《工程力學(xué)》課件-04 第4章 工程常用構(gòu)件的變形及其內(nèi)力分析

第四章工程常用構(gòu)件的變形及其內(nèi)力分析回顧1回顧2受力分析的技巧平衡方程怎么建立摩擦角靜矩、慣性矩、平行移軸定理概要4.1工程常用構(gòu)件14.2求內(nèi)力的截面平衡法24.3拉壓內(nèi)力——軸力34.4扭轉(zhuǎn)內(nèi)力——扭矩44.5彎曲內(nèi)力54.6靜定曲桿、剛架及桁架內(nèi)力6導(dǎo)學(xué)問題除了書中列出的之外，請(qǐng)舉例說明生活中或工程中常用構(gòu)件有哪些？構(gòu)件受力后，不同部分內(nèi)部的受力情況是否一樣？怎么定量確定構(gòu)件內(nèi)部的受力情況？4.1工程常用構(gòu)件4.1.1拉壓桿圖4-8拖車環(huán)

圖4-9拉壓桿4.1工程常用構(gòu)件4.1.2剪切件

變形剪切面4.1工程常用構(gòu)件4.1.3扭轉(zhuǎn)軸變形（a）L形扳手（b）螺旋鉆（c）方向盤旋轉(zhuǎn)（d）攻絲錐特征：

1.橫截面變形后仍為平面；2.軸向無伸縮；3.縱向線變形后仍為平行。4.1工程常用構(gòu)件4.1.4彎曲梁在垂直于軸線方向的載荷（集中載荷、均布載荷）作用下，其軸線將由原來的直線彎成曲線，所以稱為彎曲變形。以彎曲變形為主的桿件通常稱為梁。圖4-14滾彎鋼筋4.1工程常用構(gòu)件載荷的簡化。集中載荷，均布載荷——呈均勻分布鋼梁受到橋面板的均勻作用力。分布于單位長度上的載荷大小，稱為載荷集度，通常以q表示。(a)橋式吊車梁的簡化模型及彎曲變形(b)鋼梁的簡化模型及彎曲變形4.1工程常用構(gòu)件彎曲變形的梁有三種，即簡支梁、外伸梁和懸臂梁圖4-16梁的常用橫截面形狀圖4-17外伸梁和懸臂梁4.1工程常用構(gòu)件4.1.5拉彎組合桿變形圖4-18單柱壓力機(jī)、結(jié)構(gòu)簡化及其力學(xué)模型4.1工程常用構(gòu)件4.1.6偏心壓彎桿

圖4-19高鐵高架橋圖4-20橋梁桁架4.1工程常用構(gòu)件此時(shí)桿件既有壓縮變形，又有彎曲變形。而且有單向和雙向壓縮之分，這種柱狀桿件橫截面往往以圓形和矩形居多，其中矩形截面為最常用的截面型式。圓形截面主要用于柱式墩臺(tái)和地基樁。(a)單向偏心壓縮(b)雙向偏心壓縮4.1工程常用構(gòu)件4.1.7彎扭組合桿圖4-22提水的轆轤及其力學(xué)模型4.1工程常用構(gòu)件彎扭組合桿圖23a齒輪箱

圖23b齒輪軸力學(xué)模型及其簡化形式4.1工程常用構(gòu)件4.1.8聯(lián)接件螺栓、鉚釘、鍵及銷釘擠壓線剪切線（a）往復(fù)式壓縮機(jī)

（b）

鍛鋼截止閥

（c）普通螺栓4.1工程常用構(gòu)件

向右擠壓剪切線向左擠壓

4.1工程常用構(gòu)件在齒輪傳動(dòng)、蝸輪蝸桿傳動(dòng)中常用平鍵、半圓鍵、花鍵、楔鍵以及切向鍵等聯(lián)接，對(duì)軸上零件實(shí)現(xiàn)周向固定，以傳遞運(yùn)動(dòng)和轉(zhuǎn)矩。

Me

4.1工程常用構(gòu)件至于銷釘聯(lián)接，在生活和工程中應(yīng)用非常廣泛

下銷釘上銷釘

（a）升降機(jī)桁架（b）車輪卡鉗及其上、下銷釘（c）銷釘受力模型及其剪切和擠壓變形

4.1.9曲桿·剛架·桁架1、曲桿平面曲桿和空間曲桿之分，二者橫截面往往為圓形、橢圓形。軸線和橫截面的縱向?qū)ΨQ軸在一個(gè)平面內(nèi)的曲桿叫平面曲桿，而在三維空間的叫空間曲桿.（a）電磁吊重器（b）電葫蘆（c）吊環(huán)、吊鏈、吊鉤

（d）吊環(huán)受力模型

4.1.9曲桿·剛架·桁架1、曲桿平面曲桿和空間曲桿之分，二者橫截面往往為圓形、橢圓形。軸線和橫截面的縱向?qū)ΨQ軸在一個(gè)平面內(nèi)的曲桿叫平面曲桿，而在三維空間的叫空間曲桿.

