2025屆高三數(shù)學(xué)解三角形十類題型（學(xué)生版）

解三角形十類題整樂總

近4年考情(2021-2024)

考題統(tǒng)計考點分析考點要求

2024年/卷第15題，13分

年〃卷第題，分高考對本節(jié)的考查不會有大的

20241513(1)正弦定理、余弦定理及其變形

變化，仍將以考查正余弦定理的

2024年甲卷第11題，5分

基本使用、面積公式的應(yīng)用為(2)三角形的面積公式并能應(yīng)用

2023年/卷〃卷第17題，10分主.從近五年的全國卷的考查

2023年甲卷第16題，5分情況來看，本節(jié)是高考的熱點，(3)實際應(yīng)用

主要以考查正余弦定理的應(yīng)用

2023年乙卷第18題，12分(4)三角恒等變換

和面積公式為主.

2022年/卷〃卷第18題，12分

2021年/卷〃卷第20題，12分

熱點題型解讀

題型一拆角與決角.........................................................................2

類型一出現(xiàn)了3個角(拆角).............................................................2

類型二類角............................................................................3

類型三拆角后再用輔助角公式合并求角...................................................4

類型可通過誘導(dǎo)公式統(tǒng)一語數(shù)名.........................................................5

題型二利用余費定理化俺等式..............................................................6

類型一出現(xiàn)了角或邊的平方.............................................................6

美型二出現(xiàn)角的余強(qiáng)(正弦走不通).......................................................7

題型三周長與面積相關(guān)計算................................................................9

類型一面積相關(guān)計算....................................................................9

類型二周長的相關(guān)計算................................................................11

題型四倍角關(guān)系..........................................................................12

類型一倍角關(guān)系的證明和應(yīng)用..........................................................13

類型二擴(kuò)角降搴.......................................................................15

類型三圉形中二倍角的處理............................................................15

題型五角平分假相關(guān)計算.................................................................16

題型六中畿相關(guān)計算.....................................................................19

題型七方得假相關(guān)計算....................................................................22

題型人其它中間線........................................................................24

題型九三角形解的個數(shù)問題...............................................................27

題型十解三角形的實際應(yīng)用...............................................................28

類型一距離問題......................................................................28

類型二高度問題......................................................................29

題型匯編

題型一

知織點

(1)正弦定理的應(yīng)用

①邊化角，角化邊u>a:b:c=sinA:sinB:sinG

②大邊對大角大角對大邊

Q>boA>BQsinA>sinBocosA<cosB

而人八卬._____a+6+c_______a+l_b+c_a+c_Q_b_c

口刀?sinA+sinB+sinCsinA+sinBsinB+sinCsinA+sinCsinAsinBsin。

(2)AABC內(nèi)角和定理(結(jié)合誘導(dǎo)公式)：A+B+。=兀

①sinC=sin(A+R)=sinAcosB+cosAsinB=c=acosB+bcosA

同理有:a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②一cosC=cos(A+B)=cosAcosB—sinAsinB;

ari

③斜三角形中，—tan。=tan(A+B)='人士'an2=tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC

1—tanA-tanB

介.(A+B\C(A+B\.C

④smv2/=cosy；書2)=smy

類型一出現(xiàn)了3個角(拆角)

1.在△4BC中，%一凈=仝與，求人的值

V3acosA

2.△48。的內(nèi)角A8,。的對邊分別為a,b,c,且b=2csin(A+(■),求C.

3.（湛江一模）在△ABC中，內(nèi)角4B,。的對邊分別為a,b,c,已知羽=2cos管—

求4

類型二湊角

4.在△48。中，角A,B,。的對邊分別為Q,b,c,已知2Qcosyl?cos_B+bcos2A=，^c—6,求角A

5.（2024屆?廣州?階段練習(xí)）已知△ABC中角A,B,。的對邊分別為a,段c,滿足^cosB+2cosc=

aa

3cosC,求sin。的值

6.在△MC中,角43,。所對的邊分別為a,b,c,且上+.—g―-+3a,求

cosAcosBcosC

tanBtanC.

