2024-2025學(xué)年吉林省長春市高一上冊9月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年吉林省長春市高一上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．）1.下列元素全體可以組成集合的是（）A.人口密度大的國家 B.所有美麗的城市C.地球上的四大洋 D.優(yōu)秀的高中生2.若全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.3.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，4.已知集合，，則（）A. B. C. D.5.若，，則下列不等式正確的是（）A. B.C. D.6.“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，且，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的說法是（）A.當(dāng)時(shí)，， B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，8.已知表示不超過x的最大整數(shù)，集合，，且，則集合B的子集個(gè)數(shù)為（）．A.4 B.8 C.16 D.32二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9.已知關(guān)于不等式的解集為，則（）A. B.不等式的解集是C. D.不等式的解集為10.已知都是正數(shù)，且滿足，則下列說法正確是（）A.的最大值為1 B.的最小值為2C.的最小值為2 D.的最小值為111.用表示非空集合中元素的個(gè)數(shù)，定義，已知集合，則下面正確結(jié)論正確的是（）A.，B.，C.“”是“”充分不必要條件D.若，則三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．13.若一個(gè)直角三角形的斜邊長等于，當(dāng)這個(gè)直角三角形周長取最大值時(shí)，其面積為______．14.若不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．四、解答題（本題共3小題，共47分）15.設(shè)集合，，．（1），求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求的取值范圍．16.（1）已知，求的最大值；（2）已知，，且，求的最小值；（3）解關(guān)于的不等式（其中）．17.已知方程（1）若，，求方程的解；（2）若對任意實(shí)數(shù)，方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，且，求的最小值．2024-2025學(xué)年吉林省長春市高一上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．）1.下列元素的全體可以組成集合的是（）A.人口密度大的國家 B.所有美麗的城市C.地球上四大洋 D.優(yōu)秀的高中生【正確答案】C【分析】根據(jù)集合的確定性，互異性和無序性即可得出結(jié)論.詳解】由題意，選項(xiàng)ABD，都不滿足集合元素的確定性，選項(xiàng)C的元素是確定的，可以組成集合.故選：C.2.若全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)圖中陰影部分表示求解即可.【詳解】由題知：圖中陰影部分表示，，則.故選：A3.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【正確答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用全稱量詞命題的否定直接寫出結(jié)論即可.【詳解】命題“，”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，因此命題“，”的否定是，.故選：A4.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】解出集合，再利用交集含義即可.【詳解】或，，則.故選：D.5.若，，則下列不等式正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】對BD舉反例即可，對AC根據(jù)不等式性質(zhì)即可判斷.【詳解】對A，因?yàn)椋瑒t，故A錯(cuò)誤；對B，當(dāng)時(shí)，則，故B錯(cuò)誤；對C，因?yàn)?，則，故C正確；對D，當(dāng)時(shí)，則，故D錯(cuò)誤.故選：C.6.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】解出不等式，根據(jù)充分不必要條件的判定即可得到答案.【詳解】，解得或，則“”可以推出“”，但“”無法推出“”，則“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7.關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，且，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的說法是（）A.當(dāng)時(shí)，， B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件，借助二次函數(shù)的圖象，逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，方程的二實(shí)根為，A正確；對于B，方程，即，，解得，當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤；對于C，令，依題意，是函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象與直線，如圖，觀察圖象知，當(dāng)時(shí)，，C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，D正確.故選：B8.已知表示不超過x的最大整數(shù)，集合，，且，則集合B的子集個(gè)數(shù)為（）．