2015秋九年級數(shù)學(xué)上冊全冊教案（人教版）

2015秋九年級數(shù)學(xué)上冊全冊教案(人教版)

九年級數(shù)學(xué)(上)(配人教地區(qū)使用)(這是邊，請據(jù)需要手工刪加)

第二十一一元二次方程

21.1一元二次方程

1.通過類比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2+bx+=0(aN0),分清

二次項(xiàng)及其系數(shù)、一次項(xiàng)及其系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)等概念.

2,了解一元二次方程的解的概念，會(huì)檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的解.

重點(diǎn)

通過類比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2+bx+=0(a/))和一元二

次方程的解等概念，并能用這些概念解決簡單問題.

難點(diǎn)

一元二次方程及其二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的識(shí)別.

活動(dòng)1復(fù)習(xí)舊知

1.什么是方程？你能舉一個(gè)方程的例子嗎？

2.下列哪些方程是一元一次方程？并給出一元一次方程的概念和一般形式.

(l)2x-l(2)x+n=0(3)lx+l=0(4)x2=1

3.下列哪個(gè)實(shí)數(shù)是方程2x-1=3的解？并給出方程的解的概念.

A.0B.1.2D.3

活動(dòng)2探究新知

根據(jù)題意列方程.

1.教材第2頁問題1

提出問題：

(1)正方形的大小由什么量決定？本題應(yīng)該設(shè)哪個(gè)量為未知數(shù)？

(2)本題中有什么數(shù)量關(guān)系？能利用這個(gè)數(shù)量關(guān)系列方程嗎？怎么列方程？

(3)這個(gè)方程能整理為比較簡單的形式嗎？請說出整理之后的方程.

2.教材第2頁問題2

提出問題：

(1)本題中有哪些量？由這些量可以得到什么？

(2)比賽隊(duì)伍的數(shù)量與比賽的場次有什么關(guān)系？如果有個(gè)隊(duì)參賽，每個(gè)隊(duì)比賽幾場？一共有

20場比賽嗎？如果不是2。場比賽，那么究竟比賽多少場？

(3)如果有x個(gè)隊(duì)參賽，一共比賽多少場呢？

3.一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)大3,且兩個(gè)數(shù)之積為0,求這兩個(gè)數(shù).

提出問題：

本題需要設(shè)兩個(gè)未知數(shù)嗎？如果可以設(shè)一個(gè)未知數(shù)，那么方程應(yīng)該怎么列？

4.一個(gè)正方形的面積的2倍等于2,這個(gè)正方形的邊長是多少？

活動(dòng)3歸納概念

提出問題：

(1)上述方程與一元一次方程有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

(2)類比一元一次方程，我們可以給這一類方程取一個(gè)什么名字？

(3)歸納一元二次方程的概念.

1.一元二次方程：只含有個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是，這樣

的方程，叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+=0(a/)),其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù);

bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；是常數(shù)項(xiàng).

提出問題：

(1)一元二次方程的一般形式有什么特點(diǎn)？等號的左、右分別是什么？

(2)為什么要限制a知,b,可以為0嗎？

(3)2x2—x+1=0的一次項(xiàng)系數(shù)是1嗎？為什么？

3.一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程

的解(根).

活動(dòng)4例題與練習(xí)

例1在下列方程中，屬于一元二次方程的是.

(1)4x2=81；(2)2x2-1=3；(3)lx2+lx=2；

(4)2x2-2x(x+7)=0

總結(jié)：判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程的依據(jù)?：(1)整式方程；(2)只含有一個(gè)未知數(shù)：(3)

含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2注意有些方程化簡前含有二次項(xiàng),但是化簡后二次項(xiàng)系數(shù)為

0,這樣的方程不足一元二次方程.

例2教材第3頁例題.

例3以一2為根的一元二次方程是()

A.x2+2x—1=0B.x2—x—2=0

.x2+x+2=0D.x2+x-2=0

總結(jié)：判斷一個(gè)數(shù)是否為方程的解，可以將這個(gè)數(shù)代入方程，判斷方程左、右兩邊的值是

否相等.

練習(xí)：

1.若(a—l)x2+3ax—l=0是關(guān)于x的一元二次方程，那么a的取值范圍是.

2.將下列一元一次方程化為一般形式，并分別指出它們的一次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常

數(shù)項(xiàng).

(1)4x2=81；(2)(3x-2)(x4-l)=8x-3

3.教材第4頁練習(xí)第2題.

4.若一4是關(guān)于x的一元二次方程2x2+7x-=0的一個(gè)根，則的值為.

答案：2略;3略;4=4

活動(dòng)堂小結(jié)與作業(yè)布置

堂小結(jié)

我們學(xué)習(xí)了一元二次方程的哪些知識(shí)？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有

什么限制？你能解一元二次方程嗎？

作業(yè)布置

教材第4頁習(xí)題211第1?7題212解一元二次方程

21.21配方法(3時(shí))

第I時(shí)直接開平方法

理解一元二次方程“降次”——轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，并能應(yīng)用它解決一些具體問題.

提出問題，列出缺一次項(xiàng)的一元二次方程ax2+=0,根據(jù)平方根的意義解出這個(gè)方程，然

后知識(shí)遷移到解a(ex+f)2+=0型的一元二次方程.

重點(diǎn)

運(yùn)用開平方法解形如(x+)2=n(nK))的方程，領(lǐng)會(huì)降次——轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

難點(diǎn)

通過根據(jù)平方根的意義解形如x2=n的方程，將知識(shí)遷移到根據(jù)平方根的意義解形如(x

+)2=n(nN0)的方程.

一、復(fù)習(xí)引入

學(xué)生活動(dòng)：請同學(xué)們完成下列各題.

問題1：填空

(l)x2-8x+=(x-)2；(2)9x2+12x4-=(3x+)2；(3)x2

+px+=(x+)2

解：根據(jù)完全平方公式可得：(1)164；(2)42；(3)(p2)2p2

問題2：目前我們都學(xué)過哪些方程？二元怎樣轉(zhuǎn)化成一元？一元二次方程與一元一次方程

有什么不同？二次如何轉(zhuǎn)化成一次？怎樣降次？以前學(xué)過哪些降次的方法？

二、探索新知

上面我們已經(jīng)講了>2=9,根據(jù)平方根的意義，直接開平方得、=心，如果x換元為2tI1,

即(2t+1)2=9,能否也用直接開平方的方法求解呢？

(學(xué)生分組討論)

老師點(diǎn)評：回答是肯定的，把2t+l變?yōu)樯厦娴膞,那么2t+l=±3

即2t+l=3,2t+l=-3

方程的兩根為tl=l,t2=-2

例I解方程：(l)x2+4x+4=l(2)x24-6x4-9=2

分析：(l)x2+4x+4是一個(gè)完全平方公式，那么原方程就轉(zhuǎn)化為(x+2)2=l

(2)由已知，得：(x+3)2=2

直接開平方，得：x+3=±2

即x+3=2,x+3=-2

所以，方程的兩根xl=-3+2,x2=-3—2

解：略.

