2024-2025學(xué)年江蘇省蘇州市高一上冊第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省蘇州市高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，集合，則的元素個數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.322.設(shè)，為實數(shù)，甲：，乙：，則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.十七世紀，數(shù)學(xué)家費馬提出猜想：“對任意正整數(shù)，關(guān)于的方程沒有正整數(shù)解”，經(jīng)歷三百多年，1995年數(shù)學(xué)家安德魯懷爾斯給出了證明，使它終成費馬大定理，則費馬大定理的否定為（）A.對任意正整數(shù)，關(guān)于的方程都沒有正整數(shù)解B.對任意正整數(shù)，關(guān)于的方程至少存在一組正整數(shù)解C.存在正整數(shù)，關(guān)于方程至少存在一組正整數(shù)解D.存在正整數(shù)，關(guān)于方程至少存在一組正整數(shù)解4.已知實數(shù)，，下列關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.5.設(shè),且,則的最小值為（）A. B.C. D.6.已知某連鎖酒店共有500間客房，若每間客房每天的定價是200元，則均可被租出；若每間客房每天的定價在200元的基礎(chǔ)上提高10x元，則被租出的客房會減少套．若要使該連鎖酒店每天租賃客房的收入超過元，則該連鎖酒店每間客房每天的定價應(yīng)為（）A250元 B.260元C.270元 D.280元7.在上定義運算，則滿足的實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C.或 D.8.已知關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對得6分，部分選對得部分分，錯選得0分．9.若集合，則（）A. B. C. D.10.設(shè)正實數(shù)，滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的最大值為C.的最小值為 D.的最小值為11.1872年德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱“戴德金分割”），并把實數(shù)理論建立在嚴格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無理數(shù)被認為“無理”的時代，也結(jié)束了數(shù)學(xué)史上的第一次大危機．將有理數(shù)集劃分為兩個非空的子集與，且滿足中的每一個元素都小于中的每一個元素，則稱為戴德金分割．試判斷下列選項中，可能成立的是（）A.若，則滿足戴德金分割B.若為戴德金分割，則沒有最大元素，有一個最小元素C.若為戴德金分割，則有一個最大元素，有一個最小元素D.若為戴德金分割，則沒有最大元素，也沒有最小元素三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.不等式組解集為________．13.為了提高同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)校舉辦了數(shù)學(xué)、物理兩科競賽.高一年級(包括銜接班)共260名同學(xué)參加比賽，其中兩科都取得優(yōu)秀的有80人，數(shù)學(xué)取得優(yōu)秀但物理未取得優(yōu)秀的有40人，物理取得優(yōu)秀而數(shù)學(xué)未取得優(yōu)秀的有120人，則兩科均未取得優(yōu)秀的人數(shù)為_______.14.已知命題，為真命題，則實數(shù)的取值范圍為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，.（1）當(dāng)時，求；（2）若，求的取值范圍.16.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，，求的最小值；（2）當(dāng)時，，求關(guān)于x不等式的解集．17.某地方政府準備在一塊面積足夠大的荒地上建一如圖所示的一個矩形綜合性休閑廣場，其總面積為3000平方米，其中場地四周（陰影部分）為通道，通道寬度均為2米，中間的三個矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運動場地（其中兩個小場地形狀相同），塑膠運動場地占地面積為平方米.（1）分別寫出用表示和用表示的函數(shù)關(guān)系式（寫出函數(shù)定義域）；（2）怎樣設(shè)計能使S取得最大值，最大值為多少？18.已知二次函數(shù)，其中．（1）若且，①證明：函數(shù)必有兩個不同的零點；②設(shè)函數(shù)在軸上截得的弦長為，求的取值范圍；（2）若且不等式的解集為，求的最小值．19.設(shè)集合為非空實數(shù)集，集合，且，稱集合為集合的積集．（1）當(dāng)時，寫出集合的積集；（2）若是由5個正實數(shù)構(gòu)成的集合，求其積集中元素個數(shù)的最小值；（3）判斷是否存在4個正實數(shù)構(gòu)成的集合，使其積集，并說明理由．