2025屆高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：圓錐曲線中的新定義問題（解析版）

（8他曲線中的新st*同題

K/

新定義題目簡介

“新定義”題型內(nèi)容新穎，題目中常常伴隨有“定義”、“規(guī)定”等字眼，題目一般都是用抽象的語言給出新的

定義、運(yùn)算或符號，沒有過多的解析說明，要求考生自己仔細(xì)揣摩、體會和理解定義的含義，在閱讀新定義后要

求馬上運(yùn)用它解決相關(guān)問題，考查考生的理解與運(yùn)算、信息遷移的能力。

求解“新定義”題目，主要分如下幾步：

（1）對新定義進(jìn)行信息提取，明確新定義的名稱和符號；

（2）對新定義所提取的信息進(jìn)行加工，探求解決方法和相近的知識點(diǎn)，明確它們的相同點(diǎn)和相似點(diǎn)；

（3）對定義中提取的知識進(jìn)行轉(zhuǎn)換、提取和轉(zhuǎn)換，這是解題的關(guān)鍵，如果題目是新定義的運(yùn)算、法則，直接

按照法則計算即可;若新定義的性質(zhì)，一般要判斷性質(zhì)的適用性，能否利用定義的外延，可用特質(zhì)排除,注意新

定義題目一般在高考試卷的壓軸位置,往往設(shè)置三問，第一問的難度并不大，所以對于基礎(chǔ)差的考生也不要輕

易放棄。

、/

一、單i4a

題目①已知曲線r的對稱中心為o,若對于r上的任意一點(diǎn)A,都存在「上兩點(diǎn)B,。，使得。為△4BC的

重心,則稱曲線「為“自穩(wěn)定曲線”.現(xiàn)有如下兩個命題：

①任意橢圓都是“自穩(wěn)定曲線”;②存在雙曲線是“自穩(wěn)定曲線”.

則（）

A.①是假命題，②是真命題B.①是真命題，②是假命題

C.①②都是假命題D.①②都是真命題

【答案】B

【分析】設(shè)出橢圓、雙曲線方程及點(diǎn)ABC的坐標(biāo)，結(jié)合三角形重心坐標(biāo)公式利用點(diǎn)4的坐標(biāo)求出直線

方程,再與橢圓或雙曲線方程聯(lián)立，判斷是否有兩個不同解即得.

【詳解】橢圓是“自穩(wěn)定曲線”.

22

設(shè)橢圓方程為3+3=1（Q2WkQ2>0,匕2>。）,令4%%）,則匕2鬲+Q2加_a2b2,設(shè)雙叫,%）,。（力2,紡），

Qb

BC

由O是△ABC的重心，知二°。，直線過點(diǎn)必―等,一用,

十班—一隊'22/

當(dāng)為=0時，若4(a,0),直線y=一方與橢圓有兩個交點(diǎn)B,C,符合題意,

若A(—a,0),直線y=￡與橢圓有兩個交點(diǎn)符合題意,

則當(dāng)％=0,即A(土a,0)時，存在兩點(diǎn)B,C,使得△ABC的重心為原點(diǎn)O,

同理，當(dāng)g=0,即4(0,±b)時，存在兩點(diǎn)B,C,使得△ABC的重心為原點(diǎn)

4+a2g；=a2b2

2

當(dāng)看以r0時,年舄+a2g：=a2b2,兩式相減得/(電一電)(0+g)+a?-沙2)(必+仍)=0,

直線及7的斜率空畋=—用，方程為沙+?=—用卜+與)，即夕=—孕/一三，

2v2

力1一力2a'yo2ayQ2，ay02yo

22

(_bX0b22

由a2no2go消去"并整理得：力2+g#+/-----—0,

UV+aV=a2b24b

2--

A—XQ—a+當(dāng)/=—與若+~~^yl—卷%>0,即直線BC與橢圓交于兩點(diǎn)，且O是△4BC的重心,

bb-bb

即當(dāng)xoyo20時，對于點(diǎn)A,在橢圓上都存在兩點(diǎn)BC,使得。為△ABC的重心，

綜上，橢圓上任意點(diǎn)A,在橢圓上都存在兩點(diǎn)B,C,使得O為△ABC重心，①為真命題;