7.V^asin=csinA,求角。的大小.

8.已知△4BC的內(nèi)角4,8,C的對邊分別為a,b,c,且mbcos/芋=csinB,求。

9.在△ABC中，內(nèi)角A,B,。所對邊的長分別為a,b,c,且滿足bcos°=asin_B,求4

類型三拆角后再用輔助角公式合并求角

10.(深圳一模)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b+c=2asin(c+*),求4

11.在△ABC中，J^sinC+cosC=sinB+?nC，求人

sin力

12.銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知acosC+V3csinA=b+c,求4

13.已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,。的對邊，且QCOSC+，^asinC=b+c,求角A的大小;

類型四通過誘導(dǎo)公式統(tǒng)一函數(shù)名

14.在AABC中，內(nèi)角AB,C所對的邊分別為a,b,c.已知asinB=6cos（A—求A的值

15.已知△ABC中，角4B,C所對邊分別為a,b,c,若滿足

a(sin2A—cosBcosC)+bsinylsiiiC=0,求角A的大小.

16.在△48。中，內(nèi)角AB,。所對的邊分別為a,b,c.已知asinB=bcos（A—春），bcosC=ccosB,求A的

值.

題型二利用余弦定理化簡等式

余弦定理

公式。2=〃+《2—2bccosA;

b2=c2+a2—2accosB;

c2=a2-bb2—2abeosC.

b2+c2—a2

COSAA=2bc；

“c2+a2-b2

常見變形cosB=門；

2ac

ca2+b2-c2

2ab

類型一出現(xiàn)了角或邊的平方

17.已知ZVIB。內(nèi)角所對的邊長分別為a,6,c,2V2a2cosB+62=2abcosC+a2+c?,求B.

18.(2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)在△ABC中，內(nèi)角所對的邊分別為.也0,若6=看，〃=

O

?ac,則sinA+sinC=()

4

A29V39門°n3g

A-BR-?虧D-

19.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知底=3/+o2,則也嗎=

tanC---------

20.(2023年北京高考數(shù)學(xué)真題)在△48。中，(Q+c)(sinA—sinC)=&(sinA—sinB),則Z.C=()

A.B.c.娶D.要

464336

21.在AABC中，角4BC的對邊分別為a,b,c,已知c=2A/52czsinCCOSB=asinA—fesinB+專~bsinC,

求b；

22.（2024屆.湖南四大名校團(tuán)隊模擬沖刺卷（一））在△ABC中，內(nèi)角所對的邊分別為a,b,c,已知

△ABC的面積為S,

且2s（普+需）=（展+的小求。的值i

___________F

23.（2024廣東省六校高三第四次聯(lián)考）已知△ABC的角4B,。的對邊分別為a,b,c,且

sinA(ccosB+bcosC)—csinB=csinC+bsinB,求角A

24.記A4BC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,b,c.已知〃—a?=2c?,求更吟的值

tanA

類型二出現(xiàn)角的余弦（正弦走不通）

25.記△48。的內(nèi)角A>8、。的對邊分別為a、b、c,已知bcosA—acosB=b—c,求4

26.已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角的對邊，且sin（A—B）=2sin。,證明:Q2=〃+2C2.

27.在△4B。中，內(nèi)角ABC的對邊分別為a,b,c,°=26,2$i1124=351112。,求5111。.

28.記△48。的內(nèi)角AB,。的對邊分別為a,b,c,B=與'，且(sinA+sinB)sinC+cos2C=1,求證5a=3c

o

29.已知△48。的內(nèi)角A>。的對邊分別為Q、b、c,sin（已一8）tanC=siriylsiiLB,求°.

b2

30.△48。的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為Q,b,c.已知（b—c）sin8=bsin（A—。），求角A.