2024-2025學(xué)年江蘇省蘇州市高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，集合，則的元素個數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.32【正確答案】B【分析】利用并集的定義求得，可得結(jié)論.【詳解】因為，所以的元素個數(shù)為4個.故選：B.2.設(shè)，為實數(shù)，甲：，乙：，則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)及充分條件、必要條件的概念得解.【詳解】因為，推不出，而，所以甲是乙的必要不充分條件，故選：B3.十七世紀，數(shù)學(xué)家費馬提出猜想：“對任意正整數(shù)，關(guān)于的方程沒有正整數(shù)解”，經(jīng)歷三百多年，1995年數(shù)學(xué)家安德魯懷爾斯給出了證明，使它終成費馬大定理，則費馬大定理的否定為（）A.對任意正整數(shù)，關(guān)于的方程都沒有正整數(shù)解B.對任意正整數(shù)，關(guān)于的方程至少存在一組正整數(shù)解C.存在正整數(shù)，關(guān)于的方程至少存在一組正整數(shù)解D.存在正整數(shù)，關(guān)于的方程至少存在一組正整數(shù)解【正確答案】D【分析】由全稱量詞命題的否定的定義即可得解.【詳解】“對任意正整數(shù)，關(guān)于的方程沒有正整數(shù)解”的否定為：存在正整數(shù)，關(guān)于的方程至少存在一組正整數(shù)解.故選：D.4.已知實數(shù)，，下列關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】取特值說明判斷A；作差比較大小判斷BC；利用不等式性質(zhì)推理判斷D.【詳解】對于A，取，得，A錯誤；對于B，，則，B錯誤；對于C，，則，C錯誤；對于D，，D正確.故選：D5.設(shè),且,則的最小值為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】利用基本不等式求解即可.【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.故選:C.6.已知某連鎖酒店共有500間客房，若每間客房每天的定價是200元，則均可被租出；若每間客房每天的定價在200元的基礎(chǔ)上提高10x元，則被租出的客房會減少套．若要使該連鎖酒店每天租賃客房的收入超過元，則該連鎖酒店每間客房每天的定價應(yīng)為（）A.250元 B.260元C.270元 D.280元【正確答案】C分析】根據(jù)條件，列出不等式，解不等式可得結(jié)果.【詳解】由題意，列不等式，得：，整理得.又，，所以.所以，每間客房每天的定價應(yīng)為：(元).故選：C7.在上定義運算，則滿足的實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C.或 D.【正確答案】B【分析】根據(jù)條件，得到，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，故，得到，解得，所以解集為，故選：B.8.已知關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)一元二次不等式解集與對應(yīng)方程的根的關(guān)系可得，再由基本不等式計算即可得出結(jié)論.【詳解】由不等式的解集為，可知1和是方程的兩個實數(shù)根，且，由韋達定理可得，即可得，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立；即可得.故選：D二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對得6分，部分選對得部分分，錯選得0分．9.若集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】ABD【分析】分別令等于，判斷是否為整數(shù)即可求解.【詳解】對于選項A：，存在或使得其成立，故選項A正確；對于選項B：，存在，使得其成立，故選項B正確；對于選項C：由，可得，，若則可得，，不成立；若則可得，，不成立；若，可得，此時，，不成立；同理交換與，也不成立，所以不存在為整數(shù)使得成立，故選項C不正確；對于選項D：，此時存在或使得其成立，故選項D正確，故選：ABD.10.設(shè)正實數(shù)，滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的最大值為C.的最小值為 D.的最小值為【正確答案】AC【分析】A選項，由為正實數(shù)，列不等式求的范圍；B選項，直接利用基本不等式求積的最大值；C選項，消元后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最小值；D選項，利用1的代換結(jié)合基本不等式求最小值.【詳解】對于A，正實數(shù)，滿足，則有，解得，即，A選項正確；對于B，，有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，則的最大值為，B選項錯誤；對于C，，由，則時，的最小值為，C選項正確；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，最小值為，D選項錯誤.