雙曲線不是“自穩(wěn)定曲線

由對稱性，不妨令雙曲線方程為工Y—%=1(?71>0.口>0),令4(3,s),則九出一^^二小?九2,設(shè)

mn

(t,2$2),

假設(shè)O是△ABC的重心，則H,直線過點(diǎn)(—《,一《)，

(Si+s2=—s'227

當(dāng)s=0時，直線力=—與或直線x=與與雙曲線=1都不相交，因此sW0,

22mn

nmrrtl22

[2^_f2_22，兩式相減得n(ti-12)(^i+幻—m(?i—s2)(si4-s2)—0,

[7?/t)2斤^S?—TYl>Tb

直線B。的斜率子子=空，方程為沙+得=卒卜+!)，即"=空'+4，

力1一力2ms2ms'%ms2s

(n?tIn222

2

由《后s2s消去"并整理得：/+垃+...-s=0

lnV-mV=m2n24"

ZV=——a?—耳§2=邛$2—。§2=—告邛^〈。，即直線^^與雙曲線不相交，

nnn-n

所以不存在雙曲線，其上點(diǎn)力及某兩點(diǎn)B,C,O為AABC的重心，②是假命題.

故選：B

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及直線被圓錐曲線所截弦中點(diǎn)及直線斜率問題，可以利用“點(diǎn)差法”，設(shè)出弦的兩個端

點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線方程作差求解，還要注意驗證.

If0數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式多種多樣，我們稱離心率e=。(其中”=容口)的橢圓為黃金橢圓，現(xiàn)有一個黃

22

金橢圓方程為多+?七=1,(a>b>0),若以原點(diǎn)O為圓心，短軸長為直徑作。QP為黃金橢圓上除頂點(diǎn)

a/H

外任意一點(diǎn)，過P作。。的兩條切線，切點(diǎn)分別為43,直線AB與軸分別交于M,N兩點(diǎn)，則

\OM\2

H—()

\ON\2I)

A.-B.u>C.一(i)D.——

a>a>

【答案】A

【分析】根據(jù)題意O、4P、B四點(diǎn)在以O(shè)P為直徑的圓上，可設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為P(g,%),從而得出四點(diǎn)所在圓

的方程為雙/一g)+n(y—y。)=0,利用兩圓方程之差求得切點(diǎn)B所在直線方程，進(jìn)而求得A/、N兩點(diǎn)

坐標(biāo)即可解決本題.

【詳解】依題意有OAPB四點(diǎn)共圓，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為P(g,僅))，則該圓的方程為：x(x—xo)+y(y—y0)=0,

22

將兩圓方程：/+才=b?與x—xox+y—yoy=0相減，得切點(diǎn)所在直線方程為

+9物=",解得7Vf(￡,0),,因為岑+%■=1,所以

萬a?_5a?_/曷+。戴_a2&2=口2=1=2=1

\OM\2+一耳十4—b4—/―/―—75-1—3,

城3/0

故選：A

題目區(qū)小明同學(xué)在完成教材橢圓和雙曲線的相關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)后，提出了新的疑問:平面上到兩個定點(diǎn)距離之

積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么呢？又具備哪些性質(zhì)呢？老師特別贊賞他的探究精神，并告訴他這正是歷史上

法國天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的，這類曲線被稱為“卡西尼卵形線”.在老

師的鼓勵下，小明決定先從特殊情況開始研究，假設(shè)E(-1,0)、月(1,0)是平面直角坐標(biāo)系cOv內(nèi)的兩個定

點(diǎn)，滿足|PE卜爐周=2的動點(diǎn)P的軌跡為曲線C,從而得到以下4個結(jié)論:①曲線。既是軸對稱圖形，又

是中心對稱圖形;②動點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是［―四,6］；③|OP|的取值范圍是［1,，^］；④APE月的

面積的最大值為1.其中正確結(jié)論的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】。

【分析】設(shè)P(/,y),由題設(shè)可得曲線。為(X2—I)2+2靖(d+1)+y4=4,將(x,y)>(—x,y)>(—z,—y)代入即

可判斷①;令￡=才>0,由/(t)=t2+2(02+i)t+謬一i)2一4在［o,+oo)上有解,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求P

的橫坐標(biāo)的取值范圍判斷②；由②分析可得|。砰=/+/=24不7—1,進(jìn)而求范圍判斷③；由基本不等

式、余弦定理確定NRPE范圍，再根據(jù)三角形面積公式求最值判斷④.

