專題二 尺規(guī)作圖 學(xué)案（含答案）2025年中考數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)

類型一直接(指令性)基本作圖

如圖,線段AC,BD相交于點(diǎn)O,且AB∥CD,AE⊥BD于點(diǎn)E.

(1)尺規(guī)作圖:過點(diǎn)C作BD的垂線,垂足為F,連接AF,CE.(不寫作法,保留作圖痕跡,并標(biāo)明相應(yīng)的字

母)

(2)若AB=CD,請(qǐng)判斷四邊形AECF的形狀,并說明理由.(若前問未完成,可畫草圖完成此問)

1.如圖,根據(jù)△ABC中尺規(guī)作圖的痕跡,下列說法不一定正確的是()

A.AF=BFB.AE=AC

1

2

C.∠DBF+∠DFB=90°D.∠BAF=∠EBC

2.如圖,在△ABC中,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)F.

(1)用尺規(guī)作圖法在直線BC上求作點(diǎn)E,使AE∥BF,不寫作法,保留作圖痕跡.

(2)若AB=4,BC=5,AC=6,求AF的長.

3.如圖,在△ABC中,點(diǎn)P,Q分別在邊BC及CB的延長線上,且BQ=CP.

(1)實(shí)踐與探索:利用尺規(guī)按下列要求作圖(不寫作法,保留作圖痕跡).

①作∠PQM=∠CBA,且點(diǎn)M在QC的上方;

②在QM上截取QR=BA;

③連接PR.

(2)猜想與驗(yàn)證:試猜想線段AC和RP的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想.

類型二選擇規(guī)則性(理解性、應(yīng)用性)尺規(guī)作圖

如圖,在△ABC中,I是△ABC的內(nèi)心.

(1)求作過點(diǎn)I且平行于BC的直線,與AB,AC分別相交于點(diǎn)D,E.(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作

圖痕跡)

(2)若AB=6,AC=8,DE=,求BC的長.

14

3

4.求證:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,并且等于第三邊的一半.

已知:如圖,D,E分別是△ABC的邊AB,AC的中點(diǎn),連接DE.

求證:DE∥BC,且DE=BC.

1

2

(要求:尺規(guī)作圖畫出點(diǎn)D和點(diǎn)E,只保留作圖痕跡,不寫作法)

5.如圖,已知Rt△MON,∠MON=90°,OM=ON,A為斜邊MN上一點(diǎn).

(1)求作:以點(diǎn)O為中心,A為一個(gè)頂點(diǎn)的正方形ABCD(點(diǎn)A,B,C,D按順時(shí)針排列).(要求:尺規(guī)作圖,

不寫作法,保留作圖痕跡)

(2)在(1)的條件下,連接DN,求證:DN⊥MN.

6.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在邊AC上,且AD=AB.

(1)請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出∠A的平分線(保留作圖痕跡,不寫作法).

(2)若(1)中所作的角平分線與邊BC交于點(diǎn)E,連接DE.求證:DE=BE

類型三尺規(guī)作圖與證明(計(jì)算)

如圖,在等邊△ABC中,D為BC邊上一點(diǎn),DC<BC,連接AD.

1

2

(1)在圖中求作四邊形BCEF,使得點(diǎn)F在邊AB上,且BF=2DC,點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱.(要求:尺

規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)

(2)在(1)的條件下,設(shè)EF與AD交于點(diǎn)G,求∠DGE的度數(shù).

7.如圖,在△ABC中,∠C=90°.

(1)求作☉O分別與AC,BC相切,使得圓心O落在AB上.(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)

(2)在(1)的條件下,已知OA=1,OB=2,求tanB的值.

8.(原創(chuàng))如圖,在△ABC中,AB=AC,且AB>BC.

(1)求作△EDC≌△ABC,使得點(diǎn)D在線段AB上,點(diǎn)E在直線AC右側(cè).(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,

保留作圖痕跡)

(2)在(1)的條件下,延長CB至點(diǎn)P,使得BP=BC,連接DP,若AD=BD,求證:P,D,E三點(diǎn)共線.

9.如圖,已知∠PAQ及AP邊上一點(diǎn)C.

