2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第四周 專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

第四周

[周一]

1.(2023?欽州模擬)已知等差數(shù)列｛詼｝的公差為力前〃項(xiàng)和為S“,當(dāng)首項(xiàng)內(nèi)和d變化時(shí)，a2

+/+。8是一個(gè)定值，則下列各數(shù)也是定值的是()

A.aiB.。6C.S9D.Sio

答案c

解析由〃2+〃5+。8=(。1+4+(〃1+46/)+(〃1+74=3〃1+12d=3(4i+4t/)=3〃5,

H

可知45為定值，S9=9(m209)=9四也為定值.

2.(2023?溫州模擬)已知a=e°L6=汨,c=1.052,則()

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>c>aD.a>c>b

答案D

解析因?yàn)镮n〃=0.1,Inc=ln1.052=21n1.05,

所以]In〃=0.05,習(xí)nc=ln(l+0.05),

先證明ln(1+x)<x(x>—1),

設(shè)7(x)=In(1+x)—x(x>—1),

1Y

則/(x)=k_l=一=，

1十尤1十無(wú)

令/(x)>0,得一1<%<0；

令/(x)<0,得無(wú)>0,

所以函數(shù)人x)在(一1,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以式0.05)勺(0),

即ln(l+0.05)-0.05<0,

ln(l+0.05)<0.05,

所以21n1.05<0.1=lne01,

即1.052<e°」,SPc<a.

￡]_j_

而6=(1.3)3<(L331)3=[(1.1)3]3=1.1,

c=1.052=1.1025>1.1,所以。>c>b.

3.(多選)(2023?馬鞍山模擬)已知拋物線;^=以的焦點(diǎn)為孔點(diǎn)尸在準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)尸作PF的

垂線且與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，貝1()

A.|尸尸|的最小值為2

B.^\PA\=\PB\,則|AB|=2|尸網(wǎng)

C.若|A8|=8,則|尸引=2限

D.若點(diǎn)P不在x軸上，貝||曲|.|咒8|>|尸砰

答案ABC

解析點(diǎn)尸(1,0),拋物線的準(zhǔn)線方程為x=—1,

設(shè)P(—1,機(jī))，|PF|=^[l-(-l)]2+m2

=人4+療2,=2,

所以點(diǎn)尸在x軸上時(shí)，|PF|有最小值2,所以選項(xiàng)A正確；

若|E4|=|PB|,根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知點(diǎn)P在x軸上，

把x=1代入y2=4x中,

得)=±2,|陰=2—(—2)=4,

此時(shí)|尸尸|=2,

于是有|AB|=2|PF|,所以選項(xiàng)B正確；

因?yàn)閨A3|=8,顯然點(diǎn)尸不在無(wú)軸上，

則有kpF^~^kAB^~,

所以直線A8的方程為y=W(x—1),代入拋物線方程中，得(2+根2)x+i=o,

設(shè)4>i,yi),Bg,>2),則XI+X2=2+M?,

I=為+1+無(wú)2+1=8、2+m2+2=8、，層=4,|尸產(chǎn)|—yfi^+m2=,4+4=2P,

所以選項(xiàng)C正確；

點(diǎn)P不在x軸上，

由上可知，尤I+X2=2+m2,X1X2=1,

卜氏B|=Qi+1)(x2+l)=xi+X2+X1X2+1=2+%2+2=加2+4,

而|P砰=4+機(jī)2,顯然照[.下8|=|尸產(chǎn)|2,

所以選項(xiàng)D不正確.

4.(2023?深圳模擬)足球是一項(xiàng)很受歡迎的體育運(yùn)動(dòng).如圖，某足球場(chǎng)的底線寬AB=72碼，球

門寬所=8碼，球門位于底線的正中位置.在比賽過(guò)程中，攻方球員帶球運(yùn)動(dòng)時(shí)，往往需要

找到一點(diǎn)P,使得/EPF最大,這時(shí)候點(diǎn)尸就是最佳射門位置.當(dāng)攻方球員甲位于邊線上的

點(diǎn)0處(0A=A3,OALAB)時(shí)，根據(jù)場(chǎng)上形勢(shì)判斷，有近，應(yīng)兩條進(jìn)攻線路可供選擇.若

選擇線路則甲帶球碼時(shí)，到達(dá)最佳射門位置.

