《高等數(shù)學(xué) 》課件-第8章

第8章概率論基礎(chǔ)知識8.1隨機事件與概率8.2概率的性質(zhì)與運算8.3隨機變量及其分布8.4隨機變量的數(shù)字特征8.5概率應(yīng)用舉例8.6用MATLAB計算數(shù)學(xué)期望與方差

8.1隨機事件與概率

8.1.1隨機事件

1.隨機現(xiàn)象與隨機事件

在我們的實際工作和生活中，有些現(xiàn)象在一定條件下必然會發(fā)生或必定不會發(fā)生，例如，在一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下水加熱到100℃必然會沸騰,同性電荷必然不會相互吸引等.這類在一定條件下必然會發(fā)生或必定不會發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.

此外，還存在與確定性現(xiàn)象有著本質(zhì)區(qū)別的另一類現(xiàn)象.例如，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，可以出現(xiàn)正面，也可能出現(xiàn)反面；從一批產(chǎn)品中隨意地抽驗一件，這件產(chǎn)品的質(zhì)量可能合格，也可能不合格.這類在一定條件下有多種可能結(jié)果，且事先無法預(yù)知哪種結(jié)果會出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象.

人們經(jīng)過長期實踐并深入研究之后，發(fā)現(xiàn)隨機現(xiàn)象雖然就每次試驗或觀察結(jié)果而言，具有不確定性，但在大量重復(fù)試驗或觀察下其結(jié)果卻呈現(xiàn)出某種規(guī)律性.例如，多次重復(fù)投擲一枚硬幣，得到正面向上的次數(shù)大致占總投擲數(shù)的1/2左右.我們把這種在大量重復(fù)試驗或觀測下，其結(jié)果所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性稱為統(tǒng)計規(guī)律性.概率論與數(shù)量統(tǒng)計就是

研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.

研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，需要在相同的條件下重復(fù)地進行多次試驗(或觀察)，稱為隨機試驗，簡稱試驗.

試驗具有如下三個特點：

(1)試驗可以在相同的條件下重復(fù)進行；

(2)每次試驗的可能結(jié)果不止一個，并且事先可以明確試驗的所有可能結(jié)果；

(3)進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).

在隨機試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果稱為隨機事件，簡稱為事件，通常用大寫字母A、B、C等表示.例如，在拋擲一枚硬幣的試驗中，A=

“國徽向上”，就是一隨機事件.在隨機事件中，有的是由某些事件復(fù)合而成的，而有些事件是不能分解為其他事件組合的最簡單的隨機事件，這些事件稱為基本事件.例如，擲一顆骰子的試驗中，觀察其出現(xiàn)的點數(shù)：“1點”、“2點”、……“6點”都是基本事件，其中“奇數(shù)點”也是隨機事件，但它不是基本事件，它是由“1點”、“3點”、“5點”這三個基本事件組成的，只要這三個基本事件中的一個發(fā)生，“奇數(shù)點”這個事件就發(fā)生.在每次試驗中必然要發(fā)生的事件，稱為必然事件；一定不發(fā)生的事件，

稱為不可能事件.我們稱隨機試驗中每一種可能的結(jié)果為一個樣本點，用ω表示.樣本點的全體組成的集合稱為該隨機試驗的樣本空間，記作Ω.在引入樣本空間后,就可以從集合論的角度描述隨機事件以及它們之間的關(guān)系和運算.隨機試驗中任意一個事件就是樣本空間的子集.基本事件是由一個樣本點組成的單元集，子集Ω和分別稱為必然事件和￠不可能事件.

2.事件的關(guān)系和運算

和集合的關(guān)系與集合的運算相對應(yīng)，下面介紹事件之間的關(guān)系與事件的運算.

1)包含關(guān)系

如果事件A發(fā)生，必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A，或稱事件A被事件B所包含，記作AB或BA.顯然，對任一事件A，有￠AΩ.

2)相等關(guān)系

如果事件B包含事件A，同時事件A也包含事件B，即AB及BA同時成立，則稱事件A與事件B相等，記作A=B.∪∪∪∪∪∪

3)事件的和(并)

事件A與事件B至少有一個發(fā)生，稱為事件A與事件B的和(并).它是由事件A和事件B的所有樣本點構(gòu)成的集合，記作A+B或A∪B.事件和的概念可以推廣到n個事件的情況.事件A1+A2+…+An稱為事件A1，A2，…，An之和，表示n個事件A1，A2，…，An中至少有一個發(fā)生.

4)事件的積(交)

兩個事件A與B同時發(fā)生，稱為事件A與事件B的積(交)，記作AB或A∩B.事件積的概念也可以推廣到n個事件的情況.事件A1A2…An稱為事件A1,A2,…,An之積，表示n個事件A1，A2，…，An同時發(fā)生.