（a）樹枝（b）神秘懸空人4.1.9曲桿·剛架·桁架2、剛架

（b）汽車曲軸曲軸飛輪曲軸軸承剛架（a）螺旋夾緊器圖4-31空間剛架（央視大樓）4.1.9曲桿·剛架·桁架剛架的形式

(a)簡支剛架(b)懸臂剛架(d)三角剛架(c)主從剛架4.1.9曲桿·剛架·桁架3、桁架由桿件通過鉸鏈、焊接、鉚接或螺栓聯(lián)接而成的支撐橫梁結(jié)構(gòu)，本教材所研究的桁架主要有鉸接而成，載荷只作用于節(jié)點(diǎn)。(a)橋梁桁架(b)大跨度廠房(c)平面桁架結(jié)構(gòu)圖4.1.9曲桿·剛架·桁架曲桿、桁架與剛架類似，但有很大區(qū)別

桿件外形載荷位置節(jié)點(diǎn)處內(nèi)力變形曲桿直線或曲線任意位置無節(jié)點(diǎn)軸力、剪力、彎矩、扭矩拉壓、剪切、彎曲、扭轉(zhuǎn)剛架直桿任意位置兩邊不能相互轉(zhuǎn)動(dòng)軸力、剪力及彎矩拉壓、剪切、彎曲桁架直桿節(jié)點(diǎn)處兩邊可互相轉(zhuǎn)動(dòng)只有軸力拉壓4.2求內(nèi)力的截面平衡法4.2.1內(nèi)力與外力構(gòu)件發(fā)揮其功能，必然受到外部載荷作用，如前面所示的各類構(gòu)件。這種作用于構(gòu)件引起內(nèi)力的這種載荷，稱為外力。從分布角度來說，有集中力、面力、體力，其中集中力作用在一個(gè)點(diǎn)上，面力、體力又叫做均布載荷，大小相同，且方向一致。由理化知識(shí)可知，物質(zhì)之所以能形成占據(jù)一定空間的形體，是因?yàn)榻M成物質(zhì)的微粒之間存在相互作用的力，稱為內(nèi)力，又叫固有內(nèi)力。如果構(gòu)件受到外部載荷作用，構(gòu)件內(nèi)部的固有內(nèi)力將隨之改變，一致對(duì)外。這種因外部載荷作用而引起的構(gòu)件內(nèi)力的改變量，稱為附加內(nèi)力。4.2求內(nèi)力的截面平衡法4.2.1內(nèi)力與外力在材料力學(xué)中，附加內(nèi)力簡稱內(nèi)力，其大小和在構(gòu)件內(nèi)部的分布規(guī)律隨外部載荷的改變而變化，并在很大程度上決定了構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性等問題，若內(nèi)力的大小超過一定的限度，則構(gòu)件將不能正常工作。因此，內(nèi)力分析是材料力學(xué)的基礎(chǔ)，必須由外而內(nèi)進(jìn)行分析，所用的分析方法叫做截面法。4.2求內(nèi)力的截面平衡法4.2.2截面法——截、取、代、平

(b)代P2P3P1mmxP2

(c)簡化zyFRC

MmmP1P3yxMxP2

(d)軸力、剪力、扭矩、彎矩zFSyCFSzFN

MzMy

mmP1P3

m

mmP1P2P3P4P5(a)截、取4.2求內(nèi)力的截面平衡法4.2.2截面法——截、取、代、平應(yīng)用靜力學(xué)方法求構(gòu)件外力選取橫截面，分解構(gòu)件在選取的橫截面上形心處建立直角坐標(biāo)系根據(jù)平衡要求分析、計(jì)算內(nèi)力4.2求內(nèi)力的截面平衡法4.2.3直接法求內(nèi)力

外力正負(fù)和內(nèi)力正負(fù)的關(guān)系規(guī)定一：與外法線方向一致的外力為正，反之為負(fù)規(guī)定二：與外法線方向一致的力偶矩矢為正，即從外向內(nèi)看逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的矩為正，反之為負(fù)。判斷原則：正外力引起正的內(nèi)力，負(fù)外力引起負(fù)的內(nèi)力內(nèi)力疊加：在一個(gè)橫截面處的內(nèi)力為各個(gè)外力引起相應(yīng)內(nèi)力的疊加。正面、上面和右側(cè)面的外法線方向?yàn)槿齻€(gè)坐標(biāo)軸的方向。提示：力偶矩矢可用右手螺旋法則來確定，即四指彎曲方向與力偶旋轉(zhuǎn)方向一致，大拇指向則為該力偶矩矢方向。