答案72—16小

解析若選擇線路力，設(shè)AP=，其中0<W72,AE=32,A尸=32+8=40,

Ap37AF40

貝ItanNAPE=”=+，tan/AP尸=笠=乎，

r\.LLI

所以tanZEPF=tan(ZAPF-/APE)

tan/APF-tanNAPE

1+tanZAPFtanNAPE

40_328

t~t______t

=-1280=-1280

1+~T~1+~J~

1OQA

當(dāng)且僅當(dāng)f=-「，即t=16小時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)。尸=。4一人夕=72—16小,

所以，若選擇線路宓，則甲帶球（72—16巾）碼時(shí)，到達(dá)最佳射門位置.

5.（2023?蘭州模擬）某省農(nóng)科院為支持省政府改善民生，保證冬季蔬菜的市場(chǎng)供應(yīng)，深入開展

了反季節(jié)蔬菜的相關(guān)研究，其中一項(xiàng)是冬季大棚內(nèi)的晝夜溫差x（七）與反季節(jié)蔬菜種子發(fā)芽數(shù)

y（個(gè)）之間的關(guān)系，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間觀測(cè)，獲得了下列一組數(shù)據(jù)&值為觀察值）：

溫差尤（℃）89101112

發(fā)芽數(shù)y（個(gè)）2324262730

（1）在所給坐標(biāo)系中，根據(jù)表中數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，并判斷y與尤是否具有線性相關(guān)關(guān)系（不需要

說(shuō)明理由）；

（2）用直線/的方程來(lái)擬合這組數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系，若直線/過(guò)散點(diǎn)圖中的中間點(diǎn)（即點(diǎn)（10,26））,

且使發(fā)芽數(shù)的每一個(gè)觀察值與直線I上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差的平方之和最小，求出直線/的

方程；

（3）用（2）中求出的直線方程預(yù)測(cè)當(dāng)溫度差為15℃時(shí)，蔬菜種子發(fā)芽的個(gè)數(shù).

解（1）作出數(shù)據(jù)分布的散點(diǎn)圖，如圖所示，由散點(diǎn)圖知五個(gè)點(diǎn)明顯分布在某條直線的附近，

因此由散點(diǎn)圖可以判斷y與x有線性相關(guān)關(guān)系.

發(fā)芽數(shù)N個(gè)）

40--------------------------------------------

30--------------------------------------------

20--------------------------------------------

10--------------------------------------------

024681（）1214溫右①）

（2）設(shè)直線的方程為廠26=總一10）,即尸十-10）+26,

則五個(gè)無(wú)值對(duì)應(yīng)的直線/上的縱坐標(biāo)分別為-24+26,—％+26,左+26,24+26,

若設(shè)觀察值與縱坐標(biāo)差的平方和為D,

則。=（一2k+3）2+（一左+2）2+（左一I）2+（24一4）2=10爐一344+30=1+",

17,17

所以當(dāng)人=元時(shí)。取最小值，此時(shí)直線/的方程為丁=6+9.

17

⑶由直線I的方程為了=育+9,

17

令x=l5,可得丁=正乂15+9=34.5仁35,

所以可預(yù)測(cè)當(dāng)溫度差為15℃時(shí)，蔬菜種子發(fā)芽的個(gè)數(shù)約為35.

［周二］

1.（2023?南京模擬）在運(yùn)動(dòng)會(huì)中，甲、乙、丙參加了跑步、鉛球、標(biāo)槍三個(gè)項(xiàng)目，每人參加的

比賽項(xiàng)目不同.已知①乙沒(méi)有參加跑步；②若甲參加鉛球，則丙參加標(biāo)槍；③若丙沒(méi)有參加

鉛球，則甲參加鉛球.下列說(shuō)法正確的為（）

A.丙參加了鉛球

B.乙參加了鉛球

C.丙參加了標(biāo)槍

D.甲參加了標(biāo)槍

答案A

解析由①乙沒(méi)有參加跑步，則乙參加鉛球或標(biāo)槍，若乙參加鉛球，則丙就沒(méi)有參加鉛球，

由③可知甲參加鉛球，故矛盾，所以乙參加標(biāo)槍，顯然丙沒(méi)有參加標(biāo)槍，則丙參加鉛球，甲

參加跑步.

