2024-2025學年重慶市兩江新區(qū)高二上冊9月月考數學質量檢測試題合集2套（含解析）

2024-2025學年重慶市兩江新區(qū)高二上學期9月月考數學質量檢測試題（一）一、單選題（本大題共8小題）1．已知向量，，若，則實數的值為（

）A．1 B．3 C． D．2．已知復數（是虛數單位），則共軛復數在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．如圖，四邊形的斜二測直觀圖為平行四邊形，已知，則該圖形的面積為（

）A． B． C． D．4．已知一組數據：121，123，124，125，125，126，127，128，129，130．則這組數據的第25百分位數是（

）A．123 B．124 C．125 D．1265．若，，，，為空間直線，，為平面，則下列說法錯誤的是（

）A．，，則B．，，，則C．，，，則D．，是異面直線，則，在內的射影為兩條相交直線6．如圖所示，在棱長為2的正方體中，E為的中點，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．7．如圖，一架高空偵察飛機以的速度在海拔的高空沿水平方向飛行，在點處測得某山頂的俯角為，經過后在點處測得該山頂的俯角為，若點A，B，M在同一個鉛垂平面內，則該山頂的海拔高度約為（

）

A． B． C． D．8．如圖，在中，，E為線段AD上的動點，且，則的最小值為（

）

A．8 B．12 C．32 D．16二、多選題（本大題共3小題）9．經過簡單隨機抽樣獲得的樣本數據為，則下列說法正確的是（

）A．若數據的方差，則所有數據圴相同B．若數據的均值為3，則數據的均值為6C．數據的極差不小于數據的極差D．若數據的眾數為78，則可以說總體中的眾數為7810．若向量滿足，，則（

）A． B．與的夾角為C． D．在上的投影向量為11．中國古代數學的瑰寶《九章算術》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體是上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現有一個如圖所示的曲池，垂直于底面，，底面扇環(huán)所對的圓心角為，弧的長度是弧長度的3倍，，則下列說法正確的是（

）A．弧長度為 B．曲池的體積為C．曲池的表面積為 D．三棱錐的體積為5三、填空題（本大題共3小題）12．某校高一年級共有學生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人．該校要了解高一學生對食堂菜品的看法，準備從高一年級學生中隨機抽取40人進行訪談，若采取按比例分配的分層抽樣，則應從高一2班抽取的人數是．13．如圖，某幾何體由共底面的圓錐和圓柱組合而成，且圓柱的兩個底面圓周和圓錐的頂點均在體積為的球面上，若圓柱的高為2，則圓錐的側面積為．14．如圖，這個優(yōu)美圖形由一個正方形和以各邊為直徑的四個半圓組成，若正方形的邊長為4，點在四段圓弧上運動，則的取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知復數滿足，的虛部是2．(1)求復數；(2)設，，在復平面上的對應點分別為，，，若點位于第一象限，求的面積．16．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，△PAD為等邊三角形，∠ABC=120°，點E，F分別是線段PA，AD的中點．(1)求證：平面EBD；(2)若AB=2，求四棱錐P-DFBC的體積．17．為了落實習主席提出“綠水青山就是金山銀山”的環(huán)境治理要求，某市政府積極鼓勵居民節(jié)約用水.計劃調整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準x(噸)，一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費，超出x的部分按議價收費.為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年200位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數據按照[0，1)，[1，2)，…，[8，9)分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖,其中0.4a=b.（1）求直方圖中a,b的值，并由頻率分布直方圖估計該市居民用水的平均數(每組數據用該組區(qū)間中點值作為代表)；（2）設該市有40萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于2噸的人數，并說明理由；（3）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準x(噸)，估計x的值，并說明理由.18．的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求角A；（2）從三個條件：①；②；③的面積為中任選一個作為已知條件，求周長的取值范圍.19．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于2π與多面體在該點的面角之和的差，其中多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制．例如：正四面體每個頂點均有3個面角，每個面角均為，故其各個頂點的曲率均為．如圖，在直三棱柱中，點A的曲率為，N，M分別為AB，的中點，且．(1)證明：平面．(2)證明：平面平面．(3)若，求二面角的正切值．答案1．【正確答案】B【分析】利用向量共線的坐標運算即可求解.【詳解】因為，，，所以，則.故選：B.2．【正確答案】D【分析】先化復數代數形式，再求共軛復數，最后根據復數幾何意義確定選項.【詳解】，對應點為,在第四象限，選D.本題考查共軛復數定義以及復數幾何意義，考查基本分析求解能力，屬基礎題.3．【正確答案】A【分析】利用斜二測畫法得到原圖矩形中，為正方形，從而求出面積.【詳解】平行四邊形，由斜二測畫法得，在原圖矩形中，，為正方形，故該圖形的面積為．故選：A.4．【正確答案】B【分析】把數據按從小到大的順序排列,可計算出這組數據的第25百分位數是第3項即可.【詳解】數據從小到大排列是：121，123，124，125，125，126，127，128，129，130．共10個數據，，所以這組數據的第25百分位數是第3項，即124.故選：B.5．【正確答案】D【分析】根據線線、線面、面面垂直的性質和判定定理可以判定ABC都正確，考慮到異面直線在同一平面內的射影不同情況，可知D錯誤.【詳解】由于兩平行線與任意直線所成的角都相等可知A正確；由平面垂直的性質和面面垂直的判定定理可知B正確；由平面平行的性質和線面垂直的性質可得C正確；由于兩異面直線在同一平面內的射影可能是平行直線，相交直線，一條直線和直線外的一點，故D錯誤，綜上不正確的是D，故選：D.6．【正確答案】C【分析】建立空間直角坐標系，，進而求出線線角的向量公式即可求出結果.【詳解】如圖，以D為原點，分別以所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，因為正方體的棱長為2，則.所以，又所以.