圖4-36單元體外力及其正方向規(guī)定4.3拉壓內(nèi)力——軸力4.3.1軸力FN－P=0FN=P習(xí)慣上將拉伸時(shí)的軸力記為正，壓縮時(shí)的軸力記為負(fù)，簡稱“拉正壓負(fù)”。當(dāng)軸力大于零時(shí)，就表示該截面受拉伸；而軸力小于零，則表示該截面受壓縮。4.3拉壓內(nèi)力——軸力4.3.2軸力圖求出軸內(nèi)任意一個(gè)截面上的軸力以后，就可以用圖線來表示軸力與截面位置之間的關(guān)系，這個(gè)圖線稱為軸力圖，往往用x軸作為橫坐標(biāo)，軸力FN為縱坐標(biāo)。4.3拉壓內(nèi)力——軸力4.3.2軸力圖例4-1.兩個(gè)力P和Q作用在圖4-38所示的飛機(jī)接頭上，一直接頭平衡，P=500N，Q=650N，求作用在AC桿和BD桿的軸力，并作二者軸力圖。解法一：（1）受力分析：因?yàn)樗膫€(gè)力交于C點(diǎn)，以C點(diǎn)建立匯交力系的平衡方程，解得：FA=1303N，F(xiàn)B=420N。（2）求C、D處的約束反力。AC桿、BD桿為二力桿，則：FC

=FA=1303NFD=FB=－420N4.3拉壓內(nèi)力——軸力4.3.2軸力圖（3）應(yīng)用截面法求AC桿的軸力。以截面m-m截取AC桿左端為研究對(duì)象(a)(b)(c)(d)(e)(f)4.3拉壓內(nèi)力——軸力4.3.2軸力圖解法二：應(yīng)用直接法求軸力圖。(a)(c)(d)(f)4.3拉壓內(nèi)力——軸力4.3.2軸力圖例4-2.如圖4-40(a)所示的軸，在A、B、C和D處受到軸向力的作用，試用直接法作軸力圖。此截面軸力，從右邊開始是否簡單些？軸力圖的特點(diǎn)：突變值=集中載荷

4.4扭轉(zhuǎn)內(nèi)力——扭矩4.4.1外力偶矩電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)軸旋轉(zhuǎn)，通過軸帶動(dòng)負(fù)載。如果軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速是n(r/m)，傳遞的力偶矩是Me，電動(dòng)機(jī)的功率是P(kW)。傳遞力偶的功率與電動(dòng)機(jī)的功率相等4.4扭轉(zhuǎn)內(nèi)力——扭矩4.4.2扭矩截面法來求出軸受的扭轉(zhuǎn)內(nèi)力MeMeMeTx

扭矩的符號(hào)規(guī)定：“T”的轉(zhuǎn)向與截面外法線方向滿足右手螺旋規(guī)則為正，反之為負(fù)。Me4.4扭轉(zhuǎn)內(nèi)力——扭矩4.4.3扭矩圖和軸力一樣，扭矩也可用圖線來表示扭矩與橫截面位置之間的關(guān)系，這個(gè)圖線稱為扭矩圖MeMeMeTxMeT+4.4扭轉(zhuǎn)內(nèi)力——扭矩4.4.3扭矩圖[例4-3]如圖4-43，一等截面?zhèn)鲃?dòng)軸，轉(zhuǎn)速n=5r/s，主動(dòng)輪A的輸入功率P1=221kW，從動(dòng)輪B、C的輸出功率分別是P2=148kW和P3=73kW。求軸上各截面的扭矩，并畫出扭矩圖。解：(1)外力偶矩。根據(jù)軸的轉(zhuǎn)速和輸入與輸出功率計(jì)算外力偶矩：4.4扭轉(zhuǎn)內(nèi)力——扭矩4.4.3扭矩圖[例4-3]如圖4-43，一等截面?zhèn)鲃?dòng)軸，轉(zhuǎn)速n=5r/s，主動(dòng)輪A的輸入功率P1=221kW，從動(dòng)輪B、C的輸出功率分別是P2=148kW和P3=73kW。求軸上各截面的扭矩，并畫出扭矩圖。解：(2)AB段：(3)BC段：(4)扭矩圖。4.4扭轉(zhuǎn)內(nèi)力——扭矩4.4.3扭矩圖[例4-3]如圖4-43，一等截面?zhèn)鲃?dòng)軸，轉(zhuǎn)速n=5r/s，主動(dòng)輪A的輸入功率P1=221kW，從動(dòng)輪B、C的輸出功率分別是P2=148kW和P3=73kW。求軸上各截面的扭矩，并畫出扭矩圖。若將A輪與B輪相互調(diào)換，則軸的左右兩段內(nèi)的扭矩分別是可見，通過改變載荷位置，雖然載荷沒變，但軸內(nèi)的最大扭矩值比原來減小，使軸的承載能力得到改善?？偨Y(jié)內(nèi)力的概念截面法、直接法軸力、軸力圖外力偶矩、扭矩、扭矩圖注意內(nèi)力突變與載荷的關(guān)系454.5彎曲內(nèi)力對(duì)稱彎曲

