《工程力學(xué)》課件-06 第6章 軸和梁的剛度設(shè)計

第六章軸和梁的剛度設(shè)計第六章軸和梁的剛度設(shè)計在工程實際中，即使強度安全，但如果因外力引起的變形超過某界限值，則構(gòu)件也可能發(fā)生破壞?？梢姡瑸榇_保構(gòu)件的剛度安全，需要對構(gòu)件的變形進(jìn)行研究，從而進(jìn)度剛度設(shè)計，以保障其剛度安全。第六章軸和梁的剛度設(shè)計本章將從微觀角度，對構(gòu)件進(jìn)行受力分析。本章主要從拉壓變形、扭轉(zhuǎn)變形、和彎曲變形三種變形分析構(gòu)件的變形情況，并建立相應(yīng)的剛度準(zhǔn)則，供實際設(shè)計時應(yīng)用。6.1拉壓應(yīng)力及強度設(shè)計6.2扭轉(zhuǎn)剛度設(shè)計6.3彎曲變形

6.4典型工程案例的編程解決6.5團(tuán)隊合作解決工程問題第六章軸和梁的剛度設(shè)計6.1拉壓應(yīng)力及強度設(shè)計126.1.1軸向變形與胡克定律6.1.2橫向變形與泊松比6.1.3位移6.1拉壓應(yīng)力及強度設(shè)計6.1.1軸向變形與胡克定律

FPFP線變形線應(yīng)變胡克定律則應(yīng)力和應(yīng)變成線性正比例關(guān)系：6.1拉壓應(yīng)力及強度設(shè)計6.1.2橫向變形與泊松比

FPFP橫向變形橫向應(yīng)變橫向應(yīng)變與線應(yīng)變總同時產(chǎn)生、符號總相反6.1拉壓應(yīng)力及強度設(shè)計材

料E（GPa）μ低碳鋼合金鋼灰鑄鐵銅及其合金鋁合金196~216186~21678.5~15772.6~128700.25~0.330.24~0.330.23~0.270.31~0.420.33表6-1幾種常用材料的E和μ值例6-1變截面桿如圖所示。已知：A1=8cm2，A2=4cm2，E=200GPa。

求桿件的總伸長

l。

解：(a)求內(nèi)力。用截面法求出截面1-1、2-2桿的內(nèi)力(b)求桿件的總伸長。由虎克定律可得221160kN40kN20020020kNA1A26.1拉壓應(yīng)力及強度設(shè)計6.1.3位移由軸力圖可見：CD段沒有軸力，沒有發(fā)生拉伸變形，沒有位移；BC段有軸力，發(fā)生拉伸變形，有位移；AB段沒有軸力，沒有發(fā)生拉伸變形，但由于BC段的變形，從而有位移。變形和位移沒有必然的關(guān)系，位移是梁各部分變形累加的結(jié)果，取決于桿件的變形量和桿件受到的外部約束或桿件之間的相互約束。1、直桿截面的位移無變形有位移有變形有位移無變形無位移6.1拉壓應(yīng)力及強度設(shè)計6.1.3位移2、以切代弧法求桁架節(jié)點的位移位移在數(shù)值上取決于桿件的變形量和桿件受到的外部約束或桿件之間的相互約束。結(jié)構(gòu)節(jié)點的位移是指節(jié)點位置改變的直線距離或一段方向改變的角度。根據(jù)位移圖幾何關(guān)系計算出位移值結(jié)構(gòu)的變形圖：根據(jù)變形相容條件作出位移圖計算節(jié)點所連各桿的變形量變形量變形圖位移值6.1拉壓應(yīng)力及強度設(shè)計6.1.3位移2、以切代弧法求桁架節(jié)點的位移位移在數(shù)值上取決于桿件的變形量和桿件受到的外部約束或桿件之間的相互約束。以切代弧法CBA【例6.2】圖示為一簡單托架。桿BC為圓鋼，橫截面直徑d＝20mm，桿BD為8號槽鋼。若E=200GPa，F(xiàn)P＝60kN，試求節(jié)點B的位移。

34解：1）受力分析xyxy2）求桿件變形343）以切代弧法求水平和鉛直位移xy6.2圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度條件