故選：C.7．【正確答案】B【分析】在中，由正弦定理求出，再由可求出結果.【詳解】依題意得，，在中，米，，由正弦定理得，得米，又所以該山頂的海拔高度為米.故選：B.8．【正確答案】C【分析】由已知條件結合平面向量基本定理可得，，然后利用基本不等式中的常數代換技巧求解即可.【詳解】因為，所以，因為，所以，因為三點共線，所以，，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值是32.故選：C9．【正確答案】AC【分析】根據數據的平均數，方差，極差及眾數的性質逐項進行檢驗即可判斷.【詳解】對于A，數據的方差時，說明所有的數據都相等，故選項A正確；對于B，數據，的平均數為，數據的平均數為，故選項B錯誤；對于C，設數據的極差為當不是時，數據的極差為當為時，的極差小于故選項C正確；對于D，樣本數據具有隨機性，所以樣本的眾數不一定是總體的眾數，故選項D錯誤，故選.10．【正確答案】BC【分析】根據數量積的運算律求出，即可判斷A、B、C，求出，即可判斷D.【詳解】對于A：因為，，所以，所以，故A錯誤；對于B：設與的夾角為，則，又，所以，故B正確；對于C：因為，所以，故C正確；對于D：因為，且，所以在上的投影向量為，故D錯誤；故選：BC11．【正確答案】ACD【分析】設弧所在圓的半徑為，弧所在圓的半徑為，根據弧的長度是弧長度的倍及求出、，再根據體積、表面積公式計算可得.【詳解】設弧所在圓的半徑為，弧所在圓的半徑為，因為弧的長度是弧長度的倍，，即，，，，所以弧的長度為，故A正確；曲池的體積為，故B錯誤；曲池的表面積為，故C正確；三棱錐的體積為，故D正確．故選：ACD．12．【正確答案】10【分析】根據分層抽樣原則直接計算即可【詳解】由題意，從高一年級200人中抽取40人訪談，按照年級分層，則高一2班應該抽人.故10.13．【正確答案】【分析】根據題意畫出該幾何體的軸截面，如圖，設是球心，是圓錐的頂點，是圓錐的母線，求出球的半徑，從而可求出，進而可求得圓錐的側面積.【詳解】其中，是球心，是圓錐的頂點，是圓錐的母線，由題意可知，解得，由于圓柱的高為2，，，，母線，∴圓錐的側面積為．故14．【正確答案】【分析】借助于正方形建系，利用平面向量數量積的幾何意義，找到使在方向上的投影向量的數量最大和最小的點即得的取值范圍.【詳解】如圖，以點為原點，分別以所在直線為軸建立坐標系.因，而表示在方向上的投影向量的模，由圖不難發(fā)現，設過正方形的中心作與軸平行的直線與左右兩個半圓分別交于點，則當點與點重合時，投影向量的數量最大，當點與點重合時，投影向量的數量最小.易得，則的最大值為6，最小值為，故.故答案為.15．【正確答案】(1)或(2)【分析】（1）設，結合條件求即可得z；（2）結合（1）結論，利用復數的四則運算即可得的對應坐標，進而求它們構成的的面積；【詳解】（1），則，由題意得，且，解得或，所以或．（2）因為位于第一象限，所以，，，所以，，，直線，所以且到的距離為1；∴.所以．16．【正確答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）連接，連，證明，再利用線面平行的判定推理作答.（2）證明平面，再利用錐體的體積公式求解作答.【詳解】（1）在四棱錐P-ABCD中，連接，連，如圖，因四邊形是菱形，則O是AC的中點，而E是PA的中點，則，又平面，平面，所以平面.（2）在正中，F是線段AD的中點，則，而平面平面，平面平面，平面，因此，平面，且，在菱形中，，則，是正三角形，，，顯然四邊形是直角梯形，其面積為，所以四棱錐的體積.17．【正確答案】（1）a=0.15，b=0.06；4.07（2）35.2萬；（3）x=5.8【分析】（1）由頻率之和為1以及0.4a=b列方程組求得a,b的值，并由頻率分布直方圖中間值作為代表，計算出平均數；（2）計算不低于2噸人數對應的頻率，求出對應的人數；（3）由頻率分布直方圖計算頻率，可判斷5＜x＜6，再根據頻率列出方程，求出x的值.