【詳解】令PQ,沙)，則y/(x+l)2+y2-y/(x—l)2+y2=2,

所以［Q+l)2+才］［Q—Ip+才］=4,則(/—1)2+2“2(/+1)+/=4,

將(x,y)>(―c,y)、(―,，一0)代入上述方程后，均有(X2—I)?+2y2(x2+1)+y4=4,

所以曲線。既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，①正確；

令土=才>0,則/+2(/+l)t+(/-1)2-4=o,

對于/(力)=t2+2(x2+l)t+(X2—I),—4,對稱軸為x=—(rc2+1)<0,

所以/⑶在［0,+8)上遞增，要使/⑶=0在［0,+8)上有解，只需/(0)=(/—1)2-4&0,

所以一14/-142,即0W/43,可得一遍WrcW通，②正確；

由QP|"=，+才，由f(t)=0中，△=4(/+1)2-4(,2_ip+16=16(/+1),

所以t=才=一I，'+=2，7n—(/+1)>0,其中負(fù)值舍去，

!

綜上，?？?2；2+/=2G匚|'-1,又042；243,即14;1；2+144,

所以lOPfe［1,3］,則|OP|G［1,四］,③正確；

由|P同+|P月>2加麗西=22,僅當(dāng)|P耳|=|P耳|=2時等號成立，

△P月月的面積S=y|F^||F^|sinZ^P^=sin/RP西,

r-/ppp廬后產(chǎn)+5附一囪研、n.?O/ppp<-00°

而C0S/-FJPF2=---------1-----------1------->0,所以0VAFiPFi<90,

2\PFi\\PF2\

所以△9瓦用的面積的最大值為1,④正確.

綜上，正確結(jié)論的個數(shù)為4個.

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:②③通過換元t=構(gòu)造/⑻=)+2(，+墳+32-1)2—4,利用根的分布求P

的橫坐標(biāo)、QP|的取值范圍.

題目④在平面直角坐標(biāo)系中，定義d(A,B)=max{|a;1—?2|,|yi—y2|}為兩點(diǎn)4%%)，及電,統(tǒng))的“切比雪夫

距離”，并對于點(diǎn)P與直線Z上任意一點(diǎn)Q,稱d(P,Q)的最小值為點(diǎn)P與直線Z間的“切比雪夫距離”,記作

d(P,Z),給定下列四個命題：

Pi：對于任意的三點(diǎn)A,B,C,總有d(C,A)+d(C,B)>d(A,B)；

的：若點(diǎn)P(3,1),直線Z:2c—沙—1=0,則d(P,Z)=弓；

P3：滿足式。")=。(。>0)的點(diǎn)M的軌跡為正方形；

Pa：若點(diǎn)用(一c,0),￡(c,0),則滿足|d(P出)一d(P,￡)|=2a(2c>2a>0)的點(diǎn)M的軌跡與直線y=為常

數(shù))有且僅有2個公共點(diǎn);則其中真命題的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】。

【分析】①討論力，B,C三點(diǎn)共線，以及不共線的情況，結(jié)合圖象和新定義，即可判斷；

②設(shè)點(diǎn)Q是直線y—2x—l上一點(diǎn)，且Q(c,2c—1),可得d(P,Q)—max{|c—3|,|2—2劍},討論—3],

|2-2⑹的大小，可得距離d,再由函數(shù)的性質(zhì)，可得最小值；

③運(yùn)用新定義，求得點(diǎn)的軌跡方程，即可判斷；

④討論P(yáng)在坐標(biāo)軸上和各個象限的情況，求得軌跡方程，即可判斷.

【詳解】①對任意三點(diǎn)4B、C,若它們共線，設(shè)4出，物)、BE，例)，

結(jié)合三角形的相似可得d(C,A),d(C,B),d(A,B)

為AN,CM,AK,或CN,BM,BK,則d(C,A)+d(C,B)=d(A,B);

若B,?；駻,。對調(diào)，可得d(C,A)+d(C,B)>d(A,B)；

若4,B,。不共線，且三角形中。為銳角或鈍角，由矩形CMNK敢矩形BMNK,

d(C,⑷+d(C,⑹>d(A,⑹；

則對任意的三點(diǎn)4石，。,都有d(C,A)+d(。，⑹>d(A,B);故①正確；

設(shè)點(diǎn)Q是直線g=2力一1上一點(diǎn)，且QQ,2/-1),

可得d(P,Q)=max{|力一3|,|2—26|},

由\x-3|>|2—2ex\,解得一1&n&,即有d(P,Q)=\x-3|,

o

當(dāng)力=.時，取得最小值.；

OO

由\x-31Vl2—2x\,解得x>日或xV—1,即有d(_P,Q)=|2T—2|,

d(P,Q)的范圍是(3,+oo)U(!,+8)=(+8),無最值,

綜上可得，P,。兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為

故②正確：

③由題意，到原點(diǎn)的''切比雪夫距離”等于。的點(diǎn)設(shè)為(①夕)，則max{|磯㈤}=C,

若\y\>聞，則㈤=。;若\y\<同,則|;c|=C,故所求軌跡是正方形，則③正確;

