2025屆新高考數(shù)學(xué)選填壓軸題專項訓(xùn)練：解析幾何（含解析）

2025屆新高考數(shù)學(xué)選填壓軸題真題專項訓(xùn)練一一解析幾何

一、單選題

1.（廣東省六校2025屆高三八月第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）設(shè)雙曲線?？铡?=l（a>0,6>

a1b~

0）的左、右焦點分別為瓦￡,過后的直線與。的右支交于A/,N兩點，記與

△人用品的內(nèi)切圓半徑分別為八,乃.若乃乃=9&2,則。的離心率為（）

A.V2B.V3C.3D.4

2.（廣東省揭陽市兩校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期8月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）設(shè)E，月分別是橢

22

圓氏胃+5=1（（1>6>0）的左、右焦點,過用的直線交橢圓于入，3兩點,且國?南

azbz

=0,岳=4醺，則橢圓E的離心率為（）

3.（廣東省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期8月摸底測試數(shù)學(xué)試題）已知拋物線C:y2

=8c,圓F：（a;-2>+靖=4,直線l：y=k（x—2'）（fcy：0）自上而下順次與上述兩曲線交于

盟,監(jiān),％,M四點，則下列各式結(jié)果為定值的是

A.IMMHMMJIB.\FMr\-\FMt\c.IMMHMMID.IFMHMMI

4.（安徽省安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高三上學(xué)期9月第一次測試數(shù)學(xué)試題）耳后是雙

曲線E:與一當(dāng)=l（a,b>0）的左、右焦點，點”為雙曲線E右支上一點，點N在c軸上,

a-b2

滿足2KMN=AF2MN=60°,若3MF1+5MF2=AMN（ACR）,則雙曲線E的離心率為

（）

A.B.-f-C.D.J

5.（浙江省名校協(xié)作體2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）已知AB是橢圓

車+手=1與雙曲線車一斗=1的公共頂點，”是雙曲線上一點，直線MB分別

交橢圓于C,。兩點,若直線CD過橢圓的焦點F,則線段CD的長度為（）

A.B.3C.2V3D.-|-V3

6.（河北省邯鄲市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題）設(shè)雙曲線C：與

a2

—馬=1（。>0">0）的左、右焦點分別為月，月,點。在雙曲線。上,過點。作兩條漸

近線的垂線，垂足分別為D，石，若麗?麗=0,且3|P@|PE|=SAPJ眄，則雙曲線。的離

心率為（）

A.B.V2C.V3D.2

O

7.（廣東?。ㄉ线M聯(lián)考）2024屆高三10月階段檢測考數(shù)學(xué)試題）已知。為雙曲線。:乎-y2

=1右支上一點，過點。分別作。的兩條漸近線的平行線，與另外一條漸近線分別交于點

A,B,^\\DA\-\DB\=（）

A.2B.V5C.4D.4

42

8.（廣東省順德區(qū)高中第四聯(lián)盟2023—2024學(xué)年高三10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）已知橢圓E：條

