2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)講義：直線方程及直線間的位置關(guān)系（學(xué)生版+解析）

第01講直線方程及直線間的位置關(guān)系

（7類核心考點(diǎn)精講精練）

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

給值求值型問題

2023年新I卷，第6題,5分已知點(diǎn)到直線距離求參數(shù)余弦定理解三角形

切線長

求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)

2023年新II卷，第15題,5分由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)

直線關(guān)于直線對稱問題

2022年新II卷，第3題,5分已知斜率求參數(shù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算

2022年全國甲卷（理科），

已知兩點(diǎn)求斜率求橢圓的離心率或離心率的取值范圍

第10題,5分

2022年全國甲卷（文科），

求平面兩點(diǎn)間的距離由圓心（或半徑）求圓的方程

第14題,5分

2021年新n卷,第3題,5分己知點(diǎn)到直線距離求參數(shù)根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)或準(zhǔn)線

2021年全國甲卷（文科），

求點(diǎn)到直線的距離已知方程求雙曲線的漸近線

第5題,5分

2021年全國乙卷（文科），

求點(diǎn)到直線的距離求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)

第14題,5分

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5-6分

【備考策略】1.理解、掌握直線的傾斜角與斜率及其關(guān)系

2.熟練掌握直線方程的5種形式及其應(yīng)用

3.熟練掌握距離計(jì)算及其參數(shù)求解

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，通常和圓結(jié)合在一起考查，需重點(diǎn)練習(xí)

知識(shí)講解

1.兩點(diǎn)間的距離公式

A（X],yJ，B（X2,y2）,|人q=J（%2—%y+（%一yy

2.中點(diǎn)坐標(biāo)公式

Xi+x2

12

A（Xi，%）,B（x2,y2）,“（jo,%））為AB的中點(diǎn)，貝J：<

M+%

%=

2

3.三角形重心坐標(biāo)公式

A（Xj，必）,B（X2,y21ca,%），”（尤。，％）為AA3CM心

X；+x2+x3

xo=

3

%+為+%

=<%=

3

Zi+Z2+Z3

3

4.直線的斜率與傾斜角的定義及其關(guān)系

（1）斜率：表示直線的變化快慢的程度；k>Q,直線遞增，k<0,直線遞減,

（2）傾斜角：直線向上的部分與x軸正方向的夾角，范圍為[0,萬）

（3）直線的斜率與傾斜角的關(guān)系：k=tan0

e0°30°45°60°90°120°135°150°

旦_V3

tan80不存在

1V3-V3-1一W

5.兩點(diǎn)間的斜率公式

k

A（X1,%）,B（X2,%），AB=—~—

6.直線的斜截式方程

y=kx+b,其中左為斜率，b為y軸上的截距

7.直線的點(diǎn)斜式方程

已知點(diǎn)尸（%,％），直線的斜率左，則直線方程為：y-y0^k（x-x0）

8.直線的一般式方程

Ax+By+C^O（A2+B2^0）

9.兩條直線的位置關(guān)系

（1）平行的條件

k]—k?

①斜截式方程：ll:y=klx+bl,I,.y=k,x+b2,

4迅

”2=44

②一般式方程：(：A%+用y+G=。，，2：A2x+B2_y+C2=0,/"http://20V

&G

AJC2H

（2）重合的條件

①斜截式方程：（y=左科+4,，2：y=42%+62，/112重合o<

②一般式方程：

工人fAB9=A1B,

4:A/+gy+G=0,:4x+B2y+C,—0,/1,/,重s<=><"

IAQ=Aci

(3)垂直的條件

k

①斜截式方程：4y=左X+偽，Z2:y^k2x+b2,乙J_乙=Ki=T

②一般式方程：

I1:A九+與丁+G=。，，2：^2^+32y+。2=o，41，4<^>+B[B2—0

10.點(diǎn)到直線的距離公式

點(diǎn)尸（公,%）,直線/：Ax+3y+C=0,點(diǎn)到直線的距離為：1=邑二幽土^

川+笈

11.兩條平行線間的距離公式

考點(diǎn)一、直線的傾斜角與斜率

典例引領(lǐng)

1.（2024?上海?高考真題）直線了->+1=0的傾斜角.