④定點(diǎn)E(—c,0)、月(c,0),動點(diǎn)PQ,y)

滿足\d(P,耳)—d(P,月)|=2a(2c>2a>0),

可得P不y軸上，P在線段用其間成立，

可得a;+c—(c—c)=2a,解得a:=a,

由對稱性可得①=—a也成立，即有兩點(diǎn)P滿足條件；

若P在第一象限內(nèi)，滿足|d(P,卻—d(P,E)|=2a,

即為c+c—y—2a,為射線,

由對稱性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線，

則點(diǎn)P的軌跡與直線y=k(k為常數(shù))有且僅有2個公共點(diǎn).

故④正確；

綜上可得，真命題的個數(shù)為4個，

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

求解本題的關(guān)鍵在于對新定義“切比雪夫距離”的理解，“切比雪夫距離”即是兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之差絕對值與縱

坐標(biāo)之差絕對值中的最大值;理解新定義的基礎(chǔ)上，結(jié)合曲線與方程的有關(guān)性質(zhì)，即可求解.

題目回定義:若直線Z將多邊形分為兩部分，且使得多邊形在Z兩側(cè)的頂點(diǎn)到直線Z的距離之和相等，則稱%

為多邊形的一條“等線”.已知雙曲線-嗎=l(a，b為常數(shù))和其左右焦點(diǎn)凡另，P為。上的一動

ab

點(diǎn)，過P作。的切線分別交兩條漸近線于點(diǎn)4B,已知四邊形上鏟鳥與三角形刊的有相同的“等線”Z.

則對于下列四個結(jié)論：

①|(zhì)阿=\PB\；

②等線Z必過多邊形的重心；

③，始終與螺—￥=i相切；

ab

④Z的斜率為定值且與a,6有關(guān).

其中所有正確結(jié)論的編號是()

A.①②B.①④C.②③④D.①②③

【答案】。

【分析】對于①，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意求出過點(diǎn)P(x0,yo)的切線方程，再與漸近線方程聯(lián)立可求出4B的橫坐

標(biāo)，然后與g比較可得答案，對于②，由“等線”的定義結(jié)合重心的定義分析判斷，對于③④，由多邊形重心

的定義可知四邊形AFrBF，其重心H必在△ARE與重心連線上，也必在AAF^B與△?!理8重心連

線上,△PRE重心設(shè)為G,則/即為直線G8,然后由重心的性質(zhì)可證得GH//AB,從而可得結(jié)論.

【詳解】解:①:設(shè)P(g,%),當(dāng)y0>0時，設(shè)y>0,則由號—叟f=1,得￡二包而匚浸,

aba

所以式=一^^,所以切線的斜率為k=—勵，,

avx2—a2ay/x1—a2

所以切線方程為v—%=第23-g),

XQ-a

22________

2222

因為點(diǎn)F(rc0,yo)在雙曲線上，所以多—華=1,得y/x1-a=華y。,bx1—a^yl—ab,

所以g—窩=b?(/-g)=與-%)，

a?卡yoay°

222

所以0yoy-ayl=bxQx-bxl,

222222

所以bxox—ayQy=bx1—ayl=ab，所以叁生—叟字=1,

ab

同理可求出當(dāng)認(rèn)<0時的切線方程為叁學(xué)一邛=1,

ab

當(dāng)為=0時，雙曲線的切線方程為2；=±&，滿足等—釁=1,

ab

所以過P點(diǎn)切線方程為警一等=1,

ab

漸近線方程為y=±-x

聯(lián)立兩直線方程得力4=----------,x=-----

空_/Bxo_,yo_

abab

故有，4+=22"°，=2g,故l-R4|=\PB\

g%

a2~b2

②:設(shè)多邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)為②,%)，其中i=1,2,3…八

設(shè)“等線”方程為"一kc—6=0,則。,少)到等線的距離為：&=履二］◎一引

y/1+k2

又因為等線將頂點(diǎn)分為上下兩部分，則有

VJ_V^yi-kxj-b

乙九部分一乙飛苫

yi—kXi—b

上k下部分一工一二點(diǎn)，

Z4上部分=》d下

部分

從而之國三絲二1二0

占Vi+fc2

1_72_[_n_

整理得一匯%=k?一匯為+b

即等線/必過該多邊形重心.