16

+彳=1的左右頂點分別為圓Q的方程為Q+iy+N—§『=小動點P在

曲線E上運動，動點Q在圓Q上運動，若△44P的面積為4V3,記的最大值和最

小值分別為小和九，則機+九的值為（）

A.V7B.2V7C.3V7D.477

9.（湖南省長沙市雅禮中學(xué)2024屆高三月考（-）數(shù)學(xué)試題）已知拋物線C："=%的焦點

為F,過點F的直線與。相交于“，N兩點，則2|MF[+]|NF|的最小值為（）

Q7

A.yB.4C.yD.3

10.（湖南省長沙市長郡中學(xué)2024屆高三月考（二）數(shù)學(xué)試卷）在平面直角坐標(biāo)系力Og中，已

知直線Z：V=k:r+5與圓。:22+靖=1交于4B兩點，則△AOB的面積的最大值為

11.（湖北省云學(xué)部分重點高中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）在平面直角坐

標(biāo)系中，雙曲線。:空—￡=l（a>0,fe>0）的左、右焦點分別為4&A為雙曲線右支上

a1b

一點，連接AR交沙軸于點B,若|AB|=|人勾，且AR則雙曲線的離心率為

（）

A.V1+V2B.V2+V2C.V5D.V6

二、多選題

12.（廣東省深圳外國語學(xué)校（集團）龍華高中部2025屆高三第一次月考數(shù)學(xué)試題）數(shù)學(xué)中有

許多形狀優(yōu)美，寓意美好的曲線，曲線。：d+娟=1+國“就是其中之一（如圖）.給出下

列四個結(jié)論，其中正確結(jié)論是（）

A.圖形關(guān)于？/軸對稱

B.曲線。恰好經(jīng)過6個整點（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）

C.曲線。上存在到原點的距離超過血的點

D.曲線。所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3

13.（廣東省金山中學(xué)、中山一中、佛山一中、寶安中學(xué)2025屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試

卷）平面上到兩定點的距離之積為常數(shù)的動點的軌跡稱為卡西尼卵形線.已知曲線。是

到兩定點E（—四。，。0）。。。。，用（方。,。0）的距離之積為常數(shù)2的點的軌跡，設(shè)

是曲線。上的點，給出下列結(jié)論,其中正確的是（）

A.曲線。關(guān)于原點。成中心對稱B.—IWnWl

c.S在鶴D.APEE周長的最小值為

14.（廣東省2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知。為坐標(biāo)原點，點

F（l,0）是拋物線C:y2=2PHp>0）的焦點,過點F的直線交。于M,N兩點、,P為。上的

動點（與均不重合），且點P位于第一象限，過點P向沙軸作垂線，垂足記為點Q,點

4（2,5）,則（）

A.C:y2=4xB./OPQ+/FON<180°

C.\PA\+\PQ\的最小值為V26D.△OAW面積的最小值為2

15.（廣東省部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期第一次月考聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試卷）如圖，P是橢圓G：

4+#7=1（&>6>0）與雙曲線C2：-———7=l（m>0,n>0）在第一象限的交點，

abmn

/瓦吶=仇且共焦點的離心率分別為生,已2,則下列結(jié)論正確的是（）

->

x

A.\PF^=a-\-m,\PF^—a—mB.若。=60°,則卷+與=4

C.若9=90°,則名+今的最小值為2D.tan§=￡

ZO

16.（多選題）（湖南省長沙市六校2025屆高三九月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）中國結(jié)是一種手工編織

工藝品，因為其外觀對稱精致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中國傳統(tǒng)裝飾的習(xí)俗和審

美觀念，故命名為中國結(jié).中國結(jié)的意義在于它所顯示的情致與智慧正是漢族古老文明

中的一個側(cè)面，也是數(shù)學(xué)奧秘的游戲呈現(xiàn).它有著復(fù)雜曼妙的曲線,卻可以還原成最單純

的二維線條.其中的八字結(jié)對應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.曲線。:（爐+爐）2=9（"—才）

是雙紐線,則下列結(jié)論正確的是（）

A.曲線。的圖象關(guān)于沙=3；對稱

B.曲線。上任意一點到坐標(biāo)原點。的距離都不超過3

C.曲線。經(jīng)過7個整點（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）

D.若直線v=與曲線。只有一個交點，則實數(shù)k的取值范圍為（—8,—1]U[1,+8）

17.（多選題）（山東省濟南市2025屆高三上學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系

xOy中，已知點A（-1,O）,B（1,O）,直線AM,可相交于點朋?，且它們的斜率之和是2.

設(shè)動點州（①9）的軌跡為曲線。，則（）

A.曲線。關(guān)于原點對稱

B.曲線。關(guān)于某條直線對稱

C.若曲線。與直線y=0）無交點，則1

D.在曲線。上取兩點P（a,b）,Q（c,d）,其中a<0,c>0,則|PQ|>2

18.（多選題）（福建省漳州市2025屆高三畢業(yè)班第一次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）在2024年巴

黎奧運會藝術(shù)體操項目集體全能決賽中，中國隊以69.800分的成績奪得金牌，這是中國

藝術(shù)體操隊在奧運會上獲得的第一枚金牌.藝術(shù)體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花