(1)用無刻度直尺和圓規(guī)在射線AQ上求作點(diǎn)O,使得∠COQ=2∠CAQ.(保留作圖痕跡,不寫作法)

(2)在(1)的條件下,以點(diǎn)O為圓心,以O(shè)A的長為半徑的圓交射線AQ于點(diǎn)B,用無刻度直尺和圓規(guī)

在射線CP上求作點(diǎn)M,使點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離與點(diǎn)M到射線AQ的距離相等.(保留作圖痕跡,不寫

作法)

(3)在(1)(2)的條件下,若sinA=,CM=12,求BM的長.

3

5

10.如圖,在△ABC中,AB=AC.

(1)在線段AC上求作點(diǎn)D,使點(diǎn)D到AB和BC的距離相等.(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕

跡)

(2)在(1)所作的圖形中,連接BD,若AD=BD,求∠A的度數(shù).

11.如圖,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D.

(1)尺規(guī)作圖:求作☉O,使得圓心O在AB上,且☉O經(jīng)過A,D兩點(diǎn).

(2)求證:直線BC是☉O的切線.

參考答案

例1解析:(1)下圖即所求.

(2)四邊形AECF是平行四邊形.理由如下:

∵AB∥CD,

∴∠B=∠D,∠OAB=∠OCD.

又∵AB=CD,

∴△ABO≌△CDO(ASA),

∴OA=OC.

∵AE⊥BD,CF⊥BD,

∴AE∥CF,∠AEO=∠CFO=90°.

又∵∠AOE=∠COF,

∴△AOE≌△COF(AAS),

∴AE=CF,

∴四邊形AECF是平行四邊形.

針對(duì)訓(xùn)練1.B

針對(duì)訓(xùn)練2.解析:(1)如圖,點(diǎn)E即所求.

(2)∵BF∥AE,

∴∠AEB=∠FBC,∠EAB=∠ABF.

∵BF是∠ABC的平分線,

∴∠FBC=∠ABF,

∴∠AEB=∠EAB,

∴BE=AB=4.

根據(jù)平行線分線段成比例定理可知===,

AFBEBE4

ACECBE+BC9

∴AF=AC=×6=.

448

993

針對(duì)訓(xùn)練3.解析:(1)下圖即所求.

(2)AC=RP.

理由:∵BQ=CP,∴BQ+BP=CP+BP,∴QP=BC.

由作圖過程可知∠PQM=∠CBA,QR=AB,

∴△PQR≌△CBA(SAS),∴AC=RP.

例2解析:(1)如圖,連接BI,作∠DIB=∠IBC,直線ID交AC于點(diǎn)E,則直線DE為所求.

(2)如圖,連接CI.

∵I是△ABC的內(nèi)心,

∴BI平分∠ABC,CI平分∠ACB,

∴∠DBI=∠CBI,∠ECI=∠BCI.

∵DE∥BC,∴∠DIB=∠CBI,∠EIC=∠BCI,

∴∠DIB=∠DBI,∠EIC=∠ECI,

∴DB=DI,EI=EC.

設(shè)BD=x,則DI=x,CE=EI=-x.

14

3

∵DE∥BC,∴BD∶BA=CE∶CA,即x∶6=-x∶8,解得x=2,

14

∴AD=AB-BD=4.3

∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴DE∶BC=AD∶AB,即∶BC=4∶6,

14

3

解得BC=7,即BC的長為7.

針對(duì)訓(xùn)練4.解析:分別作線段AB和線段AC的垂直平分線,交點(diǎn)分別為D和E,延長DE到

點(diǎn)F,使EF=DE,連接FC,如圖所示.

∵D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),

∴AD=BD,AE=CE.

在△ADE和△CFE中,

AE=CE,

∠AED=∠CEF,

∴D△E=ADEEF,≌△CFE(SAS),

∴∠ADE=∠F,AD=CF,

∴CF∥AB,CF=BD,

∴四邊形BCFD是平行四邊形,

∴DF=BC,DF∥BC,

∴DE=DF=BC.

11

22

針對(duì)訓(xùn)練5.解析:(1)如圖,四邊形ABCD即所作.

(2)證明:∵∠MON=90°,OM=ON,

∴∠OMN=∠ONM=45°.

由作圖可得OA=OD,∠AOD=90°=∠MON,

∴∠MOA=∠NOD,

∴△OAM≌△ODN,

∴∠OND=∠OMA=45°,

∴∠AND=∠OND+∠ONM=45°+45°=90°,

∴DN⊥MN.