5)事件的差

事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生，稱為事件A與事件B的差.它是由屬于A但不屬于B的那些樣本點所組成的集合，

記作A-B.

6)互不相容事件

若事件A與事件B不能同時發(fā)生，即AB=￠,則稱事件A與B互不相容(或稱互斥).互不相容事件A與B沒有公共樣本點.顯然，基本事件間是互不相容的.

7)對立事件

若兩個事件A和B滿足A+B=Ω及AB=￠,則稱A、B互為對立事件，記作B=A.

顯然，A的對立事件A表示A不發(fā)生.

對立事件有下列性質(zhì)：由此可得，對立事件必為互斥事件，反之不成立.

8)完備事件組

若事件A1,A2,…,An為兩兩互斥，且A1+A2+…+An=Ω,則稱事件A1，A2，…，An構(gòu)成一個完備事件組.

例8-1從一批產(chǎn)品中每次取出一個產(chǎn)品進行檢驗，做不放回抽樣，用Ai表示事件“第i次取到合格品”

(i=1,2,3).試用A1、A2、A3表示下列事件：

(1)三次都取到合格品.

(2)三次中至少有一次取到合格品.

(3)三次中恰有兩次取到合格品.

(4)三次中最多有一次取到合格品.8.1.2隨機事件的概率

1.概率的統(tǒng)計定義

在實際問題中，常常需要知道隨機事件在試驗中發(fā)生的可能性有多大，為此，我們先介紹事件頻率的概念.

定義8.1設(shè)事件A在n次重復(fù)進行的試驗中發(fā)生了m次，則稱為事件A發(fā)生的頻率；m稱為事件A發(fā)生的頻數(shù).

為了研究事件發(fā)生的可能性大小，可以做大量重復(fù)試驗，觀察事件發(fā)生的情況.例如歷史上曾有人做過多次拋擲硬幣的試驗，結(jié)果參見表8-1.表8-1拋擲硬幣試驗的幾個著名記錄定義8.2(頻率的統(tǒng)計定義)在一個隨機試驗中，如果隨著試驗次數(shù)n的增大，事件A出現(xiàn)的頻率在某個常數(shù)p附近波動，那么定義事件A的概率為p,記作

P(A)=p

概率的統(tǒng)計定義指出，任一事件A的概率是客觀存在的.在實際問題中，往往不知P(A)為何值，這時可取試驗次數(shù)n充分大時的事件A出現(xiàn)的頻率為它的近似值.這正是該定義的優(yōu)點.

2.概率的古典定義

如果試驗具有以下兩個特點：

(1)每次試驗只有有限種可能的試驗結(jié)果，或者說組成試驗的基本事件(樣本點)總數(shù)為有限個.

(2)每次試驗中，各基本事件(樣本點)出現(xiàn)的可能性是相同的，則稱這樣的試驗為古典試驗.例如，拋擲硬幣的兩種結(jié)果“正面”和“反面”出現(xiàn)的可能性都是,因此，拋擲硬幣這一試驗是一古典試驗.古典試驗的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型.關(guān)于古典概型的問題，可用下面的概率公式計算.

定義8.3(概率的古典定義)若試驗結(jié)果一共由n個基本事件A1，A2，…，An組成，這些事件的出現(xiàn)具有相等的可能性，而事件A由其中某m個基本事件組成，則事件A的概率是(8-1)

例8-2

從1～10這10個自然數(shù)中任取一數(shù).

(1)求隨機試驗的樣本空間.

(2)設(shè)事件A為“任取的一數(shù)是偶數(shù)”，求P(A).

(3)設(shè)事件B為“任取的一數(shù)是5的倍數(shù)”，求P(B).

解取出的數(shù)可以是1～10這10個自然數(shù)中的任意一個，每一個數(shù)被取到的可能性相同.如果將樣本點{任取一數(shù)字為i}簡記為i(i=1,2,…,10),則樣本空間Ω含有10個樣本點，即Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

(1)事件A={2,4,6,8,10},含有5個樣本點，所以(2)事件B={5,10},含有2個樣本點，所以

例8-3

在10件產(chǎn)品中，有7件為合格品，3件為次品，從中任取5件.計算：

(1)

5件中恰有1件是次品的概率.

(2)

5件都是合格品的概率.

(3)

5件中至少有4件是合格品的概率.

解從10件產(chǎn)品中任取5件的樣本點，總數(shù)是C105.

