第八章 統(tǒng)計與概率 第2節(jié) 概率 學案（含答案）2025年中考數(shù)學人教版一輪復習

第2節(jié)概率

回歸教材·過基礎(chǔ)

【知識體系】

【考點清單】

知識點1事件的分類輪．考．

事件類型定義概率

必然事件在一定條件下,①P=1

不可能事件在一定條件下,有些事件必然不會發(fā)生P=0

隨機事件在一定條件下,可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件②

知識點2概率的計算常．考．

1.古典概型

古典概型的定義:一次試驗中,出現(xiàn)的結(jié)果有有限個;每個結(jié)果發(fā)生的可能性相等.

古典概型的概率:一次試驗中,有n種結(jié)果,并且它們發(fā)生的可能性都相等,事件A包含其中的m種

結(jié)果,那么事件A發(fā)生的概率為P(A)=③.

2.列表法求概率

列表法:當一次試驗要涉及兩個因素,并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時,用列表法不重不漏地列出

所有可能的結(jié)果.

列表法表示形式:

ABC

D(A,D)(B,D)(C,D)

E(A,E)(B,E)(C,E)

F(A,F)(B,F)(C,F)

3.樹狀圖法求概率

樹狀圖法的表示形式:

注:一個試驗要涉及三個或更多的因素時,列表法不方便,通常采用樹狀圖法.

幾何概型構(gòu)成事件的區(qū)域面積長度

4.:P(A)=全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域面積長度.

A()

()

5.利用頻率估計概率:在同樣條件下,做大量的重復試驗,如果事件A發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定于某個

m

n

常數(shù)c,可以估計這個事件發(fā)生的概率為常數(shù)c.

【基礎(chǔ)演練】

1.有7張撲克牌如圖所示,將其打亂順序后,背面朝上放在桌面上,若從中隨機抽取一張,則抽到的花

色可能性最大的是()

ABCD.

2.兩人做游戲:每人在紙上隨便寫一個-2到2之間的整數(shù)(包括-2和2),將兩人所寫的整數(shù)相加,那

么和的絕對值是2的概率是()

A.B.C.D.

2267

2552525

3.垃圾分類可以把有用的垃圾回收再利用,減少了對環(huán)境的危害.隨機將一節(jié)廢舊的電池(有害垃

圾)和礦泉水空瓶(可回收垃圾)分別放入不同的垃圾桶,則投放正確的概率為()

A.B.C.D.

1111

691216

4.一天晚上,小偉幫助媽媽清洗四個綠、白、藍、紅只有顏色不同的有蓋茶杯,突然停電了,小偉只

好隨機將其中一個杯蓋和一個茶杯搭配在一起.則顏色搭配恰好正確的概率為()

A.B.

11

64

C.D.

13

24

真題精粹·重變式

考向1事件的分類

熱點訓練

1.投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,骰子的六個面上分別刻有1到6的點數(shù),則下列事件為隨機事件的是

()

A.兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和大于1

B.兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和等于1

C.兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和大于12

D.兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和等于12

2.下列事件中,屬于必然事件的是()

A.任意購買一張電影票,座位號是偶數(shù)

B.夢到醒來會下雨,醒來后發(fā)現(xiàn)窗外在下雨

C.解鎖手機,提示微信收到了新消息

D.五個人分成四組,且每組都有人,則這四組中有一組必有兩人

考向2事件概率的計算

3.(2024·福建)哥德巴赫提出“每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個質(zhì)數(shù)之和”的猜想,我國數(shù)學家

陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.在質(zhì)數(shù)2,3,5中,隨機選取兩個不同的數(shù),

其和是偶數(shù)的概率是()

A.B.

11

43

C.D.

12

23

4.(2022·福建)一個不透明的袋中裝有3個紅球和2個白球,這些球除顏色外無其他差別.現(xiàn)隨機從

袋中摸出一個球,這個球是紅球的概率是.

