彈性力學(xué) 課件 第10章 能量原理和變分法

彈性力學(xué)配套教材：馬宏偉、張偉偉主編《彈性力學(xué)》，高等教育出版社，2024.12能量原理和變分法Theenergyprincipleandthemethodofvariation彈性體的應(yīng)變能和應(yīng)變余能01虛功原理與最小勢能原理01位移變分法01平面問題的位移變分法01最小余能原理01應(yīng)力變分法01平面問題的應(yīng)力變分法01彈性體的形變勢能01Elasticspotentialenergyofthedeformablebody基本概念01材料在單向拉伸作用下的能量上式稱為應(yīng)變能密度。若以應(yīng)力為自變量，可求應(yīng)變余能密度，如若材料為線彈性材料時，有：若彈性體只在兩個互相垂直方向有剪切應(yīng)力，且切應(yīng)變時，則應(yīng)變能為

每單位體積內(nèi)具有的形變勢能為:02基本概念材料在三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能根據(jù)能量守恒，疊加各情況后，得應(yīng)變能密度一般情況下，彈性體受力并不均勻，應(yīng)變能密度也不均勻，為坐標(biāo)得函數(shù)，所以，彈性體所儲備的應(yīng)變能為利用物理方程轉(zhuǎn)變?yōu)閼?yīng)變分量來表示，得基本概念02材料在三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能02基本概念02材料在三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能02

利用幾何方程，把應(yīng)變能用位移表示：基本概念02材料在三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變余能02應(yīng)變余能密度

在應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為線性時同樣是考慮應(yīng)變余能密度為位置坐標(biāo)的函數(shù)，則整個彈性體的應(yīng)變余能為考慮物理方程，將所有的應(yīng)變均用應(yīng)力表示，得應(yīng)變余能密度的表達(dá)式整個彈性體的應(yīng)變余能表達(dá)式基本概念02微分關(guān)系依據(jù)應(yīng)變能與應(yīng)力、應(yīng)變的積分關(guān)系，可得：對于余能，類似可得：虛功原理與最小勢能原理02Virtualworkprincipleandminimumpotentialenergyprinciple02虛功原理01位移：外力：體力面力將上式進(jìn)行歸項(xiàng)后，得設(shè)有一彈性體在一定的外力作用下處于平衡狀態(tài)，并發(fā)生虛位移：外力在虛位移上做功為虛功，設(shè)無能量損失，全部轉(zhuǎn)換為應(yīng)變能，有——此即為位移變分方程

或者

拉格朗日變分方程對于彈性體而言，虛位移

、

、

不是常數(shù)，而是位置的函數(shù)，因此位移變分方程是以位移函數(shù)為自變量的泛函。02變分方程的意義02如圖所示的簡支梁，梁在一定的載荷下?lián)锨€方程如圖中實(shí)線所示（簡便起見，只考慮其y方向位移），位移設(shè)為

。假定位移產(chǎn)生改變，變?yōu)?/p>

，位移變分為位移變分方程簡化為

相當(dāng)于當(dāng)自變量函數(shù)(撓曲線)改變時應(yīng)變能的變化量，這很像函數(shù)的微分關(guān)系。微分和變分的對比“微分”的概念移植到泛函中來，仍以圖示的簡支梁為例，將泛函中自變量函數(shù)（撓曲線函數(shù)）的“增量”記為，稱其為位移變分；應(yīng)變能函數(shù)的增量為，稱其為應(yīng)變能的變分。02虛位移原理03微分、積分、變分運(yùn)算可交換次序

將應(yīng)變能視為應(yīng)變的變分（相當(dāng)于求多元函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)）：代入

(10-8)———虛位移原理，也稱為虛功原理或虛功方程。方程左邊為應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。虛位移原理表示：在虛位移過程中，外力在虛位移上所做的虛功就等于應(yīng)力在與該虛位移相應(yīng)的虛應(yīng)變上所做的虛功。由于外力的大小和方向可以當(dāng)作保持不變，體力和面力分量可作為常數(shù)寫到變分算子內(nèi)，有——彈性體的總勢能02虛位移原理03在給定的外力作用下，實(shí)際存在的位移應(yīng)使總勢能的變分成為零。最小勢能原理：在給定的外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各組位移中間，實(shí)際存在的一組位移應(yīng)使總勢能成為極值。如果考慮二階變分，則得到對于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，這個極值是極小值。又由于彈性力學(xué)的解具有唯一性，總勢能的極小值就是最小值。因此，上述原理稱為最小勢能原理。02位移變分方程03微分、積分、變分運(yùn)算可交換次序?qū)?yīng)變能視為應(yīng)變的變分（相當(dāng)于求多元函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)）：