題型三周長與面積相關(guān)計算

知火點

設(shè)計周長和面積的相關(guān)計算一般會用到余弦定理還有可能需要用到完全平方公式

_______W

對于完全平方公式：（a+b）2=0?+〃+2ab,其中兩邊之和Q+b對應(yīng)周長，兩邊平方和Q?+〃在余弦定理中，兩

邊之積ab在面積公式和余弦定理中都會出現(xiàn)

類型一面積相關(guān)計算

31.已知△48。中角。的對邊分別為a,b,c,sinC=23,a=b+c=,求△ABC的面積.

o

32.（2024新高考一卷?真題）記△48。的內(nèi)角4夙。的對邊分別為a,b,c,已知smC=V2cosB,a2+b2

—c2=V2ab

⑴求B；（2）若△ABC的面積為3+四，求c.

33.記△ABC的內(nèi)角AB,C的對邊分別為a,b,c,B=冬，且5a=3c,若4ABC的面積為1573,求c

O

34.在△ABC中，內(nèi)角48,。的對邊分別為a,b,c,已知A=亭，△ABC的面積為心￡,b=2,求a.

62

35.記△ABC的內(nèi)角4,8,C的對邊分別為a,b,c,已知B=2A,當(dāng)a=4,b=6時，求△4BC的面積S.

36.（2024屆.廣東省六校第二次聯(lián)考）已知△ABC中角A,B,。的對邊分別為a,b,c,sinC=23,a=b

o

+2,c=32,求△ABC的面積.

37.記△ABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,c,已知B=24當(dāng)a=4,b=6時，求△4BC的面積S.

類型二周長的相關(guān)計算

38.已知在AABC中，角AB,。的對邊分別是a,b,c,且人=C,若B=AABC的面積為4,求4ABC的

6

周長.

_______________________________~

39.在△4B。中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為Q,b,c,且(6+c)(sinB+sinC)=asinA+36sinC.

(1)求角A的大??；(2)若a=血,且△48。的面積為V3,求△ABC的周長.

40.(2024.新高考二卷?真題)記△ABC的內(nèi)角4B,。的對邊分別為Q,b,c,已知sinA+V3cosA=2.

⑴求4⑵若a=2,，^bsinC=csin2B,求△ABC的周長.

41.ZVIBC的角A,及C的對邊分別為a,b,c,存?/=—1,/VLBC的面積為杳，若a=,求△ABC的周

長.

42.在△ABC中，已知2方?最=4,a=5,NR4C=60°,則△ABC周長為

43.在△ABC中，AB,。所對的邊為a,b,c，人=看，a=2,3=手，求△ABC的周長.

O4

44.在△ABC中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,且(b+c)(sinB+sinC)=asinA+3bsinC.

(1)求角A的大??；(2)若a=血,且△ABC的面積為V3,求△ABC的周長.

題型四倍角關(guān)系

知織點

1、二倍角公式：sin2A=2sinAcosyl,cos2A=2cos2A—1=1—2sin2A=cos2A—sin2A

,a.2C1+cosC.oC1—cosC

2、擴(kuò)角降拳：cos2--=-----------.,sin2--=------------

忘記了可以用二倍角公式推導(dǎo)：記，=力，則cosC=cos2t=2cos2力—1=1—2sin2t

故cos2t=2cos2右一10cos2t=1+號s2*,cos2力=1—2sin2tosin2t=――苧、"

3、倍角關(guān)系證明的方法技巧

解三角形中的關(guān)系，主要涉及到正弦、余弦等三角函數(shù)的倍角公式。這些公式允許我們通過已知的一個角的大

小，來求解其兩倍角的大小所對應(yīng)的三角函數(shù)值，從而在解三角形問題時提供更多的信息和靈活性。

__________由

4、圉形中出行二倍角條件時可以考息梅造?聯(lián)三角形

類型一倍角關(guān)系的證明和應(yīng)用

45.（黃岡中學(xué)?三模）在銳角△A8C中，內(nèi)角48,。所對的邊分別為a,b,c,滿足包吟-1=

smC

包尤上迦色，且求證：B=2C.