在工程實(shí)際中，梁的橫截面至少有一根對(duì)稱軸，全梁至少有一個(gè)縱向?qū)ΨQ面。使桿件產(chǎn)生彎曲變形的載荷一定垂直于桿軸線，而且均作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁的軸線彎曲后仍然在該對(duì)稱面內(nèi)，這種平面彎曲稱為對(duì)稱彎曲。464.5彎曲內(nèi)力軸力：桿件在軸線上沿著軸向受到載荷作用，產(chǎn)生拉壓變形時(shí)引起的內(nèi)力扭矩：在端面受到力偶矩的作用時(shí)，產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，引起的內(nèi)力剪力和彎矩：桿件在垂直于軸向的橫截面上受到載荷作用，產(chǎn)生彎曲變形，所引起的內(nèi)力474.5彎曲內(nèi)力4.5.1剪力·彎矩約束力：方法一：以截面法分析一.以一假想平面在距離原點(diǎn)x處的C截面處將梁截開。分析AC段受力。二.求剪力Fs484.5彎曲內(nèi)力三.求彎矩注：一般將所求截面的形心C作為力矩平衡方程的矩心。

在上面過程中，選取左段作為研究對(duì)象，求得的剪力與彎矩是C處左截面上的彎曲內(nèi)力。

若選取右段作為研究對(duì)象，所求得的彎曲內(nèi)力則為C處右截面的內(nèi)力，而左、右截面上剪力、彎矩的方向一定是相反的。（C截面彎矩的實(shí)際方向?yàn)槟鏁r(shí)針）?494.5彎曲內(nèi)力因此，對(duì)彎曲內(nèi)力的符號(hào)做如下規(guī)定：使研究段產(chǎn)生順時(shí)針旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)的剪力為正，反之為負(fù)；使保留段產(chǎn)生向上凹變形的彎矩為正，反之為負(fù)。

提示：剪刀剪東西時(shí)，向刀尖方向看，不就是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)嗎？故以順時(shí)針為正。提示：對(duì)于函數(shù)f(x)，當(dāng)f(x)’’>0時(shí)，是不是發(fā)生凹變形？故以凹變形為正。504.5彎曲內(nèi)力

向上的外力引起的彎曲變形為凹變形（如右圖），規(guī)定向上的外力為正，引起正彎矩，發(fā)生凹變形。由以上可得當(dāng)采用截面法計(jì)算彎曲內(nèi)力時(shí)，以一個(gè)假想平面將梁截開后，無論選擇哪一段作為研究對(duì)象，所計(jì)算出的同一位置截面的內(nèi)力都會(huì)具有相同的符號(hào)。514.5彎曲內(nèi)力（2）以直接法分析一.約束力FAy向上，則為正；均布載荷q向下，則為負(fù)。二.求解剪力：順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的正剪力來假設(shè)Fs，正的外力引起正剪力，反之則為負(fù)剪力。三.彎矩的分析：以引起凹變形的正彎矩來假設(shè)M，正的外力引起正彎矩，反之則負(fù)彎矩。524.5彎曲內(nèi)力

綜上計(jì)算彎曲內(nèi)力的方法概括：直接法外力正負(fù)的判斷。剪力的求解，假設(shè)截面處的剪力為正；彎矩的分析，假設(shè)截面處的彎矩為正，相對(duì)所選橫截面的形心來求矩。截面法在需要計(jì)算內(nèi)力的截面處，以一個(gè)假想的平面將梁切開，選其中一段為研究對(duì)象（一般選擇載荷較少的部分為研究對(duì)象，以便于計(jì)算）；對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，此時(shí)，一般按正方向畫出剪力與彎矩；由平衡方程

截面法1）

在需要計(jì)算內(nèi)力的截面處，以一個(gè)假想的平面將梁切開，選其中一段為研究對(duì)象（一般選擇載荷較少的部分為研究對(duì)象，以便于計(jì)算）；2）對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，此時(shí)，一般按正方向畫出剪力與彎矩；3）由平衡方程

計(jì)算剪力Q；4）

以所切截面形心為矩心，由平衡方程

計(jì)算彎矩。

截面法在需要計(jì)算內(nèi)力的截面處，以一個(gè)假想的平面將梁切開，選其中一段為研究對(duì)象（一般選擇載荷較少的部分為研究對(duì)象，以便于計(jì)算）；對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，此時(shí)，一般按正方向畫出剪力與彎矩；由平衡方程534.5彎曲內(nèi)力4.5.2剪力圖·彎矩圖

梁橫截面上的剪力與彎矩是隨截面的位置而變化的。在計(jì)算梁的強(qiáng)度及剛度時(shí)，要找出最大剪力與最大彎矩的數(shù)值及其所在的截面位置。

因此，我們沿梁軸方向選取坐標(biāo)x，建立梁內(nèi)各橫截面的剪力、彎矩與x的函數(shù)關(guān)系，即剪力方程彎矩方程544.5彎曲內(nèi)力剪力圖與彎矩圖：以x為橫坐標(biāo)，以Fs或M為縱坐標(biāo)，將剪力、彎矩方程所對(duì)應(yīng)的圖線繪出來例4-4，如對(duì)圖4-48所示的梁，剪力方程和彎矩方程圖4-48根據(jù)剪力方程和彎矩方程，可得到剪力圖和彎矩圖，見圖4-48(d)、(e)。554.5彎曲內(nèi)力例4-5.一個(gè)懸臂梁及其承受載荷情況如圖4-49（a）所示，試做出此梁的剪力圖和彎矩圖。圖4-49解:（1）簡支梁的約束反力和均布載荷的簡化，見4-49（b）所示。