ABTT在工程上，對于發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的圓軸，除了要考慮圓軸不發(fā)生破壞的強度條件之外，還要注意扭轉(zhuǎn)變形問題，以最大程度確保構(gòu)件不發(fā)生失效等工程要求。1、當(dāng)圓軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)時，其變形程度用扭轉(zhuǎn)角衡量圓軸的抗扭剛度————如果是階梯形圓軸并且扭矩是分段常量，則式(6-12)的積分可以寫成分段求和的形式，即圓軸兩端面之間的扭轉(zhuǎn)角是6.2圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度條件

ABTT2、扭轉(zhuǎn)變形的剛度條件(rad/m)(°/m)（1）扭矩是常量的等截面圓軸，扭轉(zhuǎn)變形的剛度條件6.2圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度條件2、扭轉(zhuǎn)變形的剛度條件(rad/m)(°/m)（2）對于扭矩是分段常量的階梯形截面圓軸，其剛度條件是6.2圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度條件工程上扭轉(zhuǎn)剛度有如下要求對于精度高的軸，[]=0.25~0.5

/m；一般傳動軸，[]=0.5~1.0

/m；對剛度要求不高對軸，[]=2

/m。扭轉(zhuǎn)剛度設(shè)計：剛度校核截面設(shè)計許可載荷先進(jìn)行外力偶矩分析；再分析扭矩（圖）確定危險截面；最后計算扭轉(zhuǎn)剛度，并應(yīng)用扭轉(zhuǎn)剛度條件解決這三類問題。例6-35噸單梁吊車，電機功率P=3.7kW,n=32.6r/min.試選擇傳動軸CD的直徑，并校核其扭轉(zhuǎn)剛度。軸用45號鋼，[

]=40MPa,G=80×103MPa,[]=1

/m。

解：（1）計算扭矩馬達(dá)的功率通過傳動軸傳遞給兩個車輪，故每個車輪所消耗的功率為軸CD各截面上的扭矩等于車輪所受的外力偶矩T輪，則例6-35噸單梁吊車，電機功率P=3.7kW,n=32.6r/min.試選擇傳動軸CD的直徑，并校核其扭轉(zhuǎn)剛度。軸用45號鋼，[

]=40MPa,G=80×103MPa,[]=1

/m。

解：（2）計算軸的直徑由強度條件，得

選取軸的直徑

d=4.5cm。例6-35噸單梁吊車，電機功率P=3.7kW,n=32.6r/min.試選擇傳動軸CD的直徑，并校核其扭轉(zhuǎn)剛度。軸用45號鋼，[

]=40MPa,G=80×103MPa,[]=1

/m。

強度和剛度都能滿足要求。解：（3）校核軸的剛度例6-4已知：P＝7.5kW，n=100r/min，最大剪應(yīng)力不得超過40MPa，空心圓軸的內(nèi)外直徑之比=0.5。二軸長度相同。求:實心軸的直徑d1和空心軸的外直徑D2；確定二軸的重量之比。解：（1）由軸所傳遞的功率計算作用在軸上的扭矩（2）實心軸例6-4已知：P＝7.5kW，n=100r/min，最大剪應(yīng)力不得超過40MPa，空心圓軸的內(nèi)外直徑之比=0.5。二軸長度相同。求:實心軸的直徑d1和空心軸的外直徑D2；確定二軸的重量之比。解：（3）空心軸（4）實心軸與空心軸的重量之比d2＝0.5D2=23mm可見，滿足強度要求時，空心軸更為經(jīng)濟。例6-5（同時考慮扭轉(zhuǎn)強度和剛度）某機器的傳動軸如圖所示，傳動軸的轉(zhuǎn)速n=300rpm，主動輪輸入功率P1=367kW，三個從動輪的輸出功率分別是：P2=P3=110kW，P4=147kW。已知[τ]=40MPa，[]=0.3o/m，G=80GPa，試設(shè)計軸的直徑。解：(a)外力偶矩。根據(jù)軸的轉(zhuǎn)速和輸入與輸出功率計算外力偶矩：M3M2M1M4(b)畫扭矩圖。用截面法求傳動軸的內(nèi)力并畫出扭矩圖。xT3.49kN.m(-)(+)6.98kN.m4.69kN.m從扭矩圖中可以得到傳動軸內(nèi)的最大的扭矩值是例6-5（同時考慮扭轉(zhuǎn)強度和剛度）某機器的傳動軸如圖所示，傳動軸的轉(zhuǎn)速n=300rpm，主動輪輸入功率P1=367kW，三個從動輪的輸出功率分別是：P2=P3=110kW，P4=147kW。已知[τ]=40MPa，[]=0.3o/m，G=80GPa，試設(shè)計軸的直徑。解：(c)由扭轉(zhuǎn)的強度條件來決定軸的直徑。M3M2M1M4(d)由扭轉(zhuǎn)的剛度條件來決定軸的直徑。xT3.49kN.m(-)(+)6.98kN.m4.69kN.m(e)要同時滿足強度和剛度條件，應(yīng)選擇(c)和(d)中較大直徑者，即【補例6.6】已知一空心軸傳遞的功率kW，r/mi已知MPa，0.5°/m，GPa，如果軸的內(nèi)外徑比＝0.5,試設(shè)計軸的外徑D。解：(1)計算外力偶矩。(2)由強度設(shè)計直徑D1。(3)由剛度設(shè)計直徑D2。故D1＝D2＝93mm?？偨Y(jié)重點掌握：變形、位移的概念，變形的求解公式軸扭轉(zhuǎn)時的變形及其計算難點：以切代弧法求靜定桁架節(jié)點位移圓軸扭轉(zhuǎn)的變形、剛度條件6.3彎曲變形