例2市政府計(jì)劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的102提高到1442,求每年人均住房面

積增長率.

分析：設(shè)每年人均住房面積增長率為x,一年后人均住房面積就應(yīng)該是l()+l()x=l()(l+

X)；二年后人均住房面積就應(yīng)該是10(1+x)+10(1+x)x=10(l+x)2

解：設(shè)每年人均住房面枳增長率為x,

貝I」：10(1+x)2=144

(l+x)2=144

直接開平方，得l+x=±12

即l+x=12,l+x=-12

所以，方程的兩根是xl=02=2()%,x2=-22

因?yàn)槊磕耆司》棵娣e的增長率應(yīng)為正的，因此，x2=—22應(yīng)舍去.

所以，每年人均住房面積增長率應(yīng)為20%

(學(xué)生小結(jié))老師引導(dǎo)提問：解一元二次方程，它們的共同特點(diǎn)是什么？

共同特點(diǎn)：把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程.我們把這種思想稱為

例1用配方法解下列關(guān)于X的方程：

(l)x2-8x+I=0(2)x2-2x-12=0

分析：(1)顯然方程的左邊不是一個(gè)完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方式；

(2)同上.

解：略.

三、鞏固練習(xí)

教材第9頁練習(xí)1,2⑴(2).

四、堂小結(jié)

木節(jié)應(yīng)掌握：

左邊不含有x的完全平方形式的一元二次方程化為左邊是含有x的完全平方形式，右邊是

非負(fù)數(shù)，可以直接降次解方程的方程.

五、作業(yè)布置

教材第17頁復(fù)習(xí)鞏固2,3(1)(2).第3時(shí)配方法的靈活運(yùn)用

了解配方法的概念，掌握運(yùn)用配方法解一元二次方程的步驟.

通過復(fù)習(xí)上一節(jié)的解題方法，給出配方法的概念，然后運(yùn)用配方法解決一些具體題目.

重點(diǎn)

講清配方法的解題步驟.

難點(diǎn)

對于用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程，通常把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊后，兩邊加

上的常數(shù)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方：對于二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程，要先化二次項(xiàng)

系數(shù)為1,再用配方法求解.

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動(dòng))解下列方程：

(l)x2-4x+7=0(2)2x2—8x+1=0

老師點(diǎn)評：我們上一節(jié)，已經(jīng)學(xué)習(xí)了如何解左邊不含有x的完全平方形式的一元二次方程

以及不可以直接開方降次解方程的轉(zhuǎn)化問題，那么這兩道題也可以用上面的方法進(jìn)行解題.

解：略.(2)與⑴有何關(guān)聯(lián)?

二、探索新知

討論：配方法解一元二次方程的一般步驟：

(1)先將已知方程化為一般形式；

(2)化二次項(xiàng)系數(shù)為1：

(3)常數(shù)項(xiàng)移到右邊；

(4)方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個(gè)完全平方式；

()變形為(x+p)2=q的形式，如果吃0,方程的根是x=-p：fcq；如果q<0,方程無實(shí)根.

例1解下列方程：

(1)2x2+l=3x(2)3x2-6x+4=0(3)(1+x)2+2(l+x)-4=()

分析：我們已經(jīng)介紹了配方法，因此，我們解這些方程就可以用配方法完成，即配一個(gè)含

有x的完全平方式.

解：略.

三、鞏固練習(xí)

教材第9頁練習(xí)2(3)(4)()(6).

四、堂小結(jié)

本節(jié)應(yīng)掌握：

1.配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步驟.

2.配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不僅僅表現(xiàn)在一元二次方程的解法中,

也可通過配方，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷代數(shù)式的正負(fù)性.在今后學(xué)習(xí)二次函數(shù)，到高中學(xué)習(xí)

二次曲線時(shí)，還將經(jīng)常用到.

五、作業(yè)布置

教材第17頁復(fù)習(xí)鞏固3(3)(4).

補(bǔ)充：(1)已知x2+2+z2—2x+4—6z+14=0,求x++z的值.

(2)求證：無論x,取任何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式x2+2—2X-4+16的值總是正數(shù)2122公式法

理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念，會(huì)熟練應(yīng)用公式法解一元二

次方程.

復(fù)習(xí)具體數(shù)字的一元二次方程配方法的解題過程，引入ax2+bx+=0(a#0)的求根公式的

推導(dǎo)，并應(yīng)用公式法解一元二次方程.

重點(diǎn)

求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用.

難點(diǎn)

一元二次方程求根公式的推導(dǎo).

一、復(fù)習(xí)引入

1.前面我們學(xué)習(xí)過解一元二次方程的“直接開平方法”，比如，方程

(l)x2=4(2)(x-2)2=7

提問1這種解法的(理論)依據(jù)是什么？

提問2這種解法的局限性是什么？(只對那種“平方式等于非負(fù)數(shù)”的特殊二次方程有效，

不能實(shí)施于一般形式的二次方程.)

2.面對這種局限性，怎么辦？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能夠“直接開

平方”的形式.)

(學(xué)生活動(dòng))用配方法解方程2x2+3=7x

(老師點(diǎn)評)略

總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評).

(1)先將已知方程化為一般形式；

(2)化二次項(xiàng)系數(shù)為1；

(3)常數(shù)項(xiàng)移到右邊；

(4)方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個(gè)完全平方式；

()變形為(x+p)2=q的形式，如果qX),方程的根是x=-p土q：如果qVO,方程無實(shí)根.

二、探索新知

用配方法解方程：

(l)ax2—7x+3=0(2)ax2+bx+3=0

如果這個(gè)一元二次方程是一般形式ax2+bx+=0(a#0),你能否用上面配方法的步驟求出

它們的兩根，請同學(xué)獨(dú)立完成下面這個(gè)問題.

問題：已知ax2+bx+=()(a*)),試推導(dǎo)它的兩個(gè)根xl=—b+b2—4a2a,x2=—b—b2—

4a2a(這個(gè)方程一定有解嗎？什么情況下有解？)

分析：因?yàn)榍懊婢唧w數(shù)字已做得很多，我們現(xiàn)在不妨把a(bǔ),b,也當(dāng)成一個(gè)具體數(shù)字，根據(jù)

上面的解題步驟就可以一直推下去.

解：移項(xiàng)，得：ax2+bx=-

二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得x2+bax=-a

配方，得：x2+bax+(b2a)2=—a+(b2a)2

即(x+b2a)2=即一4a4a2

V4a2>0,當(dāng)b2-4aZ0時(shí)，b2-4a4a2>0

A(x+b2a)2=(b2-4a2a)2

直接開平方，得：x+b2a=±b2-4a2a

即x=-b±b2-4a2a

Axl=—b+b2—4a2a,x2=—b~b2—4a2a

由上可知,一元二次方程ax2+bx+=0(a和)的根由方程的系數(shù)a,b,而定，因此：

(1)解一元二次方程時(shí)，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+=(),當(dāng)b2-4aK)時(shí)，將a,

b,代入式子x=-b±b2-4a2a就得到方程的根.