sin2B

22

46.在△48。中，角A、B、。的對邊分別為a、6、c,若A=2B,求證：a-b=6c；

47.（2024.吉林長春模擬預(yù)測）ZVIB。的內(nèi)角4B、。所對的邊分別為a.b,c,a=V3,b=1,A=28,則c=

（）

A.2B.V3C.V2D.1

48.（2024?全國?模擬預(yù)測）在△4BC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c（a,b,c互不相等），且滿足bcos。

=（2b—c）cos_B,求證：A=2B；

49.在△ABC中，內(nèi)角48,。所對的邊分別為a,6,,且6=4.若/=2B,且△ABC的邊長均為正整數(shù),

求a.

50.（2024?全國.模擬預(yù)測）在△ABC中，角A,B,。的對邊分別為Q,b,C（Q,b,c互不相等），且滿足bcos。

=（26—c）cosB.

（1）求證：A=2B；

（2）若c=A/2a，求cosB.

51.已知Q,b,c分別是△ABC的角AB。的對邊，bsinB—asinA=sinG（2bcos2B—c）.

（1）求證：A=28；

（2）求9的取值范圍.

a

類型二擴(kuò)角降塞

52.（2023?重慶八中二模）記A4BC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,c,已知acos2-^-+ccos2j^=

證明：sinA+sinC=2sinB

___________F

53.在AABC中，內(nèi)角A,_B,C所對的邊分別a,b,c,且(acos2-^-+ccos2j^(a+c—b)=■|~ac,求角B的

大小;

類型三圖形中二倍角的處理

54.（廣東省六校2024屆第一次聯(lián)考）在入450中，AB=4,。為AB中點，CD=。，2ZACD,求

AC的長.

55.（2024屆.江蘇揚州.高三統(tǒng)考）在△4BC中，且反7邊上的中線AD長為1.

⑴若BC=248,求△ABC的面積；（2）若乙48。=2/ZMC,求的長.

題型五角平分線相關(guān)計算

知織點

△ABC中，AD平分ABAC.

策喀一：角平分線定理：桀=BD

~CD

SABD_BD-hi_AB-hABBD

證法1（等面積法）2=

~AC~~CD

SACDCD,hiAC'h2

注：自為A到BC的距離，殳為。到AB,4。的距離.

證法2（正弦定理）

ABBOAC

如圖，，而sinZl=sinZ2,sinZ3=sinZ4

sinZ3sinZl'sinZ4si°n。Z2

整理得靠=BD

~CD

策?喀二:利用兩個小三角形面積和等于大三角形面積處理

11A1A

SRABC=S&ABD+LADC了XABxACXsin/1=-xABxADxsin——F-XABxADXsin-^-,

集喀三：角互補：

/.ABD+/.ADC=兀=cosZ.ABD+cosAADC=0,

___________F

在△4BD中，cosZABD=加之于二產(chǎn)

在/\ADC中，

cos/ADC=~2DAXDC

56.（2024?遼寧丹東?二模）在△ABC中，點。在BC邊上，入。平分NH4C,NR4C=120°,AB=2四,AD

=含1,則人。=（）

O

A.2B.V3C.3D.2V3

57.已知△ABC中，角ABC所對的邊分別為a,b,c,a2=3b2+c?,且sinC=2sinB.

（1）求角4的大?。?/p>

（2）若b+c=6,點。在邊BC上，且AD平分NBA。,求AD的長度.

58.（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題-T16角平分線相關(guān)計算）在△ABC中，ABAC=^°,AB=2,BC

=V6,NBAC的角平分線交于。，則4D=.

59.（2024.廈門第四次質(zhì)檢）記LABC的內(nèi)角4BC的對邊分別為a,b,c,已知B=冬，若b=。，c=2a,

D是AC上一點,BD為角B的平分線,求BD.