綜上可得，甲參加跑步，乙參加標(biāo)槍，丙參加鉛球.

2.（2023?浙江金麗衢十二校聯(lián)考）數(shù)學(xué)里有一種證明方法叫做Proofwithoutwords,也被稱為無(wú)

字證明，是指僅用圖象而無(wú)需文字解釋就能不證自明的數(shù)學(xué)命題，由于這種證明方法的特殊

性，無(wú)字證明被認(rèn)為比嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明更為優(yōu)雅和有條理.如圖，點(diǎn)C為半圓。上一點(diǎn)，

垂足為記NCOB=6,則由tanN5cH=器可以直接證明的三角函數(shù)公式是（）

0H

1+cos9

0l—cos)

Ctan5=sin9

61+cos8

D-tan2=sin6?

答案C

解析由已知NCOB=0,則/CBO=%5，NBCH=j,又tan弓=券,

ZZZZC/i

CHOH

sin8=0C，cos3=oc，BH+OH=OB=OC,

i。一器即9

因此1s?ind/)-=-C/^THT-=-^z-?=rjr-t-atann]

3.（多選）（2023?南京模擬）已知四棱柱ABC。一A向GA的底面ABC。為正方形，AA^AB,

NAiAB=NAiAO=60。，貝!!（）

A.點(diǎn)4在平面ABC。內(nèi)的射影在AC上

B.AG_L平面

C.ACi與平面ArBD的交點(diǎn)是的重心

D.二面角Bi-BD-C的大小為45°

答案ACD

解析設(shè)A4i=a,AB=b,AD=c,正方形的邊長(zhǎng)為1,則a-Z>=1X1Xcos60。=3,

a-c=lX1Xcos60°=^,bc=0,

對(duì)于選項(xiàng)A,AAi=AB,ZAiAB=ZAiAD=60°,根據(jù)對(duì)稱性知，點(diǎn)Ai在平面ABC。內(nèi)的射

影在NBA。的平分線上，即在AC上，故A正確;

對(duì)于選項(xiàng)B,ACi=a+b+c,AiB=~a+b9

ACvAiB=(a+b+c)(—a+b)

=—/+52—℃+5.c=—^WO,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,設(shè)AC,8D交于點(diǎn)O,AG與40交于點(diǎn)Q,

則。即為AG與平面ALBO的交點(diǎn)，

則卷=%=2,4°為△A/D中80邊上的中線，故。為的重心，故C正確;

對(duì)于選項(xiàng)D,連接Bid與4G相交于點(diǎn)”，連接H。，根據(jù)對(duì)稱性知

又AC_LB。，HOU平面2出。，ACU平面C8O,

故///OC為二面角81—BQ—C的平面角，

HC——a+^b+^c,

故瓦72=(_a+*+$)2

故HC=^,HO=AAi=l,"=室

故/HOC=45。,正確.

4.(2023?蚌埠質(zhì)檢)已知a=(l,2),b=Q,m),a1(a~3b),則機(jī)=.

1

答案6-

解析由已知可得35=(1,2)—3(2,m)=(—5,2—3m),

由題意可得。(。-38)=—5+2(2—3根)=0,解得m=—1.

5.(2023?福州模擬)記△A3C的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為〃，b,c,已知〃一次=2，.

⑴求黑的值；

(2)求。的最大值.

222222

解(1)由余弦定理可得b=c+a—2accosB,代入b—a=2c9

得(c2+/—2〃ccosB)一足=2心,

化簡(jiǎn)得，+2QCCOS3=0,

即c+2〃cos5=0.

由正弦定理可得sinC+2sinAcosB=0,

即sin(A+B)+2sinAcosB=09

展開得sinAcosB+cosAsinB+2sinAcos8=0,即3sinAcosB=—cosAsinB,

所以煞=7.

