卜=1,故實(shí)數(shù)2等

(2,—1,3)=(―x+v,4x+3y,—2.x+2y),所以<4x+3y=—1,

—2x+Ay—3,A=1,

于L

8.答案：A

解析：設(shè)上底面圓心為下底面圓心為。，連接。a，oc,OB,OXBX,aq,

以。為原點(diǎn)，分別以O(shè)C,OB,0a所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系，則C(2,0,0),2(0,4,0),4(0,2,4),D/4,0,4)-則⑷=(2,0,4),

叫=(0,—2,4).

、/心

所g以icos(CD,,AABV,\)=?-C-D--[n---A--B-]1=—j=—16■)==—4,

'/皿||皿720x7205

又異面直線所成角的范圍為[o.],故異面直線/用與CR所成角的余弦值為，.故選

A.

二、多項(xiàng)選擇題

9.答案：ABD

解析：取8。的中點(diǎn)。，連接OA,0c在菱形ABCD中，28=,ABAD=60°,

3

所以CM=OC=A8sin60°=^^x"=2.

32

因?yàn)閆C=20,所以。42+。。2=力。2,所以o/j_oc.

又因?yàn)?。為8。的中點(diǎn)，所以。4,5。，同理可得。8。，

因?yàn)椤?_L0C,OALBD,OCBD=0,0C,BDu平面6。，所以。4_L平面

BCD.

因?yàn)椤?u平面Z8O所以平面48。，平面8。，故A正確.

又0A上BD,OA1OC,0CLBD,故以。為原點(diǎn)，OB,OC,所在直線分別

為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

,4

Q

X

(2A、<2/3、

則3—,0,0,C(0,2,0),/(0,0,2),D--—,0,0.

、3,、3,

當(dāng)/。=。。，4尸。=。5時(shí)，0(0,1,1),P-事,0,0，PQ=，

DP=1—3,0,0J,

177T

.-------------------(1i

所以點(diǎn)。到直線PQ的距離為

錯(cuò)誤.

(2n20

設(shè)尸(a,0,0)-^-<a<^-,Q(x,y,z),設(shè)C。=ACA,2e[0,l],得

I33J

=.+8,_1+2,

0(0,2-22,22),\PQ\=J(—a)2+(2-22)2+(22)2

當(dāng)a=0且2=|■時(shí)，|P。1mm=0,故B正確.

當(dāng)P，Q分別為線段8。，C4的中點(diǎn)時(shí)，尸(0,0,0),2(0,1,1),Pg=(0,1,1),

,4D=f--,0,-2^,

LJ

設(shè)PQ與2。所成的角為e，則cose=IPQZDI2

116

|P0||皿V2x

3

所以也與/。所成角的余弦值為手，故D正確.故選ABD.

10.答案：ACD

解析：對(duì)于A,連接4G，g,ABV

因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以用A，4G，

因?yàn)锳A,1平面,BRU平面4用。1。1，所以±A.A,

又4cl42=4,4G，//u平面4GC4，所以耳￡＞］，平面46以?

又因?yàn)?Cu平面4GC4,所以印￡＞］，4。，同理可證ZD］，4c.

又因?yàn)閆D］BXDX=DX,U平面48Q1，所以&CL平面力為2，又因?yàn)?/p>

ZEu平面48］2，所以4。，ZE總成立，故A正確.

對(duì)于B,連接BD,平面E/斤即平面,平面EFA即平面48百，所以當(dāng)￡向已

運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角Z-EE-8的大小不變，故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則Z(1』,O),5(0,1,0),

所以AB=(—1,0,0),

因?yàn)椤晔贐Q上，且EF=5~,

131

故可設(shè)E(/,l—//)，-<r<l,則NE=(/—1,T,1),

由題易知平面26c的一個(gè)法向量為〃=(0,0,1),

AW*/——x0

設(shè)平面Z8￡的法向量為nt=(x,y,z),貝U<

m-AE=(^-l)x-(y+z=0,

取y=l,貝i1z=f,x=0,故用=(0』,/),設(shè)二面角￡—45—C的平面角為，，則6

為銳角，

\m-n\_|(0,1,0-(0,0,1)|_t

所以cos。=|cos(?i,n)|=-I，又一</V1,

1^ll?lJt2+1J7+i后2

6

所以當(dāng)，=1時(shí)，cos。取得最大值注，，取得最小值45。，故C正確.

2

對(duì)于D,因?yàn)楸?謝=,義￡/*34=,*也*1=變，點(diǎn)/1到平面￡歷的距離即為點(diǎn)

1

△BEE2224

Z到平面8。2瓦的距離，為孚，所以匕=；*曰'孚='，為定值，故D正

確.故選ACD.

11.答案：BCD

解析：如圖①，以8為原點(diǎn)，BC,BA,AB1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系，設(shè)48=2,則有/(0,2,0),8(0,0,0),C(2,0,0),G(0,l,0),G(2,0,2),

4(0,0,2),;.G4=(0,—1,2),AC=(2,-2,0),CQ=(0,0,2),5G=(2,0,2),

^=(0,-2,2).