60.已知△ABC的角4,8,。的對邊分別為a,b,c,且A=磊兀,若4D平分/R4C交線段8C于點。，且

O

AD=1,BD=2CD,求△ABC的周長.

61.在△ABC中，內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,。=3四，4=冷，作角人的平分線與交于點

O

且AD=V3，求b+c.

62.（2024屆.云南省昆明市五華區(qū)高三上期中）△ABC的內(nèi)角ABC的對邊分別為a,b,c,AO平分NBAC且

交于點。.已知AD=1,ZV1CD的面積為1,若。0=28。,求上@11乙艮4。.

題型六中線相關(guān)計算

知颯點

如圖，4ABC中，人。為BC的中線，已知AB,AC,及乙4,求中線AD長.

A

A

巢喀一：如圖，倍長中線構(gòu)造全等，再用余弦定理即可

第用二:向量法，AD=y(AB+AC),等式兩邊再進(jìn)行平方

策略三：兩次余弦定理，鄰補角余弦值為相反數(shù)，即cosZADB+cosAADC=0

補充：若或?qū)l件“AD為BC的中線”換為“累=/'也適用，此時需要倍長等分線構(gòu)造相似

63.在△4BC中，內(nèi)角A,B,。所對邊的長分別為a,b,c,且滿足4=冬，a=，瓦，麗?芯=3,AD是

O

△ABC的中線，求4D的長.

64.(2023年新課標(biāo)全國II卷真題：已知中線長)記AABC的內(nèi)角C的對邊分別為a,b,c,已知4ABC的

面積為為口。中點，且40=1.

(1)若Z.ADC=-T-，求tanB；

O

（2）若〃+=8,求b,c.

65.（2024.安徽滁州.三模）在△ABC中，角的對邊分別為a,b,c,2bcosC—c=2a.

（1）求口的大??；（2）若a=3,且人。邊上的中線長為平，求△ABC的面積.

66.在△48。中，內(nèi)角ABC的對邊分別為a,b,c,sinG=―-—,2sinA=3sin2a

若△ABC的面積為手，求AB邊上的中線CD的長.

67.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知A=冬，〃—+c?+3c=0,ZVlBC的面積為

o

生應(yīng)，求邊的中線入。的長.

4

___________團(tuán)

68.△4BC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,c,a=2,。為AB的中點，且CD=2.

(1)證明：c=⑵若乙4cB=￡,求△ABC的面積.

69.記△ABC的內(nèi)角A,8,。的對邊分別為a,6,c,已知8=卷，若。=3a，。為人。中點，60=，*,求

O

△4BC的周長.

70.448。的內(nèi)角人，8,C的對邊分別為a,b,c.已知8=粵，c=2,。為AC的中點，BZA=弓反7,求

O4

△ABC的面積.

題型七高線線相關(guān)計算

知識點

A

策略一：等面積法：A。?BC=AB?4。sinZBAG

策略二：AD=AB-sinAABD=AC-sinZAGD

策略三：a=c-COSB+b-COSC

71.（2024.山東青島.三模）設(shè)三角形4BC的內(nèi)角A、B、。的對邊分別為a、、c且sin(B+C)=

2V3sin2j^-.

（1）求角4的大??；

（2）若b=3,3。邊上的高為手匚，求三角形ABC的周長.

72.已知△4BC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,c,a=6,6sin2A=4V5sinB.

(1)若b=L證明:C=A+^-；

（2）若邊上的高為手，求△A8C的周長.

O

73.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且c—V3bsinA=稼+廣”_b

2c

⑴求4

（2）若b=：c,且邊上的高為2通，求a.

題型八其它中間線

74.如圖，在△ABC中，角AB,。的對邊分別為a,b,c.已知A=（■.若。為線段延長線上一點，且

O

2021新ili考一卷T20:三等分畿相關(guān)計算

75.記△ABC是內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知〃=加,點。在邊AC±,BDsinZABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

（2）若人。=2DC,求cos/ABC.