(2)由〃一，=2c2得02=彳Q,

9?〃一次

./+扇―2a+b—^~

故COSC—

3tz2+Z?23ab

4ab4b4。

當(dāng)且僅當(dāng)廬=34，即人=小〃時(shí)等號(hào)成立.

7T

因?yàn)镃e（o,兀），所以CW會(huì)

所以C的最大值為強(qiáng)

［周三］

1.(2023?白山模擬)已知向量。=(1,機(jī))，6=(-1,0),S.\a-b\=a-b+6,則同等于()

A.小B.25C.y/22D.2^6

答案C

解析因?yàn)橄蛄俊?(1,m),6=(—1,0),

所以〃一)=(2,m),ab=—l,

又因?yàn)閨a—b\—ab-\-6,

所以人22+力2=5,解得祖2=21,

所以\a\=yll2+m2=yl22.

115

2.已知函數(shù)於)的定義域?yàn)镽,且人工+1)+加一1)=2,若大0)=2,則%%)等于()

k=\

A.116B.115C.114D.113

答案C

解析由1)=2,

得大工+2)+外)=2,

即式x+2)=2-Kx),

所以X%+4)=2-/(尤+2)

=2-[2-/(x)]=Ax),

所以函數(shù)式x)是以4為周期的函數(shù)，

又八x+l)+/(x—1)=2,

所以近1)+負(fù)3)=2,汽2)+人4)=2,

所以人1)+八2)+八3)+八4)=4,

又八0)+五2)=2,八0)=2,所以八2)=0,

115

所以ZA?=[/U)+八2)+八3)+八4)]義28+/U)+負(fù)2)+負(fù)3)=4義28+2+0=114.

k=l

3.(多選)(2023?永州模擬)已知拋物線C：丁=2川3>0)的焦點(diǎn)為R直線/與C交于4(無(wú)1，以),

3(X2,m)兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)M是43的中點(diǎn)，MV垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)N,則下列

結(jié)論正確的是()

A.若石'=3而，則直線/的傾斜角為方

B.點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為粵

C.若直線/經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)/且而?為=-12,則p=4

D.若以AB為直徑的圓M經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)尸，則牒^勺最小值為艱

答案ACD

解析對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)樘K=3逐，所以A,F,8三點(diǎn)共線，即直線/經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn).

當(dāng)直線/的斜率為0時(shí)，此時(shí)直線/與C只有1個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，

故設(shè)直線/：x=2+my,與y2=2px聯(lián)立，

得y2—2pmy—p2=0,

故丁1+竺=2〃機(jī)，y\yi=—p1,

因?yàn)楹?3麗，所以》=—3"，

因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，所以%>0,故以<0,

BP—pm<0,m>0,

解得m=9,故直線/的斜率為(=S，設(shè)直線/的傾斜角為伏0<*兀)，

則tan9=q§,解得。=辛A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)直線/不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)喔，0)時(shí)，設(shè)|A2"，\BF\=n,

由三角形三邊關(guān)系可知\AF\+\BF\>\AB\,

由拋物線定義可知|AP+|8川=2\MN\>\AB\,

即B不正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，由題意得展，0),

準(zhǔn)線方程為X=一$

當(dāng)直線/的斜率為。時(shí)，此時(shí)直線/與C只有1個(gè)交點(diǎn)，不符合題意,

故設(shè)直線/：x—^+my,與y2=2px聯(lián)立得產(chǎn)―2/w/y—p2=0,

故yI+y2=2Pm,yU2=-p2,

(.yi.Y2)2P2

則X1X2=

4P2-4'

、

所以?！??！?=彳1及+”>2="22—p2=-12,

解得p=4,C正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)|AF|="，\BF\=n,

過(guò)點(diǎn)A作A。，準(zhǔn)線于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)2作BP,準(zhǔn)線于點(diǎn)尸,

因?yàn)橐訟8為直徑的圓M經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)E所以

則\AB\=yjm1+n2,

由拋物線定義可知,

\AQ\+\BP\\AF]+\BF]

\MN\=22

m+n

=2

由基本不等式得m2+n2^2mn,

則2(m2+n2)^2mn+m2+H2=(m+n)2,

當(dāng)且僅當(dāng)m=九時(shí)，等號(hào)成立，

m+n

故、加2+/三

\AB\N蘇+序2\]m2+"2

即，

|MN]m~\-nm~\~n

2

D正確.