③④:考察AFEE重心，設(shè)P（g,%）,則重心G（y-y）.對于四邊形448尸,其重心H必在A4里與

△3號乂重心連線上，也必在與A4的B重心連線上，則Z即為直線GH.

設(shè)A4EE與ABEE重心分別為E,F,則普=尊=E，所以EF〃AB,

EAFB2

因為G為△PEE的重心，所以邛=綜,所以EG〃AB,

EAGP

所以E,EG三點(diǎn)共線，

因為H在即上，所以GH〃AB,過G信玲），

因為直線AB為華一誓=1,所以直線AB的斜率為卜=空?空，

abayo

所以直線GH的方程為V一等=4??生（，—等），整理得學(xué)吃一駕=1,

3a2%'3'CLb2

所以直線I方程笑生-粵幺=1,

ab

由①的求解過程可知該方程為年—粵-=1切線方程,所以③正確，④錯誤，

a~b-

故①②③正確.

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查雙曲線的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，考查新定義，解題的關(guān)鍵是對“等

線”定義的正確理解和重心的找法，考查計算能力，屬于難題.

二、多選題

建目回古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐面的方法來研究圓錐曲線.后經(jīng)研究發(fā)現(xiàn):當(dāng)圓錐軸截

面的頂角為2a時，用一個與旋轉(zhuǎn)軸所成角為0的平面八不過圓錐頂點(diǎn)）去截該圓錐面，則截口曲線（圓錐

曲線）的離心率為e=空火.比如，當(dāng)&=五時，e=l,即截得的曲線是拋物線.如圖，在空間直角坐標(biāo)系

COSdf

Occyz中放置一個圓錐，頂點(diǎn)S（O,O⑵,底面圓。的半徑為2,直徑AB,GD分別在c,沙軸上，則

下列說法中正確的是（）

A.已知點(diǎn)N(O,O,l),則過點(diǎn)河,N的平面截該圓錐得的截口曲線為圓

B,平面截該圓錐得的截口曲線為拋物線的一部分

C.若石(一四,—2,0)/(2,2,0),則平面截該圓錐得的截口曲線為雙曲線的一部分

D.若平面Z截該圓錐得的截口曲線為離心率是V2的雙曲線的一部分,則平面/不經(jīng)過原點(diǎn)O

【答案】BCD

【分析】根據(jù)情境，由題可知cosa—cos亍,再對每個選項,求出過點(diǎn)的平面與旋轉(zhuǎn)軸OS所成角的余弦,

即cos6的值，代入e=@阻求值，從而利用離心率的范圍判斷截口曲線類型即可.

cosa

【詳解】對于A:只有過點(diǎn)河，N且與底面平行的平面截該圓錐得的截口曲線才是圓，

其他情況均不是圓，故A不正確；

對于由題得底面圓O的半徑為2,則OD=2,OS=2,則河為SD中點(diǎn)，

易知AB_L平面S。。，SDU平面SCO,所以SD_LAB,

又$0_102,0初。43=0,0兇(1平面21￡45ABU平面

所以SD_L平面又易知OM=SAl=AiD,

所以平面3LB與旋轉(zhuǎn)軸OS所成角為/SOM=?/OSD=￡，即6==?

所以e=巴阻=1,所以平面M4B截該圓錐得的截口曲線為拋物線的一部分，故B正確;

cosa

對于C:￡(-V2,-V2,O),F(V2,V2,O),M(O,l,l),

則前二(2V2,2V2,0),MF=(V2,V2-1,-1),

設(shè)平面的一個法向量為芯=(/,%z),則[巴館=22,

[MF-m=V2x+(V2—l)y—z=0

取/=1,則y=—lfz=1,故后=(1,—1,1),

|m-Qs|

2/3.Q_娓

所以sin§=|cosm,Os|=丁，??8sB=

oo

C￡￡L

故7二…

所以平面MEF截該圓錐得的截口曲線為雙曲線的一部分，故。正確；

對于若平面7截該圓錐得的截口曲線為離心率是方的雙曲線的一部分，

則亞盟=學(xué)=.??a=1,:0C［。,對,0=。，

COS。V2_L2」

2

所以平面7〃OS,故平面y不經(jīng)過原點(diǎn)O,故。正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是理解截口曲線（圓錐曲線）的離心率的定義，結(jié)合空間向量法即可得

解.