圖①

n-AC=2x-2y=0.

設(shè)平面zcc/i的法向量為〃=(x，y，z)，則有1'令x=i,可得平面

n-CCl=2z=0,

ACCAAX的一個(gè)法向量為n=(1,1,0),則cosG8])=上,當(dāng)=—-尸。=—或，

'/|〃|阿|72x7510

GB[與平面ACQA,夾角的正弦值為吟,則余弦值為嚕,A錯(cuò)誤.

cosg,AB)==2亞42后=1'AB'與BC'的夾角的余弦值為1，

則其夾角為二，B正確.

3

如圖②，連接用Af,EM,沒BEBXM=0,連接。尸，E,例分別為gG，BC

的中點(diǎn)，，BXEHBM且BrE=BM,EMBB｝為平行四邊形，則。為"片的中點(diǎn).

圖②

又少為4片的中點(diǎn)，，OFIIAXM,又u平面EFB,AXM仁平面EFB,AXMH

平面EFB,C正確.

連接48,如圖②，由題可知平面4MC即為平面Z/C,且BC±BBX,

又ABBB[=B,48,A5]U平面45呂4，平面4asi4,又481u平面

2844,則又四邊形為正方形，則又5CAXB=B,

8c,ZRu平面48C,所以4B11,平面48C,又力與u平面45c，，平面48C_1_

平面48C,即平面48]C_L平面4MC,D正確.故選BCD.

三、填空題

12.答案：巫

5

解析：如圖，取C/1的中點(diǎn)4，連接REyCEi,EEp

則DDJ/CC,,CCJ/EE,，所以DDJIEEy旦DD[=CCX=EEX,

故四邊形DDRE是平行四邊形,

則DEgE\，故NCRE]即為￡>￡與CQ所成角（或其補(bǔ)角），

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,由勾股定理得DR=CE[=6CD[=2V2,

在由余弦定理得富尸、2粵,

r

故QE與C"兩條異面直線所成角的余弦值為巫.

5

故答案為：巫

5

13.答案：18行

解析：如圖，BD=12,45+40=15,所以4點(diǎn)在以8,。為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為15的

橢圓上，該橢圓中：2c=12,2a=15,即c=6,a=—,因止匕6=1/一°2=2,

22

9

由橢圓性質(zhì)知/點(diǎn)到直線BD的距離的最大值為6=

2

設(shè)/C與交于點(diǎn)。，因?yàn)榧碆DLCO,

又COA'O=O,CO,4。＜=平面HOC,所以80上面HOC,

^A,BCD~§BD-S^A，OC=4S^AOC9

39

HC=3,因止匕HO+OC〉3,而HO=C。，因此巳＜/'。9-9

22

22

S^OC=^A'C-^A'O-^A'Q=腳吟,

所以4。19時(shí)，也，。,取得最大值3馬Is4i-9廠9J;2，

即嗔BCD取得最大值4X券=18貶.

故答案為：18vL

D,

B

14.答案：1

解析：以力為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC,44—48的方向分別為*,y,z軸的正方向建立空間

直角坐標(biāo)系.

D

&CX

則/(0,0,0),C(V3,0,0),G(G,2,0)。(6,1,2),5(0,0,1),男(0,2,1),所以

BBl=(0,2,0),=(V3,1,1)-

BB,en=0,

設(shè)平面A8Q的法向量〃=(x,y,z),所以1

BD?〃=0,

所以]2；=0'

+y+z=0,

取》=百，可得平面ABQ的一個(gè)法向量〃=(G,0,—3),設(shè)BPrBC,2G[0,1],

所以。。=￡>8+28C=(血—百1,—1—X),所以

V3|32-3+3+32|^,.1,,5，益土、BP1

—=-----1=解得e2=—或2=一一(舍去)，所Re以rl——=-.

42V3-7(V32-A/3)2+1+(2+1)226BC2

因?yàn)锽C=2,所以AP=1.

四、解答題

15.答案：(1)證明見解析

⑵—

6

解析：(1)證明：因?yàn)?8=/。，。為8。的中點(diǎn)，所以

又平面NAD_L平面5cZ),/。<=平面/8。，平面48。平面5cz)=，

所以/O_L平面8a2又CD<z平面8。，所以NOJ_CD.

(2)如圖，取。。的中點(diǎn)月連接。尸，則CELHD.

過點(diǎn)O作OGIIFC交8c于點(diǎn)G,則OG，5。.所以O(shè)G,OD,OA兩兩垂直.

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)G,OD,04所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)

系Oxyz,如圖所示,

(6i)

則。(0,0,0),8(0,—1,0)，￡>(0,1,0),C^-,-,0.

。，會(huì)

設(shè)2(0,0,4),a>0,又DE=2EA,則,所以8E=

8C=母|,0、.

7

設(shè)平面8cE的法向量為〃=(x,y,z),

42a

n-BE--y-\-----z=0.

33

則

na

n?BC=——x+—y=0.