126.3.1彎曲變形的基本參數(shù)6.3.2積分法求彎曲變形6.3.3疊加法求彎曲變形6.3彎曲變形

在工程實際中，許多承受彎曲的構(gòu)件，除了要有足夠的強度外，還應(yīng)使其變形量不超過正常工作所許可的數(shù)值，以保證有足夠的剛度。否則，由于變形過大，使結(jié)構(gòu)或構(gòu)件喪失正常功能，發(fā)生剛度失效。1、必要性6.3彎曲變形

汽車輪軸的疊板彈簧——緩沖減震切割刀頭部彎曲——讓刀緩沖2、目的性6.3.1彎曲變形的基本參數(shù)1、撓曲線梁的軸在荷載作用下變成的連續(xù)光滑的平面曲線梁的彈性曲線方程：梁的彎曲變形表示：撓度和轉(zhuǎn)角2、撓度梁任意橫截面形心C的鉛直位移其大?。浩浞枺合蛏蠟檎蛳聻樨?fù)C的水平位移？梁的彎曲變形是彈性變形，形狀變化平緩，且曲率很小，故橫截面形心水平位移極小，忽略不計.CC’CC’3、轉(zhuǎn)角橫截面繞其中性軸相對于變形前轉(zhuǎn)過的角位移大小：小變形——梁的轉(zhuǎn)角方程正負(fù)：從x軸正方向起，逆時針為正，順時針為負(fù)一、梁的撓曲線微分方程

在前面推導(dǎo)純彎曲梁正應(yīng)力計算公式時，曾得到用中性層曲率半徑ρ表示的彎曲變形的公式

如果忽略剪切力對變形的影響，則上式也可以用于梁的橫力彎曲的情形。在此時，彎矩M和相應(yīng)的曲率半徑ρ均為x的函數(shù)，上式變?yōu)?.3.2用積分法求彎曲變形彎矩M正負(fù)號按以前規(guī)定，并選擇w軸向上為正，則彎矩M與恒為同號。故有從幾何關(guān)系上看，平面曲線的曲率:小變形撓曲線近似微分方程僅適用于線彈性范圍內(nèi)的小變形的平面彎曲問題1、原理二、積分法求轉(zhuǎn)角、撓度ABAB求解條件：控制點條件：集中力、集中力偶、分布載荷間斷處約束條件邊界條件2、特殊情況荷載沿軸向不連續(xù)且突變（有Fp、M或p）

彎矩方程分段列出

撓曲線近似微分方程分段列出

分段積分條件：

邊界位移條件

分段處撓曲線連續(xù)光滑條件：

左右兩截面撓度相等

左右兩截面轉(zhuǎn)角相等建坐標(biāo)系，求支座反力，列彎矩方程，畫彎矩圖列撓曲線近似微分方程確定邊界條件，求積分常數(shù)建立轉(zhuǎn)角方程和撓度方程求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，并指出其方向3、步驟：例6-7求圖示簡支梁受集中載荷P作用下的彎曲變形θA、θB和最大撓度。

解使用積分法求轉(zhuǎn)角和撓度。(a)求約束反力。取梁AB作為研究對象，加上約束力RA和RB，然后使用平衡方程RABARBPCablyx例6-7求圖示簡支梁受集中載荷P作用下的彎曲變形θA、θB和最大撓度。