(2)這個(gè)式子叫做一元二次方程的求根公式.

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

公式的理解

(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

例1用公式法解下列方程：

(l)2x2-x-1=0(2)x2+1=-3x

(3)x2—2x+12=0(4)4x2-3x+2=0

分析：用公式法解一元二次方程，首先應(yīng)把它化為一般形式，然后代入公式即可.

補(bǔ)：()(x—2)(3x-)=0

三、鞏固練習(xí)

教材第12頁練習(xí)1(1)(3)?；?2)(4)(6).

四、堂小結(jié)

本節(jié)應(yīng)掌握：

(1)求根公式的概念及其推導(dǎo)過程：

(2)公式法的概念；

(3)應(yīng)用公式法解一元二次方程的步驟：1)將所給的方程變成一般形式，注意移項(xiàng)要變號，

盡量讓a>0；2)找出系數(shù)a,b,,注意各項(xiàng)的系數(shù)包括符號；3)計(jì)算b2—4a,若結(jié)果為負(fù)數(shù),

方程無解；4)若結(jié)果為非負(fù)數(shù)，代入求根公式，算出結(jié)果.

(4)初步了解一元二次方程根的情況.

五、作業(yè)布置

教材第17頁習(xí)題4,2123因式分解法

掌握用因式分解法解一元二次方程.

通過復(fù)習(xí)用配方法、公式法解一元二次方程，體會(huì)和探尋用更簡單的方法——因式分解法

解一元二次方程，并應(yīng)用因式分解法解決一些具體問題.

重點(diǎn)

用因式分解法解一元二次方程.

難點(diǎn)

讓學(xué)生通過比較解一元二次方程的多種方法感悟用因式分解法使解題更簡便.

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動(dòng))解下列方程：

(1)2x2+x=0(用配方法)(2)3x2+6x=0(用公式法)

老師點(diǎn)評：(1)配方法將方程兩邊同除以2后，x前面的系數(shù)應(yīng)為12,12的一半應(yīng)為14,

因此，應(yīng)加上(14)2,同時(shí)減去(14)2(2)直接用公式求解.

二、探索新知

(學(xué)生活動(dòng))請同學(xué)們口答下面各題.

(老師提問)(1)上面兩個(gè)方程中有沒有常數(shù)項(xiàng)？

(2)等式左邊的各項(xiàng)有沒有共同因式？

(學(xué)生先答，老師解答)上面兩個(gè)方程中都沒有常數(shù)項(xiàng)；左邊都可以因式,分解?.

因此，上面兩個(gè)方程都可以寫成：

(l)x(2x+1)=0(2)3x(x+2)=0

因?yàn)閮蓚€(gè)因式乘積要等于0,至少其中一個(gè)因式要等于()，也就是(l)x=0或2x+l=0,所

以xl=0,x2=-12

(2)3x=0或x+2=0,所以xl=0,x2=-2(以上解法是如何實(shí)現(xiàn)降次的？)

因此，我們可以發(fā)現(xiàn)，上述兩個(gè)方程中，其解法都不是用開平方降次，而是先因式分解使

方程化為兩個(gè)?次式的乘積等于0的形式，再使這兩個(gè)?次式分別等于0,從而實(shí)現(xiàn)降次，

這種解法叫做因式分解法.

例1解方程：

(l)10x-49x2=0(2)x(x-2)+x-2=0(3)x2—2x-14=x2—2x+34(4)(x-1)2=(3-

2x)2

思考：使用因式分解法解一元二次方程的條是什么？

解：略(方程一邊為0,另一邊可分解為兩個(gè)一次因式乘積.)

練習(xí)：下面一元二次方程解法中，正確的是()

A.(X—3)(x—)=10><2,.\x—3=10,x—=2,/.xI=13,x2=7

B.(2-x)+(x-2)2=0,A(x-2)(x-3)=0,Axl=2,x2=3

.(x+2)2+4x=0,.*.xl=2,x2=—2

D.x2=x,兩邊同除以x,得x=l

三、鞏固練習(xí)

教材第14頁練習(xí)1,2

四、堂小結(jié)

本節(jié)要掌握：

(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其應(yīng)用.

(2)因式分解法要使方程一邊為兩個(gè)一次因式相乘，另一邊為0,再分別使各一次因式等于

0

五、作業(yè)布置

教材第17頁習(xí)題6,B,10,112124一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

1.掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系并會(huì)初步應(yīng)用.

2.培養(yǎng)學(xué)生分析、觀察、歸納的能力和推理論證的能力.

3.滲透由特殊到一般，再由一般到特殊的認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律.

4.培養(yǎng)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)規(guī)律的枳極性及勇于探索的精神.

重點(diǎn)

根與系數(shù)的關(guān)系及其推導(dǎo)

難點(diǎn)

止確理解根與系數(shù)的關(guān)系.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是指一元二次方程兩根的和、兩

根的積與系數(shù)的關(guān)系.

一、復(fù)習(xí)引入

1.己知方程x2—ax—3a=0的一個(gè)根是6,則求a及另一個(gè)根的值.

2.由上題可知一元二次方程的系數(shù)與根有著密切的關(guān)系.其實(shí)我們己學(xué)過的求根公式也

反映了根與系數(shù)的關(guān)系，這種關(guān)系比較復(fù)雜，是否有更簡潔的關(guān)系？

3.由求根公式可知，■—元二次方程ax2+bx+=0(aM)的兩根為xl=—b+b2—4a2a,x2

=-b—b2—4a2a觀察兩式右邊，分母相同，分子是一b+b2-4a與一b—b2—4a兩根之間通

過什么計(jì)算才能得到更簡潔的關(guān)系？

二、探索新知

解下列方程，并填寫表格：

方程xlx2xl+x2xl*x2

x2-2x=0

x2+3x-4=0

x2-x+6=0

觀察上面的表格，你能得到什么結(jié)論？

⑴關(guān)于x的方程x2+px+q=()(p,q為常數(shù)，p2—4q20)的兩根xl,x2與系數(shù)p,q之間

有什么美系？

(2)關(guān)于x的方程ax2+bx+=0(a#0)的兩根xl,x2與系數(shù)a,b,之間又有何關(guān)系呢?你能

證明你的猜想嗎？

解下列方程，并填寫表格：

方程xlx2xl+x2xl*x2

2x2—7x—4=0

3x2+2x-=0

x2-17x+6=0

小結(jié)：根與系數(shù)關(guān)系：

(1)關(guān)于x的方程x2+px+q=0(p,q為常數(shù)，p2—4q20)的兩根xl,x2與系數(shù)p,q的關(guān)

系是：xl+x2=-p,xl?x2=q(注意：根與系數(shù)關(guān)系的前提條是根的判別式必須大于或等于

零.)

(2)形如ax2+bx+=0(aR)的方程，可以先將二次項(xiàng)系數(shù)化為1,再利用上面的結(jié)論.