(1)設(shè)A={5件中恰有1件是次品}，因為在10件產(chǎn)品中有7件合格品，所以包含的樣本點個數(shù)是.因此有

(2)設(shè)B={5件都是合格品}，則B包含的樣點個數(shù)是C57,因此

(3)設(shè)C={5件中至少有4件是合格品}，則C包括恰有4件合格品和恰有5件合格品兩種情況，其包含的樣本點個數(shù)是C47C13+C57C03,因此有例8-4為了估計一個大型漁場中魚的尾數(shù)，常使用以下的方法：先從漁場中捕出一定數(shù)量的魚并做上記號后放回水中，經(jīng)過適當(dāng)時間，讓其充分混合，再從漁場中捕出一定數(shù)量的魚，查看有記號的魚所占的比例，估計漁場中魚的尾數(shù).

如果第一次捕出1000尾并做上記號放回水中，第二次捕出600尾，其中有記號的魚有10尾,試估計該漁場中魚的尾數(shù).

解設(shè)A表示“有記號的魚”，n表示漁場中魚的尾數(shù)，假定每尾被捕到的可能性相等，則由概率計算公式得第二次捕出600尾魚中，有記號的魚有10尾.由概率的統(tǒng)計定義，得將式①代入式②，得解方程，得n≈60000(尾)即該漁場中大約有60000尾魚. 8.2概率的性質(zhì)與運算

8.2.1概率的性質(zhì)

隨機事件的概率有如下基本性質(zhì)：

性質(zhì)8.1(非負性)對任一事件A，有0≤P(A)≤1.

性質(zhì)8.2(規(guī)范性)P(Ω)=1.

性質(zhì)8.3(有限可加性)若事件A與事件B互不相容，即AB=￠,則P(A+B)=P(A)+P(B)(8-2)

例8-5100件商品中含有2件次品，其余都是正品.從中任取3件進行檢驗，求在3件中至少有1件次品的概率.

解設(shè)A1={恰有一件次品}，A2={恰有兩件次品}，

A={至少有一件次品}，則

A=A1+A2

且A1A2=￠

根據(jù)有限可加性，得根據(jù)上述三條概率的基本性質(zhì)，可以得到下面概率的性質(zhì).性質(zhì)8.4不可能事件的概率為零，即P(￠)=0.

性質(zhì)8.5如果事件A1,A2,…,An兩兩互不相容，即AiAj=(i≠j),則P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)(8-3)性質(zhì)8.6

對任何事件A,有(8-4)性質(zhì)8.7

如果A

B,則(8-5)性質(zhì)8.8(任意事件的加法公式)對于任意兩事件A,B,有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)(8-6)

例8-6

某班學(xué)生有6個人是1988年9月出生的，求其中至少有2個人是同一天生日的概率.

分析：設(shè)A={6個人中至少有兩個人同一天生日}.

A1={恰有2個人同一天生日}；

A2={恰有3個人同一天生日}；

A3={恰有4個人同一天生日}；

A4={恰有5個人同一天生日}；

A5={6個人同一天生日}.于是A=A1+A2+A3+A4+A5.顯然,Ai(i=1,2,…,5)之間是兩兩互斥的，由性質(zhì)8.5得P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)+P(A5)計算上式可以求出P(A),但是比較繁瑣，因此考慮用對立事件A計算.用A0表示事件{6人中沒有同一天出生的}，則有以下解答.

解

A0+A=Ω

又因為A0A=￠,所以A0=A,于是P(A)=1-P(A)=1-P(A0)由于9月共有30天，每個人可以在這里30天里的任一天出生，因此全部可能情況共有30×30×30×30×30×30=306

種不同的情況，沒有兩人生日相同就是30中取6的排列A306=

30×29×28×27×26×25，這就是A0包含的基本事件數(shù).于是P(A0）＝

×30×29×28×27×26×25≈0.5864因此P(A)=1-P(A0)=1-0.5864=0.41368.2.2條件概率與乘法公式

1.條件概率

在實際問題中，我們往往會遇到這樣的問題：在事件B已發(fā)生的條件下，求事件A發(fā)生的概率.因為增加了新的條件：事件B已發(fā)生，所以稱之為條件概率，記作P(A|B).相應(yīng)地，把P(A)稱為無條件概率或原概率.

例8-7

有16件產(chǎn)品，其中有甲廠生產(chǎn)的，也有乙廠生的，均有合格品與廢品，其情況如表8-2所示.表8-2從這16件產(chǎn)品中隨機抽取一件，記

A={取到的是甲廠產(chǎn)品}，B={取到的是合格品}

A={取到的是乙廠產(chǎn)品},B={取到的是廢品}

由概率古典定義得現(xiàn)在要問：如果已知取到的產(chǎn)品是合格品，那么這件產(chǎn)品是甲廠產(chǎn)品的概率是多少呢？這事實上是在事件B已經(jīng)發(fā)生的前提下，求事件A的條件概率.由于一共有10件合格品，而其中甲廠產(chǎn)品有3件，使

例8-8

在一個盆中混有新的和舊的兩種乒乓球，在新乒乓球中有40個是白色的，30個是紅色的；在舊乒乓球中有20個是白色的，有10個是紅色的(參見表8-3).從盆中任取1球，

發(fā)現(xiàn)是新的，問此球為白色的概率是多少？表8-3

解法1

利用古典概率計算.在盆中任取1球.新乒乓球70個中有40個是白色的，于是解法2

利用條件概率的定義計算：

例8-9

某人有5把鑰匙，只有一把能打開房門，若逐把試開，假設(shè)每把試開的可能性相同，試求：

(1)第二次才打開房門的概率.