(10-10)

按照幾何方程，寫出應(yīng)變分量的變分為式(10-10)的右邊共有9項(xiàng)，現(xiàn)在來對每一項(xiàng)進(jìn)行分部積分，以第一項(xiàng)為例，有式(10-10)右邊的9項(xiàng)都做分部積分后，共得18項(xiàng)

(10-11)02位移變分方程03將式(10-11)代入(10-7),并使用高斯積分定理，有(10-11)(10-7)代入高斯積分定理:若P、Q、R為三個函數(shù)，它們的體積積分與面積分滿足關(guān)系：當(dāng)面力已知位移變分法03Displacementvariationmethod設(shè)某彈性力學(xué)問題的位移分量具有如下表達(dá)形式：位移分量的變分可以寫為代入位移變分方程:應(yīng)變能的變分為把

視為“公因式”合并歸項(xiàng)后，有因系數(shù)不全為0由于

之間相互獨(dú)立，因此上述求導(dǎo)運(yùn)算后，各式只含有對應(yīng)系數(shù)的一次項(xiàng)，可以求得全部系數(shù)。這一方法被稱為里茨法。位移變分方程:設(shè)下述位移滿足位移邊界條件和應(yīng)力邊界條件其變分形式為代入伽遼金變分方程因系數(shù)不全為0考慮物理方程、幾何方程，得到用位移分量表示各式也只含有對應(yīng)系數(shù)的一次項(xiàng)，可以求得全部系數(shù)。這一方法被稱為伽遼金法。平面問題的位移變分法04Displacementvariationmethodforplaneprobelems02平面問題的位移變分方程01位移表示的應(yīng)變能方程（10-4）平面應(yīng)變問題，w=0設(shè)出位移表達(dá)式代入里茨法伽遼金法02例題102設(shè)有寬度為a而高度b為的薄板，左邊及下邊受連桿支承，右邊及上邊分別受有均布壓力

及

，不計(jì)體力，試求薄板的位移?解：設(shè)位移分量為滿足邊界條件

，

。應(yīng)力邊界條件未知采用里茨法求解。簡便起見，位移只取一個系數(shù)代入應(yīng)變能表達(dá)式代入體力為0，且m=102例題102設(shè)有寬度為a而高度b為的薄板，左邊及下邊受連桿支承，右邊及上邊分別受有均布壓力

及

，不計(jì)體力，試求薄板的位移?續(xù)：代入導(dǎo)出求解，得因此，有獲得位移解后，可通過幾何方程求得應(yīng)變，再利用物理方程獲得應(yīng)力，得到彈性力學(xué)的全部解。02例題203設(shè)有寬度為2a而高度為b的矩形薄板，左右兩邊及下邊均被固定，而上邊的位移給定為

，

，不計(jì)體力，求薄板的位移和應(yīng)力。解：取m=1，設(shè)位移分量為滿足全部的位移邊界條件，應(yīng)用伽遼金法：求各階導(dǎo)數(shù)，為：代入伽遼金方程，求得常數(shù)為：02例題203設(shè)有寬度為2a而高度為b的矩形薄板，左右兩邊及下邊均被固定，而上邊的位移給定為

，

，不計(jì)體力，求薄板的位移和應(yīng)力。續(xù)：位移解為當(dāng)板為正方形時，且

，上述解為

應(yīng)用幾何方程及物理方程,可由得到的位移分量求得應(yīng)力分量：

最小余能原理05PrincipleofMinimumComplementaryEnergy分量設(shè)一彈性體，在外力作用下處于平衡狀態(tài)

命：為實(shí)際存在的應(yīng)力分量，并滿足平衡方程和應(yīng)力邊界條件設(shè)體力與應(yīng)力邊界條件不變，應(yīng)力分量發(fā)生微小改變：

