第二章 方程(組)與不等式(組) 第1節(jié) 一次方程(組)及其應(yīng)用 學(xué)案（含答案）2025年中考數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)

第1節(jié)一次方程(組)及其應(yīng)用

回歸教材·過基礎(chǔ)

【知識體系】

【考點(diǎn)清單】

知識點(diǎn)1方程的有關(guān)概念及等式的性質(zhì)

含有未知數(shù)的叫作方程

1.方程的有關(guān)概念使方程中等號兩①邊相等的未知數(shù)的值叫作方程的

求方程解的過程叫作,②

如果那么,③

2.等式的性質(zhì)如果a=b,那么a±c=④

如果a=b,且ac=那⑤么

a

知識點(diǎn)2一元一a次=b方,程c及≠0其,解法c=⑥

1.一元一次方程

只含有⑦未知數(shù)(元),未知數(shù)的次數(shù)都是⑧,等號兩邊都是

定義

⑨,這樣的方程叫作一元一次方程

2.解一元一次方程的一般步驟

步驟具體做法

去分母若方程中未知數(shù)的系數(shù)為分?jǐn)?shù),則方程兩邊同乘分母的最小公倍數(shù)

若方程中有括號,則應(yīng)先去括號,去括號的順序?yàn)橄热バ±ㄌ?再去中括號,最

去括號

后去大括號

移項(xiàng)將含未知數(shù)的項(xiàng)移到方程左邊,常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊

合并同類項(xiàng)把方程化成ax=b(a≠0)的形式

系數(shù)化為1方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)

知識點(diǎn)3二元一次方程組的解法

1.解二元一次方程組的基本思想——消元

代入法方程變形代入消元回帶求解檢驗(yàn)

2.基本方法

加減法方程變形加減消元回帶求解檢驗(yàn)

:→→→

知識點(diǎn)4一次方:程(組)的→應(yīng)用→→

1.列方程(組)解應(yīng)用題的一般步驟:

(1)把握題意,搞清楚什么是條件,求什么;

直接設(shè)未知數(shù)就事論事問什么設(shè)什么

(2)設(shè)未知數(shù)

間接設(shè)未知數(shù)

,,

(3)找出能夠包含未知數(shù)的等量關(guān)系(一般情況下設(shè)幾個未知數(shù),就找?guī)讉€等量關(guān)系);

(4)列出方程(組);

(5)求出方程(組)的解;

(6)檢驗(yàn)(看是否符合題意);

(7)寫出答案(包括單位名稱).

2.一次方程(組)實(shí)際應(yīng)用的常見類型

(1)利潤問題:售價=標(biāo)價×折扣,銷售額=售價×銷量,利潤=售價-進(jìn)價,

利潤率=利潤/進(jìn)價×100%.

(2)利息問題:利息=本金×利率×期數(shù),本息=本金+利息.

(3)工程問題:工作量=工作效率×工作時間.

常見題型及關(guān)系式

(4)行程問題:路程=速度×?xí)r間.

①相遇問題:全路程=甲走的路程+乙走的路程.

②追及問題:a.同地不同時出發(fā),前者走的路程=追者走的路程;

b.同時不同地出發(fā),前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程

【基礎(chǔ)演練】

1.下列等式變形不一定正確的是()

A.若a=b,則a+c=b+c

B.若a=b,則3a=3b

C.若a=b,則a-x=b-x

D.若a=b,則=

ab

mm

2.填空,使所得結(jié)果仍是等式:

(1)如果x-2=5,那么x=5+;

(2)如果3x=10-2x,那么3x2x=10;

(3)如果2x=7,那么x=;

(4)如果=3,那么x-1=.

x?1

2

3.解方程:x-=-1.

x?25x?7

46

4.解方程組:

x?2y=4,①

2x+y?3=0.②

真題精粹·重變式

考向1解一元一次方程6．年．1．考．

1.(2022·福建)推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式,若推理過程不嚴(yán)謹(jǐn),則推理結(jié)果可能產(chǎn)生錯誤.例如,有

人聲稱可以證明“任意一個實(shí)數(shù)都等于0”,并證明如下:

設(shè)任意一個實(shí)數(shù)為x,令x=m,

等式兩邊都乘x,得x2=mx,①

等式兩邊都減m2,得x2-m2=mx-m2,②

等式兩邊分別分解因式,得(x+m)(x-m)=m(x-m),③

等式兩邊都除以x-m,得x+m=m,④

等式兩邊都減m,得x=0,⑤

故任意一個實(shí)數(shù)都等于0.