5.(2020·福建)若從甲、乙、丙3位“愛心輔學”志愿者中隨機選1位為學生在線輔導功課,則甲被選

到的概率為.

6.(2023·福建)為促進消費,助力經(jīng)濟發(fā)展,某商場決定“讓利酬賓”,于五一期間舉辦了抽獎促銷活動.

活動規(guī)定:凡在商場消費一定金額的顧客,均可獲得一次抽獎機會.抽獎方案如下:從裝有大小質(zhì)地

完全相同的1個紅球及編號為①②③的3個黃球的袋中,隨機摸出1個球,若摸得紅球,則中獎,可獲

得獎品;若摸得黃球,則不中獎.同時,還允許未中獎的顧客將其摸得的球放回袋中,并再往袋中加入

1個紅球或黃球(它們的大小質(zhì)地與袋中的4個球完全相同),然后從中隨機摸出1個球,記下顏色后

不放回,再從中隨機摸出1個球,若摸得的兩球的顏色相同,則該顧客可獲得精美禮品一份.現(xiàn)已知

某顧客獲得抽獎機會.

(1)求該顧客首次摸球中獎的概率.

(2)假如該顧客首次摸球未中獎,為了有更大機會獲得精美禮品,他應(yīng)往袋中加入哪種顏色的球?說

明你的理由.

7.(2021·福建)“田忌賽馬”的故事閃爍著我國古代先賢的智慧光芒.該故事的大意是:齊王有上、中、

下三匹馬A1,B1,C1,田忌也有上、中、下三匹馬A2,B2,C2,且這六匹馬在比賽中的勝負可用不等式

表示為:A1>A2>B1>B2>C1>C2(注:A>B表示A馬與B馬比賽,A馬獲勝).一天,齊王找田忌賽馬,約定:

每匹馬都出場比賽一局,共賽三局,勝兩局者獲得整場比賽的勝利.面對劣勢,田忌事先了解到齊王

三局比賽的“出馬”順序為上馬、中馬、下馬,并采用孫臏的策略,分別用下馬、上馬、中馬與齊王

的上馬、中馬、下馬比賽,即借助對陣(C2A1,A2B1,B2C1)獲得了整場比賽的勝利,創(chuàng)造了以弱勝強的

經(jīng)典案例.

假設(shè)齊王事先不打探田忌的“出馬”情況,試回答以下問題.

(1)如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”,他首局應(yīng)出哪種馬才可能獲得整場比賽的勝利?

并求其獲勝的概率.

(2)如果田忌事先無法打探到齊王各局的“出馬”情況,他是否必敗無疑?若是,請說明理由;若不是,請

列出田忌獲得整場比賽勝利的所有對陣情況,并求其獲勝的概率.

熱點訓練

8.甲、乙兩家快遞公司攬件員(攬收快件的員工)的日工資方案如下:

甲公司為“基本工資+攬件提成”,其中基本工資為70元/日,每攬收一件提成2元;

乙公司無基本工資,僅以攬件提成計算工資.若當日攬件數(shù)不超過40,每件提成4元;若當日攬件數(shù)

超過40,超過部分每件多提成2元.

如圖所示的是今年四月份甲公司攬件員人均攬件數(shù)和乙公司攬件員人均攬件數(shù)的條形統(tǒng)計圖.

(1)現(xiàn)從今年四月份的30天中隨機抽取1天,求這一天甲公司攬件員人均攬件數(shù)超過40(不含40)

的概率.

(2)根據(jù)以上信息,以今年四月份的數(shù)據(jù)為依據(jù),并將各公司攬件員的人均攬件數(shù)視為該公司各攬

件員的攬件數(shù),解決以下問題.

①估計甲公司各攬件員的日平均攬件數(shù);

②小明擬到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘攬件員,如果僅從工資收入的角度考慮,請利用所學的統(tǒng)

計知識幫他選擇,并說明理由.