(b)求彎矩方程。因AC、CB兩段彎矩方程不同，分別寫出彎矩方程AC段

CB段

RABARBPCablyx例6-7求圖示簡支梁受集中載荷P作用下的彎曲變形θA、θB和最大撓度。

(c)列撓曲線微分方程并二次積分。AC段

例6-7求圖示簡支梁受集中載荷P作用下的彎曲變形θA、θB和最大撓度。

(c)列撓曲線微分方程并二次積分。CB段例6-7求圖示簡支梁受集中載荷P作用下的彎曲變形θA、θB和最大撓度。

(d)確定積分常數(shù)。利用支座A、B處邊界條件和左、右兩段梁連接處C的光滑連續(xù)性條件代入上述轉(zhuǎn)角和撓度方程，確定積分常數(shù)(1)光滑連續(xù)性條件RABARBPCablyx例6-7求圖示簡支梁受集中載荷P作用下的彎曲變形θA、θB和最大撓度。

(2)邊界條件RABARBPCablyx例6-7求圖示簡支梁受集中載荷P作用下的彎曲變形θA、θB和最大撓度。

(e)結(jié)果（轉(zhuǎn)角和撓度方程）。AC段CB段RABARBPCablyx例6-7求圖示簡支梁受集中載荷P作用下的彎曲變形θA、θB和最大撓度。

(f)求指定截面的彎曲變形。RABARBPCablyx要確定最大撓度，令：，在a>b時，最大撓度發(fā)生在AC段，可求得則最大撓度為【例6-8】圖12.3所示為一懸臂梁，左半部承受均布載荷q作用，試建立梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并計算截面A的轉(zhuǎn)角和撓度。解:0≤x≤aa≤x≤2a（2）分段積分0≤x≤aa≤x≤2a（1）列彎矩方程在x=a處在x=2a處（3）確定邊界條件求常數(shù)值0≤x≤aa≤x≤2a（4）確定截面A的轉(zhuǎn)角和撓度【補例】圖示為一懸臂梁，EI＝常數(shù)，在其自由端受一集中力F作用，試求該梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并確定其最大轉(zhuǎn)角和最大撓度。解：(1)建立撓曲線微分方程并積分。(2)確定邊界條件求積分常數(shù)。

C=0,D=0(3)確定最大撓度和最大轉(zhuǎn)角

4、積分法小結(jié)

荷載簡單、梁不分段時可直接用，形成工程上常用的表,見表9-1梁分段時，計算相當(dāng)繁瑣

梁的撓度方程和轉(zhuǎn)角方程皆為荷載的線性函數(shù)，故可通過查表用疊加法求解6.3.3求彎曲變形的疊加法梁的撓度方程和轉(zhuǎn)角方程皆為荷載的線性函數(shù)，梁有幾種不同載荷共同作用時，根據(jù)力的獨立作用原則，將其分解成各種載荷單獨作用時的情況，查表確定單個載荷所產(chǎn)生的撓度和轉(zhuǎn)角，然后疊加。【例6-9】求圖示外伸梁C端的轉(zhuǎn)角θC和撓度wC與B端的轉(zhuǎn)角θB和撓度wB之間的關(guān)系。

解：C端沒有受到載荷作用，其轉(zhuǎn)角θC和B端的轉(zhuǎn)角一致，但是其撓度wC由于B端的轉(zhuǎn)角θB引起的，故BAalCP【例6-10】懸臂梁AB在自由端B和中點C受集中力F作用，如圖所示。試用疊加法求自由端B的位移。

wAFFxl2/lCB解：B端F作用引起自由端B的撓度，查表12-1中1得wAFxl2/lCB在中點僅有集中力F作用時，C點處的撓度與轉(zhuǎn)角B點位移【例6-11】懸臂梁AB自由端B受集中力偶矩M，中點C受集中力F作用，如圖12.5所示。試用疊加法求自由端B的位移。

AFlwCBMmaxwx解：M引起的B撓度：F引起的B撓度和轉(zhuǎn)角：【例6-12】按疊加法計算圖中懸臂梁截面A的轉(zhuǎn)角和撓度。

AqawCBaxqwACBxqqBBxxqAwwCwCw￠￠￠￠q￠￠(a)(d)(c)(b)q￠w￠A解：6.3.4彎曲剛度

對于工程中承受彎曲變形的構(gòu)件，除了強度要求外，