(2)三次之內(nèi)打開房門的概率.

解設(shè)事件Ai={第i次試開就打開房門}(i=1,2,…,5).8.2.3事件的獨立性

1.事件的獨立性

如果兩個事件A和B，其中任何一個是否發(fā)生都不影響另一個發(fā)生的可能性，則稱兩個事件A和B相互獨立.

例如，甲、乙兩人同時向一目標(biāo)射擊各一次，彼此互不影響，如果用A表示“甲擊中”，用B表示“乙擊中”，則A、B是相互獨立的.乙擊中與否，并不影響甲擊中的概率，即P(A|B)=P(A).同樣，甲擊中與否，并不影響乙擊中的概率，亦即P(B|A)=P(B).

如果n(n>2)個事件A1,A2,A3,…,An中任何一個事件發(fā)生的可能性都不受其他一個或是幾個事件發(fā)生與否的影響，則稱A1，A2，A3，…，An相互獨立.關(guān)于獨立性有以下幾個性質(zhì)：

(1)A與B獨立的充分必要條件是P(AB)=P(A)P(B).

(2)若A與B獨立，則A與B、A與B、A與B中的每一對事件都是相互獨立的.

(3)若A1，A2，A3，…，An相互獨立，則有P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)(4)若A1，A2，A3，…，An相互獨立，則有

例8-10

甲、乙兩人都考大學(xué)，甲考上的概率是0.7,乙考上的概率是0.8.問：

(1)甲、乙兩人都考上大學(xué)的概率是多少？

(2)甲、乙兩人至少一人考上大學(xué)的概率是多少？

解設(shè)A表示{甲考上大學(xué)}，B表示{乙考上大學(xué)}，則P(A)=0.7,

P(B)=0.8

(1)甲、乙兩人考上大學(xué)的事件是相互獨立的，故甲、乙兩人同時考上大學(xué)的概率是P(AB)=P(A)P(B)=0.7×0.8=0.56(2)甲、乙兩人至少一人考上大學(xué)的概率是P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7+0.8-0.56=0.94

例8-11(摸球模型)設(shè)盒中裝有6只球，其中4只白球，2只紅球.從盒中任意取球兩次，每次取一球，考慮兩種情況：

(1)第一次取一球觀察顏色后放回盒中，第二次再取一球，這種情況叫做放回抽樣.

(2)第一次取一球不放回盒中，第二次再取一球，這種情況叫做不放回抽樣.試分別就上面兩種情況求：

(1)取到兩只球都是白球的概率.

(2)取到兩只球顏色相同的概率.

(3)取到的兩只球中至少有一只是白球的概率.

解設(shè)Ai表示{第i次取到白球}，則Ai表示{第i次取到紅球}(i=1,2),于是，A1A2表示{取到兩只白球}，A1A2+A1A2表示{取到兩只相同顏色球}，A1+A2表示{至少取到一只白球}.

放回抽樣的情形：

由于放回抽樣，因此{第一次取到白球}與{第二次取到白球}的事件相互獨立，且因為于是（１）(2)(3)不放回抽樣的情形：

由于不放回抽樣，因此{第一次取到白球}與{第二次取到白球}的事件不是相互獨立的.因為

2.n次獨立重復(fù)試驗

在相同條件下，重復(fù)做n次試驗，如果滿足：

(1)每一次試驗的結(jié)果都不影響其他各次試驗的結(jié)果；(2)每一次試驗只有兩種可能的結(jié)果A或A；

(3)每一次試驗中事件A發(fā)生的概率都不變.

則稱這樣的n次試驗為n次獨立重復(fù)試驗或n重伯努利試驗.

例如，從一批含有次品的零件中有放回的抽取n次，每次抽取一件檢驗是次品還是正品；在相同條件下射手進行n次射擊，每次射擊只考察擊中還是不擊中，等等，這些都是n次獨立重復(fù)試驗.

下面來討論n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率.

例8-1210個零件中有3個次品，從中每次抽檢一個，驗后放回，連續(xù)抽檢三次，求抽檢的3個零件中恰有2個是次品的概率.