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得0.04+0.08+a+0.20+0.26+a+b+0.04+0.02=1，又0.4a=b，則a=0.15，b=0.06，該市居民用水的平均數估計為：x=0.5×0.04+1.5×0.08+2.5×0.15+3.5×0.20+4.5×0.26+5.5×0.15+6.5×0.06+7.5×0.04+8.5×0.02≈4.07；（2）由頻率分布直方圖可得，月均用水量不超過2噸的頻率為：0.04+0.08=0.12，則月均用水量不低于2噸的頻率為：1?0.12=0.88，所以全市40萬居民中月均用水量不低于2噸的人數為：40×0.88=35.2（萬）；（3）由頻率分布直方圖知月均用水量不超過6噸的頻率為：0.88，月均用水量不超過5噸的頻率為0.73，則85%的居民每月的用水量不超過的標準x（噸），5＜x＜6，所以0.73+0.15x?5=0.85，解得x=5.8即標準為5.8噸.18．【正確答案】（1）；（2）答案不唯一，具體見解析.【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，可得，然后利用余弦定理，可得.（2）若選①，使用正弦定理以及輔助角公式可得，根據的范圍可得結果；選②，利用正弦定理可得，可得結果.選③結合不等式可得結果.【詳解】（1）因為，所以，得，所以，因為，所以.（2）分三種情況求解：選擇①，因為，由正弦定理得，即的周長，因為，所以，即周長的取值范圍是.選擇②,因為，由正弦定理得即的周長，因為，所以，所以，即周長的取值范圍是(6,+∞).選擇③.因為，得，由余弦定理得，即的周長，因為，當且僅當時等號成立，所以.即周長的取值范圍是.本題考查正弦定理、余弦定理、面積公式的應用，熟練掌握公式，邊角互化化繁為簡，考查分析問題的能力，屬中檔題.19．【正確答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)．【分析】（1）由題意可得，根據線面垂直的性質可得，結合線面垂直的判定定理即可證明；（2）如圖，易證，由（1）得平面，結合面面垂直的判定定理即可證明；（3）如圖，根據線面垂直的判定定理可得平面，則，易證，則∠AHF為二面角的平面角的補角．結合等面積法求得FH，即可求解.【詳解】（1）在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，則，，所以點A的曲率為，所以．因為，所以△ABC為正三角形．因為N為AB的中點，所以．又平面ABC，平面ABC，所以，因為，平面，所以平面．（2）取的中點D，連接DM，DN．因為N為AB的中點，所以且．又且，所以且，所以四邊形CNDM為平行四邊形，則．由（1）知平面，則平面．又平面，所以平面平面．（3）取BC的中點F，連接AF，則．因為平面ABC，平面ABC，所以，因為，平面，所以平面．又平面，所以，過F作的垂線，垂足為H，連接AH，則，又平面，所以平面，又平面，，所以∠AHF為二面角的平面角的補角．設，，則，，．由等面積法可得，則，則，故二面角的正切值為．【方法總結】學生在理解相關新概念、新法則(公式)之后，運用學過的知識，結合已掌握的技能，通過推理、運算等解決問題.在新環(huán)境下研究“舊”性質.主要是將新性質應用在“舊”性質上，創(chuàng)造性地證明更新的性質，落腳點仍然是線面、面面垂直的判定定理與性質和求二面角.2024-2025學年重慶市兩江新區(qū)高二上學期9月月考數學質量檢測試題（二）一、單選題（本大題共8小題）1．（