趣目可法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日是19世紀(jì)著名的幾何學(xué)家，他創(chuàng)立了畫法幾何學(xué),推動了空間解析幾何

學(xué)的獨(dú)立發(fā)展，奠定了空間微分幾何學(xué)的寬厚基礎(chǔ).根據(jù)他的研究成果，我們定義橢圓C:g+￡=l（a>

ab

6>0）的“蒙日圓”的方程為"+方=&2+/,已知橢圓。的長軸長為4,離心率為e=為蒙日圓上任一

點(diǎn),則以下說法正確的是（）

A.過點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線則有_R4±PB.

B.過點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，交橢圓于點(diǎn)為原點(diǎn)，則OP,AB的斜率乘積為定值kOP-kAB=-4-

C.過點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為AB,則S4ApB的取值范圍伴明?

D.過點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為為原點(diǎn)，則S^OB的最大值為V3.

【答案】ACD

【分析】對于4,由題意求出蒙日圓的方程,討論切線斜率是否存在，結(jié)合聯(lián)立直線和橢圓方程,利用根與系

數(shù)關(guān)系化簡，即可判斷；對于B,求出切點(diǎn)弦的方程即可得其斜率，化簡即可判斷；對于C,。,聯(lián)立切點(diǎn)

弦的方程和橢圓方程，求出弦長|AB|,求出相應(yīng)三角形的高，即可求得三角形面積的表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)

的單調(diào)性或者不等式知識即可求得最值或范圍.

22

【詳解】由題意知橢圓。：匹7+支7=1（。>6>0）的長軸長為4,離心率為e=4，

ab2

故Q=2,9=4，???。=1/2=02—。2=3,

a2

22

則橢圓方程為亍+1_=1「蒙日圓”的方程為/+才=7;

對于4假設(shè)有一條切線斜率不存在，不妨假設(shè)PB斜率不存在，

則不妨設(shè)P石過橢圓的右頂點(diǎn)，則方程為力=2,

則P點(diǎn)坐標(biāo)為F（2,±V3）,顯然此時4點(diǎn)取橢圓的短軸頂點(diǎn)（0,±V3）,

則24方程為g=±，^,此時滿足Q4與橢圓相切，且P4_LPB;

當(dāng)切線斜率存在且不為0時，設(shè)切線方程為沙=%力+小,優(yōu)#0）,

設(shè)P（g,%）,則館=%一版1,冠+褶=7,

y—kx-\-m

或￡_，整理得(或2+3)/2+弘恒力+4館2—12=0,

(T+T=1

貝MA=64fc2m2—4(4fc2+3)(4m2—12)=0,即m2=4fc2+3,

將?n=%—kXi代入上式,得關(guān)于k的方程(冠一4)昭一2gg#+g；-3=0,

27y2

則N=4(3冠+4^-12)>0,(P在橢圓個+*=1外)，

4O

kPA,kPB為該方程的兩個根,itkPA-kPB=空——=7，--=—1,

鬲-4Xi-4

即％_LPB,A正確；

對于B,設(shè)4電,%),B(g,%)，則P4的方程為手+*=1,

4O

PB的方程為等+等■=：1,

兩切線過點(diǎn)P⑶，m，故等+等=1,等+鬻=1,

即點(diǎn)A,B在直線等+粵=1上，因為兩點(diǎn)確定一條直線,

4O

故直線AB的方程為亨+嚕=1,則=—答,

434?x

而kop=⑨"，故kOP-kAB=-Y,B錯誤;

力14

對于。，由于直線AB的方程為等+華=1,聯(lián)立《+￥=1,

得(3x1+4yl)x2—24力像+48—16褶=0,

△"=(24d)2—4(3冠+4詔)(48-16?/?)=64就(3*+4函—12)>0,

24的_48—16記

則電+g=34+4幫'"33冠+4褶’

故\AB\=J1+(即B)2,=jl+禽x&加*曹；一空

_2了9曷+16冊3冠+44—12

3冠+4褶’

又點(diǎn)P到直線4B的距離為d=粵之絲二

，9冠+16褶

J9屠+16g；個3屆+4g；-12|3^+4^-12|

3冠+4褶—9冠+16g；

(3a;i+4i/i—12)/3冠+41一12

3曷+4g；

又就+4=7,故令力=/34+44-12=+9,tE[3,4],

則SMPB=

廿+12

令/⑶=V+號,顯然/⑴在［3,4］上單調(diào)遞減,

Et

故U=在［3,4］上單調(diào)遞增,

1_64_16

則(S&4PB)min==y>(S，)