選取距離固定端x處的一段梁為研究對(duì)象，見4-49（c），此處截面的三角形分布載荷集度和（a）的集度成比例變化，所以564.5彎曲內(nèi)力（2）剪力、彎矩方程。以正向假設(shè)剪力Fs和彎矩M見圖(c)所示，則：（3）剪力圖、彎矩圖。見圖4-49(d)、(e)所示。574.5彎曲內(nèi)力（4）注意:試試對(duì)剪力方程和彎矩方程分別求導(dǎo)，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？載荷集度、剪力方程和彎矩方程這三者之間有什么關(guān)系？這種方法有什么用途？仔細(xì)觀察，不難發(fā)現(xiàn)：可以利用這種關(guān)系判斷剪力方程Fs(x)、彎矩方程M(x)正確性。那么為何會(huì)有這樣關(guān)系？是否所有剪力方程和彎矩方程都如此？584.5彎曲內(nèi)力例4-6.一個(gè)簡支梁受均布載荷作用，如圖4-50（a）所示，試作此梁的剪力圖和彎矩圖。解：（1）簡支梁的約束反力和均布載荷的簡化，見圖4-50（b）所示。選取距離固定端x處的一段梁為研究對(duì)象，見圖4-50（c），此處截面的三角形分布載荷集度和（a）的集度成比例變化，即所以594.5彎曲內(nèi)力（2）剪力、彎矩方程。以正向假設(shè)剪力Fs和彎矩M見圖圖4-50(c)所示

604.5彎曲內(nèi)力

（3）剪力圖、彎矩圖。根據(jù)剪力方程和彎矩方程，畫出剪力圖和彎矩圖，見圖4-50(d)、(e)所示。

（4）注意，試試對(duì)剪力方程和彎矩方程分別求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是不是和上例相同？很明顯，本例中仍然滿足上例的導(dǎo)數(shù)關(guān)系。61

例4-7一個(gè)簡支梁及其承受載荷情況如圖4-51（a）所示，試作此梁的剪力圖和彎矩圖。（1）簡支梁的約束反力和均布載荷的簡化，見圖4-51（a）所示。（2）剪力、彎矩方程。以正向假設(shè)剪力Fs和彎矩M見圖4-51(b)所示，則：對(duì)于AB段，0≤x1<5m，見圖4-51（b）：圖4-514.5彎曲內(nèi)力624.5彎曲內(nèi)力對(duì)于BC段，5m<x2≤10m，見圖4-51（c）：（3）剪力圖、彎矩圖。畫出剪力圖和彎矩圖，見圖4-51(e)、(f)所示。（4）為了確定結(jié)果正確與否，可將剪力方程、彎矩方程通過用q=dFs/dx，F(xiàn)s=dM/dx分段檢查，經(jīng)檢驗(yàn)和前例一樣。圖4-51634.5彎曲內(nèi)力擴(kuò)展與驗(yàn)證：

代入不同的x到方程中，以檢查剪力圖和彎矩圖。

如x1=0，由方程（1）、（2）可得Fs=0，M=80，滿足該點(diǎn)處約束反力的條件；

x2=10，由方程（3）、（4）可得Fs=34.25，M=0，同樣滿足該點(diǎn)處約束反力的條件。644.5.3剪力、彎矩和載荷集度、集中載荷的微積分關(guān)系及應(yīng)用一、剪力、彎矩與載荷集度間的微積分關(guān)系由平衡方程可得：可見，剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該段處荷載集度的大小。如果該點(diǎn)處q>0，F(xiàn)s為單調(diào)增函數(shù)，反之，為減函數(shù)。4.5彎曲內(nèi)力65由平衡方程（略去其中的高階微量）得：