即：對于方程ax2+bx+=0(a,0)

Va#),.?.x2+bax+a=0

/.xl4-x2=—ba,xl*x2=a

(可以利用求根公式給出證明)

例1不解方程，寫出下列方程的兩根和與兩根積：

(l)x2-3x-I=0(2)2x2+3x-=0

(3)13x2-2x=0(4)2x24-6x=3

()x2-1=0(6)x2-2x4-1=0

例2不解方程，檢驗(yàn)下列方程的解是否正確？

(l)x2-22x+l=0(xl=2+l,x2=2-l)

(2)2x2-3x-8=0(xl=7+734,x2=-734)

例3已知一元二次方程的兩個(gè)根是一1和2,請你寫出一個(gè)符合條的方程.(你有幾種方

法？)

例4已知方程2x2+x—9=0的一個(gè)根是一3,求另一根及的值.

變式一：已知方程x2—2x-9=0的兩根互為相反數(shù)，求；

變式二：已知方程2x2—x+=0的兩根互為倒數(shù)，求

三、堂小結(jié)

1.根與系數(shù)的關(guān)系.

2.根與系數(shù)關(guān)系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判別式大于等于零.

四、作業(yè)布置

1.不解方程，寫出下列方程的兩根和與兩根積.

(1)x2-x-3=0(2)9xI2=x2(3)6x2-3xI2=0

(4)3x2+x+l=()

2.已知方程x2—3x+=0的一個(gè)根為1,求另一根及的值.

3.已知方程x2+bx+6=0的一個(gè)根為一2,求另一根及b的值213實(shí)際問題與一元二次

方程(2時(shí))

第1時(shí)解決代數(shù)問題

1.經(jīng)歷用一元二次方程解決實(shí)際問題的過程，總結(jié)列一元二次方程解決實(shí)際問題的一般

步驟.

2.通過學(xué)生自主探究，會(huì)根據(jù)傳播問題、百分率問題中的數(shù)量關(guān)系列一元二次方程并求

解，熟悉解題的具體步驟.

3.通過實(shí)際問題的解答，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到對方程的解必須要進(jìn)行檢驗(yàn)，方程的解是否舍去

要以是否符合問題的實(shí)際意義為標(biāo)準(zhǔn).

重點(diǎn)

利用一元二次方程解決傳播問題、百分率問題.

難點(diǎn)

如果理解傳播問題的傳播過程和百分率問題中的增長(降低)過程，找到傳播問題和百分率

問題中的數(shù)量關(guān)系.

一、引入新

1.列方程解應(yīng)用題的基本步驟有哪些？應(yīng)注意什么？

2.科學(xué)家在細(xì)胞研究過程中發(fā)現(xiàn)：

(1)一個(gè)細(xì)胞一次可分裂成2個(gè)，經(jīng)過3次分裂后共有多少個(gè)細(xì)胞？

(2)一個(gè)細(xì)胞一次可分裂成x個(gè)，經(jīng)過3次分裂后共有多少個(gè)細(xì)胞？

(3)如是一個(gè)細(xì)胞一次可分裂成2個(gè)，分裂后原有細(xì)胞仍然存在并能再次分裂，試問經(jīng)過3

次分裂后共有多少個(gè)細(xì)胞？

二、教學(xué)活動(dòng)

活動(dòng)1：自學(xué)教材第19頁探究1,思考教師所提問題.

有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，有121人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾

個(gè)人？

(1)如何理解“兩輪傳染”？如果設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，第一輪傳染后共有

人患流感.第二輪傳染后共有人患流感.

(2)本題中有哪些數(shù)量關(guān)系？

(3)如何利用已知的數(shù)量關(guān)系選取未知數(shù)并列出方程？

解答：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，則依題意第一輪傳染后有(x+1)人患了流

感，第二輪有x(l+x)人被傳染上了流感.于是可列方程.：

l+x+x(l+x)=121

解方程得xl=10,x2=-12(不合題意舍去)

因此每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了10個(gè)人.

變式練習(xí)：如果按這樣的傳播速度，三輪傳染后有多少人患了流感？

活動(dòng)2：自學(xué)教材第19頁?第20頁探究2,思考老師所提問題.

兩年前生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是6000元，隨著生

產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本足3000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是3600

元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？

(1)如何理解年平均下降額與年平均下降率？它們相等嗎？

(2)若設(shè)甲種藥品年平均下降率為x,則一年后，甲種藥品的成本下降了元，此時(shí)

成本為元；兩年后，甲種藥品下降了元，此時(shí)成本為元.

(3)增長率(下降率)公式的歸納:設(shè)基準(zhǔn)數(shù)為a,增長率為x,則一月(或一年)后產(chǎn)量為a(l±x)；

二月(或二年)后產(chǎn)量為a(l±x)2；

n月(或n年)后產(chǎn)量為a(l±x)n；

如果已知n月(n年)后總產(chǎn)量為，則有下面等式：=a(l±x)n

(4)對甲種藥品而言根據(jù)等量關(guān)系列方程為：

三、堂小結(jié)與作業(yè)布置

堂小結(jié)

1.列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟：審、設(shè)、找、歹！、解、答.最后要檢驗(yàn)根是否符合

實(shí)際.

2.傳播問題解決的關(guān)鍵是傳播的確定和等量關(guān)系的建立.

3.若平均增長(降低)率為x,增長(或降低)前的基準(zhǔn)數(shù)是a,增長(或降低)n次后的最是b,

則有：a(l±x)n=b(常見n=2).

4.成本下降額較大的藥品，它的下降率不一定也較大，成本下降額較小的藥品，它的下

降率不一定也較小.

作業(yè)布置

教材第21—22頁習(xí)題213第2—7題.第2時(shí)解決幾何問題

1.通過探究，學(xué)會(huì)分析幾何問題中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程解決幾何問題.

2.通過探究，使學(xué)生認(rèn)識(shí)在幾何問題中可以將圖形進(jìn)行適當(dāng)變換，使列方程更容易.

3.通過實(shí)際問題的解答，再次讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到對方程的解必須要進(jìn)行檢驗(yàn)，方程的解是否

舍去要以是否符合問題的實(shí)際意義為標(biāo)準(zhǔn).

重點(diǎn)

通過實(shí)際圖形問題，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用一元二次方程分析和解決幾何問題的能力.

難點(diǎn)

在探究幾何問題的過程中，找出數(shù)量關(guān)系，正確地建立一元二次方程.

活動(dòng)1創(chuàng)設(shè)情境

1.長方形的周長，面積,長方體的體積公式.

2.如圖所示：

(1)一塊長方形鐵皮的長是10,寬是8,四角各截去一個(gè)邊長為2的小正方形，制成一

個(gè)長方體容器，這個(gè)長方體容器的底面積是，高是,體積是.

(2)一塊長方形鐵皮的長是10,寬是8,四角各截去一個(gè)邊長為x的小正方形，制成一

個(gè)長方體容器，這個(gè)長方體容器的底面積是,高是,體積是.

活動(dòng)2自學(xué)教材第20頁?第21頁探究3,思考老師所提問題

要設(shè)計(jì)一本書的封面，封面長27,寬21,正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長寬比例相同的矩

形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上下邊襯等寬，左右邊襯等

寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度(精確到01).