即：

（a）

（b）（c）應(yīng)力變分滿足無體力平衡微分方程應(yīng)力變分也滿足無面力時的邊界條件在給定位移的邊界上，應(yīng)力變分會引起面力的變分分量將應(yīng)變余能看作為應(yīng)力分量的函數(shù)高斯積分定理（10-8）（2-15）考慮式(a)(b)(c)，上述面積分在邊界上為0，則——應(yīng)力變分方程，也稱為卡斯蒂利亞諾變分方程如果在某一部分邊界上，面力是給定的，則該部分邊界上的面力不能有變分，于是，而式(10-22)右邊的相應(yīng)積分項(xiàng)成為零；如果在某一部分邊界上,給定的位移等于零，則式(10-22)右邊的相應(yīng)積分項(xiàng)也成為零。因此，應(yīng)力變分方程(10-21)右邊的積分，只須在這樣的邊界上進(jìn)行：面力沒有給定，而給定的位移又不等于零。（10-22）分量虛應(yīng)力原理微分、積分、變分運(yùn)算可交換次序

(10-6)將應(yīng)變能視為應(yīng)變的變分（相當(dāng)于求多元函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)）：代入

(10-22)

(10-23)——虛應(yīng)力原理從應(yīng)力變分方程(10-22)出發(fā)，還可以推出最小余能原理。

(10-22)方括號內(nèi)的表達(dá)式代表彈性體的總余能。當(dāng)總余能取極值時，應(yīng)力為真實(shí)應(yīng)力?？梢宰C明，該極值為極小值，即——最小余能原理應(yīng)力變分法06StressVariationalMethod設(shè)定應(yīng)力分量的表達(dá)式，使其滿足平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。取應(yīng)力分量的表達(dá)式如下：(10-25)是互不依賴的m個系數(shù)；是滿足微分方程和應(yīng)力邊界條件的設(shè)定函數(shù)；是滿足沒有體力和面力作用時的平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件設(shè)定函數(shù)。如果在彈性體的每一部分邊界上，不是面力被給定，便是位移等于零。則由(10-22)得(10-26)如果在某一部分邊界上位移是給定的，并不等于零。則應(yīng)用(10-22)，即(b)(a)這里，

是已知的，積分只包括該已知位移邊界，

與應(yīng)力的變分間滿足如下關(guān)系將(b)代入(a)，計(jì)算(a)右邊的積分，可得(c)其中是常數(shù)。另一方面，由于(d)將式(c)、(d)代入式(a)，得到(e)這將仍然是

的一次方程，而且總共有m個，仍然可以用來求解系數(shù)

，從而由表達(dá)式(10-25)求得應(yīng)力。平面問題的應(yīng)力變分法07StressVariationalMethodforplanproblem02平面問題的應(yīng)力變分法01在平面問題中，設(shè)體力為常數(shù)，設(shè)應(yīng)力函數(shù)為

，則應(yīng)力分量可寫為(10-27)(10-28)設(shè)應(yīng)力函數(shù)的表達(dá)式為在平面應(yīng)力問題中，有，而且不隨坐標(biāo)z變化，應(yīng)變余能表達(dá)式可簡化為對于平面應(yīng)變問題，做如下代換

，

，得

(10-29)考慮的彈性體是單連體，體力為常量，而且問題是應(yīng)力邊界問題，則應(yīng)力分量應(yīng)當(dāng)與彈性常數(shù)無關(guān)，有將式(a)代入，得用應(yīng)力函數(shù)表達(dá)的應(yīng)變余能。在應(yīng)力邊界中，面力變分為0，則(a)將式(10-30)代入，即得(10-31)02例題01考慮矩形薄板或長柱，體力不計(jì)，在兩對邊上受有按拋物線分布的拉力，其最大集度為q，如圖所示，求其應(yīng)力解。解：其邊界條件為選用式(10-27)作為應(yīng)力函數(shù)，根據(jù)邊界條件令為：可見，其滿足應(yīng)力邊界條件為使

對應(yīng)的應(yīng)力滿足無面力時的邊界條件，設(shè)：關(guān)于x,y軸對稱，只有二次項(xiàng)簡便起見，只取第一項(xiàng)：式(10-31)變?yōu)椋?2例題01考慮矩形薄板或長柱，體力不計(jì)，在兩對邊上受有按拋物線分布的拉力，其最大集度為q，如圖所示，求其應(yīng)力解。代入續(xù)：將應(yīng)力函數(shù)帶入，得對于正方形的薄板或正方形截面的長柱，有：再求應(yīng)力分量，有：在薄板或長柱的中心

，得02例題01考慮矩形薄板或長柱，體力不計(jì)，在兩對邊上受有按拋物線分布的拉力，其最大集度為q，如圖所示，求其應(yīng)力解。續(xù)：為了求得較精確的應(yīng)力數(shù)值，取三個系數(shù)，代入(10-31)（分別求