……（2）

可見，彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處剪力的大小。如果該點(diǎn)處Fs>0，M為單調(diào)增函數(shù)，反之，為減函數(shù)。4.5彎曲內(nèi)力66由（1）、（2）兩式又可得：根據(jù)微分知識(shí)可知，如果某段q(x)>0,則該段彎矩圖為下凹；q(x)<0，則該段彎矩圖為上凸。如例4-4，q<0，彎矩圖為上凸，見圖4-49(e)；同樣，例4-5和4-6也是如此。彎矩、剪力與載荷集度之間的積分關(guān)系4.5彎曲內(nèi)力67剪力和載荷集度存在如下關(guān)系：如果該點(diǎn)處q=0，則該點(diǎn)前后Fs沒有變化；如果該點(diǎn)處q>0，則該點(diǎn)前后Fs逐漸增加；如果該點(diǎn)處q<0，則該點(diǎn)前后Fs逐漸減小，如例4-4，q<0，F(xiàn)s逐漸減少見圖4-49(d)，同樣，例4-5和4-6也是如此；可用載荷集度通過積分求解剪力，即通過求該段載荷集度的面積求剪力Fs的變化量。4.5彎曲內(nèi)力68根據(jù)積分性質(zhì)，可推知彎矩和剪力存在如下關(guān)系：如果該截面處Fs=0，則該點(diǎn)前后彎矩M沒有變化，且為極值，但未必為最值；如果該截面處Fs>0，則該點(diǎn)前后彎矩M逐漸增加，如例4-4，F(xiàn)s>0，M逐漸增加，見圖4-49(e)；如果該截面處Fs<0，則該點(diǎn)前后彎矩M逐漸減少；可用剪力通過積分求解彎矩，即通過求該段剪力圖像的面積求彎矩變化量。4.5彎曲內(nèi)力彎矩和剪力存在如下關(guān)系：69二、剪力、彎矩與集中載荷的關(guān)系當(dāng)有集中力、集中力偶矩作用時(shí)，簡支梁有集中力作用的微元段，其剪力和彎矩分析如圖所示。4.5彎曲內(nèi)力70當(dāng)僅考慮集中力作用時(shí)，根據(jù)平衡，得：對(duì)于剪力Fs當(dāng)F向上時(shí)，F(xiàn)>0，剪力Fs的變化量為正，當(dāng)F向下時(shí)，F(xiàn)<0，剪力Fs的變化量為負(fù)。同樣，對(duì)于彎矩：當(dāng)F向上時(shí)，F(xiàn)>0，彎矩M的變化量為正，當(dāng)F向下時(shí)，F(xiàn)<0，彎矩M的變化量為負(fù)。4.5彎曲內(nèi)力71僅考慮集中力偶矩Mo作用時(shí)，同理可得：剪力變化為0，表明集中力偶矩Mo對(duì)剪力沒有影響，而僅僅影響彎矩，且：當(dāng)其順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，即Mo>0時(shí)，彎矩M增加；當(dāng)其逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，即Mo<0時(shí)，彎矩M減小。4.5彎曲內(nèi)力72

綜上所述，剪力、彎矩和載荷集度、集中力、集中力偶矩的關(guān)系，見下表4-24.5彎曲內(nèi)力73三、

剪力、彎矩和載荷集度、集中載荷的微積分關(guān)系的應(yīng)用

例4-8試?yán)眉袅?、彎矩和載荷集度、集中載荷的微積分關(guān)系繪制圖4-54(a)所示外伸梁的剪力圖與彎矩圖。解(1)計(jì)算梁的支反力假設(shè)支反力FBy

與FCy

的方向如圖。4.5彎曲內(nèi)力74(2)計(jì)算梁各段起始截面和終止截面的剪力值與彎矩值。用微積分法計(jì)算,結(jié)果如下表4-3：分段ABBC截面位置A+B-BB+C-C作用外力(包括大小、正負(fù))A+處集中力向下為負(fù)，F(xiàn)A=-qa；B處約束反力向上為正，F(xiàn)B=2qa及集中力偶順時(shí)針為正，M=qa

2均布載荷向下為負(fù)，-q約束反力向上為正，F(xiàn)C=qa剪力Fs（從(b)圖向右看）FSA+=FA=-qaFSB-=FSA+=-qaFSB=FSB-+FB=qaFSB+FSB=qaFSC-=FSB+–q×2a=-qaFSC=FSC-+FC=0彎矩M（從左向右求(C)圖的面積）MA+=FSA+×0=0MB-=FSA+×a=-qa

2MB=MB-+M=0MB+=MB=0MC=MC-=04.5彎曲內(nèi)力75

例4-9.簡支梁受載荷作用如圖4-55所示，試?yán)L制該梁的剪切力圖和彎矩圖。圖4-55解：利用微積分關(guān)系分析過程見表4-4所示。得到的剪力圖和彎矩圖見圖4-55所示。4.5彎曲內(nèi)力76剪力分段ACCEEB截面位置AC-CE-EB作用外力(大小、正負(fù))A處約束反力向上為正，F(xiàn)A=16；均布載荷向下為負(fù)，-10D處集中力偶順時(shí)針為正，M=20集中力向下為負(fù)，F(xiàn)E=-20集中力向上為正，F(xiàn)B=24剪力Fs（從向右看b圖）FSA=FA=16FSC-=FSA-10×2=-4FSE-=FSC=FSC-=-4FSE=FSE-+FE=-24FSB=FSE+FB=0彎矩M（剪力圖的面積）MA=FSA×0=0MD-=MC+FSC×1=8MD=MD-+M=28MD+=MD=28ME=ME-=MD+FSC×1=24MB=ME+FSE×1=0表4-4用微積分法求彎曲內(nèi)力4.5彎曲內(nèi)力總結(jié)剪力、彎矩的概念及其正方向的判斷以截法求剪力（方程）、彎矩（方程）通過微積分求剪力、彎矩，作剪力圖、彎矩圖774.6靜定曲桿、剛架及桁架內(nèi)力

4.6.1曲桿內(nèi)力1、開口曲桿的內(nèi)力載荷不在曲桿平面上曲桿軸線為曲線，施加載荷垂直于曲桿軸線所在的平面時(shí)，這種曲桿叫做扭轉(zhuǎn)曲桿4.6靜定曲桿、剛架及桁架內(nèi)力

