2025年廣東湛江市高三一模高考數(shù)學(xué)模擬試卷（含答案詳解）

第1頁(yè)/共1頁(yè)湛江市2025年普通高考測(cè)試（一）數(shù)學(xué)2025.3注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）．A. B. C. D.2.已知向量，，若，則（）．A. B.2 C. D.53.在等比數(shù)列中，，，則（）．A. B.567 C.451 D.6994.一組數(shù)據(jù)1，3，7，9，的中位數(shù)不小于平均數(shù)，則m的取值范圍為（）．A B. C. D.5.一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為3，圓心角為的扇形，在該圓錐內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，則該球的體積V的最大值是（）．A. B. C. D.6.已知函數(shù)在區(qū)間上存在唯一個(gè)極大值點(diǎn)，則m的最大值為（）．A. B. C. D.7.已知，，點(diǎn)P滿足，當(dāng)取到最大值時(shí)，的面積為（）．A. B. C. D.8.已知定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若，不等式恒成立，則的值不可能是（）．A. B. C. D.3二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，，，，，5個(gè)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖所示，采用一元線性回歸模型建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程．經(jīng)分析確定為“離群點(diǎn)”，故將其去掉，將數(shù)據(jù)去掉后，下列說(shuō)法正確的有（）．A.樣本相關(guān)系數(shù)r變大B.殘差平方和變小C.決定系數(shù)變大D.若經(jīng)驗(yàn)回歸直線過(guò)點(diǎn)，則其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為10.復(fù)數(shù)，滿足，，則（）．A. B.C. D.11.設(shè)定義在R上的函數(shù)和，記的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，若為奇函數(shù)，則下列結(jié)論一定成立的有（）．A B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_________．13.已知，則__________．14.已知橢圓與雙曲線具有相同的焦點(diǎn)，，點(diǎn)P為橢圓A與雙曲線B位于第一象限的交點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．設(shè)橢圓A與雙曲線B的離心率分別為，，則的最小值為_(kāi)_________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且，D為邊上的點(diǎn)，且平分．（1）求的大小；（2）若，，求的周長(zhǎng)．16已知函數(shù)，其中．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，試判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并證明．17.如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍，P為側(cè)棱上的點(diǎn)，且平面．（1）求證：．（2）求直線到平面距離．（3）請(qǐng)判斷在平面上是否存在一點(diǎn)E，使得是以為底邊，為頂角的等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的軌跡；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18.已知拋物線焦點(diǎn)為F，A，B分別為C上的點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B上方）．過(guò)點(diǎn)A，B分別作C的切線，，交于點(diǎn)P．點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)為正三角形時(shí)，其面積為．（1）求拋物線C的方程；（2）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡以及點(diǎn)P到直線的距離的最小值．19.甲參加了一場(chǎng)智力問(wèn)答游戲，每輪游戲均有兩類問(wèn)題（難度系數(shù)較低的類問(wèn)題以及難度系數(shù)較高的類問(wèn)題）供選擇，且每輪游戲只回答兩類問(wèn)題中的其中一個(gè)問(wèn)題．甲遇到每類問(wèn)題的概率均為，甲遇到類問(wèn)題時(shí)回答正確的概率為，回答正確記1分，否則記0分；甲遇到類問(wèn)題時(shí)回答正確的概率為，回答正確記2分，否則記0分，總得分記為X分，甲回答每個(gè)問(wèn)題相互獨(dú)立．（1）當(dāng)進(jìn)行完2輪游戲時(shí)，求甲的總分X的分布列與數(shù)學(xué)期望．（2）設(shè)甲在每輪游戲中均回答正確且累計(jì)得分為n分的概率為．（?。┳C明：為等比數(shù)列．（ⅱ）求的最大值以及對(duì)應(yīng)n的值．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式確定集合，然后由交集定義計(jì)算．【詳解】因?yàn)椋?，所以．故選：A．2.已知向量，，若，則（）．A. B.2 C. D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)垂直向量的數(shù)量積以及其坐標(biāo)表示，建立方程，求得參數(shù)，利用模長(zhǎng)公式，可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以．故選：C．3.在等比數(shù)列中，，，則（）．A. B.567 C.451 D.699【答案】B【解析】分析】由已知根據(jù)等比中項(xiàng)可得，分兩種情況利用通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，，舍去，故，所以，即，所以.故選：.4.一組數(shù)據(jù)1，3，7，9，的中位數(shù)不小于平均數(shù)，則m的取值范圍為（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由平均數(shù)可得這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)只可能是m或7，分兩種情況分別求解即可.【詳解】因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)只可能是m或7，若這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是m，則，即，若這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是7，則，即，綜上所述，m的取值范圍為.故選：B.5.一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為3，圓心角為的扇形，在該圓錐內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，則該球的體積V的最大值是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖可得圓錐的半徑和高，由三角形面積公式即可求解內(nèi)切球半徑，進(jìn)而由球的體積公式求出答案.【詳解】由題意得，扇形的弧長(zhǎng)，所以該圓錐的底面圓的半徑，所以該圓錐的高．設(shè)該圓錐內(nèi)的球的最大半徑為R，圓錐的軸截面如圖所示：則依題意得，所以，所以該球的體積V的最大值是．故選：D6.已知函數(shù)在區(qū)間上存在唯一個(gè)極大值點(diǎn)，則m的最大值為（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】在指定區(qū)間內(nèi)求出相位的范圍，再結(jié)合極大值點(diǎn)的意義列出不等式求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，由在區(qū)間上存在唯一個(gè)極大值點(diǎn)，得，解得，所以m的最大值為.故選：A7.