(1)要設(shè)計(jì)書本封面的長與寬的比是,則正中央矩形的長與寬的比是.

(2)為什么說上下邊襯寬與左右邊襯寬之比為9：7?試與同伴交流一下.

(3)若設(shè)上、下邊襯的寬均為9x,左、右邊襯的寬均為7x,則中央矩形的長為,

寬為，面積為2

(4)根據(jù)等量關(guān)系：,可列方程為：

()你能寫出解題過程嗎？(注意對結(jié)果是否合理進(jìn)行檢驗(yàn).)

(6)思考如果設(shè)正中央矩形的長與寬分別為9x和7x，你又怎樣去求上下、左右邊襯的寬？

活動(dòng)3變式練習(xí)

如圖所示，在一個(gè)長為0米，寬為30米的矩形空地上，建造一個(gè)花園，要求花園的面積

占整塊面積的7%,等寬且互相垂直的兩條路的面積占2%,求路的寬度.

答案：路的寬度為米.

活動(dòng)4堂小結(jié)與作業(yè)布置

堂小結(jié)

1.利用己學(xué)的特殊圖形的面積(或體積)公式建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用它解決

實(shí)際問題的關(guān)鍵是弄清題目中的數(shù)量關(guān)系.

2.根據(jù)面枳與面積(或體積)之間的等量關(guān)系建立一元二次方程，并能正確解方程，最后對

所得結(jié)果是否合理要進(jìn)行檢驗(yàn).

作業(yè)布置

教材第22頁習(xí)題213第8,10題.

第二十二二次函數(shù)

22.1二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

22.11二次函數(shù)

1.從實(shí)際情景中讓學(xué)生經(jīng)歷探索分析和建立兩個(gè)變量之間的二次函數(shù)關(guān)系的過程，進(jìn)一

步體驗(yàn)如何用數(shù)學(xué)的方法去描述變量之間的數(shù)量關(guān)系.

2.理解二次函數(shù)的概念，掌握二次函數(shù)的形式.

3.會(huì)建立簡單的二次函數(shù)的模型，并能根據(jù)實(shí)際問題確定自變量的取值范圍.

重點(diǎn)

二次函數(shù)的概念和解析式.

難點(diǎn)

木節(jié)"合作學(xué)習(xí)''涉及的實(shí)際問題有的較為復(fù)雜，要求學(xué)生有較強(qiáng)的概括能力.

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新

問題1現(xiàn)有一根12枝的繩子，用它圍成一個(gè)矩形，如何圍法，才使矩形的面積最大？

小明同學(xué)認(rèn)為當(dāng)圍成的矩形是正方形時(shí)，它的面積最大，他說的有道理嗎？

問題2很多同學(xué)都喜歡打籃球，你知道嗎：投籃時(shí)，籃球運(yùn)動(dòng)的路線是什么曲線？怎樣

計(jì)算籃球達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)的高度？

這些問題都可以通過學(xué)習(xí)二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型解決，今天我們學(xué)習(xí)“二次函數(shù)”(板書題).

二、合作學(xué)習(xí)，探索新知

請用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)解析式表示下列情景中的兩個(gè)變量與x之間的美系：

(1)圓的半徑x()與面積(2)；

(2)王先生存入銀行2萬元，先存一個(gè)一年定期，一年后銀行將本息自動(dòng)轉(zhuǎn)存為又一個(gè)一年

定期，設(shè)一年定期的年存款利率為x,兩年后王先生共得本息元；

(3)擬建中的一個(gè)溫室的平面圖如圖，如果溫室外圍是一個(gè)矩形，周長為120,室內(nèi)通道

的尺寸如圖，設(shè)一條邊長為x(),種植面積為(2).

(一)教師組織合作學(xué)習(xí)活動(dòng)：

1.先個(gè)體探求，嘗試寫出與x之間的函數(shù)解析式.

2.上述三個(gè)問題先易后難，在個(gè)體探求的基礎(chǔ)上，小組進(jìn)行合作交流，共同探討.

(l)=nx2(2)=20000(l+x)2=20000x2+40000x+20000(3)=(60—x-4)(x-2)=—x2

+8x712

(-)上述三個(gè)函數(shù)解析式具有哪些共同特征？

讓學(xué)生充分發(fā)表意見，提出各自看法.

教師歸納總結(jié)：上述三個(gè)函數(shù)解析式經(jīng)化簡后都具有=ax2+bx+(a,b,是常數(shù)，aR)的

形式.

板書：我們把形如=ax2+bx+(其中a,b,是常數(shù),a和)的函數(shù)叫做二次函數(shù)(quadratifuntin),

稱a為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，為常數(shù)項(xiàng).

請講出上述三個(gè)函數(shù)解析式中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

三、做一做

1.下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？

(l)=x2(2)=-1x2(3)=2x2-x-l

(4)=x(l-x)()=(x-|)2-(x4-l)(x-l)

2.分別說出下列二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：

(l)=x2+l(2)=3x2+7x-12(3)=2x(l-x)

3.若函數(shù)=(2—1)x2—為二次函數(shù)，則的值為.

四、堂小結(jié)

反思提高，本節(jié)你有什么收獲？

五、作業(yè)布置

教材第41頁第1,2題2212二次函數(shù)=2乂2的圖裒和性質(zhì)

通過畫圖，了解二次函數(shù)=ax2(arO)的圖象是一條拋物線，理解其頂點(diǎn)為何是原點(diǎn)，對稱

軸為何是軸，開口方向?yàn)楹蜗蛏?或向下)，掌握其頂點(diǎn)、對稱軸、開口方向、最值和增減性

與解析式的內(nèi)在關(guān)系，能運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)解決有關(guān)問題.

重點(diǎn)

從“數(shù)”(解析式)和“形"(圖象)的角度理解二次函數(shù)=ax2的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)解析式=@*2

與函數(shù)圖象的內(nèi)在關(guān)系.

難點(diǎn)

畫二次函數(shù)=ax2的圖象.

一、引入新

1.下列哪些函數(shù)是二次函數(shù)？哪些是一次函數(shù)？

(l)=3x-l(2)=2x2I7(3)=x-2

(4)=3(x-1)2+1

2.一次函數(shù)的圖象，正比例函數(shù)的圖象各是怎樣的呢？它們各有什么特點(diǎn)，乂有哪些性

質(zhì)呢？

3.上節(jié)我們學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的概念，掌握了它的一般形式，這節(jié)我們先探究二次函數(shù)中

最簡單的=@*2的圖象和性質(zhì).

二、教學(xué)活動(dòng)

活動(dòng)1：畫函數(shù)=-x2的圖象.

(1)多媒體展示畫法(列表，描點(diǎn)，連線).

(2)提出問題：它的形狀類似于什么？

(3)引出一?般概念：拋物線，拋物線的對稱軸、頂點(diǎn).

活動(dòng)2：在坐標(biāo)紙上畫函數(shù)=—0x2,=-2x2的圖象.