4.6.1曲桿內(nèi)力注意：利用集中、載荷、均布載荷迅速作出剪力圖；(2)再通過求剪力圖中相應(yīng)分段的面積，可得該段的彎矩圖。4.6靜定曲桿、剛架及桁架內(nèi)力

曲桿在受力時(shí)，內(nèi)力有軸力、剪力和彎矩，其符號(hào)規(guī)定如下：123引起拉伸變形的軸力為正使軸線曲率增加的彎矩M為正以剪力Q對(duì)所考慮的一段曲桿內(nèi)任一點(diǎn)取矩，力矩順時(shí)針方向?yàn)檎?，反之為?fù)。注：作彎矩圖時(shí)，將M畫在軸線的法線方向，并畫在桿件受壓的一側(cè)。4.6靜定曲桿、剛架及桁架內(nèi)力

4.6.1曲桿內(nèi)力例4-10，試求圖4-57（a）中半圓弧曲桿的內(nèi)力方程，并畫出內(nèi)力圖。解：(1)求內(nèi)力沿截面m-m將曲桿分成兩部分，并取右半部分為研究對(duì)象，順著圓弧方向取圓心角為自變量，建立見圖b所示，應(yīng)用平面力系平衡方程，可得：4.6靜定曲桿、剛架及桁架內(nèi)力

4.6.1曲桿內(nèi)力（2）畫內(nèi)力圖根據(jù)內(nèi)力方程，分別得到軸力N、剪力Q及彎矩M隨著的曲線，4.6靜定曲桿、剛架及桁架內(nèi)力

4.6.1曲桿內(nèi)力2、閉口曲桿的內(nèi)力4.6靜定曲桿、剛架及桁架內(nèi)力

4.6.2靜定平面剛架內(nèi)力平面內(nèi)受力時(shí)，平面剛架桿件的內(nèi)力有：軸力、剪力、彎矩，其其內(nèi)力圖正負(fù)規(guī)定與曲桿一樣，從略。作剛架內(nèi)力圖的規(guī)定：彎矩圖：畫在各桿的受壓一側(cè)，不注明正、負(fù)號(hào)；1剪力圖及軸力圖：可畫在剛架軸線的任一側(cè)，但應(yīng)注明正、負(fù)號(hào)，正、負(fù)規(guī)定仍與前面一致。2剛架受力前后，各桿段夾角保持不變。3內(nèi)力符號(hào)：為區(qū)分匯交于同一結(jié)點(diǎn)的各桿端截面內(nèi)力，在內(nèi)力符號(hào)下面引用兩個(gè)下標(biāo)，如圖4-59b的NBD，B表示內(nèi)力所屬某端截面（可能要改成：桿段的折點(diǎn)），D表示該截面所屬桿件的另一端。44.6靜定曲桿、剛架及桁架內(nèi)力

4.6.2靜定平面剛架內(nèi)力平面剛架內(nèi)力計(jì)算及內(nèi)力圖繪制步驟求支座反力把剛架拆成單根桿件，逐桿分析作內(nèi)力圖123根據(jù)微積分關(guān)系校核，滿足五大規(guī)律，即分段性、增減性、凹凸性、極值性和突變性。4.6靜定曲桿、剛架及桁架內(nèi)力

4.6.2靜定平面剛架內(nèi)力例4-11試作圖4-59（a）所示剛架的內(nèi)力圖，F(xiàn)=2qa。解：應(yīng)用截面法，從自由端取分離體作為研究對(duì)象寫各段的內(nèi)力方程，可不必求固定端A處的支反力。CB段：圖4-59（b）(外側(cè)受拉)4.6靜定曲桿、剛架及桁架內(nèi)力

4.6.2靜定平面剛架內(nèi)力BD段：圖4-59(c)圖4-59(c)4.6靜定曲桿、剛架及桁架內(nèi)力

4.6.2靜定平面剛架內(nèi)力DA段：圖4-59(d)(外側(cè)受拉)圖4-59(d)MDA(y)NDA(y)QDA(y)4.6靜定曲桿、剛架及桁架內(nèi)力

4.6.2靜定平面剛架內(nèi)力軸力圖、剪力圖及彎矩圖1剛架受力前后，各桿段夾角保持不變。彎矩圖：畫在各桿的受壓一側(cè)，不注明正、負(fù)號(hào)剪力圖及軸力圖：可畫在剛架軸線的任一側(cè)2qa24.6靜定曲桿、剛架及桁架內(nèi)力

4.6.3靜定桁架內(nèi)力 (a)(b)思考：研究圖（a）(b)對(duì)稱軸上節(jié)點(diǎn)的內(nèi)力，看看有什么發(fā)現(xiàn)？4.6靜定曲桿、剛架及桁架內(nèi)力

4.6.3靜定桁架內(nèi)力 圖4-62鉚接桁架圖4-63焊接桁架4.6靜定曲桿、剛架及桁架內(nèi)力

4.6.3靜定桁架內(nèi)力 1、理想桁架（2）外力（載荷和支座反力）都作用于節(jié)點(diǎn)處，且都作用于桁架平面內(nèi)；（3）組成桁架的各桿件彼此都用光滑鉸鏈聯(lián)接，桿件自重不計(jì)，桁架的每根桿件。（1）組成桁架的各桿均為直的二力桿；4.6靜定曲桿、剛架及桁架內(nèi)力