瓣的圖案，它可看作由拋物線C：y2=2Px（p>0）繞其頂點分別逆時針旋轉(zhuǎn)90°、180°、

270°后所得三條曲線與。圍成的（如圖陰影區(qū)域），AB為。與其中兩條曲線的交點，若

p=1,則（）

A.開口向上的拋物線的方程為9=:工2

B.|AB|=4

c直線'+"='截第一象限花瓣的弦長最大值為今

D.陰影區(qū)域的面積大于4

19.（多選題）（福建省福州第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)質(zhì)檢考試數(shù)學(xué)試題）拋

物線C:x2=2py的焦點為F,P為其上一動點，當(dāng)P運動到（力1）時，|PF|=2,直線，與拋

物線相交于A、B兩點，下列結(jié)論正確的是（）

A.拋物線的方程為：〃=的

B.拋物線的準(zhǔn)線方程為：y=-1

C.當(dāng)直線Z過焦點F時，以AF為直徑的圓與7軸相切

D.\AF\+\BF\>4：

20.（多選題）（安徽省六校教育研究會2025屆高三上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷）1694年瑞士數(shù)

學(xué)家雅各布?伯努利描述了如圖的曲線,我們將其稱為伯努利雙紐線，定義在平面直角坐

標(biāo)系xOy中，把到定點用（―a,0）,月（a,0）距離之積等于a2（a>0）的點的軌跡稱為雙紐

線，已知點P（3,%）是a=l時的雙紐線。上一點，下列說法正確的是（）

A.雙紐線。的方程為（"+92）2=232—^2）

B.-y

C.雙紐線C上滿足|PE|=|P月I的點有2個

D.|PO|的最大值為四

21.（多選題）（2025屆安徽皖南八校高三8月摸底考試數(shù)學(xué)試題）已知曲線。:（"+必一2）2=

4+8成,點_?（如斷）為曲線。上任意一點，則（）

A.曲線C的圖象由兩個圓構(gòu)成

B.就+涕的最大值為

C.迎獸的取值范圍為1―

g+4L7」

D.直線g=c+2與曲線。有且僅有3個交點

22.（多選題）（安徽省安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高三上學(xué)期9月第一次測試數(shù)學(xué)試題）

1675年，天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn):在同一平面內(nèi)，到兩個

定點的距離之積為常數(shù)的點的軌跡是卡西尼卵形線.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)定點

E（—c,0）,E（c,0），其中c>0,動點P（x,y）滿足|PE|?[P圾I=a\a>0且a為常數(shù)），化簡

可得曲線C：/+必+02=后4不1,則（）

A.原點。在曲線。的內(nèi)部

B.曲線。既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形

C.若&=。,則|OP|的最大值為

D.若OVaWgc,則存在點P,使得

23.（多選題）（安徽省多校聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期開學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）設(shè)耳其分別為橢

圓。號+小1的左、右焦點,P為橢圓上任意一點，則（）

A.存在四個點P,使得P用，P片

B.若點P不在2軸上,直線PR的斜率是直線PF2的斜率的-3倍，則點P的橫坐標(biāo)為

V2

2

C.存在點P,使得麗?崩=1

49|PE『+|P局,

D.的最小值為14

1^1-1^1

24.（多選題）（河北省唐山市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期摸底演練數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線C：

4-萼=1與直線l：y=kx+*kW±2）有唯一公共點過點河且與I垂直的直線分

別交，軸，9軸于4館,0）,6（0,⑶兩點，當(dāng)州運動時，下面說法正確的有（）

A.%<—2或%>2

B.記點P（k,t）,則點P在曲線。上

C.直線z與兩漸近線所圍成的面積為定值

D.記點Q（m,n），則點Q的軌跡為橢圓

25.（多選題）（山西省運城市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)摸底調(diào)研數(shù)學(xué)試題）到兩個定

點的距離之積為大于零的常數(shù)的點的軌跡稱為卡西尼卵形線.設(shè)砥-c,0）和月（c,0）且c

>0,動點河滿足\MF,\■\MR\=a2（a>0）,動點河的軌跡顯然是卡西尼卵形線，記該卡西

尼卵形線為曲線C，則下列描述正確的是（）

A.曲線。的方程是（/+靖丫—2,2一必）=〃一"

B.曲線。關(guān)于坐標(biāo)軸對稱

C.曲線。與，軸沒有交點

D./WF］月的面積不大于4a?