已知，，點(diǎn)P滿足，當(dāng)取到最大值時(shí)，的面積為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由可得點(diǎn)P軌跡方程，然后由直線與圓D相切時(shí)，最大，可得答案.【詳解】設(shè)，由得，即，則點(diǎn)P軌跡為的圓心為，半徑為的圓.當(dāng)直線與圓D相切時(shí)，最大，則．又，，所以．又，所以．故選：D．8.已知定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若，不等式恒成立，則的值不可能是（）．A. B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出的解析式，再按的不同取值分類討論在上的單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)槎x在上的函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，令，即，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，即恒成立，故滿足題意，排除選項(xiàng)A；若，則，函數(shù)在上不單調(diào)，圖象如圖所示，又，即，可理解為函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象下方，所以由圖象可得，即，令，則，，.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，，，，，5個(gè)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖所示，采用一元線性回歸模型建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程．經(jīng)分析確定為“離群點(diǎn)”，故將其去掉，將數(shù)據(jù)去掉后，下列說(shuō)法正確的有（）．A.樣本相關(guān)系數(shù)r變大B.殘差平方和變小C.決定系數(shù)變大D.若經(jīng)驗(yàn)回歸直線過(guò)點(diǎn)，則其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖的性質(zhì)可知去掉E后相關(guān)性變強(qiáng)判斷A選項(xiàng)；殘差平方和以及決定系數(shù)判斷BC選項(xiàng)；根據(jù)回歸直線的求法和性質(zhì)判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由圖可知，變量x與變量y是負(fù)相關(guān)，且將數(shù)據(jù)去掉后，樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值變大，所以r變小，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：將數(shù)據(jù)去掉后，變量x與變量y的相關(guān)性變強(qiáng)，所以殘差平方和變小，決定系數(shù)變大，故選項(xiàng)B，C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，經(jīng)計(jì)算得，且，，可得，，所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程是，所以選項(xiàng)D正確．故選：BCD．10.復(fù)數(shù)，滿足，，則（）．A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由題意根據(jù)韋達(dá)定理建立一元二次方程，求得復(fù)數(shù)，根據(jù)模長(zhǎng)公式以及復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，可得答案.【詳解】依題意得，復(fù)數(shù)，是方程的兩個(gè)根，可得，解得，則，，所以，故選項(xiàng)A正確；，故選項(xiàng)B正確；，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)D正確．故選：ABD．11.設(shè)定義在R上的函數(shù)和，記的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，若為奇函數(shù)，則下列結(jié)論一定成立的有（）．A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用已知得出圖象關(guān)于對(duì)稱，又得出是偶函數(shù)，從而它的周期性，然后通過(guò)的值計(jì)算出相應(yīng)的值，判斷各選項(xiàng)．【詳解】由得．又，所以，即，所以關(guān)于對(duì)稱，．又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，故是偶函數(shù)，所以滿足條件．對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以，所以，選項(xiàng)A正確；，選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，所以，所以，選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，，但不一定為0，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：ABC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】設(shè)出公差，根據(jù)，求出，得到公差，利用通項(xiàng)公式求出答案.【詳解】設(shè)的公差為，因?yàn)?，所以，又，故，解得，所以，又，所以．故答案為?3.已知，則__________．【答案】##0.8【解析】【分析】利用同角關(guān)系式可求得，利用誘導(dǎo)公式可得，再利用倍角公式即可求解.【詳解】，即．又，所以，所以．故答案為：.14.已知橢圓與雙曲線具有相同的焦點(diǎn)，，點(diǎn)P為橢圓A與雙曲線B位于第一象限的交點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．設(shè)橢圓A與雙曲線B的離心率分別為，，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】法一：由題意可得焦點(diǎn)三角形為直角三角形，根據(jù)橢圓的定義、雙曲線的定義與勾股定理，建立方程組，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案；法二：由題意可得焦點(diǎn)三角形為直角三角形，根據(jù)橢圓與雙曲線焦點(diǎn)三角形面積的二級(jí)結(jié)論，建立方程，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案.【詳解】法一：因?yàn)?，所以．設(shè)，（不妨設(shè)），，依題意有，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以的最小值為．法二：因?yàn)?，所以．?duì)于焦點(diǎn)三角形，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得其面積，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可得，所以，所以，整理可得．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以的最小值為．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且，D為邊上的點(diǎn)，且平分．（1）求的大??；（2）若，，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）（2）15【解析】【分析】由正弦定理得，進(jìn)而可得，根據(jù)輔助角公式可得的大小.由題意可得，從而可得，由余弦定理求得，即可求的周長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】由正弦定理得．又因?yàn)?，所以，所以，或，，或，又，∴．【小?wèn)2詳解】平分，，所以，所以，即．①由余弦定理得，即．②將①代入②得，所以，（舍去），所以的周長(zhǎng)為．16.已知函數(shù)，其中．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，試判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并證明．【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）兩個(gè)零點(diǎn)，證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間.