4.6.3靜定桁架內(nèi)力 2、截面法和節(jié)點(diǎn)法求內(nèi)力截面法：用一個(gè)平面去截桁架，但最多只截三個(gè)直桿，即一次最多能求出三個(gè)直桿的內(nèi)力；

分析靜定平面桁架的受力情況有以下三種方法：節(jié)點(diǎn)法：以節(jié)點(diǎn)作為研究對(duì)象，建立平面匯交力系，再順藤摸瓜，直至解決問題為止，可求出全部桿件的內(nèi)力。由于平面匯交力系只能列出兩個(gè)獨(dú)立平衡方程，所以應(yīng)用節(jié)點(diǎn)法往往從只含兩個(gè)未知力的節(jié)點(diǎn)開始計(jì)算。

麥克斯韋-克雷莫納法（自查自學(xué)）

4.6靜定曲桿、剛架及桁架內(nèi)力

4.6.3靜定桁架內(nèi)力 方法研究對(duì)象特點(diǎn)適用范圍截面法用一個(gè)平面截得的三個(gè)桁架，建立三個(gè)平面任意力系平衡方程求解。一次最多能求出三個(gè)直桿的內(nèi)力；可能需要多次使用，才能求得所需的內(nèi)力。可直接來求解特定桿件的內(nèi)力，針對(duì)性強(qiáng)，求哪兒截哪兒，不需要求全部直桿的內(nèi)力。節(jié)點(diǎn)法通過節(jié)點(diǎn)，建立兩個(gè)獨(dú)立平衡方程求解。一次只能求解兩個(gè)桿的內(nèi)力；從只含兩個(gè)未知力的節(jié)點(diǎn)開始；先用已知力求最近、最直接的桿的內(nèi)力；可能需要求解全部桿件的內(nèi)力才能解決問題。聯(lián)合法節(jié)點(diǎn)和截面法截得的桿件，根據(jù)需要，分別建立方程，組合使用。一次最多能求出5個(gè)直桿的內(nèi)力。先用較簡單的方法求指定桿件軸力，指出思路4.6靜定曲桿、剛架及桁架內(nèi)力

4.6.3靜定桁架內(nèi)力 例4-12

平面桁架的受力及尺寸如圖4-64(a)所示，

試用節(jié)點(diǎn)法求桁架各桿的內(nèi)力。解：（1）求桁架的支座反力以整體桁架為研究對(duì)象，桁架受主動(dòng)力P以及約束反力、作用。由于結(jié)構(gòu)對(duì)稱、載荷對(duì)稱，則，列平衡方程:4.6靜定曲桿、剛架及桁架內(nèi)力

4.6.3靜定桁架內(nèi)力 解得：4.6靜定曲桿、剛架及桁架內(nèi)力

4.6.3靜定桁架內(nèi)力 （2）用節(jié)點(diǎn)法求各桿件的內(nèi)力設(shè)各桿均承受拉力，若計(jì)算結(jié)果為負(fù)，表示桿實(shí)際受壓力。設(shè)想將桿件截?cái)?，取出各?jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，作A、D、C節(jié)點(diǎn)受力圖（圖4-fgｂ、c、d），其中：，，。4.6靜定曲桿、剛架及桁架內(nèi)力

4.6.3靜定桁架內(nèi)力 ，，。平面匯交力系的平衡方程只能求解兩個(gè)未知力，故首先從只含兩個(gè)未知力的節(jié)點(diǎn)A開始，逐次列出各節(jié)點(diǎn)的平衡方程，求出各桿內(nèi)力。解得：節(jié)點(diǎn)Ａ：4.6靜定曲桿、剛架及桁架內(nèi)力

4.6.3靜定桁架內(nèi)力 ，，。節(jié)點(diǎn)Ｄ：解得：節(jié)點(diǎn)Ｃ：解得：4.6靜定曲桿、剛架及桁架內(nèi)力

4.6.3靜定桁架內(nèi)力 ，，。至此已經(jīng)求出各桿內(nèi)力，節(jié)點(diǎn)Ｃ的另一個(gè)平衡方程可用來校核計(jì)算結(jié)果：當(dāng)桿數(shù)較多時(shí)，為了更清楚的表達(dá)各桿內(nèi)力,列于下表?xiàng)U號(hào)12345內(nèi)力－PP－P4.6靜定曲桿、剛架及桁架內(nèi)力

4.6.3靜定桁架內(nèi)力 ，，。例4-13，對(duì)于上例，還可用截面法求解，進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證節(jié)點(diǎn)法和截面法的優(yōu)劣。解：（1）為了求出1、3、5三根桿的內(nèi)力，可用截面m-m直接經(jīng)過這三根桿，見圖4-65（a）所示，得到圖4-65(b)，建立平面力系平衡方程：圖（a）圖（b