26.（多選題）（吉林省實驗中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)學(xué)業(yè)診斷考試數(shù)學(xué)試題）已

知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點為F,。上一點P到F和到沙軸的距離分別為12和

10,且點P位于第一象限，以線段PF為直徑的圓記為Q,則下列說法正確的是（）

A.p=4

B.。的準(zhǔn)線方程為夕=—2

C.圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程為（,一6）2+（沙一2函）2=36

D.若過點（0.2V5）,且與直線OP（O為坐標(biāo)原點）平行的直線Z與圓Q相交于4B兩點,

則|4B|=4V5

27.（多選題）（廣東省七校2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）已知拋物線Cd=4y的焦點為

F,,B,P為物線C上的點，cos（FA,FB）=—1,若拋物線。在點A,6處的切線的斜

率分別為自,自，且兩切線交于點朋■.N為拋物線。的準(zhǔn)線與9軸的交點.則以下結(jié)論正

確的是（）

A.若|+|BF|=4,則NN?廂=-1

B.直線PN的傾斜角與

C.若向+a=2,則直線4B的方程為/—沙+1=0

D.|MF|的最小值為2

28.（多選題）（廣東?。ㄉ线M聯(lián)考）2024屆高三10月階段檢測考數(shù)學(xué)試題）己知F（l,0），圓M-.

Q+iy+靖=1,點P為圓河上一動點，以PF為直徑的圓N交沙軸于AB兩點，設(shè)

4%，y4）國菊外）,_?（如,如，則（）

A.當(dāng)點N在沙軸上時，|PF|=店B.|MN|的取值范圍是

C.yAyB=xPD.cosAAFP=

29.（多選題）（湖南省長沙市長郡中學(xué)2024屆高三月考（二）數(shù)學(xué)試卷）已知拋物線。甯=

2pc（p>0）的焦點為F,準(zhǔn)線交c軸于點。，直線，經(jīng)過F且與。交于兩點,其中點

A在第一象限，線段AF的中點河在g軸上的射影為點N.若|MN|=|NR|,則（）

A.，的斜率為3B.△48。是銳角三角形

C.四邊形的VDF的面積是D.\BF\-\FA\>\FD\2

三、填空題

30.（湖南省長沙市六校2025屆高三九月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）已知雙曲線E：蕓-4=l（a>0,

b>0）的左、右焦點分別為耳￡,離心率為2,過點用的直線/交E的左支于A6兩點.

\OB\=|O何（。為坐標(biāo)原點），記點O到直線I的距離為d,則—=

a------

31.（福建省福州第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)質(zhì)檢考試數(shù)學(xué)試題）已知橢圓方

程為匹+4=l（a>6>0）,雙曲線方程為-^―-―l（m>0,n>0）,若該雙曲線的

a0mn

兩條漸近線與橢圓的四個交點以及橢圓的兩個焦點恰為一個正六邊形的六個頂點，則橢

圓的離心率與雙曲線的離心率之和為.

32.（安徽省六校教育研究會2025屆高三上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷）傾斜角為銳角的直線I經(jīng)

過雙曲線C：三一上=1（巾>0）的左焦點E，分別交雙曲線的兩條漸近線于45兩

點，若線段AB的垂直平分線經(jīng)過雙曲線C的右焦點E,則直線Z的斜率為.

33.（山西省忻州市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題）設(shè)a,b是正實數(shù),若橢圓

ax2+如2=1與直線x+y^l交于點點M為AB的中點，直線。防。為原點）的斜

率為2,又OA，OB,則橢圓的方程為.

34.（山西省大同市2024—2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)質(zhì)量檢測聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知/（0,@），

￡（22，統(tǒng)），鳥（,3,%）是拋物線。：好=2c上三個不同的點,它們的橫坐標(biāo)22,成等差

數(shù)列，F(xiàn)是。的焦點，若島川=2,則yiy3的取值范圍是.