2.（23-24高二上?青海西寧?階段練習(xí)）已知A（2%,2）,8（4,-l）,C（-4,-附三點(diǎn)在同一條直線上，則實(shí)數(shù)機(jī)的

值為—.

3.（23-24高二上?山東棗莊?階段練習(xí)）經(jīng)過A。,機(jī)）,3（m-1,3）兩點(diǎn)的直線的傾斜角是鈍角，則實(shí)數(shù)m的范

圍是.

4.（23-24高二上?福建廈門?期中）已知兩點(diǎn)A（-3,2）,B（2,l）,過點(diǎn)P（0,-l）的直線/與線段A3（含端點(diǎn)）

有交點(diǎn)，則直線/的斜率的取值范圍為（）

A.（-<x）,-l][1,-Kx））B.[T1]

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）直線％sin2-ycos2=0的傾斜角的大小是（）

11

A.——B.-2C.-D.2

22

2.（2024?河南信陽?二模）已知直線2x-y+l=0的傾斜角為則tan2a的值是.

3.（2022?上海?模擬預(yù)測）若d=（2,-4）是直線/的一個(gè)方向向量，則直線/的傾斜角大小為

考點(diǎn)二、直線的5種方程

典例引領(lǐng)

1.（22-23高三?全國?課后作業(yè)）經(jīng)過點(diǎn)（-3,1）和點(diǎn)（2,-2）的直線方程是.

2.（22-23高二上?山東日照?階段練習(xí)）過點(diǎn)4（4,1）且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線的方程是

3.（22-23高二上?廣東江門?期末）直線岳+y+2=0的傾斜角及在y軸上的截距分別是（）

A.60°,2B,60°,-2C.120°,-2D.120°,2

4.（24-25高三上?湖南長沙?開學(xué)考試）過點(diǎn)（T,2）,傾斜角為方的直線方程為（）

A.x-y+2=0B.x+y+2=0C.x-y=2D.x—y+l=0

5.（20-21高一?全國?單元測試）如果ACvO,BC>Q,那么直線Ax+冷+C=0不通過（）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）過點(diǎn)A（0,2）且傾斜角的正切值是w的直線方程為（）

A.3尤一5y+10=0B.3x—4y+8=0

C.3尤+5y-10=0D.3x+4y-8=0

2.（21-22高二上?湖南?階段練習(xí)）已知直線/過點(diǎn)G（l,-3）,H（-2,1）,則直線/的方程為（）

A.4x+y+7=0B.2x-3y-ll=0C.4x+3y+5=0D.4x+3y—13=0

3.（23-24高二上?陜西?階段練習(xí)）直線％-2y—2=。在X軸上的截距為〃，在y軸上的截距為乩則（）

A.a=2,b=lB.a=2fb=—1

C.a=-2,b=lD.a=-2,b=—l

4.（2024高三?全國?專題練習(xí)）己知直線/的斜率為6,且被兩坐標(biāo)軸所截得的線段長為后，則直線/的

方程為（）

A.y—6x+737B.y=6x+6

C.y=6x±6D.y=6x~6

5.（18-19高一下,福建莆田?期中）如果AC<0且RC<0,那么直線Av+2y+C=0不通過（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

考點(diǎn)三、兩直線平行求參數(shù)

典例引領(lǐng)

1.（23-24高三上?陜西西安?階段練習(xí)）已知直線皿+2y+m+2=。與直線4x+（m+2）y+27〃+4=。平行，

則m的值為（）

A.4B.-4C.2或TD.-2或4

2.（2024,全國,模擬預(yù)測）已知直線（：ax+3y—6=0,直線4：2x+（a—l）y—4=0,貝!]"a=—2"是"4〃4”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

1.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）已知直線4：辦+3丫-6=0,直線/2：2了+（4-1刀-4=0,貝|”〃4”是"4=3

或。=-2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2023?河北保定■三模）已知直線4:ox—5y—1=0,4：3x—（a+2）y+4=0,"。=3"是"4〃4"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

考點(diǎn)四、兩直線垂直求參數(shù)

典例引領(lǐng)

1.（23-24高三下?江蘇?階段練習(xí)）已知直線4：6x+3y+l=0,若直線4與4垂直，則4的傾斜角是（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