(1)教師巡視，展示學(xué)生的作品并進(jìn)行點(diǎn)撥；教師再用多媒體展示正確的畫圖過程.

(2)引導(dǎo)學(xué)生觀察二次函數(shù)=-0x2,=-2x2與函數(shù)=-x2的圖象，提出問題：它們有什

么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

(3)歸納總結(jié)：

共同點(diǎn)：①它們都是拋物線；②除頂點(diǎn)外都處于x軸的下方；③開口向下；④對稱軸是軸；

⑤頂點(diǎn)都是原點(diǎn)(0,0).

不同點(diǎn)：開口大小不同.

(4)教師強(qiáng)調(diào)指出：這三個(gè)特殊的二次函數(shù)=a*2是當(dāng)aVO時(shí)的情況.系數(shù)a越大，拋物線

開口越大.

活動(dòng)3：在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中畫函數(shù)=x2,=0x2,=2x2的圖象.

類似活動(dòng)2：讓學(xué)生歸納總結(jié)出這些圖象的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，再進(jìn)一步提煉出二次函數(shù)=

ax2(a#0)的圖象和性質(zhì).

二次函數(shù)=ax2(a±0)的圖象和性質(zhì)

圖象

(草圖)開口

方向頂

點(diǎn)對稱軸最高或

最低點(diǎn)最值

a>0當(dāng)x=____時(shí)，

有最—一

是________

a<0當(dāng)x=時(shí),

有最—值，

是________

活動(dòng)4：達(dá)標(biāo)檢測

(1)函數(shù)=-8x2的圖象開口向,頂點(diǎn)是,對稱軸是,當(dāng)

x時(shí)，隨x的增大而減小.

(2)二次函數(shù)=(2一)x2的圖象如圖所示，則的取值范圍為.

(3)如圖，①=ax2；②=bx2；③=x2；④=dx2比較a,b,,d的大小，用連接.

答案；(1)下，(0，0),x=0,>0；(2)>2；(3)a>b>d>

三、堂小結(jié)與作業(yè)布置

堂小結(jié)

1.二次函數(shù)的圖象都是拋物線.

2.二次函數(shù)=@*2的圖象性質(zhì)：

(1)拋物線=ax2的對稱軸是軸，頂點(diǎn)是原點(diǎn).

(2)當(dāng)a>0時(shí)，拋物線的開口向上，頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)；當(dāng)aVO時(shí)，拋物線的開口向

下，頂點(diǎn)是拋物線的最富點(diǎn)；|a|越大，拋物線的開口越小.

作業(yè)布置

教材第32頁練習(xí).

22.13二次函數(shù)=2儀一1])2+的圖象和性質(zhì)

1.經(jīng)歷二次函數(shù)圖象平移的過程；理解函數(shù)圖象平移的意義.

2.了解=ax2,=a(x-h)2,=a(x—h)2+三類二次函數(shù)圖象之間的關(guān)系.

3.會(huì)從圖象的平移變換的角度認(rèn)識(shí)=a(x—h)2+型二次函數(shù)的圖象特征.

重點(diǎn)

從圖象的平移變換的角度認(rèn)識(shí)=融*一切2+型二次函數(shù)的圖象特征.

難點(diǎn)

對J：平移變換的理解和確定，學(xué)生較難理解.

一、復(fù)習(xí)引入

二次函數(shù)=@*2的圖象和特征：

1.名稱；2頂點(diǎn)坐標(biāo)；3對稱軸；4當(dāng)a>0時(shí)，拋物線的開口

向,頂點(diǎn)是拋物線上的最點(diǎn)，圖象在X軸的(除頂點(diǎn)外)；當(dāng)a＜0

時(shí)，拋物線的開口向,頂點(diǎn)是拋物線上的最點(diǎn)，圖象在x軸的(除

頂點(diǎn)外).

二、合作學(xué)習(xí)

在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)=12x2,=12(x+2)2,=12僅一2)2的圖象.

(1)請比較這三個(gè)函數(shù)圖象有什么共同特征？

(2)頂點(diǎn)和對稱軸有什么關(guān)系？

(3)圖象之間的位置能否通過適當(dāng)?shù)淖儞Q得到？

(4)由此，你發(fā)現(xiàn)了什么？

三、探究二次函數(shù)=a*2和=弘乂-h)2圖象之間的關(guān)系

1.結(jié)合學(xué)生所畫圖象，引導(dǎo)學(xué)生觀察=12(x+2)2與=12x2的圖象位置關(guān)系，直觀得出=

12x2的圖象-----＞向左平移兩個(gè)單位=12(x+2)2的圖象.

教師可以采取以下措施：①借助幾何畫板演示幾個(gè)對應(yīng)點(diǎn)的位置關(guān)系，如：

(0,0)-----＞向左平移兩個(gè)單位(-2,0)；

(2,2)-----＞向左平移兩個(gè)單位(0,2)；

(-2,2)-----＞向左平移兩個(gè)單位(-4,2).

②也可以把這些對應(yīng)點(diǎn)在圖象上用彩色粉筆標(biāo)出，并月帶箭頭的線段表示平移過程.

2.用同樣的方法得出=12x2的圖象-----H句右平移兩個(gè)單位=12往-2)2的圖象.

3.請你總結(jié)二次函數(shù)=a(x—h)2的圖象和性質(zhì).

=ax2(a，0)的圖象-----?當(dāng)h＞0H寸，向右平移h個(gè)單泣當(dāng)h＜0時(shí)，向左平移|h|個(gè)單位=

a(x-h)2的圖象.

函數(shù)=a(x—h)2的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,0),對稱軸是直線x=h

4.做一做

(1)

拋物線開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)

=2(x+3)2

=-3(x-l)2

=—4(x—3)2

⑵填空：

①拋物線=2x2向平移個(gè)單位可得到=2(x+1)2；

②函數(shù)=一6一4)2的圖象可以由拋物線向平移個(gè)單位而得

到.

四、探究二次函數(shù)二@a-11)2+和=@乂2圖象之間的關(guān)系

1.在上面的平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)=12(x+2)2+3的圖象.

首先引導(dǎo)學(xué)生觀察比較=12(x+2)2與=12(x+2)2+3的圖象關(guān)系，直觀得出：=12(x4-2)2

的圖象-----＞向上平移3個(gè)單位=12(x+2)2+3的圖象.(結(jié)合多媒體演示)

再引導(dǎo)學(xué)生觀察剛才得到的=12x2的圖象與=l2(x+2)2的圖象之間的位置關(guān)系，由此得

出：只要把拋物線=12x2先向左平移2個(gè)單位，在向上平移3個(gè)單位，就可得到函數(shù)=12(x

+2)2+3的圖象.

2.做一做：請?zhí)顚懴卤恚?/p>

函數(shù)解析式圖象的對稱軸圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)

=12x2

=12(x+2)2

=12(x+2)2+3

3總結(jié)=a(x-h)2+的圖象和=ax2圖象的關(guān)系

=ax2(a，0)的圖象-----?當(dāng)h>0時(shí)，向右平移h個(gè)單」立當(dāng)hVO時(shí)，向左平移|h|個(gè)單位=

a(x-h)2的圖象----->當(dāng)>0時(shí)，向上平移個(gè)單位當(dāng)VO時(shí)，向下平移||個(gè)單位=a(x-h)2+

的圖象.