35.（廣東省順德區(qū)高中第四聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）橢圓［+￡=

azbz

l（a>b>0）的離心率e滿足6=上口，則稱該橢圓為“黃金橢圓”.若共+

21Um

l（10>m>0）是“黃金橢圓”，則m=:“黃金橢圓”+"=l（a>b>0）兩個

a2bz

焦點分別為E（—c,。）、E（c,0）（c>0）,P為橢圓。上的異于頂點的任意一點，點河是

△P網(wǎng)用的內(nèi)心，連接并延長交E用于N,則坐4

-\MN\------

36.（河南省七校聯(lián)考2024屆高三第二次聯(lián)合教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系

/。夕中，兒^分別為小沙軸上的點，2|。川=|。耳，則以原點為頂點且經(jīng)過43兩點的

拋物線的準(zhǔn)線斜率為.

37.（河南省部分名校2024屆高三月考（-）數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線蕓一￡=l（a,b>0）的

a/b

左焦點為F,過坐標(biāo)原點。作直線與雙曲線的左右兩支分別交于A3兩點，且恒回=

4|就乙4踮=等，則雙曲線的漸近線方程為

O

2025屆新高考數(shù)學(xué)選填壓軸題真題專項訓(xùn)練一解析幾何

一、單選題

1.(廣東省六校2025屆高三八月第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)設(shè)雙曲線。空—4=l(a>0,6>

a1b~

0)的左、右焦點分別為過月的直線與。的右支交于兩點，記△山見用與

△人用￡的內(nèi)切圓半徑分別為為,友.若乃乃=9&2,則。的離心率為()

A.V2B.V3C.3D.4

【答案】。

【解析】設(shè)E(—C,O),E(c,o)，其中c2=a2+12,

設(shè)AMR?與△gE的內(nèi)心Oi,Q的橫坐標(biāo)分別為g，

過Q分別作MR、MFnRE的垂線，垂足分別為R、S、T,

則、㈤冏=囪T|、舊S|=—,

又|班|一|四引=(|Affi|+人理)-(|MS|+|SE|)=局—|S耳|=|丁月|—|TE|=2a,

且:同=|7間+|7后|=2c,則\TF1\=a+c,T(a,0),于是亞=a，同理g=a，

因此點。1、。2在直線。=&上，又鳥Oi平分/T居P,￡(2平分/TEQ，

2

/P￡Q=7T,則/。向。2=-|OIT|-|O2T|-|T^|,

Tfff\TF^\—c—a,\OrT\—rlt\O2T\—r2,

貝!Jre=(c—a)?,即9a2=(c—a),,解得c=4a,

2.(廣東省揭陽市兩校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期8月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)設(shè)網(wǎng),片分別是橢

圓氏1+冬=1(&>6>0)的左、右焦點,過用的直線交橢圓于4,3兩點,且樂?旗

a2b

=0,最=4演，則橢圓E的離心率為()

【答案】6

【解析】設(shè)舊圖=以

因為岳=4瓦瓦則\AF2\=3X,\BF^=X,

由橢圓的定義可得|AR|=2a—3rc,|BEl=2a—M

因為屈?近=0,即=y,

AFYAF2

在RtAAF{B中,則+\AF^=\BF^,即（2a-3a;）2+（4a;）2=（2a-x）2,

解得x-，可得\AF{\—\AF^—a,

o

在△出A4EE中，可得口2+a?=（2歐,整理得a2=2c2,

所以橢圓E的離心率為e=?=JW=亨.

故選：B.

3.（廣東省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期8月摸底測試數(shù)學(xué)試題）已知拋物線。:靖

=8c,圓F：（2一2戶+靖=4,直線l：g=k@—2）（k手0）自上而下順次與上述兩曲線交于

M,峪,峪,峪四點，則下列各式結(jié)果為定值的是

A.IMMI-IMA^IB.\FM^-\FM^C.|A4MHM3MlD.|FM|-|MM|

【答案】。

由k2kp2）消去y整理得件上―（4理+8）田+4A;2=0（k￥o）,

[y2=8x

4爐+8_.

設(shè)MI（3；I,%）,M4（曲,%），則Xi+X=~,1便2—4.

2杉

過點Ml,M分別作直線l':x=-2的垂線，垂足分別為A,B,

貝U|MF|=%+2,|MF|=22+2.

對于41MM卜|峪M|=（|MF|+2）（|昭冏+2）=（0+4）（電+4）

=XrX2+4(g+X2)+16,不為定值,故A不正確.

對于B,FMHFMl=(◎+2)(.+2)=2何2+2(0+22)+4,不為定值，故B不正確.