）A． B． C． D．2．關于百分位數，下列選項錯誤的是（

）A．一組數按照從小到大排列后為：，，…，，計算得：，則這組數的80%分位數是B．一組數據的百分位數可能是這組數據中的數，也可能不是這組數據中的數C．一組數據的某些百分位數可能是同一個數D．第50百分位數就是中位數3．已知正方體中，點E為的中點，若，（x，）則x，y的值分別為（

）A．1，1 B．1， C．， D．，14．已知直線的方向向量是，平面的法向量是，則與的位置關系是（

）A． B．C．與相交但不垂直 D．或5．某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為（

）A． B． C． D．6．將邊長為的正方形（及其內部）繞旋轉一周形成圓柱，如圖，，，其中與在平面的同側，則異面直線與所成角的大小是（

）A． B． C． D．7．正三棱錐的側面都是直角三角形，分別是的中點，則與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．8．在四棱柱中，底面是正方形，側棱底面.已知，E為線段上一個動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．關于空間向量，以下說法正確的是（

）A．空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面B．若對空間中任意一點，有，則四點共面C．已知向量組是空間的一個基底，則也是空間的一個基底D．若，則是鈍角10．對于概率的基本性質，下列選項正確的是（

）A．如果事件A與事件B互斥，那么B．如果事件A與事件B互為對立事件，那么C．如果，則D．11．在棱長為的正方體中，已知為線段的中點，點和點分別滿足，，其中，則下列說法正確的是（

）A．當時，三棱錐的體積為定值B．當時，四棱錐的外接球的表面積是C．的最小值為D．存在唯一的實數對，使得平面三、填空題（本大題共3小題）12．從1,2,3,4,5中任意取出兩個不同的數，則其和為5的概率是_______．13．已知空間向量，，，則向量與的夾角為．14．在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為棱AA1，BB1的中點，G為棱A1B1上的一點，且A1G=(0<<2)，則點G到平面D1EF的距離為.四、解答題（本大題共5小題）15．在空間直角坐標系中，，，，，點滿足.(1)求點的坐標（用表示）；(2)若，求的值．16．一次數學考試有4道填空題，共20分，每道題完全答對得5分，否則得0分．在試卷命題時，設計第一道題使考生都能完全答對，后三道題能得出正確答案的概率分別為、、，且每題答對與否相互獨立．（1）當時，求考生填空題得滿分的概率；（2）若考生填空題得10分與得15分的概率相等，求的值．17．某電視臺為宣傳安徽，隨機對安徽15～65歲的人群抽取了n人，回答問題“皖江城市帶有哪幾個城市？”統(tǒng)計結果如圖表所示：組號分組回答正確的人數回答正確的人數占本組的頻率第1組[15，25）a0.5第2組[25，35）18x第3組[35，45）b0.9第4組[45，55）90.36第5組[55，65]3y(1)分別求出a，b，x，y的值；(2)從第2，3，4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人，求第2，3，4組人數18．已知直三棱柱中，側面為正方形，，E，F分別為和的中點，D為棱上的點，(1)求異面直線與的夾角；(2)若，求平面與平面所成的二面角的夾角的正弦值19．如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E，F分別為AD，BC的中點，沿EF將四邊形EFCD折起，使二面角的大小為60°，點M在線段AB上.(1)若M為AB的中點，且直線MF與直線EA的交點為O，求OA的長，并證明直線平面EMC；(2)是否存在點M，使得直線DE與平面EMC所成的角為60°；若存在，求此時二面角的余弦值，若不存在，說明理由.