76.如圖，在△ABC中，若AB=AC,D為邊BC上一點、，BD=2DC,AD=2,‘叱叱？=總則口。=

smAACD

77.(2024?安徽蕪湖■三模)已知a,b,c分別為△4BC三個內(nèi)角ABC的對邊，且bcosA+V3bsinA=a+c

⑴求8；

⑵若b=2AABC的面積為，。為AC邊上一點，滿足CD=2AD,求BD的長.

78.記AABC的內(nèi)角A、8、C的對邊分別為或6、o,已知人=看，點。在BC邊上，且CD=2BD,cosB=

o

W，求tan/RAD

o

79.已知△ABC的三內(nèi)角A,B,。所對邊分別是a,b,c,且滿足a=b，若點。是邊AC上一點，動=

(/+卷說”=，訪，|麗|=2四,求邊&的大小.

oo

80.已知△ABC的內(nèi)角對應(yīng)的邊分別為a,b,c,△ABC的面積為sinA=3sinB,點。在邊BC上，若

DC=DA=-^-BC,求cosA.

o

81.如圖，在△48。中，若=。為邊8C上一點，口。=2。。，AD=2,乙”?="，則口。=

smZAGD

82.已知&,6,。分別為448。三個內(nèi)角4口,。的對邊，且（12=〃+202,若4=冬，￡1=3,萬方=3血,求

O

人又的長度.

83.在△ABC中，內(nèi)角A8,。所對的邊分別為a,b,c.已知A=看，若點。為邊上的一個點，且滿足

O

cosABAD==，求AABD與△ACD的面積之比.

5

題型九三角形解的個數(shù)問題

知織點

三角形解的個數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形

具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進(jìn)行判斷.

解三角好多解情況

在4ABC中，已知a,b和人時，解的情況如下:

A為銳角A為鈍角或直角

C

ccc

Mx-AX

圖形

AB；---BA''……-BAB

AB

關(guān)系式a=bsinA5sinA<.a<.ba>ba&b

解的個數(shù)一解兩解一解一解無解

84.在AABC中,c=2,acosC=csinl,若當(dāng)a=g時的A4BC有兩解，則x0的取值范圍是.

85.設(shè)在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,若滿足a=四,6=巾,6=《的△ABC不唯一，則

7n的取值范圍為()

A.B.(O,V3)C.D.

86.若滿足AABC=譽，AC=3,BC=巾的A4BC恰有一解，則實數(shù)小的取值范圍是

O

87.△ABC中，已知AABC=-^,AC=3,BC=m(m>0).

o

(1)若△ABC恰有一解，則實數(shù)小的取值范圍是；

(2)若△4BC有兩解，則實數(shù)小的取值范圍是；

(3)若△ABC無解,則實數(shù)m的取值范圍是；

88.在4ABC中，a,b,c分別為角的對邊，若b=10,A=《，且/\ABC有唯一解，則a的取值范圍

6

是.

89.在△ABC中，已知=及7=22，。=與，若存在兩個這樣的三角形ABC,則①的取值范圍是

4

90.已知A4BC的內(nèi)角4口、。所對的邊分別是a,b,c,人=60°,若a=v^,b=m(ni>0),當(dāng)AABC有且

只有一解時，求實數(shù)小的范圍及AABC面積S的最大值.

題型十解三角形的實際應(yīng)用

知織點

（1）仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖

①）.

⑵方位角：從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如口點的方位角為&（如圖②）.

⑶方向角：相對于某一正方向的水平角.北偏東即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)方向（如圖③）.北偏西

a,即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)方向.南偏西等其他方向角類似.

（4）坡角與坡度:坡角指坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角。為坡角）.坡度指坡面的鉛直高度與水平

長度之比（如圖④，i為坡度，i=tan6*）.坡度又稱