2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、基本不等式 專項(xiàng)訓(xùn)練（含解析）

2025高考數(shù)學(xué)考二輪專題復(fù)習(xí)-第六講-導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、基本不等式-專項(xiàng)訓(xùn)

練

-：考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

2022?新高考I卷，

10

2022?新高考I卷,

15

2022?新高考n卷，

導(dǎo)數(shù)與切線

1.高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查，重點(diǎn)考14

查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、四則運(yùn)算法則2024?新高考I卷，

的應(yīng)用和求切線方程；能利用13

導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求2024?新高考n卷，

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式16(1)

函數(shù)一般不超過三次)以及借2022?新高考I卷，

助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)22(1)

取得極值的必要和充分條件，2023?新高考I卷，

會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極19

小值，會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最2024?新高考I卷,

大值、最小值。導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、最值及18(1)

恒成立問題2022?新高考n卷，

2.高考對(duì)基本不等式的考查，

14

應(yīng)適當(dāng)關(guān)注利用基本不等式大

2022?新高考n卷，

小判斷、求最值和求取值范圍

22(1)

的問題。

2023?新高考n卷，

22(1)

2023?新高考n卷,

11

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值、極值點(diǎn)

2024?新高考n卷,

16(2)

2022?新高考I卷，

導(dǎo)數(shù)與比較大小、基本不等7

式2022?新高考n卷,

12

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考I卷考查了導(dǎo)數(shù)與切線和函數(shù)最值的知識(shí)點(diǎn)，n卷也考查到了

切線，但是是體現(xiàn)在大題16題的第一問中，同時(shí)也考查到了恒成立問題。切線問題備

考時(shí)注意含參數(shù)和公切線的問題即可，難度一般都是較易和適中。導(dǎo)數(shù)考查應(yīng)關(guān)注：

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、不等式證明等問題。導(dǎo)數(shù)常結(jié)合函數(shù)的零

點(diǎn)、最值等問題綜合考查，比如含函數(shù)單調(diào)性問題、恒成立問題等，理解劃歸與轉(zhuǎn)化

思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想的應(yīng)用。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查導(dǎo)數(shù)與

切線及單調(diào)性問題。

三：試題精講

一、填空題

1.(2024新高考I卷?13)若曲線y=e，+x在點(diǎn)(0,1)處的切線也是曲線尸ln(x+l)+a

的切線，貝1］。=.

二、解答題

2.(2024新高考I卷-18)已知函數(shù)〃x)=ln'L+辦+6(X-1)3

2-x

(1)若6=0,且/'(X)",求。的最小值；

3.(2024新高考n卷T6)已知函數(shù)/(x)=e*-ax-cP.

(1)當(dāng)。=1時(shí),求曲線y=/(x)在點(diǎn)(IJ(D)處的切線方程;

(2)若“X)有極小值，且極小值小于0,求。的取值范圍.

高考真題練

一、單選題

1.（2022新高考I卷-7）設(shè)”=0.卜叱6=g，c=-ln0.9,則（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

2.（2023新高考n卷-6）已知函數(shù)/（x）naeJlnx在區(qū)間（1,2）上單調(diào)遞增,則。的最

小值為（）.

A.e2B.eC.e-1D.e-2

二、多選題

3.（2022新高考H卷?12）若x,了滿足/+/-中=i,則（）

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>1

hc

4.（2023新高考II卷-11）若函數(shù)〃力=。111工+嚏+”（"0）既有極大值也有極小值，

則（）.

A.bc>0B.ab>0C.b2+8ac>0D.ac<0

三、填空題

5.(2022新高考I卷-15)若曲線y=(x+a)e，有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則。的取值

范圍是.

6.(2022新高考H卷-14)曲線y=ln|x|過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程

為，.

四、解答題

7.(2022新高考I卷22)已知函數(shù)/(x)=e，-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

⑴求a；

8.(2023新高考I卷T9)已知函數(shù)/(x)=a(e*+a)-x.

（1）討論/（尤）的單調(diào)性;

3

（2）證明：當(dāng)。>0時(shí)，/（x）>21na+-.