答案1．【正確答案】D【分析】利用向量的運算法則求解.【詳解】解：，，，，故選：D2．【正確答案】A【詳解】由百分位數的定義可知，若，則這組數的80%分位數是，故A錯誤；由百分位數的定義可知，對分位數，若不為整數時，則分位數是這組數據中的數，若為整數時，則分位數是相鄰兩個數據的平均值，故可能不是這組數據中的數，故B正確；當一組數據的分位數，分位數，滿足是整數部分相同的非整數時，它們對應百分位數是同一個數，故C正確；由百分位數的意義可知第50百分位數就是中位數，故D正確.故選：A3．【正確答案】C【詳解】,所以.故選：C.4．【正確答案】D【分析】判斷與的位置關系，進而可得出直線與的位置關系.【詳解】，，或.故選：D.本題考查利用空間向量法判斷線面位置關系，屬于基礎題.5．【正確答案】A【分析】對6個主題編號，利用列舉列出甲、乙抽取的所有結果，并求出抽到不同主題的結果，再利用古典概率求解作答.【詳解】用1，2，3，4，5，6表示6個主題，甲、乙二人每人抽取1個主題的所有結果如下表：乙甲123456123456共有36個不同結果，它們等可能，其中甲乙抽到相同結果有，共6個，因此甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題的結果有30個，概率.故選A.6．【正確答案】C【詳解】如圖所示，建立空間直角坐標系.，，，，，，設異面直線與所成角為，，，異面直線與所成角的大小是.故選：C.7．【正確答案】C【詳解】因為正三棱錐的側面都是直角三角形，所以可以以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，設，因為分別是的中點，所以，，設平面的法向量為m=x,y,z則有，所以與平面所成角的正弦值為：，故選：C

8．【正確答案】B【分析】由已知條件建立如圖所示的空間直角坐標系，，則的最小值問題轉化為求平面直角坐標系中的一個動點到兩定點的距離之和的最小值的問題，即轉化為求平面直角坐標系中的一個動點到兩定點的距離之和的最小值的問題，由圖可知當M，P，N三點共線時，到兩定點的距離之和最小，從而可得答案【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則.∵E為線段上一個動點，∴設，則，，故問題轉化為求的最小值問題，即轉化為求平面直角坐標系中的一個動點到兩定點的距離之和的最小值的問題，如圖所示.由此可知，當M，P，N三點共線時，，故選：B.此題考查空間中兩線段和最小問題，轉化為平面問題解決，考查空間向量的應用，屬于中檔題9．【正確答案】ABC【詳解】對于A，因為有兩個向量共線，所以這三個向量一定共面，A正確；對于B，因為且，所以P，A，B，C四點共面，B正確；對于C，因為是空間中的一組基底，所以不共面且都不為，假設共面，則，即，則，與其為基底矛盾，所以不共面，所以也是空間的一組基底，C正確；對于D，若，則是鈍角或是，D錯誤；故選：ABC10．【正確答案】BD【詳解】對于A，事件A與事件B互斥，則，而可以為1，A錯誤；對于B，事件A與事件B互為對立事件，則，B正確；對于C，，則，C錯誤；對于D，，D正確.故選：BD11．【正確答案】ABD【詳解】對于A，當時，為中點，又為中點，，平面，平面，平面，則當在線段上移動時，其到平面的距離不變，三棱錐的體積為定值，A正確；對于B，當時，取交點，連接，則四棱錐為正四棱錐，平面，設四棱錐的外接球的球心為，半徑為，則在直線上，，，，即，解得：，四棱錐的外接球的表面積，B正確；對于C，將問題轉化為在平面內求解的最小值，作關于線段的對稱點，過作，交于，如下圖所示，，（當且僅當與重合時取等號），，，，，即的最小值為，C錯誤；對于D，以為坐標原點，為軸建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，若平面，則，，解得：（舍）或，存在唯一的實數對，使得平面，D正確.故選：ABD.12．【正確答案】0.2【詳解】兩數之和等于5有(1,4)和(2,3)兩種情況，總的樣本點有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10個，且每個樣本點出現的可能性相等，所以P＝210＝0.213．【正確答案】/【詳解】解：依題意，所以，所以，由于，所以向量與的夾角為.故.14．【正確答案】【詳解】由題意得A1B1∥EF，A1B1?平面D1EF，EF?平面D1EF，所以A1B1∥平面D1EF，則點G到平面D1EF的距離等于點A1到