9.(2019·福建)某種機器使用期為三年,買方在購進機器時,可以給各臺機器分別一次性額外購買若

干次維修服務(wù),每次維修服務(wù)費為2000元.每臺機器在使用期間,如果維修次數(shù)未超過購機時購買

的維修服務(wù)次數(shù),那么每次實際維修時還需向維修人員支付工時費500元;如果維修次數(shù)超過購機

時購買的維修服務(wù)次數(shù),那么超出部分每次維修時需支付維修服務(wù)費5000元,但無需支付工時費.

某公司計劃購買1臺該種機器,為決策在購買機器時應(yīng)同時一次性額外購買幾次維修服務(wù),搜集并

整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù),整理得下表:

維修次數(shù)89101112

頻數(shù)/臺數(shù)1020303010

(1)以這100臺機器為樣本,估計“1臺機器在三年使用期內(nèi)維修次數(shù)不大于10”的概率.

(2)試以這100臺機器維修費用的平均數(shù)作為決策依據(jù),說明購買1臺該機器的同時應(yīng)一次性額外

購10次還是11次維修服務(wù).

真題變式

10.[跨學科]物理變化和化學變化的區(qū)別在于是否有新物質(zhì)的生成.某學習小組在延時課上制作了

A,B,C,D四張卡片,四張卡片除圖片內(nèi)容不同外,其他沒有區(qū)別,放置于暗箱中搖勻.

A.鐵釘生銹B.滴水成冰C.礦石粉碎D.牛奶變質(zhì)

(1)小臨從四張卡片中隨機抽取一張,抽中C卡片的概率是.

(2)小夏從四張卡片中隨機抽取兩張,用列表法或畫樹狀圖法求小夏抽取兩張卡片內(nèi)容均為化學變

化的概率.

11.(2024·廈門二模)【問題提出】

共享單車不僅極大地方便人們的短途出行,而且低碳環(huán)保,受到用戶的喜愛.某社區(qū)周邊有5個共享

單車停車區(qū),總計投放180輛的共享單車,某數(shù)學興趣小組發(fā)現(xiàn)每天早高峰期間經(jīng)常會出現(xiàn)有些停

車區(qū)的單車不夠用,而有些停車區(qū)的單車使用率低的現(xiàn)象,為探究早高峰期間共享單車的合理投放

方案,同學們展開了研究.

【開展研究】

該數(shù)學興趣小組分工合作在早高峰期間到每個停車區(qū)對行人使用共享單車的情況、人流量進行數(shù)

據(jù)收集,結(jié)果如下表.

表一:經(jīng)過停車區(qū)的行人使用單車情況的抽樣調(diào)查數(shù)據(jù).

停車區(qū)經(jīng)過停車區(qū)的人數(shù)使用共享單車的人數(shù)

1號區(qū)603

2號區(qū)1004

3號區(qū)909

4號區(qū)12018

5號區(qū)707

表二:每日早高峰期間的平均人流量.

停車區(qū)1號區(qū)2號區(qū)3號區(qū)4號區(qū)5號區(qū)

人流量/人240300160400200

【問題解決】

(1)記事件A為經(jīng)過1號區(qū)的行人使用共享單車,估計事件A的概率.

(2)為應(yīng)對早高峰期間共享單車的使用需求,請你為該社區(qū)設(shè)計一個合理的共享單車投放方案,并

說明理由.

參考答案

回歸教材·過基礎(chǔ)

考點清單

①有些事件必然發(fā)生②0<P<1③

m

基礎(chǔ)演練n

1.B2.C3.C4.B

真題精粹·重變式

1.D2.D3.B4.5.

31

53

6.解析:(1)顧客首次摸球的所有可能結(jié)果為紅,黃①,黃②,黃③,共4種等可能的結(jié)果,

記“首次摸得紅球”為事件A,則事件A發(fā)生的結(jié)果只有1種,

∴P(A)=,∴顧客首次摸球中獎的概率為.