2.（23-24高三下?安徽蕪湖?階段練習(xí)）已知直線小“7-3=0,/2：（根—2）尤7+1=0,貝1]"m=1"是"/—/2"

的)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

1.（2024?四川南充■一模）"加=1"是"直線A:x+（m+l）y+l=0與直線［：O+l）x-沖-1=0垂直”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（23-24高三上?河北?階段練習(xí)）已知直線4：or+2y+6=0與直線4：bx-y+a=。垂直，則1+萬?的最小

值為（）

A.2B.4C.6D.8

考點(diǎn)五、直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

典例引領(lǐng)

22

1.（2024.廣西柳州?模擬預(yù)測）雙曲線上-匕=1的一個(gè)頂點(diǎn)到漸近線的距離為（）.

416

A.75B.4C.半D.26

2.（2024?黑龍江吉林?二模）兩條平行直線jx+y+l=0,/2：x+y-l=0之間的距離是（）

A.1B.72C.2A/2D.2

22

1.（23-24高二下?廣西?開學(xué)考試）橢圓三+匕=1的上頂點(diǎn)到雙曲線x?-y2=i的漸近線的距離為（）

59

A.72B.—C.2D.-

22

2.（23-24高二上,河南,期中）若直線4：x+ay-2=O與/2：2x+（/+l）y-2=0平行，則兩直線之間的距離

為（）

A.J2B.1C.—D.2

2

考點(diǎn)六、直線恒過定點(diǎn)問題

典例引領(lǐng)

1.（2022高三?全國?專題練習(xí)）已知直線（3〃La）x+O+2〃）y-〃=。則當(dāng)加，〃變化時(shí)，直線都通過定點(diǎn)—

2.（2024?重慶?三模）當(dāng)點(diǎn)P（TO）到直線/：（32+l）x+（X+l）y-（44+2）=0的距離最大時(shí)，實(shí)數(shù)X的值為

（）

A.-1B.1C.-2D.2

1.（20-21高二上?安徽六安?期末）直線區(qū)-y+l-3%=0,當(dāng)左變動(dòng)時(shí)，所有直線都通過定點(diǎn)（）

A.（3,1）B.（0,1）C.（0,0）D.（2,1）

2.（23-24高三上?四川?階段練習(xí)）已知直線/:（根+l）x-y-3m-2=0,則點(diǎn)尸到直線/的距離的最大

值為.

考點(diǎn)七、直線綜合問題

典例引領(lǐng)

1.（24-25高二上?江蘇泰州?階段練習(xí)）已知河（2,5）,N（-2,4）,動(dòng)點(diǎn)尸在直線//-2丫+3=0上.則|「網(wǎng)+|川|

的最小值為.

2.（24-25高二上?四川成者B?階段練習(xí)）已知直線4：A%+耳、+￡=0，（4,4，^N°）與直線

k-.A.x+B.y+Q=0,（4，S2,C2^0）,則直線//關(guān)于V軸對稱的充要條件是（）

A"=邑

BR_A=A

B2C2-AB2

c_A=D_A=A=5_

A,B2C24B2C2

3.（24-25高二上?山東濰坊?階段練習(xí)）點(diǎn)尸到直線/:。+3九）彳+（1+九）、-2-4/1=0（/1€1＜）的距離最

大時(shí)，其最大值以及此時(shí)的直線方程分別為（）

A.5/13;2x—3y+l=0B.A/1T;3X+J—4=0

C.厄3x+2y-5=0D.7TT；2x-3y+l=0

4.（24-25高二上?河北石家莊?階段練習(xí)）已知點(diǎn)4（2,-3）,3（-5,-2）,若直線/：蛆+y+優(yōu)-1=0與線段A8

（含端點(diǎn)）有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

43

A.

3,4

34

C.