分析：由于三次抽檢是相互獨立的，并且每次抽檢只是兩個可能的結(jié)果“抽到正品”或“抽到次品”，因此，這是一個三次獨立重復(fù)試驗.

解設(shè)B={3次抽檢，恰有2個次品},Ai={第i次抽到次品}(i=1,2,3),則

Ai={第i次抽到正品}

(i=1,2,3)依題意有因為3次抽檢中恰有2個次品的事件共有C23=3種，即

例8-13

某型號對空導(dǎo)彈，發(fā)射一枚擊中敵機的概率為0.6,試求：

(1)發(fā)射三枚導(dǎo)彈，恰有一枚擊中敵機的概率.

(2)發(fā)射三枚導(dǎo)彈，均未擊中敵機的概率.

(3)發(fā)射三枚導(dǎo)彈，至少有一枚擊中敵機的概率.

(4)至少要發(fā)射幾枚導(dǎo)彈，才能使擊中敵機的概率不小于0.99.

解本題滿足n次獨立重復(fù)實驗條件，擊中敵機的概率p=0.6.由公式(8-9)得 8.3隨機變量及其分布

8.3.1隨機變量的概念

隨機試驗的結(jié)果是事件，要定量地研究隨機現(xiàn)象，很自然的想法是：既然試驗所有可能的結(jié)果都是已知的，就可以對每一個結(jié)果都賦予一個相應(yīng)的值.如果對于試驗的每一個可能結(jié)果，也就是基本事件ω,都對應(yīng)著一個實數(shù)X(ω),

而X(ω)又是隨著試驗結(jié)果不同而變化的一個變量，則稱它為隨機變量.一般用字母X、Y、Z…表示.

例8-14

擲一枚硬幣，一次試驗有兩種結(jié)果，即“出現(xiàn)正面”或“出現(xiàn)反面”.將“出現(xiàn)正面”與數(shù)“1”對應(yīng)，“出現(xiàn)反面”與數(shù)“0”對應(yīng)，如果用X表示一次試驗出現(xiàn)的結(jié)果，則隨機變量X可能的取值是0或1.

例8-15

從一批燈管中任取一個作壽命測試，假設(shè)燈管的壽命最高不超過10000h,若用X表示燈管的壽命，則隨機變量X可能取的值是[0,10000]上的一切實數(shù).

例8-16

擲一枚骰子，用X表示出現(xiàn)的點數(shù)，則

(1)“X=3”表示“出現(xiàn)3點”.

(2)“1≤X≤3”表示“出現(xiàn)1點或2點或3點”.

(3)“X=2.5”表示“出現(xiàn)2.5點”，這是一個不可能事件.

(4)“X<10”表示“出現(xiàn)小于10的點”，這是一個必然事件.

例8-17

擲一枚骰子，用X表示出現(xiàn)的點數(shù)，顯然，X的可能取值是1,2,3,4,5,6,且P(X=i)=

(i=1,2,3,4,5,6),于是X的分布函數(shù)為F(x)的圖形如圖8-1所示.圖8-1

2.分布函數(shù)的性質(zhì)

由分布函數(shù)的定義可以推得隨機變量X的分布函數(shù)F(x)具有下列性質(zhì)：

(1)0≤F(x)≤1.

(2)F(x)是x的單調(diào)不減函數(shù)，即x1<x2,則F(x1)≤F(x2).

(3)記 則F(-∞)=0,F(+∞)=1.

有了分布函數(shù)，隨機變量取某些值的概率就能方便地計算出來.P(a≤X<b)=P(X<b)-P(X<a)=F(b)-F(a)P(X=a)=P(X≤a)-P(X<a)=F(a+0)-F(a)例8-18

設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為8.3.3離散型隨機變量

1.離散型隨機變量的定義

定義8.6

如果一個隨機變量X只取有限個或者可列個值，則稱隨機變量X為離散型隨機變量.

設(shè)離散型隨機變量X的一切可能取值為x1,x2,…,xk,…,

且事件“X=xk”的概率為P(X=xk)=pk(k=1,2,…),則稱數(shù)表8-4為隨機變量X的分布密度或概率分布列.(8-10)由分布函數(shù)的性質(zhì)可知，離散型隨機變量的分布函數(shù)的圖形在隨機變量的取值處跳躍.

例8-19

一射手對靶連續(xù)不斷地進行射擊，直到命中為止.如果每一次射擊命中目標(biāo)的概率為p,試求命中目標(biāo)所需射擊次數(shù)的分布密度.