11

44

(2)他應(yīng)往袋中加入黃球.

理由:記往袋中加入的球為“新”,摸得的兩球所有可能的結(jié)果列表如下:

紅黃①黃②黃③新

紅紅,黃①紅,黃②紅,黃③紅,新

黃①黃①,紅黃①,黃②黃①,黃③黃①,新

黃②黃②,紅黃②,黃①黃②,黃③黃②,新

黃③黃③,紅黃③,黃①黃③,黃②黃③,新

新新,紅新,黃①新,黃②新,黃③

共有20種等可能的結(jié)果,

①若往袋中加入的是紅球,兩球顏色相同的結(jié)果共有8種,此時該顧客獲得精美禮品的概率

P1==.

82

205

②若往袋中加入的是黃球,兩球顏色相同的結(jié)果共有12種,此時該顧客獲得精美禮品的概率

P2==.

123

205

∵<,∴P1<P2,

23

55

∴他應(yīng)往袋中加入黃球.

7.解析:(1)田忌首局應(yīng)出“下馬”才可能獲勝,

此時比賽所有可能的對陣為

(A1C2,B1A2,C1B2),(A1C2,B1A2,C1B2),(A1C2,B1B2,C1A2),(A1C2,B1B2,C1A2),共四種,其中獲勝的有

兩場,

故此田忌獲勝的概率P=.

1

2

(2)不是.

當齊王的出馬順序為A1,B1,C1時,田忌獲勝的對陣是(A1C2,B1A2,C1B2),

當齊王的出馬順序為A1,C1,B1時,田忌獲勝的對陣是(A1C2,C1B2,B1A2),

當齊王的出馬順序為B1,A1,C1時,田忌獲勝的對陣是(B1A2,A1C2,C1B2),

當齊王的出馬順序為B1,C1,A1時,田忌獲勝的對陣是(B1A2,C1B2,A1C2),

當齊王的出馬順序為C1,A1,B1時,田忌獲勝的對陣是(C1B2,A1C2,B1A2),

當齊王的出馬順序為C1,B1,A1時,田忌獲勝的對陣是(C1B2,B1A2,A1C2).

綜上所述,田忌獲勝的對陣有6種,不論齊王的出馬順序如何,也都有相應(yīng)的6種可能對陣,所以

田忌獲勝的概率P==.

61

366

8.解析:(1)因為今年四月份甲公司攬件員人均攬件數(shù)超過40的有4天,所以甲公司攬件員人均

攬件數(shù)超過40(不含40)的概率為=.

42

3015

(2)①甲公司各攬件員的日平均攬件數(shù)為=39(件).

38×13+39×9+40×4+41×3+42×1

30

②甲公司攬件員的日平均工資為70+39×2=148(元),

乙公司攬件員的日平均工資為

=157.2+2.2=159.4元.

[38×7+39×7+40×(8+5+3)]×4+(1×5+2×3)×6

30

因為159.4>148,

所以僅從工資收入的角度考慮,小明應(yīng)到乙公司應(yīng)聘.

9.解析:(1)0.6.

(2)購買10次時,

某臺機器使用期內(nèi)維修次數(shù)89101112

該臺機器維修費用/元2400024500250003000035000

此時這100臺機器維修費用的平均數(shù)

y1=×(24000×10+24500×20+25000×30+30000×30+35000×10)=27300元.

1

100

購買11次時,

某臺機器使用期內(nèi)維修次數(shù)89101112

該臺機器維修費用/元2600026500270002750032500

此時這100臺機器維修費用的平均數(shù)

y2=×(26000×10+26500×20+27000×30+27500×30+32500×10)=27500.

1

100

所以購買1臺該機器的同時應(yīng)選擇購買10次維修服務(wù).

10.解析:(1).

1

4

(2)根據(jù)題意可列表格如下,

ABCD

AA,BA,CA,D

BB,AB,CB,D