4.(2023?溫州模擬)平面內(nèi)有四條平行線，相鄰兩條間的距離為1,每條直線上各取一點(diǎn)圍成

矩形,則該矩形面積的最小值是

答案4

解析如圖，四邊形ABCD為矩形,

令/￡AB=0e（0,5）,

12

則48=而房五分

所以S=L2-N4,當(dāng)且僅當(dāng)。=今71時(shí)等號(hào)成立，故面積的最小值是4.

/sin20

5.(2023?江蘇八市模擬)如圖，在圓臺(tái)OOi中，AxBi，AB分別為上、下底面直徑，且

AB^2AiBltCG為異于AAi，8以的一條母線.

(1)若M為AC的中點(diǎn)，證明：〃平面A36A1；

(2)若。。尸3,AB=4,ZABC=30°,求平面。CG與平面ACG夾角的正弦值.

⑴證明如圖，連接4G,

因?yàn)樵趫A臺(tái)。。1中，上、下底面直徑分別為A/i,AB,且4S〃AB,

所以44i,BBi,CCi為圓臺(tái)母線且交于一點(diǎn)P,

所以A,Ai,Ci,C四點(diǎn)共面.

在圓臺(tái)。01中，平面ABC//平面A\B\C\,

由平面A41cleG平面A5C=AC,平面AAiCiCG平面Ai8]Ci=AiCi,得AiG〃AC

又AiS〃A3,AB=2A[Bi,

,PA\A\B\1

歷以R一方_一]，

所以受=魯=3，即G為PC中點(diǎn).

1Cz/ri乙

在AB4c中，M為AC的中點(diǎn)，所以CiM〃用，即CiM〃AAi.

因?yàn)锳4U平面AB214,GMC平面ABB14,

所以GM〃平面ABBiAi.

(2)解以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,。01分別為y,z軸，過(guò)。且垂直于平面A881A1的直線為x

軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)镹ABC=30。，

所以/AOC=60。.

則A(0,-2,0),C(A/3,-1,0),01(0,0,3).

因?yàn)樵?(小，-1,0),

所以求71=3沆=修，—1,0)

所以C1(坐，—1,3),

所以忒=惇，-1,一3).

設(shè)平面OCG的法向量為“1=(X1,yi,zi),

Hi,OC—O,

所以1

Hi,CiC—09

小西-yi=0,

所以近11n

2為—2y1—3zi=0,

令陽(yáng)=1,則y=小，zi=0,

所以〃i=(i,o),又危=(/，i,o),

設(shè)平面ACG的法向量為"2=(X2,及，Z2),

H2,AC=0,

所以X

jtyC\C-0,

小型+丁2=0,

所以近1.

2%2-5y2—3Z2=0,

令X2=l,則丁2=一小，Z2=29

所以改=（1,一小，雪），

所以COS〈〃1,〃2〉

1X1+V3X（-V3）+OX^

弋1+3義yJl+3+g

_V39

―13-

設(shè)平面0CC1與平面ACG的夾角為6,

-J39

則cos9=|cos〈〃1,“2〉1=

所以sin0=亞二荷花="*.所以平面OCG與平面ACC1夾角的正弦值為“鏟.

［周四］

1.（2023?青島模擬）龍洗，是我國(guó)著名的文物之一，因盆內(nèi)有龍紋故稱龍洗，為古代皇宮盥洗

用具，其盆體可以近似看作一個(gè)圓臺(tái).現(xiàn)有一龍洗盆高15cm,盆口直徑40cm,盆底直徑

20cm.現(xiàn)往盆內(nèi)倒入水，當(dāng)水深6cm時(shí)，盆內(nèi)水的體積近似為（）

A.1824cm3B.2739cm3

C.3618cm3D.4512cm3

答案B

解析如圖所示，畫出圓臺(tái)的立體圖形和軸截面平面圖形，并延長(zhǎng)EC與FD交于點(diǎn)G.