AAPBmax/⑷287

即S會的取值范圍上，叫，C正確；

2J9曷+16幫J3就+4/一12

對于。，由。的分析可知\AB\

3冠+4詔

1-121

而點(diǎn)O到直線AB的距離為d=

^94+16褶，3冠+4褶-12|-12|

3冠+4褶，9就+16若

_12/3冠+4洸-12

=-3就+44—'

又+必=7,故令t=J3—+4猶—12=Vz/i+9,te[3,4],

12力12

貝US44OB

力2+12力+竽

而力+*>2巫=4〃^,當(dāng)且僅當(dāng)力■，即力=2通6［3,4］時等號成立,

12

故S2OB=&」^=7^,即見曲；的最大值為7^,。正確，

4V3

故選：4CD

【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了橢圓的相關(guān)知識，涉及到蒙日圓的問題，綜合性強(qiáng)，計算量大，難點(diǎn)在于計算

相關(guān)三角形的面積，要注意切線方程的應(yīng)用，計算需要十分細(xì)心.

題目回小明同學(xué)在完成教材橢圓和雙曲線的相關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)后，提出了新的疑問:平面上到兩個定點(diǎn)距離之

積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么呢？又具備哪些性質(zhì)呢？老師特別贊賞他的探究精神，并告訴他這正是歷史上

法國天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的，這類曲線被稱為“卡西尼卵形線”.在老

師的鼓勵下，小明決定先從特殊情況開始研究，假設(shè)月(-1,0)、月(1,0)是平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)的兩個定

點(diǎn)，滿足|P后HP￡|=2的動點(diǎn)P的軌跡為曲線C,從而得到以下4個結(jié)論，其中正確結(jié)論的為()

A.曲線。既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形B.動點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是［-通，遍］

C.\OP\的取值范圍是［1,2］D.用E的面積的最大值為1

【答案】48。

【分析】設(shè)P(c,y),由題設(shè)可得曲線。為(a?—1尸+2才("+1)+/=4,將(*,9)、(—x,y)、(—x,—y)代入即

可判斷4令3=才>0,由/⑴=*+232+1.+(一一iy_4在［o,+8)上有解，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求P

的橫坐標(biāo)的取值范圍判斷8；由②分析可得IOPF="+y2=2J/+1—1,進(jìn)而求范圍判斷。；由基本不等

式、余弦定理確定范圍,再根據(jù)三角形面積公式求最值判斷D.

/-FXPF2

【詳解】令P(rr,0)，則J(c+1)2+令-J(工-1)?+才=2,

所以［3+1)2+才］［3一1)2+/］=4,則(/2—1)2+2才Q2+1)+靖=4,

將(x,y)>(―a;,y)s(―名,—沙)代入上述方程后，均有3-1)2+2才(a?+1)+y4=4,

所以曲線。既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，A正確；

令力=豕>0,則e+2(x2+l)t+(x2-l)2-4=0,

對于f(t)=/+2(a?+l)t+(/—I)?—4,對稱軸為x——(a;2+1)<0,

所以/⑴在［0,+oo)上遞增，要使/(。=0在［0,+8)上有解，只需/(0)=(/—1)2-4&0,

所以一lWa;2-iw2,即OW/W3,可得一正確；

11

由|OP|2=a?+#，由于(垃=0中，△=4(/+1)2—4(/—1)2+16=16(/+1),

所以力=娟=-2?+—2Ja?+1—(/+1)>0,其中負(fù)值舍去,

綜上，|?！竱2="+才=27^1—1,又04/&3,即14/+144,

所以|OP『e[1,3],則\OP\G。錯誤；

由—+爐胤)2J|PE卜|P￡|=,僅當(dāng)「局=|尸項=0時等號成立，

”2的面積S=杷用國sin"改=sin/9里

而cosZ^PF,=戶同十.曰一出勾〉0,所以0°<W90°,

AFXPF2

21PE1|P現(xiàn)

所以△PEE的面積的最大值為1,。正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：B,。通過換元力=才10,構(gòu)造，⑴=廿+2(，+圾+32—1)2—4,利用根的分布求。

的橫坐標(biāo)、|。冏的取值范圍.