9.（2022新高考D卷-22）已知函數(shù)/'（x）=xe"'-e"

（1）當(dāng)a=l時(shí)，討論“X）的單調(diào)性；

10.（2023新高考H卷-22）（1）證明：當(dāng)0<x<l時(shí)，x-x2<sinx<x；

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

1、求導(dǎo)的基本公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

/（X）=C（C為常數(shù)）r（x）=o

/(x)=x"5e0)fr(x)=axa~x

f(x)=ax(a〉0,aw1)f\x)=axIna

/(x)=logx(a>0,Qw1)/a)=4

axlna

/(X)=e1/'(x)=e、

/(x)=lnx

/(x)=sinxf\x)=cosx

/(x)=cosxf\x)=-sinx

2、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

(1)函數(shù)和差求導(dǎo)法則："(x)土g(x)］'=/，(x)土g，(x)；

(2)函數(shù)積的求導(dǎo)法則：［/(x)g(x)］'=r(x)g(x)+/(x)g，(x)；

(3)函數(shù)商的求導(dǎo)法則：g(x)wO,則［曲］=7'(x)g(x)j/(x)g'(x).

g(x)g-(x)

3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)y=/［g(x)］的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)>=/(?)，w=g(x)的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為匕'="%'：

4、切線問題

(1)在點(diǎn)的切線方程

切線方程/-/(%)=f'{x0)(X-X。)的計(jì)算：函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)A(x0,/(x0))處的切線方程

%=/(x())

為了一/(%)=f'(x)(x-x)抓住關(guān)鍵

00k=f'(xo)

(2)過點(diǎn)的切線方程

設(shè)切點(diǎn)為尸(%,%),則斜率左=/(%),過切點(diǎn)的切線方程為：y-ya=f'(x0)(x-x0),

又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)/(優(yōu)，〃)，所以〃-%=/'(%)0-x0)然后解出/的值.(X。有幾個(gè)

值，就有幾條切線)

注意：在做此類題目時(shí)要分清題目提供的點(diǎn)在曲線上還是在曲線外.

二、單調(diào)性基礎(chǔ)問題

1、函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果((X)>0,則

y=/(x)為增函數(shù);如果((x)<0,則昨/(尤)為減函數(shù).

2、已知函數(shù)的單調(diào)性問題

①若〃x）在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有/（x）20恒成立（但不恒等于0）;

反之，要滿足了'（x）＞0,才能得出〃x）在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；

②若/（x）在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有廣（幻W0恒成立（但不恒等于0）；

反之，要滿足/''（x）＜（）,才能得出/（x）在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減.

三、討論單調(diào)區(qū)間問題

類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論

（1）求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域（化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)

的區(qū)間）;

（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分.定號(hào)部

分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分）；

（3）求根作圖得結(jié)論（如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置

關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論）；

（4）未得結(jié)論斷正負(fù)（若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正

負(fù)）；

（5）正負(fù)未知看零點(diǎn)（若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)）；

（6）一階復(fù)雜求二階（找到零點(diǎn)后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零

點(diǎn)，則求二階導(dǎo)）；

求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號(hào)部分為新函數(shù)，對(duì)

新函數(shù)再求導(dǎo).

（7）借助二階定區(qū)間（通過二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函

數(shù)正負(fù)區(qū)間段）；

類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論

（1）求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域（化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要

注意是否是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間）；

（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分.定號(hào)部

分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分）;

（3）恒正恒負(fù)先討論（變號(hào)部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù)）；然后再求有效根；

（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小

關(guān)系）;

（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；

四、極值與最值

1、函數(shù)的極值

函數(shù)/（X）在點(diǎn)x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有點(diǎn)都有/（X）＜/（x0）,則稱/（x0）是

函數(shù)的一個(gè)極大值，記作y極大值=〃x。）.如果對(duì)X。附近的所有點(diǎn)都有/（x）＞/（/）,則

稱八＞0）是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作了極小值=/。0）.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱X。

為極值點(diǎn).

求可導(dǎo)函數(shù)/（X）極值的一般步驟

（1）先確定函數(shù)/（X）的定義域；

（2）求導(dǎo)數(shù)/口）；

（3）求方程/。）=0的根；

（4）檢驗(yàn)（（無）在方程/（x）=0的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，在

右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)y=/（x）在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，

在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)＞=/（尤）在這個(gè)根處取得極小值.

注：①可導(dǎo)函數(shù)“X）在點(diǎn)修處取得極值的充要條件是：/是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，即

"）=0,且在/左側(cè)與右側(cè),/'（X）的符號(hào)導(dǎo)號(hào).