22

令*,貝!］歹二一1,z=2,所以〃二

a

易知平面8。的一個(gè)法向量為所=(0,0,1),因?yàn)槎娼恰?BC-。的大小為45。,

G、I

匚du。J\m'n\L

所以cos45°二----~T

又a>0,得a=1,即OA=1,

所以/=_SABS.OZ=—X-x2xlx—xl=—

33122Jo

16.答案：(1)證明見解析

(2)B.D=-

12

解析：(1)因?yàn)椤晔謩e是ZC和CG的中點(diǎn)，且4s=5。=2,

所以CF=1,BF=亞.

連接2E由8/，4耳，AB//A[B],得BFL4B,

于是4F=^BF2+AB2=3,

所以/C=y]AF2-CF2=2V2.

由江+叱=3,得4B上BC,

故以6為坐標(biāo)原點(diǎn)，以氏4,BC,54的方向分別為x,y,z軸的正方向建立空間直

角坐標(biāo)系，

則3(0,0,0),￡(1,1,0),廠(0,2,1),防=(0,2,1).

設(shè)用。=加(04加W2),則。(加,0,2),

于是。E=(l—掰,1,—2).

所以斯?￡>￡=(),所以5尸，?！?

(2)平面84cle的一個(gè)法向量為〃]=(1,0,0).

設(shè)面。任的一個(gè)法向量為%=(x,y,z),DE=(l-z?,l,-2),EF=(-1,1,1),

DE?%=0”（l-m）x+y-2z=0

則2,所以＜

EF?%=0-x+y+z=0

令x=3,得^=加+1,z=2-m,

所以嗎=（3,加+1,2-冽）,

所以cos

227

+

2

設(shè)面BAG。與面。田所成的二面角為0，

貝!]sin。=J1-cos2），

1Ji

故當(dāng)加?時(shí)，面A81GC與面。任所成的二面角的正弦值最小，為三,

即當(dāng)用。=；時(shí)，面與面。任所成的二面角的正弦值最小.

17.答案：（1）證明見解析

⑵孚

解析：（1）證明：因?yàn)樵凇?5。和△CBD中，AD=DC,ZADB=ZCDB,DB=DB,

所以也△CS。，所以/5=CS.

又因?yàn)镋為/C的中點(diǎn)，所以

因?yàn)椤隇?C的中點(diǎn)，所以。

又BE￡>￡=￡，所以平面6￡。.

又因?yàn)?Cu平面Z。，所以平面BED，平面

(2)由(1)得AB=CB,又N/CS=60。，所以△48。為等邊三角形.

因?yàn)?8=8。=2,所以/5=。5=/。=2,BE=y/3.

因?yàn)锳D=DC,

所以△4DC是等腰直角三角形，所以4D=CD=&,DE=1.

因?yàn)镈E?+BE?=BD?,所以。ELBE,

于是在中，設(shè)方為的邊8。的高，

則由等面積可得lx2x/z=LxlxG,即/Z=18.

222

連接EE由(1)知平面6&Z

又EFu平面BED,所以/CJ_￡E,于是當(dāng)3。時(shí)，△ZCF的面積最小,

A7o1

此時(shí)所=/z=組，BF=-,DF=—,

222

所以此時(shí)尸為線段6。上靠近點(diǎn)。的四等分點(diǎn).

以￡為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

/IT\

則E(0,0,0),2(1,0,0),C(-l,0,0),5(0,V3,0),￡>(0,0,1),F0,^-,-,

所以CE=1,—,^5=(-1,73,0),^D=(-1,0,1).

I44J

設(shè)平面的法向量為胃二(x,y,z),

n,A.B——x+A/SV—0,1—(―/—

則即x==z,令y=l,則〃=.

n-AD=-x+z=0,

26

所以|cos〈〃,CF〉|=l"S

\n\\CF\

J1+—+—xV3+l+3

V1616

故直線b與平面所成的角的正弦值為迪.

18.答案：(1)證明見解析

⑵」

3

解析：(1)證明：因?yàn)?F7/平面例NG,且4Fu平面Z8日;

平面ABEF平面MNG=NG,

所以4F7/NG.

因?yàn)?G=a(0<a<l),

所以CM=BN=6a,

則4G=1-Q,AM=V2(l—a),

??AMAGarri'.iixr-<//nz--

即---=——=----,所以MG7/BC.

CMBGa

因?yàn)樗?/p>

又平面48cz)J_平面/8￡尸，平面4SCZ)ABEF=AB,〃&<=平面/18。,

所以MGJ_平面

(2)由(1)知，MG平面2%汽,

因?yàn)镹Gu平面/啊；所以“GLNG,

所以MN7NG?+MG?=M+(l_a)2=,2/—2q+]=卜]”￡|+!>^,

當(dāng)且僅當(dāng)a=工時(shí)，等號(hào)成立.

2

所以當(dāng)/W的長(zhǎng)度最小時(shí)，BG=~,G為/8中點(diǎn).

2

以點(diǎn)6為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA,BE,8c所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，

則2(1,0,0),5(0,0,0),N《,g,0

則Z/=-！0,；,MN=0,g「；，1,0,1

m-AM=—x+—z=0,

22

設(shè)平面Z/V7/V的法向量為=(x,y,z),貝小

m?MN=-y--