A.4 B.8 C.16 D.32【正確答案】C【分析】由新定義及集合的概念可化簡集合，再由可知，分類討論的歸屬，從而得到集合的元素個(gè)數(shù)，由此利用子集個(gè)數(shù)公式即可求得集合的子集的個(gè)數(shù).【詳解】由題設(shè)可知，，又因?yàn)椋?，而，因?yàn)榈慕鉃榛?，的兩根滿足，所以分屬方程與的根，若是的根，是的根，則有，解得，代入與，解得或與或，故；若是的根，是的根，則有，解得，代入與，解得或與或，故；所以不管如何歸屬方程與，集合總是有4個(gè)元素，故由子集個(gè)數(shù)公式可得集合的子集的個(gè)數(shù)為.故選：C二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9.已知關(guān)于的不等式的解集為，則（）A. B.不等式的解集是C. D.不等式的解集為【正確答案】BC【分析】利用一元二次不等式的解集用表示，再逐項(xiàng)分析判斷即得.【詳解】對于A，由不等式的解集為，得是方程的兩個(gè)根，且，A錯(cuò)誤；對于B，，則，不等式，即，解得，B正確；對于C，，C正確；對于D，不等式，即，整理得，解得或，D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知都是正數(shù)，且滿足，則下列說法正確的是（）A.的最大值為1 B.的最小值為2C.的最小值為2 D.的最小值為1【正確答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件，借助基本不等式及“1”的妙用逐項(xiàng)計(jì)算判斷即得.【詳解】對于A，由，，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，B錯(cuò)誤；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，C正確；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，D正確.故選：ACD11.用表示非空集合中元素的個(gè)數(shù)，定義，已知集合，則下面正確結(jié)論正確的是（）A.，B.，C.“”是“”的充分不必要條件D若，則【正確答案】AC【分析】根據(jù)集合新定義，結(jié)合一元二次方程，逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)時(shí)，，則，而，，因此；當(dāng)時(shí)，而，則或，若，滿足，解得；若，則方程的兩個(gè)根都不是方程的根，且，解得，因此“”是“”的充分不必要條件，C正確；對于D，由，而，得或，由C知：或，因此，，D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【正確答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的定義，結(jié)合集合的包含關(guān)系求解即得.【詳解】由，得，而，，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案：13.若一個(gè)直角三角形的斜邊長等于，當(dāng)這個(gè)直角三角形周長取最大值時(shí)，其面積為______．【正確答案】18【分析】由題意畫出圖形，結(jié)合勾股定理并通過分析得知當(dāng)最大值，這個(gè)直角三角形周長取最大值，根據(jù)基本不等式的取等條件即可求解.【詳解】如圖所示：在中，，而直角三角形周長，由勾股定理可知，若要使最大，只需即最大即可，又，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以，，，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)，其面積為.故18.14.若不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)取值范圍是______．【正確答案】【分析】根據(jù)主元法得對恒成立，再利用一次函數(shù)性質(zhì)即可得到答案.【詳解】由不等式對恒成立，得對恒成立，令，得，解得，∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是.故答案為.四、解答題（本題共3小題，共47分）15.設(shè)集合，，．（1），求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求的取值范圍．【正確答案】（1）或（2）或.【分析】（1）根據(jù)集合的補(bǔ)集定義以及集合的交集運(yùn)算，即可求得答案；（2）依題意可得，討論集合是否為空集，列出相應(yīng)的不等式，即可求得結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，可得，故可得或，而，所以或.【小問2詳解】由“”是“”的充分不必要條件可得；當(dāng)時(shí)，，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，需滿足，且和中的等號不能同時(shí)取得，解得；綜上可得，m的取值范圍為或.16.（1）已知，求的最大值；（2）已知，，且，求的最小值；（3）解關(guān)于的不等式（其中）．【正確答案】（1）；（2）；（3）答案見解析【分析】（1）化簡得，再利用基本不等式即可；（2）利用基本不等式構(gòu)造出，解出即可；（3）因式分解為，再對進(jìn)行分類討論即可.【詳解】（1），當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)等號成立.則的最大值為.（2）因?yàn)?且,則，解得或（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，則的最小值為.（3）不等式化為，（其中），當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，不等式化為，若，即，解得；若，無實(shí)數(shù)解；若，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.17.已知方程（1）若，，求方程的解；（2）若對任意實(shí)數(shù)，方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，且，求的最小值．【正確答案】（1）或；（2）（3）【分析】（1）由題意得到，求出方程的根；（2）由根的判別式大于