解用隨機變量X表示命中目標(biāo)所需的射擊次數(shù).由于隨機變量的取值為1,2,…事件“X=i”(i=1,2,…)表示前i-1次射擊未命中目標(biāo)，而第i次射擊首次命中目標(biāo).又由于每次射擊目標(biāo)互不影響，故事件“X=i”(i=1,2,…)的概率為P(X=i)=p(1-p)i-1,

i=1,2,…

3.幾個常見分布

1)兩點分布

如果X具有如表8-5所示的分布密度，則稱隨機變量X服從參數(shù)為p(0<p<1)的兩點分布(或0-1分布)，記作X～B(1,p).表8-5

例8-20

袋中有8個白球，6個紅球，從中任取兩球，記顯然X服從兩點分布，其分布列為

2)二項分布

進行n次獨立重復(fù)試驗，每次試驗的結(jié)果只有兩種(即A和A),每次試驗事件A發(fā)生的概率為p,以X表示事件A在n次試驗中發(fā)生的次數(shù).

如果X具有如表8-6所示的分布密度，則稱隨機變量X服從參數(shù)為n、p的二項分布，又稱伯努利分布，記作X～B(n,p).當(dāng)n=1時的二項分布即為兩點分布.表8-6

例8-21

一批產(chǎn)品中有10%是次品，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中抽取5件，且抽取是獨立的.試求所取出的產(chǎn)品中次品數(shù)的分布密度，并計算次品數(shù)不少于2的概率.

解用X表示抽出的產(chǎn)品中次品的數(shù)量，抽取一件產(chǎn)品要么是正品，要么是次品，只有兩種可能性.所以X～B(5,p)且X=0,1,2,3,4,5.于是所取出的產(chǎn)品中次品數(shù)的分布密度為

3)泊松分布

若隨機變量X的分布密度為k=0,1,2,…則稱隨機變量X服從參數(shù)為λ(λ>0)的泊松(Poisson)分布，記作X～P(λ).在實際工作和生活中，服從泊松分布的隨機變量很多，如電話程控交換機在單位時間內(nèi)接收到的電話呼喚次數(shù)，單位面積草坪中含有雜草的根數(shù)，工廠生產(chǎn)的一批布匹上瑕疵的點數(shù)等，它們都是服從泊松分布的.8.3.4連續(xù)型隨機變量

1.連續(xù)型隨機變量的定義

定義8.7

若隨機變量X的分布函數(shù)F(x)可表示成一個非負可積函數(shù)f(x)的積分則稱隨機變量X為連續(xù)型隨機變量，并稱f(x)為X的概率密度函數(shù)或概率分布密度(簡稱密度函數(shù)或分布密度).根據(jù)定義及分布函數(shù)的性質(zhì)，連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)滿足：

(1)非負性：f(x)≥0,-∞<x+∞.

(2)規(guī)范性： .反之，滿足上述兩條件的任何一個函數(shù)f(x)必為某一連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù).

2.概率密度與分布函數(shù)間的關(guān)系

連續(xù)型隨機變量不能像離散型隨機變量一樣用分布密度來描述它的分布規(guī)律，而必須用它在各個區(qū)間取值的概率來進行描述.

(1)連續(xù)型隨機變量X取任一點的概率為零，即p(X=a)=0.

(2)隨機變量X落在區(qū)間[a,b)內(nèi)的概率為

(3)若F(x)連續(xù)，且除去有限個點外，導(dǎo)函數(shù)F′(x)存在且連續(xù)，則

例8-22

設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為故分布函數(shù)為

3.連續(xù)型隨機變量的幾個常見分布

1)均勻分布

設(shè)在區(qū)間[a,b]內(nèi)等可能地投點，則所投點落在[a,b]中的任一位置是等可能的，以隨機變量X表示落點的坐標(biāo)，則X的分布函數(shù)為圖8-2此時隨機變量X的密度函數(shù)為稱X服從[a,b]上的均勻分布，記作X～U[a,b].

f(x)的圖形如圖8-3所示.圖8-3

2)指數(shù)分布

若隨機變量X的密度函數(shù)為其中λ>0,則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布.

X的分布函數(shù)為指數(shù)分布在實踐中有許多應(yīng)用.例如，無線電元件的壽命、動物的壽命、電話的通話時間、隨機服務(wù)系統(tǒng)的服務(wù)時間等都近似地服從指數(shù)分布.正態(tài)分布是所有概率分布中最重要的一種分布，無論是在實際中還是在理論上,都有重要的意義.在實際中，人體的身高、體重、測量的誤差等，都近似地服從正態(tài)分布；在理論上，許多分布在一定的條件下可以用正態(tài)分布來近似代替.

(1)正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對稱.

(2)當(dāng)x=μ時，函數(shù)f(x)取得最大值，其值為 .

(3)x離μ越遠，f(x)的值越??；當(dāng)x→∞時，f(x)→0.