根據(jù)題意，AB=20cm,CD=10cm,

AC=15cm,EC=6cm,

設(shè)CG=xcm,EF=ycm,

加以20x+15'yx+69

解得x=15,y=14,

所以V=1(7tX142+7tX102+兀X14X10)X6=872兀心2739(cm3).

2.(2023?云南333聯(lián)考)已知/U)=3a2+2axlnx,°e{—1,1},g(x)=bxT,6G{1,2,3,4},

使/(x)>g(x)恒成立的有序數(shù)對(duì)(a,6)有()

A.2個(gè)B.4個(gè)C.6個(gè)D.8個(gè)

答案B

解析由題意得函數(shù)定義域?yàn)?0,+8),

要想7(x)>g(x)恒成立，

即3〃2+2〃xlnx>bx—j^恒成立，

3/一，、

只需一^+24111x>Z?—龍怛成立，

3層__

只需1+五■"+2〃lnx>b恒成立，

、3a2

設(shè)h(x)=x-\-~^~+2alnx(x>0),

a+3a)(x—a)

h(x)—^2.,

所以當(dāng)a=~l時(shí)，

"(x)min=〃(3)=4—21n3,使/(x)>ga)恒成立的b可取1；

當(dāng)a=\時(shí)，

。㈤min=〃(l)=4,使y(X)>ga)恒成立的6可取1,2,3,

所以(a,有(1,1),(-1,1),(1,2),(1,3),共4個(gè).

3.(多選X2023?石家莊質(zhì)檢)已知正方體ABC。一A1SGA的棱長(zhǎng)為2,M,N分別是AB,CCi

的中點(diǎn)，則()

A.AC{//MN

B.BiDlMN

平面MND截此正方體所得截面的周長(zhǎng)為主容叵

C.

D.三棱錐Bi-MND的體積為3

答案BC

解析如圖1,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DA所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系,

則A(2,0,0),Ci(0,2,2),M(2,l,0),MO,2,1),D(0,0,0),3(2,2,2),

/1=(—2,2,2),血=(—2,1,1),

麗=(2,2,2).

—2?

因?yàn)橐凰訟G與MN不平行，A不正確;

—21

因?yàn)榧??疝=2X(—2)+2Xl+2Xl=0,所以BQ_LAfN,B正確;

如圖2,取881的中點(diǎn)P,8P的中點(diǎn)。，連接AP,MQ,NQ,

圖2

由正方體的性質(zhì)可知，AP//DN.

因?yàn)椤７謩e為AB,8P的中點(diǎn)，

所以A尸〃M。，所以。N〃MQ；

平面MND截正方體所得截面為梯形DMQV,

因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2,

所以。M=rw=小，MQ=yJy+g)2=手

"=^22+$=華,

所以平面MND截此正方體所得截面的周長(zhǎng)為§巾;遮,C正確;

由上面分析可知，DN//MQ,DNU平面BQN,平面B0N,

所以〃平面BiOV,即點(diǎn)M到平面SON的距離等于點(diǎn)。到平面BON的距離，如圖3,

^Q-BND

VB「MND-%-BiND-i-VD-B、NQ，

圖3

1113

VXX><2

而D-BiNQ=-Sg、NQ-￡>C=322X2=1,所以三棱錐Bi—MND的體積為1,D不正確.

4.(2023?懷化模擬)如圖，A,尸分別是雙曲線C：”一言=1(。>0,6>0)的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過(guò)

A,尸作雙曲線的同一條漸近線的垂線，垂足分別為4,F,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若心.，'.SmFF

二3：2,則C的離心率為_________________________________________

答案華

解析由題意可知A(a,0),F(c,0),不妨取漸近線方程為6x—ay=0,

abab

則點(diǎn)A到漸近線的距離為A4‘

一、層+匕2—C

be

點(diǎn)尸到漸近線的距離為FF'

又因?yàn)镾^OAA'?S梯形4rF1尸=3:2,

所以S^OAA1-S^OF,尸=3:5,

且易知△O4A'S^OFP,

所以穿H步｝4

即可得自喟，

所以離心率6=^=雪.