②/（%）=0是％為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如/（x）=x，八0）=0,但

%=0不是極值點(diǎn).另外，極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)〃x）=|x|,在極小值點(diǎn)

x0=0是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：X。為可導(dǎo)函數(shù)/(X)的極值點(diǎn)=廣(％)=0；但

八Xo)=ONxo為/(%)的極值點(diǎn).

2、函數(shù)的最值

函數(shù)>=/(x)最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)/(x)最小值為

極小值與靠近極大值的端點(diǎn)之間的最小者.

2

導(dǎo)函數(shù)為/(x)=ax+bx+c-a(x-xj(x-x2)(加<xi<x1<ii)

(1)當(dāng)a>0時(shí)，最大值是/(國)與/(〃)中的最大者；最小值是〃9)與/(M中的最小

者.

(2)當(dāng)。<0時(shí)，最大值是/(%)與/(⑼中的最大者；最小值是〃再)與/(")中的最小

者.

一般地，設(shè)y=/(x)是定義在阿，”］上的函數(shù)，y=/(x)在(加，〃)內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)

y=/(x)在［加，〃］上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：

(1)求y=/(x)在(m,〃)內(nèi)的極值(極大值或極小值)；

(2)將y=/(x)的各極值與/(加)和/(〃)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)

為最小值.

【導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用常用結(jié)論】

1、恒成立和有解問題

(1)若函數(shù)/(X)在區(qū)間。上存在最小值“X)1nto和最大值則

不等式>a在區(qū)間D上恒成立of>a；

不等式2a在區(qū)間。上恒成立of(x)mfa>a；

不等式〃x)<6在區(qū)間。上恒成立=/(x)1mx<6；

不等式在區(qū)間。上恒成立o/(x)1mxV6；

(2)若函數(shù)在區(qū)間。上不存在最大(小)值，且值域?yàn)?%，n),則

不等式/(》)><7(或/(力24)在區(qū)間D上恒成立O加2a.

不等式/(%)<6(或/'卜)46)在區(qū)間D上恒成立0加Wb.

(3)若函數(shù)〃X)在區(qū)間。上存在最小值/(切總和最大值〃即機(jī),〃],

則對(duì)不等式有解問題有以下結(jié)論：

不等式a<在區(qū)間。上有解oa</(x)111ax;

不等式a4〃x)在區(qū)間。上有解=a4/(x)max；

不等式a>/(x)在區(qū)間。上有解oa>〃x)min；

不等式在區(qū)間。上有解oaN〃x)1nM；

(4)若函數(shù)〃x)在區(qū)間。上不存在最大(小)值，如值域?yàn)?加，")，則對(duì)不等式有

解問題有以下結(jié)論：

不等式a<〃x)(或a4〃x))在區(qū)間。上有解oa<"

不等式6>/(x)(或b2〃%))在區(qū)間D上有解o6>機(jī)

(5)對(duì)于任意的王?[。，6],總存在馬日!!!，〃],使得

/(x1)<g(x2)^/(x1)max4g；

(6)對(duì)于任意的再b],總存在々￡加，n],使得

/(x1)>g(x2)^/(^)mi?Ng(x2L;

(7)若存在再E[Q,b],對(duì)于任意的％2?m,〃],使得

/(占)4g(々)O/(占)*<g(%L；

(8)若存在西4wb],對(duì)于任意的々4m,3，使得

/(%1)>g(x2)<=>/(%,)_2g伉)1mx；

(9)對(duì)于任意的了閆。,b],x2e[m,〃]使得4gWg^)1n；

(10)對(duì)于任意的Xje[a,b],%e[m,〃]使得2g(%)o/(占置2g(%)111ax;

（11）若存在再?見可，總存在々dm,力],使得/㈤?、?八%）1nhiWg（xz）1Mx

（12）若存在X[e[a,6],總存在X2e[m,〃],使得/（xj2g（%）o/（再/gHL?