4,3

1.（24-25高二上?四川成都?階段練習(xí)）已知平面上兩點(diǎn)4（4,1）,以0,4）,M是直線3尤7-1=。上一動(dòng)點(diǎn)，則

|九洲-|“同的最大值為（）

5L

A.—B.布C.2括D.5

2.（24-25高二上?四川成都?階段練習(xí)）平面內(nèi)四個(gè)點(diǎn)陷（0,3）,陷（2,0）,陷（4,1）,以（6,4）分布在直線

/:Ax+By+C=。的兩側(cè)，且兩側(cè)的點(diǎn)到直線/的距離之和相等，則直線/過定點(diǎn)（）

A.（2,3）B.（3,2）C.（-2,-3）D.（-3,-2）

3.（24-25高二上?陜西西安?階段練習(xí)）過點(diǎn)P（0,-l）作直線/,若直線/與連接4（-2,1）,川20,1）兩點(diǎn)的線

段總有公共點(diǎn)，則直線/的傾斜角范圍為（）

4.（24-25高二上,福建廈門?階段練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)尸（0,-D作直線/,若直線/與連接A（-2,l）,2（-1,-g-1）兩點(diǎn)的

線段總有公共點(diǎn)，貝心的傾斜角a的取值范圍為（）

“兀rrc、「八兀r/兀3兀r?兀r3兀、

A.[0,—]B.[0,7i）C.[0,—]（―,—]D.r[0,—]I,7i）

IN.好題沖關(guān)

一、單選題

1.（2024?河南?三模）已知直線Ax+3y+C=0與直線y=2x-3垂直，則（）

A.A=—2Bw0B.A=2Bw0

C.B=—2Aw0D.B=2Aw0

2.（24-25高二上?福建?階段練習(xí)）已知直線I過點(diǎn)（?,3）和（3,2）,且在x軸上的截距是1,則實(shí)數(shù)機(jī)等于（）

A.1B.2C.3D.4

3.（23-24高二下?山東棗莊,期中）若點(diǎn)P是曲線y=Y-ln無上任意一點(diǎn)，貝U點(diǎn)P至U直線y=丫一4的最小距離

為（）

A.1B.y/2C.20D.4A/2

4.(2024?河南洛陽?模擬預(yù)測)"a=0"是"直線4:x+2ay-2024=0與直線4：(a-l)x+ay+2024=0平行”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2024?安徽?模擬預(yù)測）"。=2"是"直線辦+2y+2=0與直線x+（a-l）y+l=0平行”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.（2024?貴州黔南?二模）已知直線y=x+2左與直線丁=-X的交點(diǎn)在圓/+V=4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)上的取值范

圍是（）

A.—1<k<1B.—2<%<2C.—3<左<3D.--^/2<k<5/2

7.（2024?山東?二模）已知直線/與直線》-'=0平行，且在丫軸上的截距是-2,則直線/的方程是（）.

A.X—y+2=0B.x-2y+4=0

C.x-y-2=0D.x+2y-4=0

二、填空題

8.（2024?上海?三模）已知直線/的傾斜角為且直線/與直線機(jī)：X-指y+l=0垂直，則々=

9.（2024?山東,二模）過直線無+>+1=。和3》->一3=0的交點(diǎn)，傾斜角為45。的直線方程為.

10.（2024,福建泉州,模擬預(yù)測）若曲線>=強(qiáng)在無=2處的切線與直線以-丁+1=0垂直，貝.

一、單選題

1.（23-24高二上?江蘇南京,開學(xué)考試）己知直線4：g+y+3=0和直線4：3twc+（m-2）y+m=0,則“m=5"

是“〃小的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

2.（2024?河南鄭州?模擬預(yù)測）已知直線4：x+my+l=0與直線4：x+（l-2附y(tǒng)-3=0,貝7c{1,-2}”是

"4乜”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（24-25高二上?江蘇南京?階段練習(xí)）如圖所示，己知點(diǎn)4（2,0）,3（0,2）,從點(diǎn)尸（1,0）射出的光線經(jīng)直線AB

反射后再射到直線02上，最后經(jīng)直線。2反射后又回到點(diǎn)P,則光線所經(jīng)過的路程是（）

4.（24-25高二上?四川成都?階段練習(xí)）已知直線4：A》+耳y+￡=o，（A，4c*0）與直線

k-.A.x+B.y+Q=0,（4，B2,C2^0）,則直線關(guān)于'軸對稱的充要條件是（）

用_GRA-耳

與G4B2

c_A-D_A_A__^_

A,B2C2A,B2C2

5.（24-25高二上?四川成都?階段練習(xí)）已知平面上兩點(diǎn)A（4,l）,B（0,4）,M是直線3x-y-l=0上一動(dòng)點(diǎn)，則