對于C,昭M|=(|MF|-2)(|MF|—2)=①任2=4,為定值，故。正確.

對于。，1HMMal=|MF|?(|MF|—2)=(g+2)g,不為定值,故D不正確.

選。.

4.(安徽省安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高三上學(xué)期9月第一次測試數(shù)學(xué)試題)耳月是雙

曲線E:q一%=l(a,b>0)的左、右焦點，點河為雙曲線E右支上一點，點N在°軸上,

a1b2

滿足2F、MN=2MN=60°,若3MF,+5MF2=AMN(ACR),則雙曲線E的離心率為

()

A.聾B.?C.D.J

【答案】。

設(shè)zl麗=荻，則3麗+5誠=痂，

.?.MQ是以3也因|,5也因|為鄰邊的平行四邊形的一條對角線，

又NRMN=/星MN=60°,MQ為/月形的角平分線，

.?.以31M<5|颯|為鄰邊的平行四邊形為菱形，ra皿園=5|皿到，

由雙曲線定義知：|MF]|-|M^|=2a,|M7^|=3a,\MF1\=5a,

在/XF'MFz中，由余弦定理得：4c2=9a2+25a2-30a2cos120°=34a2+15a2=49a2,

雙曲線E的離心率e=9=\序=1.

aV42

故選：D

5.(浙江省名校協(xié)作體2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題)己知AB是橢圓

4+今=1與雙曲線車一m=1的公共頂點，河是雙曲線上一點，直線AM,MB分別

4343

交橢圓于C,。兩點,若直線CD過橢圓的焦點F,則線段5的長度為()

A.B.3C.2V3D.1-V3

【答案】B

【解析】由A3是橢圓與+4=1與雙曲線寫―q=1的公共頂點，得4(—2,0),

B(2,0),

不妨設(shè)直線CD過橢圓的右焦點F(l,0),

設(shè)點M(x0,隊)，則直線AM,MB的斜率分別為心《=,

g+2XQ—2

又因為苧—'=1,可得卜,/神=上y。

XQ—24

設(shè)點。（電,仇），則直線CA,CB的斜率分別為曬=---,kCB=,

27］十/a1/

又因為?+普=1，所以d4?%B=壬?占=—。，

因為^MA~kcA'所以^MB=kBD~~kCB,

所以直線CB,DB關(guān)于力軸對稱，所以直線CD，0軸，

又因為直線CD過橢圓右焦點F,所以。（1,%）,代入橢圓方程得明=±等，

所以|CD|=3.

故選：B

6.（河北省邯鄲市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題）設(shè)雙曲線C：1

a2

—4=1（&>0,6>0）的左、右焦點分別為月，月,點。在雙曲線。上,過點。作兩條漸

b~

近線的垂線，垂足分別為D,E,若西?兩=0,且3|PD||PE|=小，則雙曲線。的離

心率為（

A.B.V2C.A/3D.2

o

【答案】c

【解析】設(shè)PQo，%），則W■—黑=1，即b2xl-a2yl=a2b2,

ab

雙曲線。的漸近線方程為bx+ay=0,

所以IpnllpRl=歷g—a加|bg+a%|=|??-a2端=g2b2

?―-丁，

又IIPRHPEU=2a,平方后得1PE”2爐園日月|+|PE『=4a2,

又在△EPE中，由期?聞=0可得PELPE，

所以|尸局2+|PE|2=4〃,

兩式相減,整理得|PR||P￡|=2b2,

所以園F￡|=〃，

因為3|PD||PE|二S"R艮，

所以3x畔=〃,解得e=，^.

c2

故選：C.

7.（廣東?。ㄉ线M聯(lián)考）2024屆高三10月階段檢測考數(shù)學(xué)試題）已知D為雙曲線。:斗-孑

=1右支上一點，過點。分別作。的兩條漸近線的平行線，與另外一條漸近線分別交于點

A,B,^\\DA\-\DB\=（）

A.2B.V5C.4D.4

42

【答案】。

【解析】設(shè)坐標(biāo)原點為。,。（，0加，易知C的漸近線的方程為y=+j-x,

11

n=-FX,x=-^x—y（）

聯(lián)立2；解得2Q°9。

、g-"o=i（。一次），[y=~~^xo~^~~2yo

不妨取%,一■‘3+與故)‘同理可得,

則|O川=yj^x0—y(^+(--+1y^0-?/o|JOB\=^-|y^o+?/o|，

因為四邊形O4DB是平行四邊形，

于是\DA\?\DB\=\OB\,|。川=客^^劣0+隊卜4^^力0—g（）|二J]；就—若

ZI/IZIZIT：ITC

由于點。在。上,所以苧一%=L因止匕|R4H。囿=告，故。正確.