名校模擬練

一、單選題

1.（2024?河北保定三模）曲線〃x）=e=3x在點(diǎn)（0,〃0））處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成

的三角形的面積為（）

1flcl八1

A.-B.—C.一D.一

8643

2.（2024?陜西西安三模）已知函數(shù)小）=<；〃：：；；噂'+0則/（x）在點(diǎn)（5,〃5））

處的切線方程為（）

A.4x-y-28=0B.4x+y-12=0C.x-4y-12=0D.x+4y-22=0

3.（2024?河北保定?三模）已知二次函數(shù)>=ax（x-b）（6/0且6H1）的圖象與曲線

y=lnx交于點(diǎn)尸，與x軸交于點(diǎn)/（異于點(diǎn)0）,若曲線N=lnx在點(diǎn)p處的切線為/,

且/與“尸垂直，則a的值為（）

A.—eB.-1C.-VeD.—2

4.（2024?貴州六盤水?三模）4知曲線丁=州_31nx的一條切線方程為y=f+刃,則實(shí)

數(shù)加=（）

A.-2B.-1C.1D.2

2

5.（2024?湖南長沙?二模）已知m>0,n>0,直線y=-x+m與曲線

e

y=2.lnx-n+4相切，則—+-的最小值是（）

mn

A.4B.3C.2D.1

6.（2024?貴州黔東南?二模）已知正實(shí)數(shù)6滿足e?"+/=e23+r，則”二的最

大值為（）

A.0B.vC.1D.-

22

7.（2024?福建泉州?二模）在等比數(shù)列｛%｝中，％,%是函數(shù)〃x）=x2-10x+八n（3x）的兩

個(gè)極值點(diǎn)，若出4=26a3-2,貝卜的值為（）

A.-4B.-5C.4D.5

8.（2024,天津和平?三模）已知函數(shù)/（x）=Gsin0xcos0x-；sin（20x-1^（oeR,且

。>0）,xeR,若函數(shù)在區(qū)間（0,2兀）上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)，則。的取值范圍為

（）

「、「、（

A?匕13斕19B.<［1不3，下191］.。?后13司19口.后13值19-

9.（2024?遼寧?二模）已知正實(shí)數(shù)記"=max卜a,6,白｝,則"的最小值為

（）

A.V2B.2C.1D.V3

10.（2024?新疆喀什三模）已知a=ln（sinl.O2）,b=^^,c=lnl.O2,則（）

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<a<c

11.（2024?安徽合肥?三模）已知函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為了'（%）,若〃無）滿

足：（xT［ra）-〃x）］>0,/（2-x）=/（x）e2-2\則下列判斷正確的是（）

A./⑴〉e/（0）B./（2）>e2/（0）

C./（3）>e3/（0）D./（4）<e4/（0）

二、多選題

12.（2024?河北衡水三模）已知函數(shù)，（x）=x3-x=2是函數(shù)/⑴的一個(gè)極值點(diǎn)，

則下列說法正確的是（）

A.m=3B.函數(shù)在區(qū)間（T2）上單調(diào)遞減

C.過點(diǎn)（1,-2）能作兩條不同直線與y=〃x）相切D.函數(shù)了=/I〃x）］+2有5個(gè)零

點(diǎn)

13.（2024?重慶?三模）若函數(shù)〃x）=alnx-2x2+6x既有極小值又有極大值，則

（）

A.ab<0B.a<0C.b1+16a>0D.-耳<4

14.（2024?山西太原?三模）已知不是函數(shù)/（同=/+如+”（加<0）的極值點(diǎn)，若

/6）=/（占）（再力%），則下列結(jié)論正確的是（）

A.的對(duì)稱中心為（0,"）B.

C.2國+%2=0D.芭+%>°

15.（2024?河北?三模）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)廣（x）的定義域均為R,記

g（x）=/（x）,若〃3+2x）為偶函數(shù)，g（l+x）為奇函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.g（"的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱.B.g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（3,0）對(duì)稱.

2024

C.=1D.g（2023）=0

Z=1

三、填空題

16.（2024?上海?三模）設(shè)曲線〃幻=溫+6和曲線g^hcos^+c在它們的公共點(diǎn)

尸（0,2）處有相同的切線，貝iJV+c的值為.

17.（2024?上海?三模）若函數(shù)/（X）=-4X3+3X在（%a+2）上存在最小值，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是.

18.（2024?上海閔行?三模）早在西元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)，

幾何中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三

類中項(xiàng)，其中算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定義與今天大致相同.若2"+2,=1,則

（40+1）（44+1）的最小值為.

XZ

19.（2024?廣東?三模）設(shè)實(shí)數(shù)X、了、z、/滿足不等式IWxMyVzWfWlOO,則一+一的

Vt

最小值為.

20.（2024?浙江紹興?三模）若x,y,z>0,^.x2+xy+2xz+2yz=4,貝lj2x+y+2z的最小

值是.