5.(2023?臺(tái)州模擬)已知數(shù)列｛〃〃｝,｛為｝滿足：的+2加=1,即+1=不〃一］源2為+1=］?！ㄒ黄叫?/p>

⑴求證：數(shù)歹！J｛斯+2瓦｝是等比數(shù)列；

(2)若(從下列三個(gè)條件中任選一個(gè))，求數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和S〃.

①防一28=1；②岳=一點(diǎn)③〃2—2岳=1.

⑴證明因?yàn)閍n+i=^an—^bn,

C7_3,1

2為+1-4""9

=5(〃〃+2"),

匕=2斯+1+2Z7”+11

所以a,+2bn=，'

又因?yàn)閍i+2bi=l9

所以數(shù)列｛斯+2兒｝是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)歹L

(2)解由(1)知斯+2/?〃=亍*,

又因?yàn)閍n+\~2bn+

一斯-2bn,

所以數(shù)列｛斯一2?！ǎ秊槌?shù)列.

若選擇條件①或③，均可得以—2瓦=1,

所以斯=)+4

所以s“=三一/

若選擇條件②，

311

-%±1

24--

—

又因?yàn)閍i+2bi=l,

所以0=1,。1=0,所以—2%=1,

所以an—2bn=l,

所以斯=/+；,

所以斗=華1

[周五]

1（2023?邵陽(yáng)模擬）已知集合A=[-2,5],若“x^B”是“尤?A”的充分

不必要條件，則根的取值范圍是（）

A.（―8,3]B.（2,3]

C.0D.[2,3]

答案B

解析若FB”是“xGA”的充分不必要條件，則8A,

m+l<2m—1,

所以“w+12一2,（兩個(gè)等號(hào)不同時(shí)取到）

解得2<mW3,即機(jī)的取值范圍是（2,3].

2.（2023?滄州調(diào)研）已知函數(shù)/U）=cos（0x+￥）（其中。>0）的圖象關(guān)于直線尤=襲對(duì)稱，當(dāng)於）

的最小正周期取得最大值時(shí)，距離原點(diǎn)最近的對(duì)稱中心為（）

A.俘0）B?,0）

C.（一告,0）D.（W0）

答案D

解析由已知得卻+￥=EgZ）,

9

即①=6%—]（%￡Z）,

3

當(dāng)％=1時(shí)，co取最小值],則T最大，

令%+竽=升左兀（左WZ）,則其對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為欠=*兀一財(cái)金Z）,

當(dāng)左=0時(shí)，函數(shù)八x）的圖象上距離原點(diǎn)最近的對(duì)稱中心為（一襲，0）.

3.（多選）（2023?寧德質(zhì)檢）某工廠有甲、乙兩個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量比為2:3.從兩

個(gè)車間中各隨機(jī)抽取了10個(gè)樣品進(jìn)行測(cè)量，其數(shù)據(jù)（單位：mm）如下：

甲車間：9.410.19.810.210.010.110.29.610.39.8

乙車間：10.39.29.610.010.39.810.49.410.210.3

規(guī)定數(shù)據(jù)在(9.5,10.5)內(nèi)的產(chǎn)品為合格品.若將頻率作為概率，則以下結(jié)論正確的是()

A.甲車間樣本數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為9.8

B.從樣本數(shù)據(jù)看，甲車間的極差小于乙車間的極差

C.從兩個(gè)車間生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，取到合格品的概率為0.84

D.從兩個(gè)車間生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，若取到不合格品，則該產(chǎn)品出自甲車間的概率為0.4

答案BC

解析對(duì)于A,甲車間樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為9.4,9.6,9.8,9.8,10.0,10.1,10.1,10.2,10.2,10.3,

又10*40%=4,所以第40百分位數(shù)為第4,5兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即差出=9.9,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,甲車間的極差為10.3—94=0.9,乙車間的極差為10.4—92=1.2,故B正確；

對(duì)于C,從樣本數(shù)據(jù)可知甲車間合格品的概率尸1=%，乙車間合格品的概率22=%=予

甲、乙兩車間產(chǎn)量比為2：3,

293421

若從兩個(gè)車間生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，取到合格品的概率尸=不義而+與義彳=正=0.84,故C

正確；

對(duì)于D,由C可知取到不合格品的概率尸3=1一尸=1—0.84=0.16,

所以若取到不合格品，則該產(chǎn)品出自甲車間的概率A=—萬(wàn)正一=0.25,故D錯(cuò)誤.