故選：C.

8.（廣東省順德區(qū)高中第四聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）已知橢圓E：叁

+￡=1的左右頂點分別為小，4,圓Q的方程為（①+iy+（夕一空六小動點P在

曲線E上運動，動點Q在圓Q上運動，若2P的面積為4V3,記|PQ的最大值和最

小值分別為?n和n，則機+九的值為（）

A.A/7B.2V7C.3V7D.4/

【答案】B

【解析】橢圓E：弓+與=1中，4（—4,0）,4（4,0），設(shè)P（xo,yo）,因△44P的面積為

164

4V3,

則-y?|y|=4|y|=4V3，解得y=-V3或%=通，當(dāng)%=-3時,x=+2,當(dāng)y

\AYA2\00000

—A/3時，x0—±2,

即點P（—2,0）或P（—2,—《）或R2,&）或P（2,一四），

圓。：（土+1）2+（夕一苧=；圓心0i（一L^,半徑發(fā)=寺，

此時1PoiI=4或IPOJ=呼或|POJ=罕或FOJ=亨，顯然r＜卓＜

N/Z

V317V39/3V7

F〈F＜丁，

又點Q在圓Q上運動，則有|PQ|max=FOlIm噸+「=竽+度，

此時點F(2,-V3),EQKn=iPQlmin-T=冬—T，止匕時F(-2,V3),

即m=+r,n=-^~—r■，所以m+?i=2V7.

故選：B

9.(湖南省長沙市雅禮中學(xué)2024屆高三月考(二)數(shù)學(xué)試題)已知拋物線C：/=4n的焦點

為F,過點F的直線與。相交于“，N兩點，則2|MF|+J|NF|的最小值為(

A.yB.4C.yD.3

【答案】4

由拋物線C的方程為"=4y，焦點坐標(biāo)為F(0,l),

設(shè)直線I的方程為：g=far+1,M(xi,yj,N①①)，

2

聯(lián)立方程，整理得x—4fcc—4=0,則/i+g==—4,

(g—KX?1

丁2丁2

故一紡=疊.普=1,

又\MF\=y1+^=y1+l,\NF\=y2+^=y2+l,

則2\MF\+-y|AF|=2(?/|+1)+1%+1)=2%+春陵+"|~北2、/27＞＜春紡+0=

/ZJ//vz/

9

了，

當(dāng)且僅當(dāng)"=],取=2時等號成立,故2西|+/|阪|的最小值為今.

故選：A.

10.(湖南省長沙市長郡中學(xué)2024屆高三月考(二)數(shù)學(xué)試卷)在平面直角坐標(biāo)系力。"中，已

知直線山=族+/與圓C:x2+媛=1交于A,B兩點，則/\AOB的面積的最大值為

(

A.1B.yC?乎D.乎

【答案】。

【解析】根據(jù)題意可得直線l：y=fcrc+y恒過點以0,(，該點在已知圓內(nèi)，

圓。:62+婿=1的圓心為。(0,0),半徑r=1,作CD_LI于點。，如下圖所示:

易知圓心。到直線I的距離為|CD|W\CE\=[,所以cos/OCB=將[W:,

2\CB\2

又/DCBC((),1),可得/OCBC

因此可得乙4cB=2/DCB6［等,兀)，

所以A4OB的面積為SAAOB=4\CA\\CB\smAACBxlxlxsin亨=乎.