21.（2024?河北?三模）已知6_/<0（0>0,0工1）對(duì)任意xe（°，+°°）恒成立，則實(shí)數(shù)。

的取值范圍是.

jrJT

22.（2024?福建南平?二模）函數(shù)〃力=皿0無（0>0）在區(qū)間飛上單調(diào)遞增，且在

區(qū)間（0,2K）上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則。的取值范圍是.

23.（2024?云南昆明?三模）過點(diǎn)（1,%）可以向曲線f（x）=xe*作〃條切線，寫出滿足條

件的一組有序?qū)崝?shù)對(duì)（%,"）

24.（2024?河北滄州?三模）若不等式e，-（a+l）xNb,a>-1對(duì)于xeR恒成立，貝

b-a的最大值為.

25.（2024?貴州貴陽?三模）已知函數(shù)f（x）=xe3-lnx-ax-l,若函數(shù)/（?的最小值恰

好為。，則實(shí)數(shù)。的最小值是

參考答案與詳細(xì)解析

一：考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

2022?新高考I卷，

10

2022?新高考I卷，

15

2022?新高考n卷，

導(dǎo)數(shù)與切線

14

?新高考卷，

1.高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查，重點(diǎn)考2024I

查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、四則運(yùn)算法則13

的應(yīng)用和求切線方程；能利用2024?新高考n卷,

導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求16(1)

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式2022?新高考I卷，

函數(shù)一般不超過三次)以及借22(1)

助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)2023?新高考I卷，

取得極值的必要和充分條件，19

會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極2024?新高考I卷，

小值，會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、最值及18(1)

大值、最小值。恒成立問題2022?新高考n卷,

14

2.高考對(duì)基本不等式的考查，

2022?新高考n卷，

應(yīng)適當(dāng)關(guān)注利用基本不等式大

22(1)

小判斷、求最值和求取值范圍

2023?新高考n卷，

的問題。

22(1)

2023?新高考n卷，

11

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值、極值點(diǎn)

2024?新高考n卷，

16(2)

導(dǎo)數(shù)與比較大小、基本不等2022?新高考I卷,

式7

2022?新高考n卷，

12

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考I卷考查了導(dǎo)數(shù)與切線和函數(shù)最值的知識(shí)點(diǎn)，n卷也考查到了

切線，但是是體現(xiàn)在大題16題的第一問中，同時(shí)也考查到了恒成立問題。切線問題備

考時(shí)注意含參數(shù)和公切線的問題即可，難度一般都是較易和適中。導(dǎo)數(shù)考查應(yīng)關(guān)注：

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、不等式證明等問題。導(dǎo)數(shù)常結(jié)合函數(shù)的零

點(diǎn)、最值等問題綜合考查，比如含函數(shù)單調(diào)性問題、恒成立問題等，理解劃歸與轉(zhuǎn)化

思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想的應(yīng)用。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查導(dǎo)數(shù)與

切線及單調(diào)性問題。

三：試題精講

一、填空題

1.(2024新高考I卷?13)若曲線y=e*+尤在點(diǎn)(0,1)處的切線也是曲線》=ln(x+l)+a

的切線，貝匹=.

【答案】In2

【分析】先求出曲線昨e'+x在(0,1)的切線方程，再設(shè)曲線y=ln(x+l)+。的切點(diǎn)為

(x0,ln(x0+l)+a),求出了，利用公切線斜率相等求出與,表示出切線方程，結(jié)合兩切

線方程相同即可求解.

【詳解】由7=e*+X得V=e，+1,y'|^=e°+1=2,

故曲線y=e工+x在(0,1)處的切線方程為y=2x+1；

由y=ln(x+l)+Q得爐,

x+1

設(shè)切線與曲線歹=皿％+1)+。相切的切點(diǎn)為(/,1口(％+1)+〃)，

由兩曲線有公切線得了=口=2,解得/--。，則切點(diǎn)為

玉)十12I，Z)

切線方程為y=2(x+J+a+hi5=2x+l+a—ln2,

根據(jù)兩切線重合，所以a-ln2=0,解得a=ln2.