故選：AC11.1872年德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱“戴德金分割”），并把實數(shù)理論建立在嚴格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無理數(shù)被認為“無理”的時代，也結(jié)束了數(shù)學(xué)史上的第一次大危機．將有理數(shù)集劃分為兩個非空的子集與，且滿足中的每一個元素都小于中的每一個元素，則稱為戴德金分割．試判斷下列選項中，可能成立的是（）A.若，則滿足戴德金分割B.若為戴德金分割，則沒有最大元素，有一個最小元素C.若為戴德金分割，則有一個最大元素，有一個最小元素D.若為戴德金分割，則沒有最大元素，也沒有最小元素【正確答案】BD【分析】A選項，，A錯；BD選項，可舉出例子；C選項，推理出，C錯誤.【詳解】A選項，，故，A錯誤；B選項，設(shè)，滿足，此時為戴德金分割，且沒有最大元素，有一個最小元素，B正確；C選項，若有一個最大元素，有一個最小元素，則，故C錯誤；D選項，設(shè)，滿足沒有最大元素，也沒有最小元素，D正確.故選：BD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.不等式組的解集為________．【正確答案】【分析】先解每一個不等式，然后求其交集即可【詳解】由，得，即，解得或，由，得，解得，所以所以不等式組的解集為.故13.為了提高同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)校舉辦了數(shù)學(xué)、物理兩科競賽.高一年級(包括銜接班)共260名同學(xué)參加比賽，其中兩科都取得優(yōu)秀的有80人，數(shù)學(xué)取得優(yōu)秀但物理未取得優(yōu)秀的有40人，物理取得優(yōu)秀而數(shù)學(xué)未取得優(yōu)秀的有120人，則兩科均未取得優(yōu)秀的人數(shù)為_______.【正確答案】20【分析】用韋恩圖進行求解，設(shè)集合，集合，全集，再根據(jù)題意進行求解【詳解】如圖所示設(shè)兩科均未取得優(yōu)秀的人數(shù)為，則所以兩科均未取得優(yōu)秀的人數(shù)為20人本題考查根據(jù)韋恩圖求解具體集合元素的個數(shù)問題，方法相對簡單，關(guān)鍵是能正確表示各集合中元素個數(shù)14.已知命題，為真命題，則實數(shù)的取值范圍為______．【正確答案】【分析】根據(jù)題意可知，需對二次項系數(shù)進行分類討論，并結(jié)合判別式即可求出實數(shù)的取值范圍【詳解】由題意得：當(dāng)時，，不符題意；當(dāng)時，的對稱軸為，所以，只需，解得：，當(dāng)時，顯然滿足題意，綜上，的取值范圍為，故四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，.（1）當(dāng)時，求；（2）若，求的取值范圍.【正確答案】（1）或（2）【分析】（1）算出，即可計算出；（2）分是否為空集計算即可.【小問1詳解】由題意可得，當(dāng)時，，則，故.【小問2詳解】當(dāng)時，，解得，此時，符合題意，當(dāng)時，由，可得解得，綜上，的取值范圍為.16.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，，求的最小值；（2）當(dāng)時，，求關(guān)于x不等式的解集．【正確答案】（1）（2）或【分析】（1）根據(jù)題意，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解；（2）根據(jù)題意，化簡不等式為，結(jié)合不等式的解法，即可求解.小問1詳解】解：因為時，，可得，又因為，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即，時取得最小值為．【小問2詳解】解：因為當(dāng)時，，可得，則，因為，所以，則解不等式可得或，則不等式的解集為或．17.某地方政府準備在一塊面積足夠大的荒地上建一如圖所示的一個矩形綜合性休閑廣場，其總面積為3000平方米，其中場地四周（陰影部分）為通道，通道寬度均為2米，中間的三個矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運動場地（其中兩個小場地形狀相同），塑膠運動場地占地面積為平方米.（1）分別寫出用表示和用表示的函數(shù)關(guān)系式（寫出函數(shù)定義域）；（2）怎樣設(shè)計能使S取得最大值，最大值為多少？【正確答案】（1）（2）矩形場地時，運動場的面積最大，最大面積是【詳解】試題分析：（1）塑膠運動場地占地面積為中間三個矩形面積的和.其中大矩形的寬為米,長為米.兩個小矩形的長為米,寬為米.其中,則.根據(jù)矩形的面積公式可用x表示y和S的函數(shù)關(guān)系式.根據(jù)各邊長為正及可得的范圍.（2）由(1)知,用基本不等式求其最值.解：（1）由已知∴，故，由，解得，∴．，根據(jù)，得，∴.（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時.所以，矩形場地時，運動場的面積最大，最大面積是.考點：1函數(shù)解析式;2基本不等式.18.已知二次函數(shù)，其中．（1）若且，①證明：函數(shù)必有兩個不同的零點；②設(shè)函數(shù)在軸上截得的弦長為，求的取值范圍；（2）若且不等式的解集為，求的最小值．【正確答案】（1）①證明見解析，②（2）【分析】（1）①由題意可得，進而根據(jù)判別式為正判斷即可；②由及可得，