針對(duì)訓(xùn)練6.解析:(1)如圖,AE即所求.

(2)證明:∵AE平分∠BAC,

∴∠BAE=∠DAE.

∵AB=AD,AE=AE,

∴△BAE≌△DAE(SAS),

∴DE=BE.

例3解析:(1)如圖1,四邊形BCEF即所求.

圖1

(2)如圖2,取BF的中點(diǎn)T,連接CT,TE,設(shè)AD交CT于點(diǎn)J.

圖2

∵∠ACB=∠ACE=∠CAB=60°,CD=CE,

∴AB∥CE.

∵FT=CD,

∴EC=FT,

∴四邊形ECTF是平行四邊形,

∴EF∥CT,

∴∠DGE=∠CJD.

∵△ABC是等邊三角形,

∴AC=BC,∠B=∠ACD=60°.

∵BF=2CD,BT=TF,

∴BT=CD.

在△ACD和△CBT中,

AC=CB,

∠ACD=∠CBT,

∴CD△=ACBDT≌,△CBT(SAS),

∴∠CAD=∠BCT,

∴∠CJD=∠CAD+∠ACJ=∠BCT+∠ACJ=60°,

∴∠DGE=∠CJD=60°.

針對(duì)訓(xùn)練7.解析:(1)如圖,作∠ACB的平分線CO,交AB于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作BC的垂線,垂足

為N,以點(diǎn)O為圓心,ON的長為半徑畫圓,作OM⊥AC于點(diǎn)M,

由作圖可得BC是☉O的切線,

由角平分線的性質(zhì)可得OM=ON,

∴AC是☉O的切線,

∴☉O即所求.

(2)由(1)得OM⊥AC,ON⊥BC,OM=ON.

∵∠ACB=90°,

又∵OA=1,OB=2,

∴===,

S△AOCAOAC1

S△BOCBOBC2

∴tanB==.

AC1

BC2

針對(duì)訓(xùn)練8.解析:(1)如圖1,△EDC即所求.

圖1

(2)證明:如圖2,連接AE,PE,設(shè)PE與AB交于點(diǎn)D'.

圖2

∵△ABC≌△EDC,

∴AC=EC,∠ACB=∠ECD,

∴∠BCD=∠ACE.

∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,AB=EC,

∴∠BAC=180°-2∠ABC.

∵CB=CD,∴∠CBD=∠CDB,

∴∠BCD=180°-2∠CBD,∴∠BAC=∠BCD,

∴∠BAC=∠ACE.

又∵AC=CA,∴△BAC≌△ECA(SAS),

∴∠ACB=∠CAE,BC=AE,∴AE∥BC,

∴∠AED'=∠P,∠EAD'=∠PBD'.

∵BP=BC,BC=AE,∴AE=BP,

∴△AD'E≌△BD'P(ASA),∴AD'=BD',

∴D'是線段AB的中點(diǎn).

∵D是線段AB的中點(diǎn),

∴D',D為同一個(gè)點(diǎn),

∴P,D,E三點(diǎn)共線.

針對(duì)訓(xùn)練9.解析:(1)(作法不唯一)如圖1,

∴∠COQ=2∠CAQ;

點(diǎn)O即所求

(2)如圖2,連接BC,以點(diǎn)B為圓心,以BC的長為半徑畫弧交AQ于點(diǎn)B1,以點(diǎn)B1為圓心,以任

意長為半徑畫弧交AQ于點(diǎn)C1,D1,分別以點(diǎn)C1,D1為圓心,以大于C1D1的長為半徑畫弧,交于

1

2

點(diǎn)F1,連接B1F1并延長交AP于點(diǎn)M.

∵AB是直徑,

∴∠ACB=90°,即BC⊥AP,

根據(jù)作圖可得B1C1=B1D1,C1F1=D1F1,

∴MB1⊥AQ,即∠MB1B=90°,MB1是點(diǎn)M到AQ的距離.

∵BC=BB1,

∴Rt△BCM≌Rt△BB1M(HL),

∴CM=B1M,

點(diǎn)M即所求.

(3)如圖3,根據(jù)作圖可得∠COQ=2∠CAQ,MC=MW=12,MW⊥