故答案為：In2

二、解答題

2.(2024新高考I卷-18)已知函數(shù)/(x)=ln」一+ax+6(x-l)3

2-x

(1)若6=0,且r(x)20,求。的最小值；

【答案】(1)-2

⑵證明見解析

⑶人“T

【分析】(1)求出/''(X)1nm=2+。后根據(jù)1(x)2?？汕?。的最小值;

(2)設(shè)尸(加為了=/(x)圖象上任意一點(diǎn)，可證尸(九成關(guān)于(1⑷的對(duì)稱點(diǎn)為

0(2-磯2a-〃)也在函數(shù)的圖像上，從而可證對(duì)稱性；

(3)根據(jù)題設(shè)可判斷〃1)=-2即。=一2,再根據(jù)在(1,2)上恒成立可求得

b>--.

3

【詳解】(1)6=0時(shí)，f(x)=\n-+ax,其中xe(0,2),

2-x

11?

則/'⑴=丁匚=77^7(+“'xe(°，2),

因?yàn)閤(2-x)《主尹:=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)等號(hào)成立，

故/(x)mM=2+q,而/'(無)20成立,故。+220即心-2,

所以。的最小值為-2.,

3.(2024新高考H卷?16)已知函數(shù)〃x)=e，-ax-/.

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求曲線V=〃x)在點(diǎn)處的切線方程；

(2)若/(x)有極小值，且極小值小于0,求。的取值范圍.

【答案】⑴(e-l)x--l=0

(2)。，+00)

【分析】(1)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；

(2)解法一：求導(dǎo)，分析和a>0兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值，分析

可得/+lna-1>0,構(gòu)建函數(shù)解不等式即可；解法二：求導(dǎo)，可知/(x)=e'-a有零

點(diǎn)，可得。>0,進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求“X)的單調(diào)性和極值，分析可得Q2+lna-1〉0,構(gòu)建

函數(shù)解不等式即可.

【詳解】(1)當(dāng)。=1時(shí)，貝！|/(x)=e*-x-l,/(x)=e「l,

可得/(l)=e-2,r(l)=e-l,

即切點(diǎn)坐標(biāo)為(l,e-2),切線斜率左=e-l,

所以切線方程為了-仁-2)=(e-l)(x7),即(eT)xf-1=0.

(2)解法一:因?yàn)?(x)的定義域?yàn)镽,且/'(x)=e-%

若aVQ,則1(x)20對(duì)任意xeR恒成立，

可知"X)在R上單調(diào)遞增，無極值，不合題意;

若a>0,令/''(x)>0,解得x>lna；令/'(x)<0,解得xclna；

可知/(x)在(-8,In°)內(nèi)單調(diào)遞減，在(Ina,+(?)內(nèi)單調(diào)遞增，

則/(x)有極小值/(Ina)=a-aIna-/,無極大值，

2

由題意可得：/(lna)=a-alna-/<0,gpa+lna-l>0,

構(gòu)建g(a)=/+lna-l,a>0,貝!jg，(a)=2a+1>0,

可知g⑷在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，且g⑴=0,

不等式J+lna-lX)等價(jià)于g(a)>g⑴,解得a>l,

所以a的取值范圍為(1,+s)；

解法二：因?yàn)?(x)的定義域?yàn)镽,且八x)=e=a,

若/(x)有極小值，則/Vhe'-a有零點(diǎn)，

令"x)=e*-a=0,可得e*=a,

可知>=e'與有交點(diǎn)，貝!|a>0,

若a>0,令/''(x)>0,解得x>lna；令/'(x)<0,解得x<lna

可知/(x)在(-8,Ina)內(nèi)單調(diào)遞減，在(Ina,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

貝(I/O)有極小值/(lna)=a-alna-，，無極大值，符合題意，

由題意可得：f(ina)^a-a\na-a3<0,BPa2+lna-1>0,

構(gòu)建g(a)=a?+lnq-l,q>0,

因?yàn)閯t)=//=111”1在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

可知g(。)在(0,+s)內(nèi)單調(diào)遞增，且g⑴=0,

不等式J+lna-l〉。等價(jià)于g(a)>g⑴,解得a>1,

所以a的取值范圍為(1,+").

高考真題練

一、單選題

1.(2022新高考I卷-7)設(shè)”=0.卜叱6=；,c=-ln0.9,則()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

【分析】構(gòu)造函數(shù)〃x)=ln(l+x)-x,導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定a,6,c的大小.