=a(x—h)2+的圖象的疝稱軸是直線x=h,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,).

口訣：(h,)正負(fù)左右上下移(h左加右減，上加下減)

從二次函數(shù)=a(x—h)2+的圖象可以看出：

如果a>0,當(dāng)xVh時(shí)，隨x的增大而減小，當(dāng)x>h時(shí)，隨x的增大而增大；如果2V0,

當(dāng)xVh時(shí)，隨x的增大而增大，當(dāng)x>h時(shí)，隨x的增大而減小.

4.練習(xí)：本第37頁練習(xí)

五、堂小結(jié)

1.函數(shù)=a(x—h)2+的圖象和函數(shù)=ax2圖象之間的關(guān)系.

2.函數(shù)=a(x—h)2I的圖象在開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸等方面的性質(zhì).

六、作業(yè)布置

教材第41頁第題2214二次函數(shù)=@*2+6乂+的圖象和性質(zhì)(2時(shí))

第1時(shí)二次函數(shù)=@*2+6乂+的圖象和性質(zhì)

1.掌握用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)=ax2+bx+的圖象.

2.掌握用圖象或通過配方確定拋物線=ax2+bx+的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

3.經(jīng)歷探索二次函數(shù)=ax2+bx+的圖象的開II方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)以及配方的過程,

理解一次困數(shù)=ax2+bx+的性質(zhì).

重點(diǎn)

通過圖象和配方描述二次函數(shù)=2*2+6乂+的性質(zhì).

難點(diǎn)

理解二次函數(shù)一般形式=2乂2+6*+伯，0)的配方過程，發(fā)現(xiàn)并總結(jié)=2乂2+6乂+與=弁乂一

h)2+的內(nèi)在關(guān)系.

一、導(dǎo)入新

1.二次函數(shù)=@出一11)2+的圖象，可以由函數(shù)=ax2的圖象先向平移個(gè)

單位，再向平移個(gè)單位得到.

2.二次函數(shù)=2儀一h)2+的圖象的開口方向,對稱軸是,頂點(diǎn)坐標(biāo)是

3.二次函數(shù)=12x2—6x+21,你能很容易地說出它的圖象的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐

標(biāo)，并畫出圖象嗎？

二、教學(xué)活動(dòng)

活動(dòng)1：通過配方，確定拋物線=12x2—6x+2l的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，再描點(diǎn)

畫圖.

(1)多媒體展示畫法(列表，描點(diǎn)，連線)；

(2)提出問題：它的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么？

(3)引導(dǎo)學(xué)生合作、討論觀察圖象：在對稱軸的左右兩側(cè)，拋物線從左往右的變化趨勢.

活動(dòng)2：I不畫出圖象，你能直接說出函數(shù)=-x2+2x-3的圖象的開口方向、對稱軸和頂

點(diǎn)坐標(biāo)嗎？

2.你能畫出函數(shù)=-x2+2x-3的圖象，并說明這個(gè)函數(shù)具有哪些性質(zhì)嗎？

(1)在學(xué)生畫函數(shù)圖象的同時(shí)，教師巡視、指導(dǎo)；

(2)抽一位或兩位同學(xué)板演，學(xué)生自糾，老師點(diǎn)評；

(3)止學(xué)生思考函數(shù)的最大值或最小值與函數(shù)圖象的開門方向有什么關(guān)系？這個(gè)值與函數(shù)

圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)有什么關(guān)系？

活動(dòng)3：對于任意一個(gè)二次函數(shù)=@*2+6*+伯和)，如何確定它的圖象的開口方向、對稱

軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)？你能把結(jié)果寫出嗎？

(1)組織學(xué)生分組討論，教師巡視；

(2)各組選派代表發(fā)言，全班交流，達(dá)成共識(shí)，抽學(xué)生板演配方過程；教師展示二次函數(shù)=

a*2+6*+(2>0)和=2*2+6乂+(2<0)的圖象.

(3)引導(dǎo)學(xué)生觀察二次函數(shù)=a乂2+6*+但視)的圖象，在對稱軸的左右兩側(cè)，隨x的增大有

什么變化規(guī)律？

(4)引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)二次函數(shù)=ax2IbxI(a40)的圖象和性質(zhì).

活動(dòng)4：已知拋物線=x2—2ax+9的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，求a的值.

活動(dòng)：檢測反饋

1.填空：

(1)拋物線=*2-2*+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是；

(2)拋物線=2x2—2x—1的開口,對稱軸是；

(3)二次函數(shù)=ax2+4x+a的最大值是3,則a=

2.寫出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

(l)=3x2+2x；(2)=-2x2+8x—8

3.求一次困數(shù)=x2+2x+3(>0)的圖象的對稱軸，井說出該圖象具有哪些性質(zhì).

4.拋物線=2乂2+2*+的頂點(diǎn)是(一1,2),則a,的值分別是多少？

答案：1)；(2)向上，x=12；(3)—1；2(1)開口向上，x=-13,(-13,-13)；(2)

開口向下，x=2,(2,0)；3對稱軸x=—1,當(dāng)>0時(shí)，開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,3一)：

4a=l,=3

三、堂小結(jié)與作業(yè)布置

堂小結(jié)

二次函數(shù)=@*2+匕乂+伯士0)的圖象與性質(zhì).

作業(yè)布置

教材第41頁第6題.第2時(shí)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

1.掌握二次函數(shù)解析式的三種形式，并會(huì)選用不同的形式，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的

解析式.

2.能根據(jù)二次函數(shù)的解析式確定拋物線的開口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)，對稱軸，最值和增減性.

3.能根據(jù)二次函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖象，并能從圖象上觀察出函數(shù)的一些性質(zhì).

重點(diǎn)

二次函數(shù)的解析式和利用函數(shù)的圖象觀察性質(zhì).

難點(diǎn)

利用圖象觀察性質(zhì).

一、復(fù)習(xí)引入

1.拋物線=-2(x+4)2一的頂點(diǎn)坐標(biāo)是,對稱地是,在

側(cè)，即x一4時(shí)，隨著x的增大而增大；在側(cè)，即x-4

時(shí)，隨著x的增大而減小；當(dāng)*=時(shí)，函數(shù)最值是.

2.拋物線=2(x-3)2+6的頂點(diǎn)坐標(biāo)是,對稱軸是,在

側(cè)，即x3時(shí)，隨著x的增大而增大；在側(cè)，即x3時(shí)，

隨著x的增大而減?。划?dāng)乂=時(shí)，函數(shù)最值是.

二、例題講解

例1根據(jù)下列條求二次函數(shù)的解析式：

(1)函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)A(—3,0),B(l,0),(0,-2)；

(2)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,4),且經(jīng)過點(diǎn)(0,1)；

(3)函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=3,且圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0)和(,0).