以上推理過程中,開始出現(xiàn)錯誤的那一步對應(yīng)的序號是.

熱點(diǎn)訓(xùn)練

2.若代數(shù)式x+1的值為6,則x等于()

A.5B.-5C.7D.-7

3.解方程:+=4.

x?3x?1

23

核心方法

解一元一次方程時的“四注意”

1.去分母時,不要漏乘常數(shù)項(xiàng);

2.去分母時,分子是多項(xiàng)式的要加括號;

3.括號前是負(fù)號,去括號時,要變號;

4.移項(xiàng)時要變號.

考向2解二元一次方程組6．年．1．考．

4.(2019·福建)解方程組:

x?y=5,

2x+y=4.

真題變式

變條件——融入去分母

5.解方程組:

1x?y=5,

2x+y=4.

熱點(diǎn)訓(xùn)練

6.已知二元一次方程組則x-y的值為.

x+2y=4,

7.已知是方程ax+2bxy+=3y的=解5,則代數(shù)式2a+4b-5的值為.

x=1,

考向3y=一2次方程(組)的應(yīng)用6．年．2．考．

8.(2024·福建)今年我國國民經(jīng)濟(jì)開局良好,市場銷售穩(wěn)定增長,社會消費(fèi)增長較快,第一季度社會消

費(fèi)品零售總額120327億元,比去年第一季度增長4.7%,求去年第一季度社會消費(fèi)品零售總額.若將

去年第一季度社會消費(fèi)品零售總額設(shè)為x億元,則符合題意的方程是()

A.(1+4.7%)x=120327

B.(1-4.7%)x=120327

C.=120327

x

1+4.7%

D.=120327

x

1?4.7%

9.(2019·福建)《增刪算法統(tǒng)宗》記載:“有個學(xué)生資性好,一部孟子三日了,每日增添一倍多,問君每

日讀多少?”其大意如下:有個學(xué)生天資聰慧,三天讀完一部《孟子》,每天閱讀的字?jǐn)?shù)是前一天的兩

倍,問他每天各讀多少個字?已知《孟子》一書共有34685個字,設(shè)他第一天讀x個字,則下面所列

方程正確的是()

A.x+2x+4x=34685

B.x+2x+3x=34685

C.x+2x+2x=34685

D.x+x+x=34685

11

24熱點(diǎn)訓(xùn)練

10.我國古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載了“繩索量竿”問題:“一條竿子一條索,索比竿子長一

托.折回索子卻量竿,卻比竿子短一托.”其大意:現(xiàn)有一根竿和一條繩索,用繩索去量竿,繩索比竿長

5尺;如果將繩索對半折后再去量竿,就比竿短5尺.設(shè)繩索長x尺,竿長y尺,則符合題意的方程組是

()

A.B.

1x=y+5,1x=y?5,

C.2x=y?5D.2x=y+5

x=y+5,x=y?5,

2x=y?52x=y+5

核心突破·拓思維

考點(diǎn)一次方程(組)的應(yīng)用

在“二元一次方程組”這一章的復(fù)習(xí)課上,王老師讓同學(xué)們根據(jù)下列條件探索還能求出哪些量:

在我市“鄉(xiāng)村建設(shè)”工作中,甲、乙兩個工程隊(duì)先后接力為某村莊修建一條335米長的公路,甲隊(duì)每

天修建20米,乙隊(duì)每天修建25米,一共用了15天完成.

(1)小紅同學(xué)根據(jù)題意,列出了一個尚不完整的方程組

x+y=?,

請寫出小紅所列方程組中未知數(shù)x,y表示的意義:x表示20x+25y,y=表?示,;并寫出該方程組中?

處的數(shù)應(yīng)是,*處的數(shù)應(yīng)是.

(2)小芳同學(xué)的思路:設(shè)甲工程隊(duì)一共修建了x米公路,乙工程隊(duì)一共修建了y米公路.請你按照小芳

的思路列出方程組,并求出乙隊(duì)修建的天數(shù).