【詳解】方法一：構(gòu)造法

設(shè)/(x)=ln(l+x)-無。>一1),因?yàn)?=

l+x1+x

當(dāng)xwQLO)時(shí),當(dāng)x)>0,當(dāng)xe(0,+◎時(shí)/(x)<0,

所以函數(shù)/(x)=ln(l+x)-x在(0,+s)單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增，

所以足)<〃0)=0,所以1點(diǎn)一(<0,故(>lR=-ln0.9,即6>c,

yyyyy

101a_1i±i

所以/(-伍)<"0)=0,所以In歷+歷<0,故言…所以正。弓,

板a<b,

v

設(shè)g(x)=jce'+ln(l-x)(O<x<l),貝！Jg'(x)=(x+l)e+--=------——,

令h(x)=e"(尤2-1)+1,h'(x)=e"(x2+2x-1),

當(dāng)0<x<&T時(shí),h'(x)<Q,函數(shù)〃(x)=e%x2-l)+l單調(diào)遞減,

當(dāng)血-1<X<1時(shí)，〃(x)>0,函數(shù)/?(x)=e，(x2_l)+l單調(diào)遞增,

又〃(0)=0,

所以當(dāng)0<x〈友-1時(shí)，3)<0，

所以當(dāng)O<x<0-1時(shí)，g'(x)>。，函數(shù)g(x)=xe*+ln(l-x)單調(diào)遞增,

所以g(0」)>g(0)=0,BPO.leol>-lnO.9,所以

故選：C.

方法二：比較法

解：a=0.1*,b=，c=-ln(l-0.1),

1—U.1

(1)Intz—InZ?=0.1+ln(l—0.1),

令/(x)=x+ln(l-x),xe(0,0.1],

1-Y

貝！Ir?=i---=--<o,

1—xi-x

故/(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞減，

可得/(0.1)</(0)=0,即lna-]nb<0,所以a<b；

②a-c=0Ae°]+ln(l-0.1),

x

令W=xe+ln(l—x),xG(0,0.1],

貝！Ig(x)=xe+e-----=--------------,

v71-x1-x

令k(x)=(1+x)(l—x)ex-1,所以k'(x)=(1—x2—2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞增，可得k{x}>A(0)>0,即g")>0,

所以g(x)在(0,0.1］上單調(diào)遞增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-oO,所以a>c.

故c<a<b.

2.(2023新高考n卷-6)已知函數(shù)/(x)=ae-lnx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則。的最

小值為().

A.e2B.eC.e-1D.e-2

【答案】C

【分析】根據(jù)/''(力=溫-5，。在(1,2)上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出.

【詳解】依題可知，/'門卜泡一工之。在(1,2)上恒成立，顯然八0,所以

xa

設(shè)g(x)=xefl,2),所以g〈x)=(x+l)e、>0,所以g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增,

g(x)>g(l)=e,故即。2工=1，即a的最小值為

ae

故選：C.

二、多選題

3.(2022新高考II卷-12)若x,了滿足/+/-初=晨則()

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

【答案】BC

【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項(xiàng)的真假.

【詳解】因?yàn)??,/,1R),由/+/-工》=1可變形為，

(x+4一1=3.3(晝］,解得一2Vx+”2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=T時(shí),x+y--2,當(dāng)

且僅當(dāng)x=y=l時(shí)，x+y=2,所以A錯(cuò)誤，B正確；

22

由尤2+/_xy=l可變形為(尤2+/)_1=中4工解得尤2+/W2,當(dāng)且僅當(dāng)

x=y=±l時(shí)取等號(hào)，所以C正確;

因?yàn)椋?y2-xy=1變形可得，=1,設(shè)x-、=cosa￥〉=sin0,所以

2

x=cos8+—7=sin。"=耳si"，因此

V3

°。o5.02.111

x2+y=cos20+—sin20+—j=sin0cos0=1+—j=sin20——cos20+—

3百V333

=g+|sin（2d-^eI，2,所以當(dāng)》=*療=一4時(shí)滿足等式，但是X2+/N1不成

立，所以D錯(cuò)誤.

故選：BC.

4.（2023新高考H卷-11）若函數(shù)/（》）=。111》+：+會(huì)（。X0）既有極大值也有極小值,

則（）.