(4)對確定的μ,若σ越小，則f(μ)越大，圖形越窄，分布越集中在x=μ附近；若σ越大，則f(μ)越小，圖形越寬，分布越平坦.我們把正態(tài)分布形象地稱為“中間大，兩頭小”的分布.下面介紹正態(tài)分布的計算.

(1)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.若X～N(0,1),則8.4隨機變量的數(shù)字特征

8.4.1數(shù)學(xué)期望

1.離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望

定義8.8

設(shè)離散型隨機變量X的概率分布列為表8-7.

例8-25

拋擲一枚骰子，用X表示出現(xiàn)的點數(shù)，求E(X).

解

X的分布列為表8-8.

表8-8

根據(jù)公式,得

2.連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望

定義8.9

設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x),如果積分絕對收斂，則稱此積分為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望，記作E(X),即

例8-26

設(shè)顧客在某商店的窗口等待服務(wù)的時間X(單位：min)是一個隨機變量，其概率密度為

3.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

性質(zhì)8.9E(c)=c(c為常數(shù)).

性質(zhì)8.10E(kX)=kE(X)(k為常數(shù)).

性質(zhì)8.11E(kX+b)=kE(X)+b(k、b都是常數(shù)).

性質(zhì)8.12x1、x2是隨機變量，則E(x1+x2)=E(x1)+E(x2).

例8-27

設(shè)X的分布列為表8-9.求E(X)、E(X2)、E(2X-1)的值.8.4.2方差與標(biāo)準(zhǔn)差

1.方差與標(biāo)準(zhǔn)差的定義

E(X)是隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，它是一個常數(shù)，數(shù)學(xué)期望(或稱均值)是隨機變量的一個重要數(shù)字特征，但只知道隨機變量的數(shù)學(xué)期望或均值有時還不夠，還需要弄清楚隨機變量與這個均值的偏差情況.那么如何考查隨機變量X與其均值E(X)的偏離程度呢？因為X-E(X)的值有正有負，而E[X-E(X)]正、負相抵掩蓋了其真實性,所以容易想到用E|X-E(X)|來度量X與其均值E(X)的偏離程度.但由于此式含有絕對值，在運算上不方便，因此通常用E[X-E(X)]2來度量X與均值E(X)的偏離程度.

定義8.10

設(shè)X是一個隨機變量，若E[X-E(X)]2存在，

則稱E[X-E(X)]2為X的方差，記為D(X),即D(X)=E[X-E(X)]2.

在實際使用中，為了使單位統(tǒng)一，引入標(biāo)準(zhǔn)差描述X的偏離程度，記為σ(x).

例8-28

設(shè)隨機變量X服從兩點分布，其分布為P(X=1)=p,P(X=0)=1-p=q

求方差D(X).

解

E(X)=1·p+0·q=p

E(X2)=12·p+02·q=p

D(X)=E(X2)-[E(X)]2=p-p2=pq例8-29

設(shè)X～N(0,1),求X的期望與方差.解因為X～N(0,1),所以由于被積函數(shù)為奇函數(shù)，故積分為零，即E(X)=0.于是

例8-30

求例8-26中顧客等待時間X的方差和標(biāo)準(zhǔn)差.

2.方差的性質(zhì)

性質(zhì)8.13設(shè)c是常數(shù),則D(c)=0.

性質(zhì)8.14設(shè)c是常數(shù)，則D(cX)=c2D(X).

性質(zhì)8.15設(shè)隨機變量X、Y互相獨立，則

D(X+Y)=D(X)+D(Y)

性質(zhì)8.15可以推廣到有限多個互相獨立隨機變量的情況，即設(shè)X1,X2,…,Xn是互相獨立的隨機變量，則有

D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)

例8-31

設(shè)隨機變量X1,X2,…,Xn互相獨立，服從同一個分布，且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2,求的數(shù)學(xué)期望和方差.

解由數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)，得

性質(zhì)8.16

D(kX+b)=k2D(X)(k、b均為常數(shù)).

例8-32

已知Y～N(3,0.22),求E(Y)和D(Y)的值.

解令,則X～N(0,1),Y=0.2X+3.由例8-29知,E(X)=0,D(X)=1；再由性質(zhì)8.16知E(Y)=E(0.2X+3)=0.2E(X)+3=3D(Y)=D(0.2X+3)=0.22D(X)=0.04根據(jù)本例可知，正態(tài)分布N(μ,σ2)中的兩個參數(shù)μ、σ即為正態(tài)分布的期望和標(biāo)準(zhǔn)差.8.4.3常用分布的期望和方差

1.兩點分布

若X的分布為P(X=1)=p,P(X=0)=1-p=q

則E(X)=p,D(X)=pq

2.二項分布

4.均勻分布

若X～U(a,b)，則 8.5概率應(yīng)用舉例

8.5.1抽樣檢驗問題

在對商品作質(zhì)量檢驗時，通常是抽出一小部分商品進行檢驗，通過抽檢來判斷全部商品的質(zhì)量，即所謂抽樣檢驗.