故選：D

1L(湖北省云學(xué)部分重點高中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷)在平面直角坐

標(biāo)系中，雙曲線一斗=l(a>0,fe>0)的左、右焦點分別為瓦&A為雙曲線右支上

azb

一點，連接AR交？/軸于點3,若=且ARLAE，則雙曲線的離心率為

()

A.V1+V2B.V2+V2C.V5D.V6

【答案】B

【解析】設(shè)\AB\—=m>0,則\AF^—2a+m,\BF\\—2a,

因為，區(qū),則

BOEAFX^_AF2,cos/AEE=-}^j-=,

即空手=白，整理可得加=星-2%則|4月=之，

2c2aaa

又因為|>1園2=田月匕即(紜)+(1—2a)=(2c)2,

整理可得e4—4e2+2=0,解得e?=2+2或e?=2—2(舍去),

所以雙曲線的離心率為e=H7T.

故選：A

二、多選題

12.（廣東省深圳外國語學(xué)校（集團）龍華高中部2025屆高三第一次月考數(shù)學(xué)試題）數(shù)學(xué)中有

許多形狀優(yōu)美，寓意美好的曲線，曲線C：d+靖=1+㈤g就是其中之一（如圖）.給出下

列四個結(jié)論，其中正確結(jié)論是（）

A.圖形關(guān)于?/軸對稱

B.曲線。恰好經(jīng)過6個整點（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）

C.曲線。上存在到原點的距離超過血的點

D.曲線。所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3

【答案】4BD

【解析】對于4,將c換成一立方程不變，所以圖形關(guān)于沙軸對稱，故A正確；

對于B,當(dāng)①=0時,代入可得媾=1,解得沙=±1,即曲線經(jīng)過點（0,1）,（0,-1）,

當(dāng)C>0時，方程變換為靖一g/+—1=0,由△=d—4（02—1）>0,解得xe

（0,等］，所以/只能取整數(shù)1，

當(dāng)，=1時，靖一沙=0,解得夕=0或沙=1,即曲線經(jīng)過（1,0）,（1,1）,

根據(jù)對稱性可得曲線還經(jīng)過（-1,0）,（-1,1）,故曲線一共經(jīng)過6個整點，故B正確；

對于。，當(dāng)2>0時，由22+y2=l+cg可得行+靖―1工p,（當(dāng)土=?時取等

號），+靖&2,.?.斤于即曲線。上沙軸右邊的點到原點的距離不超過蓼，根

據(jù)對稱性可得：曲線。上任意一點到原點的距離都不超過四，故。錯誤；

對于。，如圖所示，在①軸上圖形的面積大于矩形ABCD的面積：&=1X2=2,2軸下

方的面積大于等腰三角形ABE的面積：$2=十X2X1=1,所以曲線。所圍成的“心形”區(qū)

域的面積大于2+1=3,故。正確；

故選：ABD

13.（廣東省金山中學(xué)、中山一中、佛山一中、寶安中學(xué)2025屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試

卷)平面上到兩定點的距離之積為常數(shù)的動點的軌跡稱為卡西尼卵形線.已知曲線。是

到兩定點后(一四。，。0)。。。。，昌(方。,。0)的距離之積為常數(shù)2的點的軌跡，設(shè)

是曲線。上的點，給出下列結(jié)論,其中正確的是()

A.曲線。關(guān)于原點。成中心對稱B.

C.D.APEE周長的最小值為42

【答案】

【解析】由題意，|PR|?|P網(wǎng)=2,則7(m+V2)2+n2?y/(m-V2)2+n2=2,

即[(m+V2)2+n2][(m—V2)2+n2]=4,即(病+九2+2]—gm?=4,

將(―m,—n)代入有[(―m)2+(―n)2+2]2—8(―m)2=4,

所以曲線。關(guān)于原點。成中心對稱，A正確；

由++—8m2=4,得n2—V8m2+4—m2—2,設(shè)〃gm?+4=土，則t>2,

所以療=一卷._,=T+廠12=一(￡—j)2+4，則當(dāng)—4時，療有最大值看,

o2oo2

所以一夸W九&W，所以B錯誤；

由_B可知，當(dāng)|九|=時，及有最大值為x(V2+A/2^)x=1,所以S4PF、及《

1,所以。正確；

由舊局+一勾由2j|PE||PE|=22，當(dāng)且僅當(dāng)舊制=|PE|時等號成立，

△FEE周長的最小值為E局+E月+1^1=272+272=472,

而此時P(0,0),不能構(gòu)成三角形,即最小值不是4