專題四 代數(shù)推理題(2024年新增題型) 學(xué)案（含答案）2025年中考數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)

專題四代數(shù)推理題(2024年新增題型)

人教版七年級下冊數(shù)學(xué)課本第58頁的“閱讀與思考”:為什么說不是有理數(shù)?

(1)【閱讀與思考】2

假設(shè)是有理數(shù),那么存在兩個互質(zhì)的正整數(shù)p和q,使得=,

?

22?

兩邊平方得2=,

?2

?

即p2=.①

故p2是偶數(shù),因為只有偶數(shù)的平方才是偶數(shù),所以p也是偶數(shù).

設(shè)p=2s,代入①中,得,

即q2=,

所以q也是偶數(shù),則p和q都是偶數(shù),不互質(zhì),這與假設(shè)p和q互質(zhì)矛盾.

這個矛盾說明,不能寫成分數(shù)的形式,即不是有理數(shù).

(2)【運用并解決2】2

類比上述的閱讀與思考,推理說明不是有理數(shù).

3

2

1.數(shù)學(xué)興趣小組開展探究活動,研究了“正整數(shù)N能否表示為x2-y2(x,y均為自然數(shù))”的問題.

(1)指導(dǎo)教師將學(xué)生的發(fā)現(xiàn)進行整理,部分信息如下(n為正整數(shù)):

N奇數(shù)4的倍數(shù)

1=12-024=22-02

3=22-128=32-12

5=32-2212=42-22

表示結(jié)果

7=42-3216=52-32

9=52-4220=62-42

…………

一般結(jié)論2n-1=n2-(n-1)24n=

按上表規(guī)律,完成下列問題:

①24=()2-()2;

②4n=.

(2)興趣小組還猜測:像2,6,10,14,…這些形如4n-2(n為正整數(shù))的正整數(shù)N不能表示為x2-y2(x,y均

為自然數(shù)).師生一起研討,分析過程如下:

假設(shè)4n-2=x2-y2,其中x,y均為自然數(shù).

分下列三種情形分析:

①若x,y均為偶數(shù),設(shè)x=2k,y=2m,其中k,m均為自然數(shù),則x2-y2=(2k)2-(2m)2=4(k2-m2)為4的倍數(shù),

而4n-2不是4的倍數(shù),矛盾.故x,y不可能均為偶數(shù);

②若x,y均為奇數(shù),設(shè)x=2k+1,y=2m+1,其中k,m均為自然數(shù),

則x2-y2=(2k+1)2-(2m+1)2=為4的倍數(shù),而4n-2不是4的倍數(shù),矛盾.故x,y不可能均為奇數(shù);

③若x,y一個是奇數(shù)一個是偶數(shù),則x2-y2為奇數(shù).

而4n-2是偶數(shù),矛盾.故x,y不可能一個是奇數(shù)一個是偶數(shù).

由①②③可知,猜測正確.

閱讀以上內(nèi)容,請在情形②的橫線上填寫所缺內(nèi)容.

用代數(shù)推理的方法證明下列兩個結(jié)論:

(1)設(shè)是一個四位數(shù),若a+b+c+d可以被3整除,則這個數(shù)可以被3整除.

(2)已知??函??數(shù)y=x2.求證:當x>0時,y隨x的增大而增大.

2.對于任意一個三位正整數(shù),十位上的數(shù)字減去個位上的數(shù)字之差恰好等于百位上的數(shù)字,則稱這

個三位數(shù)為“極差數(shù)”.例如:對于三位數(shù)451,5-1=4,則451是“極差數(shù)”;對于三位數(shù)110,1-0=1,則110

是“極差數(shù)”.求證:任意一個“極差數(shù)”一定能被11整除.

3.一個十位上的數(shù)字不為0的三位數(shù)m,若將m的百位數(shù)字與十位數(shù)字相加,所得和的個位數(shù)字放

在m的個位數(shù)字右邊,與m一起組成一個新的四位數(shù),則把這個新四位數(shù)稱為m的“生成數(shù)”.若再

將m的“生成數(shù)”的任意一個數(shù)位上的數(shù)字去掉,可以得到四個三位數(shù),則把這四個三位數(shù)之和記為

S(m).例如:m=558,∵5+5=10,∴558的“生成數(shù)”是5580.將5580的任意一個數(shù)位上的數(shù)字去掉后得

到的四個三位數(shù)是580,580,550,558,則S(m)=580+580+550+558=2268.

(1)寫出123的“生成數(shù)”,并求S(123)的值.

(2)說明S(m)一定能被3整除.

參考答案

例1解析:(1)2q2;4s2=2q2;2s2.

提示:假設(shè)是有理數(shù),那么存在兩個互質(zhì)的正整數(shù)p和q,使得=,

p

22q

兩邊平方得2=,

p2

即p2=2q2.①q

故p2是偶數(shù),因為只有偶數(shù)的平方才是偶數(shù),所以p也是偶數(shù).

設(shè)p=2s,代入①中,得4s2=2q2,

即q2=2s2.

所以q也是偶數(shù),則p和q都是偶數(shù),不互質(zhì),這與假設(shè)p和q互質(zhì)矛盾.

這個矛盾說明,不能寫成分數(shù)的形式,即不是有理數(shù).

(2)假設(shè)是有理2數(shù),那么存在兩個互質(zhì)的正2整數(shù)p和q,使得=,

33p

22q

兩邊立方得2=,

p3

即p3=2q3.①q

故p3是偶數(shù),因為只有偶數(shù)的立方才是偶數(shù),所以p也是偶數(shù).

設(shè)p=2s,代入①中,得8s3=2q3.

即q3=4s3,

所以q也是偶數(shù),則p和q都是偶數(shù),不互質(zhì),這與假設(shè)p和q互質(zhì)矛盾.

這個矛盾說明,不能寫成分數(shù)的形式,即不是有理數(shù).

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針對訓(xùn)練1.解析2:(1)①7;5.2

②(n+1)2-(n-1)2.

(2)4(k2-m2+k-m).

例2解析:(1)=1000a+100b+10c+d

=(999a+99b+9ca)b+c(ad+b+c+d)

=3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d).

顯然3(333a+33b+3c)能被3整除,因此,如果(a+b+c+d)能被3整除,那么就能被3整除.

(2)設(shè)x1>x2>0,則y1=,y2=,abcd

22

12

y1-y2=-=(x1+x2)(x1-x2).x

22

12

∵x1>xx2>0x,

∴x1+x2>0,x1-x2>0,

∴(x1+x2)(x1-x2)>0,

∴y1>y2,即當x>0時,y隨x的增大而增大.

針對訓(xùn)練2.證明:設(shè)任意一個“極差數(shù)”的百位數(shù)字是a,十位數(shù)字是b,個位數(shù)字是c,

∵a=b-c,

∴100a+10b+c=100b-100c+10b+c=110b-99c=11(10b-9c),

∴100a+10b+c能被11整除,

∴任意一個“極差數(shù)”一定能被11整除

針對訓(xùn)練3.解析:(1)依題意123的“生成數(shù)”為1233,

得另四個三位數(shù):233,133,123,123,

∴S(123)=233+133+123+123=612.

(2)設(shè)m的百位數(shù)字、十位數(shù)字、個位數(shù)字分別為a,b,c(都是整數(shù)),

由題意得2≤a+b≤18.

當2≤a+b≤9時,

由m的“生成數(shù)”得到四個三位數(shù)為100b+10c+a+b,100a+10c+a+b,100a+10b+a+b,100a+10b+