用某種抽檢方案進行抽樣檢驗時，被檢驗的一批商品被接受(即為合格品)的可能性有多大，這是檢驗者和被檢驗者雙方都十分關(guān)心的問題.下面舉例說明.

例8-33

一批商品共1000件，已知該種商品的不合格率約為2%，商檢部門用抽檢方案(30/3)進行檢驗(即從1000件商品中抽取30件，如果其中不合格品數(shù)不大于3件，則判定該批商品為合格批，從而被接受；如果其中不合格品數(shù)大于3件，則判定該批商品為不合格批，從而不被接受).求該批商品的接受概率(記作L(p),p=0.02).

解從1000件中任取30件，由于商品數(shù)量較大，因此不合格數(shù)的概率分布可用二項分布近似.

根據(jù)抽樣方案(30/3),任取的30件商品中，不合格數(shù)為0,1,2,3時，都可判定該批商品為合格批，因此，其接受概率為故該1000件商品用方案(30/3)抽檢時，被接受的概率約為99.7%.

例8-34

某品牌電子集團公司明年將售給某地區(qū)電信部門1000臺手機，手機約定保修一年，該集團公司對手機的保修業(yè)務(wù)有以下兩個方案可供選擇：

(1)委托該地區(qū)電信部門承包保修業(yè)務(wù)，為期一年，保修期內(nèi)維修次數(shù)不限，共需一次性支付修理費2000元.

(2)委派電子集團公司在該地區(qū)的技術(shù)人員小組承擔(dān)保修業(yè)務(wù)，但技術(shù)人員提出：一年內(nèi)只能接受維修100次，共需支付修理費1200元，若超過100次，每增加一次需加付維修費4元.

另根據(jù)過去的經(jīng)驗及當(dāng)前產(chǎn)品的質(zhì)量實際情況估計，今后一年內(nèi)手機可能出現(xiàn)維修的次數(shù)及其發(fā)生的概率如表8-11所示.

問：該集團公司應(yīng)選擇哪種方案？

解若選擇第(1)方案，則集團公司將支出維修費2000元.

若選擇第(2)方案，則集團公司支付維修費X的期望值為E(X)=1200×0.5+1400×0.3+1600×0.18+2000×0.02=1348元可以看出，第(2)方案優(yōu)于第(1)方案，故該集團公司應(yīng)委派自己的維修人員訂立保修合同.

上面通過幾個具體實例簡單介紹了概率的一些應(yīng)用問題.

應(yīng)當(dāng)指出，我們所討論的問題都是經(jīng)過抽象、簡化了的數(shù)學(xué)模型，實際情況往往要復(fù)雜得多.因此，在實際工作中，遇到類似的問題時，要深入調(diào)查，全面掌握情況，科學(xué)地分析問題，以求得最優(yōu)方案.8.5.2隨機型存儲問題

工礦企業(yè)為了保證生產(chǎn)正常進行，從原材料、半成品到成品都需要存儲；在商業(yè)方面，為了滿足市場需要，必須采購一定數(shù)量的貨物，保證一定量的庫存，如果庫存量過大會造成積壓的損失，而庫存量過小也會造成缺貨的損失.因此，必須選擇一個最優(yōu)的存儲方案，使總費用最小，獲利最大，這就是存儲問題.

例8-35

某商店某月銷售一種易腐爛商品，每筐成本20元，售價50元，若每天剩余一筐，則損失20元.現(xiàn)市場的需求情況不清楚，但有去年同月(該月為30天)的日售量統(tǒng)計

資料,如表8-12所示.表8-12

解

(1)若訂貨量為100筐，則期望利潤為

E(X1)=3000×0.2+3000×0.5+3000×0.2+3000×0.1=3000元

(2)若訂貨量為110筐，則期望利潤為

E(X2)=2800×0.2+3300×0.5+3300×0.2+3300×0.1=3200元

(3)若訂貨量為120筐，則期望利潤為

E(X3)=2600×0.2+3100×0.5+3600×0.2+3600×0.1=3150元

(4)若訂貨量為130筐，則期望利潤為

E(X4)=2400×0.2+2900×0.5+3400×0.2+3900×0.1=3000元可以看出，當(dāng)訂貨量為110筐時，其期望利潤為最大.因此，該商店每天應(yīng)訂貨110筐.

例8-36

假定在國際市場上，每年對我國某種出口商品的需求量是隨機變量X(t),由以往的統(tǒng)計資料可知，它近似地服從在區(qū)間[2000,4000]上的均勻分