性碎-囚倒的最大值為（）

A.I*B.75C.2A/5D.5

6.（2024?河南信陽?模擬預(yù)測）動(dòng)點(diǎn)P在函數(shù)y=-?（x+l）的圖象上，以尸為切點(diǎn)的切線的傾斜角取值范圍

是（）

712兀

A.B.C.2'T

二、多選題

Q

7.（24-25高二上?江西贛州?階段練習(xí)）若直線l]:y=--x+l,Z2:8x+15y+2=0,/：8x-15y+5=0則（）

Q

A.4的截距式方程為百x+y=iB.%〃2

c.4與之間的距離為iD.4與4的傾斜角互補(bǔ)

三、填空題

8.（24-25高二上?廣東廣州?階段練習(xí)）已知點(diǎn)尸在直線x-y-l=0上，點(diǎn)4（1,-2）,B（2,6）,則41TpM的

最小值為,此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為

9.（2024?河北?模擬預(yù)測）拋物線C:/=4x上的動(dòng)點(diǎn)p到直線y=x+3的距離最短時(shí)，P到C的焦點(diǎn)距離

為.

四、解答題

10.（24-25高二上,湖北黃岡,階段練習(xí)）已知VA3C的頂點(diǎn)4（5,1）,邊A3上的中線C。所在直線方程為

2x-y-5=0,邊AC上的高線防所在直線方程為x-2y-5=0.

⑴求邊BC所在直線的方程；

（2）求ABCD的面積.

1.（2024?上海?高考真題）直線x-y+l=0的傾斜角

2.（2024?北京?高考真題）圓龍2+y-2x+6y=0的圓心到直線x-y+2=0的距離為（

A.aB.2C.3D.30

3.（2022?全國?高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，44',8瓦小^’?！ㄊ氰欤噜忚斓乃骄嚯x

稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中OR,CG，8瓦,A4t是舉,

1

ODi，DG，CB「BA是相等的步,相鄰桁的舉步之比分別為點(diǎn)=05會(huì)=配黑=月，普=k3.已知k1,k2,k3

ULf]Cn,n/lj

成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線Q4的斜率為0.725,則％3=（）

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

22

4.（2021?全國?高考真題）點(diǎn)（3,0）到雙曲線,q=1的一條漸近線的距離為（）

9864

A.—B.—C.—D.一

5555

22

5.（2021?全國?高考真題）雙曲線三-上=1的右焦點(diǎn)到直線x+2y-8=0的距離為______.

45

6.（2021?全國?高考真題）拋物線丁=2°尤（0>0）的焦點(diǎn)到直線y=x+l的距離為則。=（）

A.1B.2C.2忘D.4

7.（2020?全國?高考真題）點(diǎn)（0,-1）到直線,=左（》+1）距離的最大值為（）

A.1B.72C.^3D

第01講直線方程及直線間的位置關(guān)系

（7類核心考點(diǎn)精講精練）

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

給值求值型問題

2023年新I卷，第6題,5分已知點(diǎn)到直線距離求參數(shù)余弦定理解三角形

切線長

求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)

2023年新II卷，第15題,5分由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)

直線關(guān)于直線對稱問題

2022年新II卷，第3題,5分已知斜率求參數(shù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算

2022年全國甲卷（理科），

已知兩點(diǎn)求斜率求橢圓的離心率或離心率的取值范圍

第10題,5分

2022年全國甲卷（文科），

求平面兩點(diǎn)間的距離由圓心（或半徑）求圓的方程

第14題,5分

2021年新H卷,第3題,5分己知點(diǎn)到直線距離求參數(shù)根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)或準(zhǔn)線

2021年全國甲卷（文科），

求點(diǎn)到直線的距離已知方程求雙曲線的漸近線

第5題,5分

2021年全國乙卷（文科），

求點(diǎn)到直線的距離求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)

第14題,5分

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5-6分

【備考策略】1.理解、掌握直線的傾斜角與斜率及其關(guān)系

2.熟練掌握直線方程的5種形式及其應(yīng)用

3.熟練掌握距離計(jì)算及其參數(shù)求解

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，通常和圓結(jié)合在一起考查，需重點(diǎn)練習(xí)