核心方法

一次方程(組)的應(yīng)用注意事項(xiàng)

①在設(shè)未知數(shù)時,根據(jù)實(shí)際情況直接設(shè)未知數(shù)或間接設(shè)未知數(shù),并且一定要記得未知數(shù)要帶單

位.

②在解方程的過程中,要保證設(shè)的未知數(shù)、列的未知數(shù)、解的未知數(shù)相同.

③題目中常出現(xiàn)單位換算的陷阱,列方程時一定要統(tǒng)一單位.

④實(shí)際應(yīng)用題最后一步一定要記得“答”.

我國古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》有題如下:“甲、乙二人沽酒,不知誰少誰多.乙鈔少

半甲相和,二百無零堪可.乙得甲錢中半,亦然二百無那.英賢算得無訛,將甚法兒方可?”其大意:“甲、

乙二人買酒,不知誰買多買少.只知乙買酒的錢的與甲買酒的錢之和恰好為200文.若乙得到甲買

1

3

酒錢的一半,也有200文.試問甲、乙買酒各用了多少錢,才智出眾的人算得無誤,就稱為好解法.”設(shè)

甲買酒錢x文,乙買酒錢y文,則可列方程組為()

A.1B.1

3x+y=200,x+3y=200,

11

x+2y=2002x+y=200

C.1D.1

x=200?3y,3x=200?y,

11

2y=200?x2y=x?200

我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題:“今有雞兔同籠,上有三十五頭,下

有九十四足.問雞兔各幾何.”其大意:“有若干只雞和兔關(guān)在同一籠子里,它們一共有35個頭,94條

腿.問籠中的雞和兔各有多少只?”試用列方程(組)解應(yīng)用題的方法求出問題的解.

《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)專著,幾名學(xué)生想要湊錢購買1本.若每人出8元,則多

了3元;若每人出7元,則少了4元.問學(xué)生人數(shù)和該書單價各是多少?

某茶葉店經(jīng)銷安溪鐵觀音,第一次購進(jìn)了A種茶30盒,B種茶20盒,共花費(fèi)6000元;第

二次購進(jìn)時,兩種茶每盒的價格都提高了20%,該店又購進(jìn)了A種茶20盒,B種茶15盒,共花費(fèi)5100

元.分別求第一次購進(jìn)的A,B兩種茶每盒的價格.

參考答案

回歸教材·過基礎(chǔ)

考點(diǎn)清單

①等式②解或根③解方程④b±c⑤bc⑥⑦一個⑧1⑨整式

b

基礎(chǔ)演練c

1.D

2.(1)2(2)+(3)(4)6

7

2

3.解析:去分母,得12x-3(x-2)=2(5x-7)-12,

去括號,得12x-3x+6=10x-14-12,

移項(xiàng),得12x-3x-10x=-14-12-6,

合并同類項(xiàng),得-x=-32,

系數(shù)化為1,得x=32.

4.解析:由①得x=2y+4,③

將③代入②得2(2y+4)+y-3=0,

解得y=-1.

把y=-1代入③得x=2×(-1)+4=2.

所以原方程組的解為

x=2,

y=?1.真題精粹·重變式

1.④2.A

3.解析:+=4,

x?3x?1

23

3(x-3)+2(x-1)=24,

3x-9+2x-2=24,

3x+2x=24+9+2,

5x=35,

x=7.

4.解析:

x?y=5,①

①+②,得23xx+=9y,=4,②

解得x=3.

把x=3代入①,得y=-2,

所以這個方程組的解為

x=3,

y=?2.

5.解析:令

1x?y=5,①

2x+y=4,②

②×2得x+2y=8,③

③-①得3y=3,

解得y=1,

將y=1代入①得x=6,

∴原方程組的解為

x=6,

6.17.18.A9.Ay=101.A.

核心突破·拓思維

例解析:(1)根據(jù)方程組中第二個方程可得x是與甲隊(duì)每天修建的長度相乘,y是與乙隊(duì)每天

修建的長度相乘,這樣可得出x,y分別表示甲、乙兩隊(duì)各自修路的天數(shù),從而得到

x+y=15,20x+25y=335.

故答案為甲隊(duì)修路的天數(shù);乙隊(duì)修路的天數(shù);15;335.