（2）先判斷是的一個(gè)零點(diǎn)，利用分類討論法，對(duì)進(jìn)行分類討論，或利用分離參數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來(lái)確定正確答案.【小問(wèn)1詳解】由題知，，當(dāng)時(shí)，．令，得或（舍去）．當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)遞減區(qū)間為．當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為．【小問(wèn)2詳解】解法一：因?yàn)?，故有一個(gè)零點(diǎn)是2．令，解得（舍去），．當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，．．下面先證明當(dāng)時(shí)，．令，，故在上單調(diào)遞增，所以．因?yàn)?，所以．易知，所以在上存在唯一的零點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，為2和．解法二：當(dāng)時(shí)，，故2是的一個(gè)零點(diǎn)．令，又，所以．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，所以．下證．令，則．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，從而，所以當(dāng)時(shí)，，所以，即．令，則有，則．易得當(dāng)時(shí)，，所以在上有唯一解．綜上，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．解法三：令，當(dāng)時(shí)，，故2是的一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，．令，易得在和上均單調(diào)遞減．因?yàn)椋灞剡_(dá)法則），所以當(dāng)時(shí)，且單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，在上有唯一解．而當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，無(wú)解．綜上可知，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為求出關(guān)鍵點(diǎn)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)在不同區(qū)間的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這是解決函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的基本方法.判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，先找出一個(gè)已知零點(diǎn)，再通過(guò)求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，然后構(gòu)造函數(shù)證明相關(guān)不等式，進(jìn)而判斷在其他區(qū)間是否存在零點(diǎn)，這種方法綜合運(yùn)用了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和不等式證明.17.如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍，P為側(cè)棱上的點(diǎn)，且平面．（1）求證：．（2）求直線到平面的距離．（3）請(qǐng)判斷在平面上是否存在一點(diǎn)E，使得是以為底邊，為頂角的等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的軌跡；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）不存在，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)線線垂直可證明平面，即可利用線面垂直的性質(zhì)求解，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面法向量，即可利用點(diǎn)面距離的向量法求解.（3）根據(jù)線面平行的性質(zhì)，結(jié)合（2）可知Q到平面的距離為，而，即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：如圖，連接，設(shè)交于點(diǎn)O，連接，由得．在正方形中，．又，平面,所以平面．又因?yàn)槠矫妫裕拘?wèn)2詳解】連接，因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，所以．在中，O為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)P為的中點(diǎn)．易知直線，，兩兩垂直，如圖，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為2，所以，，，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則可得，所以，則，令，可得．因?yàn)槠矫?，所以直線到平面的距離等于點(diǎn)B到平面的距離，在法向量上的投影的模為，所以直線到平面距離為．【小問(wèn)3詳解】不存在．理由如下：根據(jù)第（2）問(wèn)可得直線到平面的距離為．又因?yàn)槠矫?，設(shè)點(diǎn)Q為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)Q到平面的距離為．假設(shè)在平面上存在點(diǎn)E，使得是以為底邊，為頂角的等腰三角形，則有．因?yàn)?，所以不存在滿足條件的點(diǎn)E18.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A，B分別為C上的點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B上方）．過(guò)點(diǎn)A，B分別作C的切線，，交于點(diǎn)P．點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)為正三角形時(shí)，其面積為．（1）求拋物線C的方程；（2）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡以及點(diǎn)P到直線的距離的最小值．【答案】（1）（2）軌跡直線，最小值為2．【解析】【分析】（1）由題意作圖，根據(jù)正三角形的性質(zhì)與拋物線的性質(zhì)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線方程，可得答案；（2）設(shè)出直線方程，并聯(lián)立拋物線方程，寫出韋達(dá)定理，設(shè)出切線方程，聯(lián)立拋物線方程，寫出根的判別式為零，進(jìn)而求得切線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線距離公式，可得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闉檎切螘r(shí)，其面積為，可得的邊長(zhǎng)．根據(jù)正三角形以及拋物線的對(duì)稱性，可知此時(shí)點(diǎn)A，B關(guān)于x軸對(duì)稱，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為．將點(diǎn)A代入拋物線的方程可得，解得，所以拋物線C的方程為．【小問(wèn)2詳解】易得．設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線C的方程可得．，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，根據(jù)韋達(dá)定理可得，．設(shè)直線的方程為．因?yàn)槭菕佄锞€C的切線，所以與C僅有一個(gè)交點(diǎn)．聯(lián)立兩個(gè)方程可得，，所以，所以直線的方程為．同理可得直線的方程為．計(jì)算與的交點(diǎn)可得，即可得，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為直線．將點(diǎn)P的橫坐標(biāo)代入直線及，可得其縱坐標(biāo)為以及，兩者相加可得，代入上述韋達(dá)定理可得，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)P到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)