知識(shí)講解

12.兩點(diǎn)間的距離公式

M%‘%)'IA_B|=J(%2-%)2+(%—H)2

13.中點(diǎn)坐標(biāo)公式

X+x9

xo=———-

夙々，%)，M(%o，%)為AB的中點(diǎn)，則：\g

_/十>2

14.三角形重心坐標(biāo)公式

4再,％),B(X2,%),C(x3,y3\M(x0,%)為AA3踵心

%1+X2+X3

3

M+%+%

=><%=

3

Z+z?+Z3

3

15.直線的斜率與傾斜角的定義及其關(guān)系

(4)斜率：表示直線的變化快慢的程度；k>Q,直線遞增，k<0,直線遞減,

(5)傾斜角：直線向上的部分與X軸正方向的夾角，范圍為［0,〃)

(6)直線的斜率與傾斜角的關(guān)系：k=tan0

e0°30°45°60°90°120°135°150°

73_73

tan8016不存在-百-1

V

16.兩點(diǎn)間的斜率公式

A(Xi，%),3(々，%)，：

A2A1

17.直線的斜截式方程

y=kx+b；其中左為斜率，b為y軸上的截距

18.直線的點(diǎn)斜式方程

已知點(diǎn)尸(見,%)，直線的斜率左，則直線方程為：y-y0^k(x-x0)

19.直線的一般式方程

Ax+By+C^O(A2+B2^0)

20.兩條直線的位置關(guān)系

（4）平行的條件

k、—k?

①斜截式方程：4>=左％+偽，">=左2%+為，4〃，20,

b產(chǎn)b?

\B=AB

②一般式方程：4：A^x+B^y+Cy=0,1:A,x+By+C=0,Z//Z<?<22X

222t2AGw4G

（5）重合的條件

收-左2

①斜截式方程：（y=%x+4，，2：y=42戈+4，/1」2重合o<

4=包

②一般式方程:

4坊=4與

<

/]：A]九+_8]丁+G=°，12：4元+32丁+。2=0,9

4G=A2cl

（6）垂直的條件

①斜截式方程：4：3=自力+0，03=左2元+。，4，/2=k#2=-1

②一般式方程：

<>

/]:A^x+男丁+G=。，，2：42元+B2y+C*2—09_L^442+B]B2—0

21.點(diǎn)到直線的距離公式

點(diǎn)尸（方,%）,直線/：Ax+3y+C=0,點(diǎn)到直線的距離為：]=邑匕強(qiáng)乂

JA^+B2

22.兩條平行線間的距離公式

,iQ-cJ

I[:Ax+By+G=0,Z?Ax+By+C=0,d——,='

22yl^+B2

考點(diǎn)一、直線的傾斜角與斜率

典例引領(lǐng)

1.（2024?上海?高考真題）直線》-'+1=。的傾斜角.

【答案】7

4

【分析】求出直線的斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角之間的關(guān)系求解即可.

【詳解】設(shè)直線尤-'+1=。的傾斜角為。,。以0,兀），

易知直線x-y+i=o的斜率為1,

所以tan6=l,

JT

解得9

4

故答案為：—

4

2.(23-24高二上?青海西寧?階段練習(xí))已知A(2m,2),3(4,-l),C(T,-㈤三點(diǎn)在同一條直線上，則實(shí)數(shù)機(jī)的

值為-.

【答案】5

【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線，直線AB,BC斜率相等，即可列式計(jì)算.

【詳解】根據(jù)題意可得：kAB=-^-=^=kBC,

2m-48

即：m2—3/7Z—10=0,(m-5)(m+2)=0,

解得〃z=5或—2；

又當(dāng)〃?=-2時(shí)，AC是同一個(gè)點(diǎn)，不滿足題意，故舍去；

綜上所述，實(shí)數(shù)機(jī)的值為：5.

故答案為：5.

3.(23-24高二上?山東棗莊?階段練習(xí))經(jīng)過4。M),8(根-1,3)兩點(diǎn)的直線的傾斜角是鈍角，則實(shí)數(shù)機(jī)的范

圍是■

【答案】(f,2)u(3,+o))

3—JTI

【分析】由題意可得〃7r2且斜率々=Y＜0,計(jì)算即可得解.

m-2

【詳解】根據(jù)題意加一1W1,即相。2,

且斜率6=三3—々m＜0,

m-2

即(3-m)(m-2)＜0,

解得機(jī)＜2或機(jī)＞3.