說明：本題給出求拋物線解析式的三種解法，關(guān)鍵是看題目所給條.一般說：任意給定拋

物線上的二個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，均可設(shè)一般式去求；若給定頂點(diǎn)坐標(biāo)(或?qū)ΨQ軸或最值)及另一個(gè)點(diǎn)

坐標(biāo)，則可設(shè)頂點(diǎn)式較為簡單；若給出拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，則用分解式較為快捷.

例2已知函數(shù)=x2—2x-3,

(1)把它寫成=2a一h)2+的形式；并說明它是由怎樣的拋物線經(jīng)過怎樣平移得到的？

(2)寫出函數(shù)圖象的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、開口方向、最值；

(3)求出圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：

(4)畫出函數(shù)圖象的草圖：

。設(shè)圖象交x軸于A,B兩點(diǎn)，交軸于P點(diǎn)，求^APB的面積；

(6)根據(jù)圖象草圖，說出x取哪些值時(shí)，①=()；②0?

說明：(1)對于解決困數(shù)和幾何的綜合題時(shí)要充分利用圖形，做到線段和坐標(biāo)的互相轉(zhuǎn)化；

(2)利用函數(shù)圖象判定函數(shù)值何時(shí)為正，何時(shí)為負(fù)，同樣也要充分利用圖象，要使系數(shù)的符

號圖象特征

a的符號

a>0拋物線開口向

a~b2a>0

拋物線對稱軸在軸的側(cè)

b=0拋物線對稱軸是軸

-b2a0拋物線與軸交于

=0拋物線與軸交于

1.總結(jié)出二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與一元二次方程的根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，表

述何時(shí)方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，兩個(gè)相等的實(shí)根和沒有實(shí)根.

2.會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解.

3.會(huì)用計(jì)算方法估計(jì)一元二次方程的根.

重點(diǎn)

方程與函數(shù)之間的聯(lián)系，會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解.

難點(diǎn)

二次函數(shù)的圖象與X軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與一元二次方程的根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系.

一、復(fù)習(xí)引入

1.二次函數(shù)：=ax2+bx+(a,0)的圖象是一條拋物線，它的開口由什么決定呢？

補(bǔ)充：當(dāng)a的絕對值相等時(shí)，其形狀完全相同，當(dāng)a的絕對值越大，則開口越小，反之成

立.

2.二次函數(shù)=2乂2+6*+g￥0)的圖象和性質(zhì)：

(1)頂點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸；

(2)位置與開口方向;

(3)增減性與最值.

當(dāng)a>0時(shí)，在對稱軸的左側(cè)，隨著x的增大而減小；在對稱軸的右側(cè)，隨著x的增大而

增大；當(dāng)*=-b2a時(shí)，函數(shù)有最小值4a—b24a

當(dāng)aVO時(shí)，在對稱軸的左側(cè)，隨著x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，隨著x的增大而

減小；當(dāng)*=—b2a時(shí)，函數(shù)有最大值4a—b24a

二、新教學(xué)

探索二次函數(shù)與一元二次方程：

二次函數(shù)=x2I2x,=x2-2xI1,=x2-2xI2的圖象如圖所示.

(1)每個(gè)圖象與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)？

(2)一元二次方程x2+2x=0,x2—2x+l=0有幾個(gè)根？驗(yàn)證一下一元二次方程x2—2x+2

=0有根嗎？

(3)二次函數(shù)=2*2+匕*+的圖象和x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)與一元二次方程ax2+bx+=0的根有什

么關(guān)系？

歸納：二次函數(shù)=@乂2+6乂+的圖象和x軸交點(diǎn)有三種情況：

①有兩個(gè)交點(diǎn)，

②有一個(gè)交點(diǎn)，

③沒有交點(diǎn).

當(dāng)二次函數(shù)=ax2+bx+的圖象和x軸有交點(diǎn)時(shí),交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)=0時(shí)自變量x的值,

即一元二次方程ax2+bx+=0的根.

當(dāng)b2—4a>0時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次方程0=ax2+bx

+的兩個(gè)根xl與x2：當(dāng)b2-4a=0時(shí)，拋物線與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：當(dāng)b2-4aV0

時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn).

舉例：求二次函數(shù)圖象=x2—3x+2與x軸的交點(diǎn)A,B的坐標(biāo).

結(jié)論:方程x2-3x+2=0的解就是拋物線=x2—3x+2與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo).因此,

拋物線與一元二次方程是有密切聯(lián)系的.

即：若一元二次方程ax2+bx+=0的兩個(gè)根是xl,x2,則拋物線=a*2+5*+與x軸的兩

個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(xl,0),B(x2,0).

例1已知函數(shù)=-12x2—7x+12,

(1)寫出函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，以及圖象與軸的交點(diǎn)關(guān)于圖象對稱軸的對

稱點(diǎn)，然后畫出函數(shù)圖象的草圖；

(2)自變量x在什么范圍內(nèi)時(shí)，隨著x的增大而增大？何時(shí)隨著x的增大而減少；并求出函

數(shù)的最大值或最小值.

三、鞏固練習(xí)

請完成本練習(xí)：第47頁1,2

四、堂小結(jié)

二次函數(shù)與一元二次方程根的情況的關(guān)系.

五、作業(yè)布置

教材第47頁第3,4,,6題223實(shí)際問題與二次函數(shù)(2時(shí))

第1時(shí)用二次函數(shù)解決利潤等代數(shù)問題

能夠理解生活中字表達(dá)與數(shù)學(xué)語言之間的關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型.利用二次函數(shù)=2、2+6乂

+(a#))圖象的性質(zhì)解決簡單的實(shí)際問題，能理解函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、端點(diǎn)與最值的關(guān)系，并

能應(yīng)用這些關(guān)系解決實(shí)際問題.

重點(diǎn)

把實(shí)際生活中的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.

難點(diǎn)

1.讀懂題意，找出相關(guān)量的數(shù)量關(guān)系，正確構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.

2.理解與應(yīng)用函數(shù)圖象頂點(diǎn)、端點(diǎn)與最值的關(guān)系.

一、復(fù)習(xí)舊知，引入新

1.二次函數(shù)常見的形式有哪幾種？

二次函數(shù)=2*2+6*+匕翔)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是,對稱軸是；二次函數(shù)

的圖象是一條,當(dāng)a>0時(shí)，圖象開口向,當(dāng)a<0時(shí)，圖象開口向.

2.二次函數(shù)知識(shí)能幫助我們解決哪些實(shí)際問題呢？

二、教學(xué)活動(dòng)

活動(dòng)1：問題：從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h(單位：)與小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(單

位：s)之間的關(guān)系式是h=30t—t2(0&W6).小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是多少時(shí)，小球最高？小球運(yùn)動(dòng)

中的最大高度是多少？

活動(dòng)2：問題：某商場的一批襯衣現(xiàn)在的售價(jià)是60元，每星期可賣出300,市場調(diào)查反映：

如果調(diào)整價(jià)格，每漲價(jià)1元，每星期要少賣出10；每降價(jià)1元，每星期可多賣出20,已知

該