題目⑥如圖，已知圓錐P。的軸P。與母線所成的角為a,過4的平面與圓錐的軸所成的角為僅萬>&),該

平面截這個圓錐所得的截面為橢圓，橢圓的長軸為4A2,短軸為瓦瑪,長半軸長為a,短半軸長為6,橢圓的

中心為N,再以55為弦且垂直于PO的圓截面,記該圓與直線PA.交于G,與直線PA2交于a，則下列說

法正確的是()

A.當(dāng)6Va時，平面截這個圓錐所得的截面也為橢圓

B.INGHNCN史呦普

cosa

C.平面截這個圓錐所得橢圓的離心率e=空且

cosa

D.平面截這個圓錐所得橢圓的離心率e=或3

snip

【答案】BC

【分析】由截口曲線的含義可判斷A;過N作NG，PG于點(diǎn)G,求出而\CrN\=asm(a+6),&N|=

cosa

asm("a),即可判斷民根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)求得橢圓的a,c之間的關(guān)系式，即可求得離心率，可判斷C,

COSdf

D.

【詳解】由截口曲線知，當(dāng)￡Va時，平面截這個圓錐所得截面為雙曲線，A錯.

對于B,過N作NG_LPG于點(diǎn)G,而/G4N=°+6，|NAJ=Q,

所以|NG|=asin(a+0),而/GNG=%|°閃=asm(a+0)

cost

同理過N向PQ作垂線，可得\C2N\=asm」-a),

cost?

a2sin(yS+a)sin(0—a)

A\NC.\-|7VC|,B正確;

2cos2a

對于C,設(shè)圓錐上部球Q與橢圓截面圓錐側(cè)面均相切，軸截面的內(nèi)切圓Oi,半徑為r,

球Oi與44的切點(diǎn)為橢圓左焦點(diǎn)F,

設(shè)AO^A^F—dNOp4iF=0，，6①,

2

兀一(a+6)|4例r

3=—2—」4同=?！猚=tan/

|相|=a+c=」^...衛(wèi)=坦空1+e

tan。a—ctan。1-e5

tanp—tan。_sin(0—9)(p-0—^—P

解得e=,而

tanp+tan。sin(p+夕)q+夕=￡-a

故6=日11（2"）=空色，故0正確，￡）錯誤,

sin—acosdf

故選：BC

【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：求解橢圓的離心率時，要能根據(jù)圖示求得Q,C之間的關(guān)系，這是解答的難點(diǎn)，也是關(guān)鍵之

處，因此通過設(shè)AO.AF=仇/OI//=0,結(jié)合圖形的幾何性質(zhì),得到|AiF|=Q—c=,\AF\=a-\-

2tan^2

r

c=----，即可求解.

tan夕

題目①2021年3月30日，小米正式開始啟用具備“超橢圓”數(shù)學(xué)之美的新logo.設(shè)計師的靈感來源于曲線

2.2.

C：國"+|V『=1.其中星形線E：常用于超輕材料的設(shè)計.則下列關(guān)于星形線說法正確的是

A.石關(guān)于g軸對稱B.E上的點(diǎn)到立軸、9軸的距離之積不超過士

O

C.E上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值嗚D.曲線石所圍成圖形的面積小于2

【答案】4BO

2.2./2.

【分析】A由Q,夕）、（一。,妨均在曲線上即可判斷；B應(yīng)用基本不等式國3+舊『>2明卻3即可判斷；。由

"+y2=（￡）+（/），結(jié)合立方和公式及B的結(jié)論即可判斷；。根據(jù)與㈤+㈤圖形的位置關(guān)系

判斷.

【詳解】若（rc.y）在星形線E上，則（一立,5也在E上，故E關(guān)于y軸對稱，A正確；

22/I1,[

由|2『+|'『=1>2y/\xy\3=2|a;y|3,則W工當(dāng)且僅當(dāng)㈤=|引時等號成立，B正確；

O

由/+#=（/）+（03）—（"+/）[（力3+。3）-3（/）3]=]_3（曲）3>；,當(dāng)且僅當(dāng)\x\=\y\時等號成

立，故E上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為。錯誤；

2222

曲線E過（±1,0）,（0,±1）,由㈤+\y\>\x\3+=i,則國3+0『在㈤+0|所圍成的區(qū)域內(nèi)部，而\x\

+|引=1所圍成的面積為2,故曲線石所圍成圖形的面積小于2,0正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:應(yīng)用基本不等式有|力|"+|評）2,麗P,由x2-\-y2=（y）+（/）及立方和公式求兩

點(diǎn)距離，利用㈤2四23與㈤+㈤圖形的位置判斷面積大小.

F）曲率半徑是用來描述曲線上某點(diǎn)處曲線彎曲變化程度的量，已知對于曲線工