實(shí)數(shù)加的范圍是(T?,2)。(3,+00),

故答案為：(-co,2)o(3,+co)

4.(23-24高二上?福建廈門?期中)已知兩點(diǎn)A(-3,2),*2,1),過點(diǎn)尸(0,-1)的直線/與線段48(含端點(diǎn))

有交點(diǎn)，則直線/的斜率的取值范圍為()

A.(r°，T[1,+℃)B.[-1,1]

C.^-co,-1^u[l,+co)D.-1,1

【答案】A

【分析】求出直線上4、P8的斜率后可求直線/的斜率的范圍.

【詳解】

y/

-1-2-1-1

kpA=-19而kpB—=1,

0+30-2

故直線/的取值范圍為（-8,-1]口（1,+力）,

故選：A.

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）直線xsin2-ycos2=0的傾斜角的大小是（）

11

A.——B.-2C.-D.2

22

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，求得直線的斜率，得到左=tan2,結(jié)合傾斜角的定義，即可求解.

【詳解】由直線xsin2-ycos2=0,可得直線的斜率％=%=tan2,所以直線的傾斜角為2.

cos2

故選:D.

2.（2024?河南信陽?二模）已知直線2x-y+l=0的傾斜角為。，則tan2a的值是.

【答案】-三4

【分析】根據(jù)直線斜率等于傾斜角的正切值，得tana=2,再利用正切的二倍角公式即可得到結(jié)果.

【詳解】由直線2x—y+l=0方程，得直線斜率tano=2,

2tan。2x24

所以tan2a=

1-tan2a1-223

故答案為：-]4

3.（2022?上海?模擬預(yù)測）若d=（2,-4）是直線/的一個(gè)方向向量，則直線/的傾斜角大小為

【答案】九一arctan2

【分析】先根據(jù)直線方向向量求出斜率，再由直線方向向量和傾斜角關(guān)系求出傾斜角.

-4

【詳解】因?yàn)椤?（2,-4）是直線/的一個(gè)方向向量，所以直線/的斜率左二萬=—2,

所以直線/的傾斜角大小為?-arctan2.

故答案為：arctan2.

考點(diǎn)二、直線的5種方程

典例引領(lǐng)

1.（22-23高三?全國?課后作業(yè)）經(jīng)過點(diǎn)（-3,1）和點(diǎn)（2,-2）的直線方程是.

【答案】3x+5y+4=0

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)式求得直線方程.

【詳解】經(jīng)過點(diǎn)（-3,1）和點(diǎn)（2,-2）的直線方程是：轉(zhuǎn)=蕓|,

整理得3x+5y+4=0.

故答案為：3元+5y+4=0

2.（22-23高二上?山東日照,階段練習(xí)）過點(diǎn)A（4,l）且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線的方程是

【答案］1y=0或x+y_5=0.

【分析】分截距為0和截距不為。兩種情況，設(shè)出直線方程，待定系數(shù)法進(jìn)行求解.

【詳解】當(dāng)截距為。時(shí)，設(shè)直線方程為產(chǎn)匕，

將4（4,1）代入，可得及=：,

所以直線方程為y=

4

當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線方程為二+』=1,

aa

將A（4,I）代入，可得：°=5,

所以直線方程為尤+y-5=0,

綜上：直線方程為y=+或x+y-5=0.

故答案為：尤-h=0或尤+y-5=0.

3.（22-23高二上?廣東江門,期末）直線氐+y+2=0的傾斜角及在y軸上的截距分別是（

A.60°,2B.60°,-2C.120°,-2D.120°,2

【答案】C

【分析】將直線方程化成斜截式方程，即可求解.

【詳解】直線6x+y+2=0化成斜截式y(tǒng)=->/,

可知直線的斜率％=-6，故傾斜角為120。，直線在y軸上的截距為-2,

故選：C

Q-T1-

4.（24-25高三上,湖南長沙?開學(xué)考試）過點(diǎn)（T,2）,傾斜角為方的直線方程為（）

A.x-y+2=0B.x+y+2=0C.x-y=2D.x-y+l=0

【答案】B

【分析】由題意可得直線的斜率，可得點(diǎn)斜式方程，化為一般方程可得.

【詳解】由題可得直