4.(2O23?寧德質(zhì)檢)已知函數(shù)危)滿足如下條件：①定義域?yàn)镽；②存在xo￡R,使得y(%o)=/5))

=o；③/a)wo,試寫出一個(gè)符合上述要求的函數(shù)加)=.

答案一f(答案不唯一)

解析設(shè)?x)=—%2,則函數(shù)定義域?yàn)镽,f(x)=-2x,火0)=/(0)=0,

5.(2023?白山模擬)已知函數(shù)加:)=〃廿一床一以0<〃<1,Z?>0).

⑴若a=b,求作)的極值；

efe巧4/7

(2)若X1，%2是“X)的兩個(gè)零點(diǎn)，且陽(yáng)>%2，證明：---F------

al-aa

(1)解由題可知，當(dāng)4=Z?時(shí)，

f(x)=〃e，一a=4(e*—l),

則當(dāng)x￡(—8,0)時(shí)，f(%)<0,火x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x￡(0,+8)時(shí)，f(x)>0,大方單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=0時(shí)，/(x)取得極小值〃一。，無(wú)極大值.

(2)證明記e*=A,e*2=亥，

貝I。九一bln九一c=0,at2~b\nt2-c=09

作差得a(t[—t2)=b\n*

曰Ji—亥b曲f口口e"1e"24b

即——要證明——+---->—

皿五0al-aa

t2

ti4^(1—a)(t1—t2)

只需證In->-------------

t?(1—d)t\-\-at2

4〃(1-a)(機(jī)—1)

即證Inm>

(l—d)m+a

令g(m)=lnm-(i-X+.(m>1)>

2

M1,[(1—4Z)m—ti]

則g(附F(i—加+行NO,

所以gO）是（1,+8）上的增函數(shù),

則g（m）>g⑴=0,

心、，e%e*46…

所以---1----->〃成立.

a\-a"

［周六］

1.（2023?武漢調(diào)研）已知集合4={尤*—尤一6<0},8={x|2x+3>0},則AC8等于（）

A（—2,一|）B（|,3）

答案C

解析由題意得4=（—2,3）,8=（一|，+8）,則ACB=（一|,3）.

2.碳14是碳元素的一種同位素，具有放射性.活體生物體內(nèi)的碳14含量大致不變，當(dāng)生物

死亡后，其組織內(nèi)的碳14開始衰變并逐漸消失.已知碳14的半衰期為5730年，即生物死

t

（1A5730

亡f年后，碳14所剩質(zhì)量C⑺=孰2,其中Co為活體組織中碳14的質(zhì)量.科學(xué)家一

般利用碳14這一特性測(cè)定生物死亡年代.2023年科學(xué)家發(fā)現(xiàn)某生物遺體中碳14含量約為原始

質(zhì)量的0.8倍，依據(jù)計(jì)算結(jié)果并結(jié)合下圖中我國(guó)歷史朝代的時(shí)間軸可推斷該生物死亡的朝代

為（參考數(shù)據(jù)：lg2po.301）（）

西漢東漢三國(guó)晉朝

__________III____________II

公元前202年公元25年公元公元公元

220年28()年42()年

A.西漢B.東漢C.三國(guó)D.晉朝

答案B

解析由題意知C

o=O.8Co,

所以'2=

所以f=5730X±J詈，

1—0.903

所以個(gè)5730X030]%847.

2023-1847=176,故對(duì)應(yīng)死亡的朝代為東漢.

3.(多選X2023?青島模擬)若關(guān)于x的方程-=—4的復(fù)數(shù)解為zi,Z2,則()

A.z「Z2=-4

B.Z1與Z2互為共輾復(fù)數(shù)

C.若zi=2i,則滿足zz=2+i的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限

D.若|z|=l,貝！J|z一z「Z2|的最小值是3

答案BD

解析因?yàn)?±2i)2=-4,

因此不妨令方程f=-