A.bc>0B.ab>0C.b2+Sac>0D.ac<0

【答案】BCD

【分析】求出函數(shù)/（x）的導(dǎo)數(shù)/（x）,由已知可得/（X）在（0,+8）上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),

轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個(gè)不等的正根判斷作答.

bc

【詳解】函數(shù)/'（x）=alnx+2+§的定義域?yàn)椋?,+功，求導(dǎo)得

XX

2

r（x）=qb2cax-bx-2c

因?yàn)楹瘮?shù)/（X）既有極大值也有極小值，則函數(shù)/（X）在（0,+8）上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，而

QW0,

因此方程ax2-bx-2c=0有兩個(gè)不等的正根x”z，

A=Z?2+Sac>0

b八

于是X]+%=—>U即有〃+8如>0,ab>0ac<0,顯然a2be<0,即6。<0,A

a

2c八

=--->0

a

錯(cuò)誤，BCD正確.

故選：BCD

三、填空題

5.(2022新高考I卷-15)若曲線y=(x+a)e，有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值

范圍是.

【答案】(-8,-4)U(O,+S)

【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)%,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點(diǎn)

得到關(guān)于年的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求得。的取值范圍.

【詳解】：y=(x+a)e",.?.y'=(x+l+a)e",

設(shè)切點(diǎn)為(%,%),則為=(%+〃)eXo，切線斜率左=(%+1+a)ex0,

x

切線方程為：y-(x0+a)e?=(xo+l+a)e"x-xo),

x

:切線過原點(diǎn)，.,.-(x0+Q)e"°=(x0+l+?)e°(-x0)5

整理得：焉+axQ-a=0,

??,切線有兩條，???A=a2+4Q>0,解得QV-4或〃〉0,

???。的取值范圍是4)U(O,+8),

故答案為：(-oo,-4)U(0,+oo)

6.(2022新高考I［卷?14)曲線V=ln|x|過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程

為,.

【答案】y=-xy=--x

ee

【分析】分x>0和x<0兩種情況，當(dāng)x>0時(shí)設(shè)切點(diǎn)為(Minx。)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),

即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點(diǎn)求出％,即可求

出切線方程，當(dāng)x<0時(shí)同理可得；

【詳解】［方法一卜化為分段函數(shù)，分段求

分x>0和x<0兩種情況，當(dāng)x>0時(shí)設(shè)切點(diǎn)為(x°,lnx。)，求出函數(shù)V導(dǎo)函數(shù)，即可求出

切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點(diǎn)求出％,即可求出切線方

程，當(dāng)x<0時(shí)同理可得；

解：因?yàn)?gt;=111國，

當(dāng)x>0時(shí)y=lnx,設(shè)切點(diǎn)為(％,In%),由了=工，所以所以切線方程為

XX。

^-lnx0=—(x-x0),

xo

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以Tnx°=’(-x。)，解得x°=e,所以切線方程為

xo

ee

當(dāng)x<0時(shí)y=ln(r),設(shè)切點(diǎn)為(國,ln(f)),由了‘，所以好法=工，所以切線方程

X芯

為yTnSjJfx-xJ,

玉

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以Tn(rJ=L(-xJ,解得玉=-e,所以切線方程為

X1

yT='(x+e),gpy=--x；故答案為：y=-x-y=--x

-eeee

［方法二］:根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，數(shù)形結(jié)合

當(dāng)x>0時(shí)kIn無，設(shè)切點(diǎn)為(看,出口),由"L所以川所以切線方程為

xX。

yTn/=—(x-x0),

xo

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以Tnx。=▲(一%),解得x°=e,所以切線方程為

y-l=-(^-e),BPy=-x；

ee

因?yàn)閥=InW是偶函數(shù)，圖象為:

所以當(dāng)好0時(shí)的切線，只需找到尸%關(guān)于y軸的對(duì)稱直線歹=-卜即可.

［方法三］：

因?yàn)椋?1川M,

當(dāng)x＞。時(shí)gnx,設(shè)切點(diǎn)為(”/),由"j所以，所以切線方程為

j-lnx0=—(x-x0),

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以Tnx°=L(-x。)，解得x°=e,所以切線方程為

y-l=-(^-e),BPy=-x；

ee

當(dāng)尤＜0時(shí)kln(r),設(shè)切點(diǎn)為(國,In(f)),由j/=L所以了『=!，所以切線方程

X西

^jj-ln(-x1)=—(x-xj,

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以-山(-%)=!(一網(wǎng))，解得X1=-e,所以切線方程為

X1

y-l=—(x+e),即y=-L-

-ee

故答案為：y=~x；y