第2.1講 函數(shù)的概念及其表示（解析版）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練寶典（新高考專用）

第二章函數(shù)第2.1講函數(shù)的概念及其表示1.了解函數(shù)的含義.2.在實(shí)際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).3.了解簡單的分段函數(shù)，并會簡單的應(yīng)用．題型一函數(shù)的定義域題型二函數(shù)的解析式題型三分段函數(shù)題型四綜合應(yīng)用1．函數(shù)的概念給定兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集A與B，以及對應(yīng)關(guān)系f，如果對于集合A中每一個(gè)實(shí)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的實(shí)數(shù)y與x對應(yīng)，則稱f為定義在集合A上的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A.2．函數(shù)的三要素(1)函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域．(2)如果兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式表示的函數(shù)定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，則稱這兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式表示的就是同一個(gè)函數(shù)．3．函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法．4．分段函數(shù)如果一個(gè)函數(shù)，在其定義域內(nèi)，對于自變量的不同取值區(qū)間，有不同的對應(yīng)方式，則稱其為分段函數(shù)．題型一函數(shù)的定義域1．函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，得，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D．2．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，對于函?shù)，則有，解得或.因此，函數(shù)的定義域?yàn)?故選：A.3．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，所，則，所以的定義域?yàn)椋畡t函數(shù)的定義域，需滿足，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋蔬x：A.4．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)?，所以不等式在上恒成?當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以不等式在上恒成立顯然不成立，當(dāng)時(shí)，則滿足，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.5．函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由定義域知，即，只有C滿足．故選：C．題型二函數(shù)的解析式6．設(shè)，則等于（

）A． B．

C． D．

【答案】C【詳解】∵，∴，故選：C．7．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】令為，則，與聯(lián)立可解得，．故選：D．8．為了預(yù)防某種病毒，某學(xué)校需要通過噴灑藥物對教室進(jìn)行全面消毒．出于對學(xué)生身體健康的考慮，相關(guān)部門規(guī)定空氣中這種藥物的濃度不超過0.25毫克/立方米時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)入教室．已知從噴灑藥物開始，教室內(nèi)部的藥物濃度y（毫克/立方米）與時(shí)間t（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系為，函數(shù)的圖像如圖所示．如果早上7：30就有學(xué)生進(jìn)入教室，那么開始噴灑藥物的時(shí)間最遲是（

）A．7：00 B．6：40 C．6：30 D．6：00【答案】A【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖像，可得函數(shù)的圖像過點(diǎn)，由函數(shù)圖像連續(xù)，代入函數(shù)的解析式，可得，解得，所以，令，可得或，解得或．所以如果7：30學(xué)生進(jìn)入教室，那么開始噴灑藥物的時(shí)間最遲是7：00．故選：A．9．已知函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，且時(shí)，都有，則（

）.A．-4 B．-3 C．-1 D．0【答案】C【詳解】由題得，設(shè)，k是一個(gè)常數(shù)，，，，則有，，解得，，.故選：C10．從商業(yè)化書店到公益性城市書房，再到“會呼吸的文化森林”——圖書館，建設(shè)高水平、現(xiàn)代化、開放式的圖書館一直以來是大眾的共同心聲.現(xiàn)有一塊不規(guī)則的地，其平面圖形如圖1所示，（百米），建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，將曲線看成函數(shù)圖象的一部分，為一次函數(shù)圖象的一部分，若在此地塊上建立一座圖書館，平面圖為直角梯形（如圖2），則圖書館占地面積（萬平方米）的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)榍€是函數(shù)的圖象，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，故，所以，設(shè)線段對應(yīng)的函數(shù)解析式為，因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，設(shè)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為由可得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以直角梯形的面積，所以，令，可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，最大值為.故選：D.題型三分段函數(shù)11．已知函數(shù)則（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【詳解】，∴．故選：B12．已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意．故選:B．13．十九世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家狄利克雷提出了“狄利克雷函數(shù)”它在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中有著重要意義，若函數(shù)，則下列實(shí)數(shù)不屬于函數(shù)值域的是（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【詳解】由題意可知所以，，，而無解.故選：C.14．若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的可能值共有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若，的值域?yàn)椋缓项}意；若，則時(shí)，，，由于，由題意可知需使；若，則時(shí)，，，，故需使，即實(shí)數(shù)的可能值共有2個(gè)，故選：B15．若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】①當(dāng)時(shí)，則只有一個(gè)零點(diǎn)0，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)的大致圖象，如圖1，在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意；③當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)的大致圖象，如圖2，在上沒有零點(diǎn)．則在上有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)必須滿足，解得．綜上，得或．故選：A題型四綜合應(yīng)用16．已知，求的解析式【詳解】因?yàn)椋锰鎿Q得，消去，解得，即.17．已知二次函數(shù)，，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域．【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以，所以，即．?）解：因?yàn)?，所以是開口向上，對稱軸為的拋物線．因?yàn)樵谶f減，在遞增，所以，因?yàn)?，，所以，所以在上的值域?yàn)椋?8．已知函數(shù)滿足．(1)求的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，若對任意，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【詳解】（1）由，得，消去得，所以．（2）由，得，即對任意恒成立，令，，當(dāng)時(shí)，取得最大值86，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為．19．2022年是合肥一六八中學(xué)建校20周年，學(xué)校屆時(shí)將舉行20周年校慶活動，其中會建立校史展覽館并向各界校友及友好人士展出一六八中學(xué)自建校以來的大事記．已知展覽館的某一部分平面圖如圖所示，AB的長為18米，點(diǎn)C到x軸和y軸的距離分別是6米和9米，其中邊界ACB是函數(shù)圖像的一部分，前一段AC是函數(shù)圖像的一部分，后一段CB是一條線段，現(xiàn)要在此處建一個(gè)陳列館，平面圖為直角梯形DEBF（其中BE、DF為兩個(gè)底邊）．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求梯形DEBF面積的最大值．【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)C到x軸和y軸的距離分別是6米和9米所以又前一段AC是函數(shù)圖像的一部分，經(jīng)過點(diǎn)C所以，所以所以當(dāng)時(shí)，又后一段CB是一條線段且過和所以當(dāng)，由直線的兩點(diǎn)式得綜上所述得函數(shù)得解析式為（2）設(shè)點(diǎn)，所以，所以梯形的面積為設(shè)，令由所以令，則有在單調(diào)遞增，令，則有在單調(diào)遞減，所以即時(shí)，梯形DEBF面積的最大值為44．·20．已知二次函數(shù)的值域?yàn)椋?）若此函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）求在上的最小值，并求的值域．【詳解】（1）由題意可知數(shù)開口向上，且在對稱軸處取得最小值0，所以，且，即，因此，因?yàn)楹瘮?shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，所以，所以，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為；（2）若，即，所以在上單調(diào)遞增，所以；若，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，因此的值域?yàn)?21．已知函數(shù)，其中，且．(1)當(dāng)時(shí)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若存在實(shí)數(shù)使得方程有兩個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1